Klassifikation planarer Systeme

Klassifikation planarer Systeme Dieser Vortrag thematisiert die Klassifikation planarer Systeme. Man klassifiziert planare Systeme um einen besseren Überblick über die verschiedenen Verhaltensweisen von linearen 2 2- Systemen zu bekommen. Dazu werden im Folgenden zunächst ein geometrischer Ansatz, das Spur-Determinanten Diagramm und anschließend noch eine dynamische Klassifikation vorgestellt. 1 Das Spur-Determinanten Diagramm Der Schlüssel um das System ( ) ( ) ( ) ( ) x a b x x y = = A c d y y zu lösen, liegt in der Bestimmung der Eigenwerte. Möchte man für eine Matrix A die Eigenwerte bestimmen, so muss man die Gleichung det(a λi) = λ 2 (a + d)λ + (ad bc) = 0 lösen. Es handelt sich hierbei um das charakteristische Polynom von A, von dem man die Nullstellen bestimmt. Dabei entspricht die Konstante ad bc der Determinante von A, auch det A = D, und der Koeffizient a + d von λ der Spur von A, auch tr A = T. Damit ergibt sich: λ 2 (tr A)λ + det A = 0 Löst man nun nach λ auf λ 1,2 = 1 2 ( ) tr A ± (tr A 2 ) 4 det A so sieht man, dass die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist, det A = λ 1 λ 2, und die Spur die Summe der Eigenwerte von A, tr A = λ 1 + λ 2. Eine Matrix A mit Determinante D und Spur T entspricht im Spur-Determinanten Diagramm dem Punkt (T, D). Der Ort des Punktes in dem Diagramm bestimmt die Geometrie des Phasenportraits. Dabei spielt das Vorzeichen der Diskriminante der Eigenwerte eine große Rolle. Es gibt folgende drei Fälle: 1) Wenn T 2 4D = 0, gibt es doppelte reelle Eigenwerte. 2) Wenn T 2 4D > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Eigenwerte. 3) Wenn T 2 4D < 0, gibt es zwei komplexe Eigenwerte. 1.1 Doppelte reelle Eigenwerte Wenn die Diskriminante gleich Null ist, also T 2 4D = 0, handelt es sich um doppelte Eigenwerte. Es gilt λ 1 = λ 2 = T 2 T 2. Solche Matrizen entsprechen den Punkten auf der Parabel D = 4. 1

Abbildung 1: Star (Quelle) 1 Ist die Spur ungleich Null, müssen diese Matrizen eine positive Determinante haben, da die Diskriminante nur dann Null werden kann. Ist die Spur gleich Null, so muss auch die Determinante Null sein und damit sind auch beide Eigenwerte Null. Eine weitere Rolle spielt das Vorzeichen der Spur. Ist die Spur positiv, so handelt es sich um eine Quelle und damit um einen instabilen Knoten. Ist sie jedoch negativ, spricht man von einer Senke und der Knoten ist stabil. 1.2 Verschiedene reelle Eigenwerte Ist die Diskriminante positiv, also T 2 4D > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Eigenwerte. Hierbei unterscheidet man zwei Fälle. Falls D < 0, spricht man von einem Sattel. Dabei läuft eine Teillösung zum Gleichgewichtspunkt hin und die andere davon weg. Da die Determinante das Produkt der beiden Eigenwerte ist, ergibt sich, dass ein Eigenwert positiv und der andere negativ ist. Abbildung 2: Sattel Ist D > 0, so können die Eigenwerte entweder beide positiv oder beide negativ sein. Sind beide positiv, so hat man eine Quelle, und sind beide negativ hat man eine Senke. Falls D = 0 und T 0, ist ein Eigenwert gleich Null. 1.3 Komplexe Eigenwerte Wenn T 2 4D < 0, gibt es zwei komplexe Eigenwerte λ 1,2 = a ± ib, die komplex-konjugiert zueinander sind und deren Imaginärteil b 0 ist. Der Realteil der Eigenwerte hängt nur von T 1 http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/ borzi/projektst.pdf 2

Abbildung 3: links: Quelle, rechts: Senke ab und damit handelt es sich auch hier für T < 0 um eine Senke und für T > 0 um eine Quelle. Es ergibt sich für T 0 ein Strudel, welcher auch als spirale Senke oder Quelle bezeichnet wird und für T = 0 ein Zentrum. Abbildung 4: links: Strudel (Quelle), rechts: Zentrum 1.4 Aufbau des Spur-Determinanten Diagramms Das Spur-Determinanten Diagramm liefert eine visuelle Zusammenfassung von allen unterschiedlichen Arten von linearen Systemen, wobei man zum Teil sogar schon Aussagen über das Verhalten der Lösungen treffen kann ohne die Eigenwerte zu berechnen. Im Spur-Determinanten Diagramm befindet sich der Wert der Spur auf der x-achse und der Wert der Determinante auf der y-achse. Außerdem ist die Parabel D = T 2 4 eingezeichnet, die Knoten und Sattel von Strudeln und Zentren trennt. Einem Punkt im Diagramm entsprechen viele unterschiedliche Matrizen, die die gleiche Eigenwert-Struktur aufweisen. Es gibt aber oft kleine Unterschiede in den Phasenportraits, wie zum Beispiel die Richtung der Drehung von Zentren und Strudeln. 3

2 Dynamische Klassifikation Abbildung 5: Spur-Determinanten Diagramm Bei der dynamischen Klassifikation planarer Systeme ist man vor allem an dem Langzeitverhalten der Lösungen der Differentialgleichungen interessiert. Dabei gelten zwei Systeme als äquivalent, wenn sich ihre Lösungen ähnlich verhalten. Zunächst benötigt man für die genaue Definition dieser dynamischen Äquivalenz den Begriff des Flusses, der bereits im ersten Vortrag eingeführt wurde. Um die Abhängigkeit der Lösung vom Anfangswert und der Zeit zu verdeutlichen, wird die Lösung im Folgenden mit Φ(t, X 0 ) = Φ t (X 0 ) bezeichnet. Diese Funktion Φ : R R 2 R 2 wird als Fluss bezeichnet. Es gilt Φ 0 (X 0 ) = X 0. Lässt man die Variable X 0 fest, so ist die Funktion t Φ t (X 0 ) nur eine alternative Ausdrucksweise für die Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung X 0 erfüllt. Zum Beispiel sei Dann ist der Fluss gegeben durch X = ( ) 2 0 X. 0 3 Φ t (x 0, y 0 ) = (x 0 e 2t, y 0 e 3t ). Zwei planare Systeme werden als dynamisch äquivalent angesehen, wenn es eine Funktion h gibt, die die beiden Flüsse ineinander überführt, wobei verlangt wird, dass h ein Homöomorphismus ist. Definition 1. Ein Homöomorphismus ist eine Funktion, die injektiv, surjektiv und stetig ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. 4

Definition 2. Angenommen X = AX und X = BX haben die Flüsse Φ A und Φ B. Die beiden Systeme sind (topologisch) konjugiert, wenn es einen Homöomorphismus h : R 2 R 2 gibt, sodass Φ B (t, h(x 0 )) = h(φ A (t, X 0 )). Der Homöomorphismus h wird als Konjugation bezeichnet. Eine Konjugation überführt die Lösungskurve von X = AX in die von X = BX. Beispiel 1. Die eindimensionalen linearen Differentialgleichungen haben die Flüsse x = λ 1 x und x = λ 2 x Φ j (t, x 0 ) = x 0 e λjt für j = 1, 2. Angenommen λ 1 und λ 2 sind nicht Null und haben dasselbe Vorzeichen dann sei h(x) = { x λ2/λ1 wenn x 0 x λ2/λ1 wenn x < 0. h ist ein Homöomorphismus in den reellen Zahlen und eine Konjugation zwischen x = λ 1 x und x = λ 2 x. Das lässt sich einfach für x 0 > 0 nachrechnen: h(φ 1 (t, x 0 )) = (x 0 e λ1t ) λ2/λ1 Der Fall x 0 < 0 folgt durch eine analoge Rechnung. = x λ2/λ1 0 e λ2t = Φ 2 (t, h(x 0 )) Um zwei Differentialgleichungen durch Konjugation ineinander zu überführen, müssen die Realteile der Eigenwerte, hier λ 1 und λ 2, dasselbe Vorzeichen haben, da ansonsten h(0) = ist und damit wäre h kein Homöomorphismus mehr. Diese Bedingung stimmt mit unserer Vorstellung von dynamischer Äquivalenz überein, denn wenn die Realteile der Eigenwerte dasselbe Vorzeichen haben, verhalten sich ihre Lösungen ähnlich. Sie tendieren entweder zum Ursprung hin oder von ihm weg. Außerdem ist festzustellen, dass, wenn λ 2 < λ 1, h im Ursprung nicht differenzierbar ist. Ist λ 1 < λ 2, so ist h 1 (x) = x λ1/λ2 im Ursprung nicht differenzierbar. Das ist der Grund weshalb h nur ein Homöomorphismus, also stetig sein muss und kein Diffeomorphismus (ein differenzierbarer Homöomorphismus mit einer differenzierbaren Umkehrabbildung). h ist nur dann auch differenzierbar, wenn λ 1 = λ 2. Damit ergibt sich eine Klassifikation linearer autonomer Differentialgleichungen erster Ordnung, die sich mit den bisherigen Beobachtungen deckt. Es gibt drei Konjugationsklassen: die Quellen, die Senken und den speziellen Fall, dass x = 0 ist und daher alle Lösungen Konstanten sind. Eine Konjugation zwischen planaren Systemen funktioniert ganz ähnlich wie die bei Differentialgleichungen. Zunächst ist festzuhalten, dass man sich nur mit Konjugationen zwischen Systemen mit Matrizen in kanonischer Form beschäftigen muss. Wie bereits im dritten Vortrag gezeigt wurde, bringt die lineare Abbildung T : R 2 R 2 eine Matrix in kanonische Form. 5

Möchte man eine Konjugation zwischen zwei Matrizen à und B zeigen, wobei à und B noch nicht in kanonischer Form sind, dann existieren zwei Abbildungen T und S, sodass T 1 ÃT = A à = T AT 1 und S 1 BS = B B = SBS 1 und A und B in kanonischer Form sind. Es ergibt sich, dass ein Homöomorphismus h = S 1 h T existiert, der A und B konjugiert. Daraus folgt, dass es auch einen Homöomorphismus h = S h T 1 gibt, der à und B konjugiert, denn die Abbildungen T und S sind bijektiv und stetig und damit ist h als Komposition stetiger, bijektiver Funktionen ebenfalls stetig und bijektiv. Im Folgenden wird allerdings nur der Fall betrachtet, in dem der Realteil der Eigenwerte ungleich Null ist. Definition 3. Eine Matrix A wird als hyperbolisch bezeichnet, wenn keiner ihrer Eigenwerte einen Realteil gleich Null hat. Man sagt dann auch, dass das System X = AX hyperbolisch ist. Satz 1. Seien die 2 2-Matrizen A 1 und A 2 hyperbolisch. Dann sind die linearen Systeme X = A i X genau dann konjugiert, wenn beide Matrizen die gleiche Anzahl an Eigenwerten mit negativem Realteil haben. Zwei Matrizen bilden also genau dann ein konjugiertes lineares System, wenn ihre Eigenwerte in dieselbe Kategorie fallen: 1. Ein Eigenwert ist positiv und der andere negativ. 2. Beide Eigenwerte haben einen negativen Realteil. 3. Beide Eigenwerte haben einen positiven Realteil. Das bedeutet, dass ein System, dessen Phasenportrait einem Strudel zum Ursprung hin entspricht, konjugiert zu einem System mit reellen Eigenwerten ist, falls dessen Phasenportrait ebenfalls einer Senke entspricht. Denn obwohl die Phasenportraits der beiden Systeme sehr unterschiedlich aussehen, ist das Langzeitverhalten ihrer Lösungen gleich. Sie laufen für t zum Ursprung hin. Beweis 1. Ausgehend davon, dass alle Matrizen in kanonischer Form sind, gliedert sich der Beweis in drei verschiedene Fälle: Fall 1. Angenommen man hat zwei lineare Systeme X = A i X (i = 1, 2), sodass jede Matrix A i Eigenwerte λ i < 0 < µ i hat. Beide Systeme haben also einen Sattel im Ursprung. Wie bereits gezeigt wurde, kann man reelle Differentialgleichungen x = λ i x mit dem Homöomorphismus h 1 (x) = { x λ2/λ1 wenn x 0 x λ2/λ1 wenn x < 0 konjugieren. Analog lässt sich eine Funktion h 2 für die Differentialgleichungen y = µ i y definieren. Definiert man nun den Homöomorphismus H(x, y) = (h 1 (x), h 2 (y)), so liefert H eine Konjugation zwischen den beiden Systemen. 6

Fall 2. Sei X = AX und A in kanonischer Form mit Eigenwerten mit negativem Realteil. Des weiteren soll die Matrix A nicht in der Form ( ) λ 1 0 λ mit λ < 0, sondern in einer der beiden folgenden Formen: ( ) ( ) α β λ 0 (a) (b) β α 0 µ mit α, β, µ < 0. Im folgenden wird gezeigt, dass sowohl (a) als auch (b) zu dem System X = BX konjugiert ist, wobei ( ) 1 0 B =. 0 1 Damit folgt dann, dass alle Systeme die von Form (a) oder (b) sind, konjugiert zueinander sind. Dass Matrizen der Form (b) konjugiert zu B sind, folgt ähnlich wie in Fall 1. Um dies auch für Matrizen der Form (a) zu zeigen, betrachtet man zunächst den Einheitskreis, der durch die Kurve X(Θ) = (cos Θ, sin Θ), 0 Θ 2π dargestellt wird. Dieser Kreis wird auch als S 1 bezeichnet. Zuerst soll gezeigt werden, dass das Vektorfeld, das durch die Matrix der Form (a) bestimmt wird, in S 1 hinein zeigt. Das Vektorfeld ist gegeben durch ( ) α cos Θ + β sin Θ AX(Θ) =. β cos Θ + α sin Θ Der Normalenvektor von S 1 im Punkt X(Θ), der aus S 1 heraus zeigt, ist gegeben durch ( ) cos Θ N(Θ) =. sin Θ Bildet man das Skalarprodukt dieser Vektoren, so stellt man fest, dass es negativ ist, womit gezeigt ist, dass AX(Θ) nach S 1 herein zeigt. AX(Θ) N(Θ) = α(cos 2 Θ + sin 2 Θ) < 0 (da α < 0) Daraus folgt, dass jede Lösung, die ungleich Null ist, S 1 genau einmal schneidet. Sei Φ A t (x, y) der Fluss von diesem System und sei τ = τ(x, y) der Zeitpunkt an dem Φ A t (x, y) S 1 schneidet. Dann gilt Φ A τ(x,y) (x, y) = 1. Sei Φ B t der Fluss des Systems X = BX, also Φ B t (x, y) = (xe t, ye t ). Dann ist die Konjugation H zwischen den beiden Systemen für (x, y) (0, 0) definiert durch H(x, y) = Φ B τ(x,y) ΦA τ(x,y) (x, y) und H(0, 0) = (0, 0). Geometrisch kann man sich den Wert von H(x, y) so vorstellen, als würde man der Lösungskurve von X = AX genau τ(x, y) Zeiteinheiten folgen(vorwärts oder rückwärts) bis man S 1 erreicht. Anschließend folgt man der Lösungskurve von X = BX von dem Punkt auf S 1 aus genau τ(x, y) Zeiteinheiten in die entgegengesetzte Richtung der Zeit. 7

Abbildung 6: Definition von τ(x, y) Außerdem gilt für τ(x, y) sodass Damit folgt τ(φ A s (x, y)) = τ(x, y) s, Φ A τ sφ A s (x, y) = Φ A τ (x, y) S 1. H(Φ s (x, y)) = Φ B τ+sφ A τ s(φ A s (x, y)) = Φ B s Φ B τ Φ A τ (x, y) = Φ B s (H(x, y)). Es bleibt noch zu zeigen, dass H auch ein Homöomorphismus ist. Eine Umkehrabbildung von H lässt sich leicht konstruieren, wenn man den Vorgang, der H definiert, umkehrt. Für die Umkehrabbildung G gilt also G(x, y) = Φ A τ 1(x,y) ΦB τ 1(x,y) und G(0, 0) = (0, 0). Dabei ist τ 1 (x, y) die Zeit nach der die Lösung von X = BX durch (x, y) S 1 erreicht. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass τ 1 (x, y) = log r, wobei r 2 = x 2 + y 2. Da G = H 1, ist H injektiv und surjektiv. G ist außerdem stetig in (x, y) (0, 0), da G geschrieben werden kann als ( x G(x, y) = Φ A log r r, y ), r was als Komposition stetiger Funktionen stetig ist. Um die Stetigkeit in (0, 0) zu zeigen, nimmt man an, dass (x, y) nah am Ursprung ist, sodass der Wert von r klein ist. Wenn r 0, gilt log r. ( x r, y r ) ist ein Punkt auf S1 und wenn r hinreichend klein ist, bildet Φ A log r den Einheitskreis in die Nähe von (0,0) ab. Damit ist gezeigt, dass G stetig in (0, 0) ist. Außerdem muss H stetig sein, damit es sich um einen Homöomorphismus handelt. Dafür muss gezeigt werden, dass τ(x, y) stetig ist. τ ist durch folgende Gleichung bestimmt: Φ A t (x, y) = 1 Sei Φ A t (x, y) = (x(t), y(t)) und sei die Funktion F definiert durch F (τ, x, y) = Φ A t (x, y) 1 = 0. Dann gilt für die partielle Ableitung: 8

t ΦA t (x, y) = (x(t))2 + (y(t)) t 2 1 = (x(t))2 + (y(t)) 2 (x(t)x (t) + y(t)y (t)) = 1 Φ A t (x, y) (( ) x(t) y(t) ( )) x (t) x (t) Das letzte Produkt ist für t = τ(x, y) ungleich Null, da das Vektorfeld, dass durch (x (t), y (t)) gegeben ist, in S 1 herein zeigt. Also folgt t ΦA t (x, y) 0. Mit dem Satz über implizite Funktionen folgt somit, dass τ differenzierbar im Punkt (x, y) und damit auch stetig ist. Die Stetigkeit von H im Ursprung folgt analog wie im Fall G = H 1. H ist also ein Homöomorphismus und damit gibt es eine Konjugation zwischen X = AX und X = BX. Der Beweis von Fall 2 funktioniert nach dem gleichen Prinzip, wenn die Eigenwerte beide einen positiven Realteil haben. Fall 3. In diesem Fall werden abschließend noch Matrizen der Form ( ) λ 1 0 λ mit λ < 0 betrachtet. Das durch diese Matrix bestimmte Vektorfeld muss nicht in S 1 hinein zeigen. Deswegen konvertiert man die Lösungen von X = AX mit Hilfe der linearen Abbildung T zu Lösungen des Systems Y = (T 1 AT )Y, wobei ( ) 1 0 T =. 0 ɛ Das durch die Matrix T 1 AT = ( ) λ ɛ 0 λ bestimmte Vektorfeld hat die Eigenschaft, dass es in S 1 hinein zeigt, wenn ɛ hinreichend klein ist. Für das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von S 1 gilt: ( ( )) ( ) T 1 cos Θ cos Θ AT = λ + ɛ sin Θ cos Θ sin Θ sin Θ Wählt man ɛ < λ, ist das Skalarprodukt negativ, womit man sich wieder in der gleichen Situation wie in Fall 2 befindet und der Beweis dementsprechend gleich ist. Ist λ > 0 erfolgt der Beweis von Fall 3 analog zum Fall λ < 0. Damit ist der Beweis der Rückrichtung komplett. Alle Matrizen lassen sich in kanonische Form bringen und haben sie dann die gleiche Anzahl an Eigenwerten mit negativem Realteil, folgt, dass sie konjugiert sind. 9

Es bleibt zu zeigen, dass, wenn es eine Konjugation zwischen zwei hyperbolischen Matrizen gibt, sie eine gleiche Anzahl an Eigenwerten mit negativem Realteil haben müssen. Äquivalent zu dieser Aussage ist, dass, wenn zwei Matrizen eine unterschiedliche Anzahl solcher Eigenwerte haben, es keine Konjugation zwischen ihnen geben kann. Auch hier gliedert sich der Beweis in unterschiedliche Fälle, abhängig von den Eigenwerten der Matrizen. Exemplarisch wird die Aussage in einem Fall bewiesen. Fall 1. Seien die Eigenwerte reell und verschieden. Für die Eigenwerte der Matrix A 1 soll λ 1 < 0 < µ 1 und für die der Matrix A 2 soll λ 2, µ 2 < 0 gelten. Außerdem soll für die Flüsse von A 1 und A 2 folgendes gelten: Φ A1 t (x, y) = (xe λ1t, ye µ1t ) Φ A2 t (x, y) = (xe λ2t, ye µ2t ) Angenommen es existiert ein Homöomorphismus H = (h 1, h 2 ), sodass Φ A2 t (H(x, y)) = H(Φ A1 t (x, y)) H 1 (Φ A2 t (h 1 (x), h 2 (y))) = Φ A1 t (x, y). Dann müsste H 1 (0, 0) = (0, ) und damit h 2 (0) = sein. Es gäbe eine Singularität bei Null und damit wäre H 1 nicht mehr stetig. Es kommt also zum Widerspruch, womit gezeigt ist, dass in einem solchen Fall keine Konjugation existieren kann. Die anderen Fälle funktionieren nach einem ähnlichen Prinzip, weshalb hier nicht näher auf sie eingegangen wird. 3 Literatur [1] Differential Equations, Dynamical System and an Introduction to Chards, Mirros W. Hirsch, Stehen Smale, Robert L. Devaney, Adacemic Press 2012 10