Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 4. Teil
Finite-Volumen-Methode (2) Formulierung in konservativer Form: Anwendung auf ein finites Kontrollvolumen V p : Fluss durch die Oberfläche (zum Beispiel Oberfläche AB): Ausführung für alle Seiten: 4-1
Beispiel: Instationäre Diffusionsgleichung ohne Quellterme bzw.: Umformung mir dem Gaußschen Integralsatz: Die Flussfunktion lautet: Anwendung auf das finite Volumen: 4-2
Beispiel: Bilanz am kartesischen Kontrollvolumen V ij für äquidistante Gitter: Wahl der diskreten Flussformulierung (zentrale Differenz um die Zellfläche) liefert und analog: Es folgt also die bekannte diskrete Formulierung mit zentralen Differenzen: 4-3
Übung: Formulieren Sie mit der Finiten-Volumen-Methode eine diskrete Form der instationären Diffusionsgleichung für ein nichtkartesisches Kontrollvolumen nach der Skizze. 4-4
Diskrete Formulierung des konvektiven Transports Die bisher betrachteten Beispiele enthielten alle den Transport einer Größe durch Diffusion. Dieser Transport ist grundlegend für Ausgleichsvorgänge in Festkörpern. Bei Strömungsproblemen kommt ein wesentlicher Transport durch Konvektion zustande. Ein typisches Beispiel ist die Ausbildung einer Temperaturverteilung in einer Strömung. Eine Einschränkung auf inkompressible Strömungen vereinfacht die Betrachtung wesentlich, da das Geschwindigkeitsfeld vom Temperaturfeld nicht beeinflusst wird. Für eine erste Betrachtung kann deshalb das Geschwindigkeitsfeld als gegeben angenommen werden (Berechnung in einem vorausgegangenen Schritt). 4-5
Differentialgleichung des eindimensionalen konvektiv-diffusiven Transports Für inkompressible, eindimensionale Strömungen lautet die Differentialgleichung für das ein skalares Feld φ Darin sind ρ die Dichte und u die Strömungsgeschwindigkeit. Die Differentialgleichung lässt sich mit der Kontinuitätsgleichung konservativ formulieren. Es ergibt sich: 4-6
Untersuchung dieses Standardtypes in mehreren Schritten 1. Stationärer Fall ohne Quellterm: Ferner gilt die Kontinuitätsgleichung: Finite-Volumen-Bilanz der Dgl. für Zelle i liefert: Dies bedeutet: die über die Zellgrenzen ein- und austretenden konvektiven und diffusiven Flüsse sind in der Summe gleich groß. 4-7
Weitere Diskretisierung des Diffusionsterms: Zur Darstellung der Flüsse des Konvektionsterms an den Zellgrenzen bestehen viele Möglichkeiten. Die zunächst naheliegende Annahme stückweiser linearer Profile führt auf eine lineare Interpolation der an den Zellzentren gespeicherten Werten. Sind die Grenzen des roten Kontrollvolumens mittig zu den Knoten angeordnet, folgt: Das Ergebnis ist eine zentrale Diskretisierung der Ableitungen der Differentialgleichung. 4-8
Wird ein Stufenprofil angenommen, besteht eine Wahlmöglichkeit, da die Zellgrenze mit der Sprungstelle zusammenfällt. Diese einseitige Formulierung hat, obwohl sie zunächst als die gröbere Diskretisierung erscheint, entscheidende Vorteile, da sie die Physik des konvektiven Terms besser abbilden kann Upwind-Diskretisierung. Bem.: Die Stellen w, e müssen sowohl bei der Formulierung des Diffusionsflusses als auch bei der Formulierung des konvektiven Flusses nicht notwendig in der Mitte zwischen W und p bzw. p und E liegen. 4-9
Übung: Untersuchen Sie die Konsistenz und die Stabilität der vorgeschlagenen Diskretisierung wenn der konvektive Term und der diffusive Term zentral diskretisiert werden. 4-10
Upwind-Diskretisierung des Konvektionsterms Gegenüber der zentralen Diskretisierung stellt die Upwind-Diskretisierung eine an die physikalische Bedeutung des Konvektionsterms besser angepasste Diskretisierung des Konvektionsterms stellt Dabei wird im einfachsten Fall der Wert an der Bilanzgrenze gleich gesetzt mit dem Wert der Funktion stromauf der Bilanzfläche: bzw. Die Überlegenheit der Upwind-Diskretisierung wird im folgenden begründet. Übung: Überprüfen Sie die Konsistenz und die Stabilität der Upwind-Diskretisierung! Welche Ordnung hat der Abbruchfehler der Reihenentwicklung? Vergleichen Sie dies mit derjenigen Fehlerordnung der zentralen Diskretisierung! 4-11
Upwind-Diskretisierung des Konvektionsterms mit einem Verfahren höherer Ordnung Das dargestellte Upwind-Verfahren ist auch auf äquidistanten kartesischen Gittern nur von erster Ordnung im Raum genau. Es gibt verbesserte Upwind-Verfahren wie QUICK, welches statt des Stufenprofils eine quadratische Approximation der räumlichen Verteilung der abhängigen Variable auf drei stromauf versetzten Gitterpunkten ansetzt und daher auf äquidistanten Gittern eine Genauigkeit zweiter Ordnung erreicht. 4-12
Ableitung der exakten Lösung der Modellgleichung Zur Untersuchung der Bedeutung der Upwind-Diskretisierung soll die exakte Lösung der Differentialgleichung im Intervall angegeben und untersucht werden. Es sollen folgenden Randbedingungen gelten: Die Lösung für diese Randbedingungen lautet dann: mit der Peclet-Zahl Die das Verhältnis von Konvektion/Diffusion repräsentiert. 4-13
Lösung des Problems im Intervall mit lautet: mit der Peclet-Zahl: 4-14
Die Lösung zeigt, dass die Annahme einer linearen Verteilung für die Erhaltungsgröße φ (Diskretisierung zweiter Ordnung mit zentralen Differenzen) nur für sehr kleine Peclet-Zahlen eine gute Approximation der exakten Lösung darstellt. Für große Peclet-Zahlen ist die Annahme der Upwind-Diskretisierung wesentlich näher an der exakten Lösung. Allerdings überbewertet die Upwind-Diskretisierung im Allgemeinen die Diffusion. Dies erkennt man für eine geringe Anzahl von Gitterpunkten und für große Peclet- Zahlen. Idee: Die exakte Lösung kann genutzt werden, um den Wert der Bilanzgröße an der jeweiligen Zellfläche entsprechend der örtlichen Größe der Peclet-Zahl genauer zu approximieren. Die exakte Lösung ersetzt also die Stufenapproximation für die Bilanzgröße! Gleichzeitig wird bei diesen Verfahren in der diskreten Formulierung konvektiver und diffusiver Fluss in einem einzigen Ausdruck erfasst. 4-15
Übung: Formulieren Sie ein verbessertes Diskretisierungs-Schema für die Konvektions- Diffusionsgleichung unter Ausnutzung der exakten Lösung. Zeigen Sie, dass daraus die algebraische Beziehung mit und 4-16
Hybrides Diskretisierungsschema Die Anwendung des Verfahrens auf Basis der exakten Lösung ist teuer, da für die Auswertungen der Koeffizienten a i sehr viele Auswertungen der Exponentialfunktion durchgeführt werden müssen. Um diesen Nachteil zu beseitigen, sind hybride Schemata vorgeschlagen worden. Dazu wird die Funktion bereichsweise angenähert. 4-17
Hybrides Diskretisierungsschema (Forts.) Bereichsweise Annäherung der Funktion 1. Pe e > 0 (der Knoten E ist stromab, kleiner Einfluss für wachsende Peclet-Zahl) 2. Pe e < 0 (der Knoten E ist stromauf, großer Einfluss dieses Nachbarn für abnehmende Peclet-Zahl. 3. Pe = 0 (keine Konvektion) 4-18
Hybrides Diskretisierungsschema (Forts.) Bereichsweise Annäherung der Funktion Es werden folgende Geraden genutzt: Pe e < 2: -2 < Pe e < 2: Pe > 2: Oder: Das hybride Verfahren ist eine Kombination aus zentralen Differenzen und Upwind-Differenzen, wobei die lokale Peclet-Zahl die Anteile steuert. 4-19
Hybrides Diskretisierungsschema (Forts.) Weitere Verbesserung: Große Abweichungen bei der Annäherung der exakten Funktion durch die Geradenstücke entstehen besonders für Pe 2. Abhilfe liefern folgende Potenz-Ansätze: 4-20
2. Praktikumsaufgabe Formulieren Sie Diskretisierungen für die inkompressible, zweidimensionale und instationäre Konvektions-Diffusionsgleichung auf kartesischem Gitter, bei denen Sie für die konvektiven Flüsse wahlweise die zentrale Formulierung oder die einfache Upwind-Formulierung und für die diffusiven Flüsse grundsätzlich die zentrale Approximationen vorsehen. Dabei sei ein vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld angenommen, das die Kontinuitätsgleichung erfüllt! 2. Schreiben Sie einen Code, für die numerische Integration der Konvektions-Diffusionsgleichung! 3. Testen Sie ihren Code gegen die analytische Lösung auf einem vorgegebenen Intervall für positive und negative Konvektionsgeschwindigkeiten! Welches Verhalten zeigt die Lösungen mit ausschließlich zentraler Diskretisierung bei wachsendem Einfluss der Konvektion? 4-21