- Feder: l F := 55 0 3 m (Länge der Feder) b F := 4 0 3 m (Breite der Feder) h F := 0.7 0 3 m (Dicke der Feder) E F 80 0 9 kg := (E-Modul) (=Pa) (Stahl) m s R m_federstahl := 800 0 6 Pa (Zugfestigkeit) R e_federstahl := 000 0 6 Pa (Streckgrenze) σ w := 50 0 6 Pa worst case (Wechselfestigkeit) - Magnet: supermagnete.com: Q-8-7-3-N: Quadermagnet 8 x 7 x 3 mm l M := 8 0 3 m (Länge Magnet) h M := 7 0 3 m (Höhe Magnet) b M := 3 0 3 m (Breite Magnet) s M := 40 0 3 m (Abstand Magnet - Halterung (Einspannung) ) m M :=.9 0 3 kg (Masse Magnet) B r :=.35T (Remanenz),3...,37 T H c 940 0 3 A := (Koerzitivfeldstärke) 860... 995 ka m m kj E M 350 0 3 J := (Energieprdoukt b x h) 34... 358 m 3 m 3 - Eisen: l Fe := 5 0 3 m (Länge Eisen-Keeper) h Fe := 8 0 3 m (Höhe Eisen-Keeper) b Fe := 0 3 m (Breite Eisen-Keeper) ρ Fe := 7860 kg (Dichte Eisen) m 3 m Fe := l Fe h Fe b Fe ρ Fe =. 0 3 kg (Masse Eisen-Keeper)
- Luft-Spule: Marke: Eigenbau L Sp := 0 3 H (Induktivität) Berechnung siehe weiter unten R isp := V A (Innenwiderstand Spule) d asp := 7 0 3 m (Außendurchmesser Spule) =h_magnet d isp :=.5 0 3 m (Innendurchmesser Spule) h Sp := 6 0 3 m (Breite Spule) d Draht := 0.5 0 3 m (Dicke Draht) - Zusatzmasse: s ZM := 40 0 3 m (Abstand vom Nullpunkt bis zum Schwerpunk) l ZM := 6 0 3 m (Länge Zusatzmasse) b ZM := 5 0 3 m (Breite Zusatzmasse) h ZM := 6 0 3 m (Höhe Zusatzmasse) ρ Stahl := 7800 kg (Dichte Stahl) m 3 m ZM := ρ Stahl l ZM b ZM h ZM = 3.744 0 3 kg a := m g := 9.8 m s s f err := 40 ω s err := f err π = 5.37 s
statische Berechnungen 3 b F h F Flächenträgheitsmoment: I yy := = 4.00 0 3 m 4 F ME := F ZM := ( ) g 4 m M + m Fe m ZM g F z := F ME + F ZM F stat := F z = 0.9 N = 0.037 N = 0.55 N Momentengleichung: M stat ( x) := F stat x F ME s M F ZM s ZM Differentialgleichung der Biegelinie: - Krümmung: u := M y ( x) E F I yy - Neigung: du x, c du( x, c ) M stat ( x) ( ) := x := E F I yy E F I yy d + c F stat x + F ME s M x + F ZM s ZM x + c - Auslenkung: u x, c, c ( ) := (, ) x ( ) u x, c, c := E F I yy du x c d + c F stat x 3 + 6 F ME s M x + F ZM s ZM x + c x + c
Randbedingungen: u(x=0)=0: c := 0 u'(x=0)=0: c := 0 u := E F I yy F stat 3 F ME s M F ZM s ZM l 6 F + l F + l F = 8.74 0 5 m (Formel mittels ATR:) u( x) x F stat x 3 F ME s M + F ZM s ZM := 6 E F I yy ( ) F stat l F 3 F ME s M + F ZM s ZM u max := l F = 8.74 0 5 m 6 E F I yy ( ) Biegelinie: u( x) x F stat x 3 F ME s M + F ZM s ZM := 6 E F I yy ( ) x.. 0.5,..l F 0 statische Biegelinie Auslenkung in m u( x) 0 5 4 0 5 6 0 5 8 0 5 0 0.0 0.0 0.033 0.044 0.055 x Länge Feder in m
dynamische Berechnung a) hochkant b) seitlich Systemverhalten: PT (schwingend) ( ) s' m s'' + b el + b mech + c Feder s = m a l Luftspalt := 8 0 3 m Berechnung magnetische Flussdichte μ Luftspalt := (Permeabilität Luft) μ Fe := 000 (Permeabilität Eisen: 300... 3000) μ r := 0.9999936 H (magnetische Permeabilität Kupfer) m h Fe - magnetische Flussdichte: l Eisen := b Fe + = 0.0 m H c b M μ 0 B := = 0.885 T Herleitung siehe rechts l Luftspalt l Eisen + μ Luftspalt μ Fe ( b M hohen Einfluss auf B)
Herleitung Formel zur Berechnung der magnetische Flussdichte B... mag. Flussdichte (Analogie: Stromdichte J) Φ... mag. Fluss (Analogie: Strom I) Θ... mag. Durchflutung (Analogie: Quellspannung U) Es gilt: B := Φ := Φ A Θ R m_ges Θ := H b M R m_ges := liter μ A mit μ := μ 0 μ r aus Abbildung: R m_ges := R m_fe + 4 b M H aus Abbildung: Θ := R m_ges R m_ges l Fe l Luft R m_ges := + R μ 0 μ r_fe A μ 0 μ r_luft A m_ges := μ 0 A l Fe μ r_fe + l Luft μ r_luft --> B 4 b M H = A R m_ges 4 b M H μ 0 A := --> l Fe l Luft A + μ r_fe μ r_luft B := H c b M μ 0 l Luftspalt l Eisen + μ Luftspalt μ Fe
Berechnung elektrische Dämpfung - Anz ahl Windungen: N Sp := h Sp d asp d isp = 54 d Draht d Draht - Induktivität: Näherungsgleichung Zylinderspule: d asp L Sp := N Sp μ h r 0 6 =.38 0 5 H Sp (von: http://www.b-kainka.de/bastel95.htm) - elektrische Dämpfung: R L := R isp = Ω R Last := R isp (energetisch günstig) l Sp := h Sp = 6 0 3 m l Sp B N Sp b el := R Last + R L + ω err L Sp = 0.0 kg s Herleitung siehe rechts
Herleitung Formel zur Berechnung der elektrische Dämpfung Es gilt: U ind U ind i := = () R R Last + R L + jωl dx U ind := B liter N () dt F Lorentz := i liter B N (3) Dämpfung ist geschwindigkeitsabhängig --> Dämpfung durch Lorentzkraft: F Lorentz := i l B N = dx b el dt F Lorentz := U ind l B N = R Last + R L + jωl ( l B N) dx R Last + R L + jωl dt Koeffizientenvergleich: b el := R Last ( l B N) + R L + jωl ( ) l Sp B N Sp b el := R Last + R L + jω err L Sp
Berechnung der Güte 3 E F I yy - Federkonstante: c Feder := 3 l F =.99 0 3 kg s - Dämpfung: es soll gelten: b mech := b el = 0.0 kg s b := b mech + b el = 0.04 kg s m ges := 4m M + m Fe + m ZM = 0.0 kg - Dämpfungskoeffizient: b := dr c Feder m ges b --> Dämpfungsmaß: dr := = 4.067 0 3 dr := 0.005 c Feder m ges - Güte: Q := =.99 Q rund := dr dr dr =.98 Q expl := 3 E F b F h F m ges 4l F 3 l Sp R isp ω err d asp + μ h r 0 6 N Sp Sp H c b M μ 0 l Luftspalt l Eisen + μ Luftspalt μ Fe =.98 bedeutender Einfluss: N Sp U ind l Sp gering änderbar b M gering änderbar
Berechnung der Resonanzfrequenz - Eigenfrequenz: f eigen := π c Feder m ges = 40.98 s ω eigen := π f eigen = 57.498 s - Abklingkonstante: θ := dr f eigen π =.047 s θ := π f eigen Q =.047 s - Resonanzfrequenz: f resh := f eigen θ = 40.955 Ziel: f s res := f err = 40Hz ω resh := π f resh = 57.33 s a - quasi statische Auslenkung: s 0 := = 3.66 0 5 m (3m) Herleitung siehe rechts ω err Es gilt: Q := u maxausgang u maxeingang Ziel: mind. d asp = 3.5 0 3 m d asp Q mind := = 0.54 s 0 Q vorh := Q =.99 - Amplitude: s := Q s 0 = 3.89 0 3 m
f eigen_expl := π 3 E F b F h F = 40.98 3 s 4 l F m ges Schwingweg: s( t) := s 0 sin( ω t) v( t) a( t) ds := = s dt 0 ω cos( ω t) v( t) := v 0 cos( ω t) dv := = s dt 0 ω sin( ω t) = a( t) := a 0 sin( ω t) --> s 0 ω = a 0
Amplitudengang G Amplitude ( ω) := ω eigen s 0 ω + dr ω ω eigen 0.0 0 3 G Amplitude ( ω) 0 4 0 5 0 6 0 00 0 3 ω
Berechnung der induzierten Spannung und der elektrischen Leistung - induzierte Spannung: dϕ Es gilt: U ind := N --> U dt ind := N B A cos( ω t) π U ind ( t) := N Sp ω resh B d 4 asp cos ωresh t ( ) t time.. 0.0s,..0.s U ind ( t time ) 0 0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. U ind π ω resh = 0.473V t time time max := π = 0.0 s ω resh time min := π = 0.04s ω resh - elektrische Leistung: f res := f err ω res := π f resh = 57.33 s time max := 3π = 0.037 s ω resh time min := 4π = 0.049s ω resh
m ges a P el := 4 ω res dr = 0.09 W Festigkeitsberechnung Es gilt: F max m d := s = m s ω res dt F max := m ges s ω res = 5.049 N M b_max := F max l F = 0.78 J =Nm b Fe h Fe W b := 6 σ max := M b_max = 5.4 0 6 Pa W b Sicherheit gegen plastische Deformation S F := σ w = 0.4 σ max