VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Freitag: Lineare Gleichungssysteme, Mengen, Logik, Induktion Nachdem wir gestern eine kurze Einführung in die Vektorgeometrie hatten, wollen wir dies nun anwenden und uns mit Linearen Gleichungssystemen beschäftigen. Es gibt eine sehr elegante Art und Weise, wie solche gelöst werden können. Dafür benutzt man sogenannte Matrizen. Im zweiten bis vierten Teil des heutigen Tages bekommen wir schliesslich noch einen Einblick in die tieferen Gefilden der Mathematik: Mengenlehre, Logik und schliesslich noch eine wichtige Art und Weise der Beweisführung, die Induktion. Lineare Gleichungssysteme. Betrachte die Punkte p = (1, 1) und q = (5, ). Wie bestimmt man nun eine Gleichung für die Gerade durch p und q? Nun, eine solche Gleichung hat die Form ax + by = c und wird also durch die drei Parameter (a, b, c) eindeutig festgelegt. Damit wirklich eine Gerade definiert wird, darf ausserdem (a, b) nicht gleich dem Nullvektor sein; weiter legt (ra, rb, rc) die gleiche Gerade fest wie (a, b, c), für alle r R ungleich null. Damit p und q auf der von (a, b, c) bestimmten Gerade liegen, muss gelten 1 a + ( 1) b = c 5 a + b = c. In diesem Abschnitt schlagen wir ein systematisches Verfahren vor, solche Gleichungen zu lösen. In diesem Beispiel kann man wie folgt vorgehen: ziehe 5 mal die erste Gleichung von der zweiten ab und erhalte 1 a + ( 1) b = c 0 a + 7 b = 4c. Bemerke, dass jede Lösung des ursprünglichen Gleichungsystems eine Lösung des neuen Systems ist: Wir haben eine Äquivalenzumformung ausgeführt. Teile nun die zweite Gleichung durch 7: 1 a + ( 1) b = c 0 a + 1 b = ( 4/7)c, und addiere die zweite Gleichung zur Ersten: 1 a + 0 b = (3/7)c 0 a + 1 b = ( 4/7)c. Wir haben herausgefunden, dass es zu jedem c R eine Lösung dieses Systems (und auch des ursprünglichen Systems) gibt, und zwar (a, b) = ((3/7)c, ( 4/7)c). 1
DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Damit (a, b) tatsächlich nicht null ist, müssen wir c ungleich 0 wählen, und wir erhalten als Gleichung für die Gerade durch p und q zum Beispiel 3x 4y = 7. Wir versuchen jetzt, oben stehende Rechnungen mit weniger Aufwand aufzuschreiben, ohne dass die Bedeutung sich ändert! Definition 1. Eine -Matrix ist ein -Block reeller Zahlen: m11 m M = 1 m 1 m mit m 11, m 1, m 1, m R. Diese Zahlen heissen die Einträge der Matrix. Eine Matrix hat Zeilen und Spalten. Die Menge aller -Matrizen bezeichnen wir mit R. In diesem Abschnitt schreiben wir v = (s 1, s ) R als eine Spalte s1 v =, s und s 1, s heissen die Einträge von v. Wir definieren nun die Matrix-Vektormultiplikation wie folgt: m11 m M v = 1 s1 m11 s := 1 + m 1 s. m 1 m s m 1 s 1 + m s Das Ergebnis M v ist also wieder ein Vektor, dessen Einträge die Skalarprodukte der zwei Zeilen von M mit der Spalte v sind. Was nützt diese Definition? Nun, das ursprüngliche Gleichungssystem für a, b und c können wir nun aufschreiben als ( ( 1 1 a c =. 5 b) c) Betrachte nun ein allgemeines Gleichungssystem von der Form M v = w, wobei M eine gegebene Matrix mit Einträgen m ij, w eine gegebene Spalte in R mit Einträgen t 1, t und v der gesuchte Vektor ist. Eine solche Gleichung lässt sich kurz aufschreiben durch m11 m (1) 1 t 1. m 1 m t Jede Zeile dieses Systems entspricht einer linearen Gleichung in den Einträgen von v. Um dieses System zu lösen, lassen wir folgende drei Äquivalenzumformungen zu: (1) Eine Zeile darf mit einer reellen Zahl ungleich null multipliziert werden, () zwei Zeilen dürfen vertauscht werden und (3) eine Zeile darf zu einer Anderen addiert werden. Diese Umformungen nennen wir elementare Zeilenoperationen. Nun kommt die wichtige Eigenschaft solcher linearen Systeme. Satz. Jedes System von der Form (1) lässt sich durch elementare Zeilenoperationen zu einem System transformieren, das eine der folgenden Formen hat:
VORKURS MATHEMATIK 3 (1) 1 0 t 1 0 1 t (und die einzige Lösung ist (t 1, t )), () m 11 m 1 t 1 0 0 t wobei m 11 und m 1 nicht beide null sind (falls t = 0 formen die Lösungen eine Gerade im R, sonst gibt es keine Lösungen), oder 0 0 t 1 0 0 t (dann ist die Lösungsmenge R, falls t 1 = t = 0 und sonst leer). Das Verfahren, ein Gleichungssystem durch elementare Zeilenoperationen auf eine der 3 oben stehenden Formen zu bringen, heisst Gaußsche Elimination, nach dem Erfinder Gauß. Beispiel 3. Was ist die Lösungsmenge des Systems 1 1? 1 1 3 Nun, rechne wie folgt: 1 1 1 1 3 ( 1 1 0 3 4 ) also ( 5/3, 4/3) ist die einzige Lösung. Aufgaben! ( 1 1 0 1 4/3 ) ( 1 0 5/3 0 1 4/3 Mengen und Abbildungen. Bis jetzt haben wir einige mehr oder weniger konkrete Objekte in der Mathematik kennengelernt, wie Zahlen, Funktionen, Graphen, ebene Figuren, Vektoren und Matrizen. Heute kommt ein neues Konzept dazu, dass einfach zu verstehen, aber von grundlegender Bedeutung in der Mathematik ist: die Menge. Eine Menge kann auf zwei Weisen angegeben werden: in aufzählender Form oder in beschreibender Form. In der aufzählenden Form listet man die Elemente der Menge zwischen geschweiften Klammern auf, von Kommas getrennt, wie in: (1) {Joanna Kania, Ruth Lawrence, Anna Beliakova} () {1,, 3, 4, 6, 1}, (3) {, 4, 6, 8,...}, (4) {{}, {0}, {1}, {0, 1}}, wobei (5) {} =: die leere Menge ist. Zwei Mengen werden als dieselbe Menge betrachtet, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Jedes Element kommt dabei nur einmal in der Menge vor, und es kommt nicht auf die Reihenfolge an, in der die Elemente aufgelistet werden. So gilt zum Beispiel {0, 1, } = {0,, 1} und {0, 0, 1} = {1, 0}. Um anzugeben, dass x ein Element von M ist, schreiben wir x M. Wenn das nicht der Fall ist, so schreiben wir x M. Wählt man einige Elemente aus einer Menge M, so bilden die zusammen wieder eine Menge N, die in M enthalten ist. ),
4 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Man nennt N Teilmenge von M und schreibt N M oder M N. Auch N = und N = M werden als Teilmenge von M betrachtet. So gilt zum Beispiel {0, 1} {1, 0, }, aber {1, 0, } {Anna Beliakova}. In der beschreibenden Form werden die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt. Oft wird eine Menge N beschrieben als die Teilmenge einer grösseren Menge M, die genau diejenigen Elemente enthält, die eine gewisse Eigenschaft E haben. Notation: Zum Beispiel: N = {m M m hat die Eigenschaft E}. (1) M = { Mathematikprofessorinnen } und N = {m M in Knotentheorie }, () {m N m teilt 1}, (3) {m N m ist gerade}, (4) { die Teilmengen von {0, 1} }. Diese vier Mengen sind dieselben wie die vorher erwähnten Beispiele. Es gibt drei wichtige Operationen auf zwei Mengen M und N: Durchschnitt: M N (gelesen: M geschnitten mit N) bezeichnet die Menge aller Elemente, die sowohl in M als auch in N liegen. Es gilt also: M N = {x M x N} = {x N x M}. Vereinigung: M N (gelesen: M vereinigt N) bezeichnet die Menge aller Elemente, die in M oder in N liegen. Dabei ist das oder nicht exklusiv zu verstehen, das heisst: Ein Element, das sowohl in M als in N liegt, gehört auch zu M N. Anders formuliert: M N M N gilt immer. Differenz: M \ N (gelesen: M ohne N) bezeichnet die Menge aller Elemente von M die nicht in N liegen. Also: M \ N = {x M x N}. Beispiel 4. Sei M = {m N m ist gerade} und N = {m N 3 ist Teiler von m}. Dann gilt: (1) M N = {, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 1, 14, 15,...}, () M N = {6, 1, 18,...} = {m N 6 ist Teiler von m} (Beweis!), und (3) M \ N = {, 4, 8, 10, 14, 16,...}. Will man beweisen, dass zwei Mengen M und N gleich sind, so muss man zeigen, dass jedes Element von M in N enthalten ist und umgekehrt. Ein solcher Beweis sieht also aus wie folgt: (1) Sei m M. () Beweisführung (3) (Zwischenresultat:) Also liegt m N. (Dies zeigt M N.) (4) Sei n N. (5) Beweisführung (6) (Zwischenresultat:) Also liegt n M. (Dies zeigt N M.) (7) (Schluss:) Also ist M = N. Will man nur M N beweisen, so genügt natürlich die erste Hälfte.
VORKURS MATHEMATIK 5 Kartesisch Produkt. Aus zwei Mengen M und N bildet man eine zweite Menge M N, das kartesische Produkt von M und N, wie folgt: M N := {(m, n) m M und n N}. Die Elemente dieser Menge sind also alle Paare. Beispiel 5. Die Ebene R ist R R. Deren Teilmenge {0, 1} R ist die Vereinigung der zwei Geraden mit Gleichungen x = 0 und x = 1. Fenn-Diagramme. Nicht näher spezifizierte Mengen, und deren Durchschnitte, lassen sich anschaulich zeichnen mit Fenn-Diagrammen. Mit denen erhält man oft eine gute Intuition, welche Beziehungen zwischen Mengen bestehen können. Sie reichen aber nicht aus, um eine solche Beziehung zu beweisen; zu diesem Zweck soll man immer vorgehen wie oben gezeigt wurde. Beispiel 6. Zeigen wir A (B C) = (A B) (A C) (Distributivitätsgesetz). Abbildungen. Eine Abbildung f von einer Menge M nach einer Menge N ist eine Vorschrift, die jedem Element m von M ein einziges Element f(m) (gelesen: f von m, oder das Bild von m unter f) von N zuordnet. Notation: f : M N, m f(m). Die reellen Funktionen, mit denen wir uns ausführlich beschäftigt haben, waren also Abbildungen von einer Teilmenge von R nach R. Beispiel 7. (1) Sei M die Menge aller Menschen die jemals gelebt haben. Dann ist v : M M, m der Vater von m eine Abbildung von M nach M. () p : n n + 1 ist eine Abbildung von N 0 nach N. (3) Sei P die Menge aller endlichen Teilmengen von N. Dann ist eine Abbildung von N nach P. t : N P, n {m N m teilt n} Wichtige Eigenschaften, welche Abbildungen haben können, werden in der folgenden Definition aufgelistet. Definition 8. Eine Abbildung f : M N heisst: (1) injektiv, falls die f-bilder zweier verschiedener Elemente auch immer verschieden sind. () surjektiv, falls jedes Element von N das Bild von (mindestens) einem Element aus M ist. (3) bijektiv, falls f sowohl injektiv als auch surjektiv ist, d.h. falls jedes Element von N das Bild eines eindeutigen Elementes aus M ist. Beispiel 9. Bei den Beispielen oben ist v weder injektiv (weil verschiedene Menschen den gleichen Vater haben können), noch surjektiv (weil nicht jeder Mensch Vater ist). Die Abbildung p ist bijektiv, und die Abbildung t ist injektiv (weil die Teiler einer Zahl die Zahl eindeutig festlegen), aber nicht surjektiv (weil z.b. {1,, 3} eine endliche Teilmenge von N ist, aber nicht aus allen Teilern einer festen Zahl besteht). Aufgaben!
6 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Logik. Die Grundtätigkeit einer Mathematikerin, oder eines jeden, der Mathematik anwenden möchte, ist logisch Argumentieren. Manche können das von sich aus, andere brauchen Übung. Es gibt aber einige Regeln, die immer zu beachten sind, und die, obwohl sie an sich einleuchtend sind, in komplizierten Argumenten manchmal vergessen werden. Einige dieser Argumentationsregeln werden wir hier kennenlernen. Mathematik dreht immer um (mathematische) Aussagen. Eine Aussage ist eine Behauptung, die, in dem Kontext, in dem sie geäussert wird, entweder wahr oder falsch ist. Ob die Wahrheit der Aussage einfach nachzuprüfen ist, ist dabei irrelevant wichtig ist nur, dass diese Wahrheit, jedenfalls in Theorie, objektiv festzustellen ist. Beispiel 10. Aussagen sind zum Beispiel: (1) Basel liegt am Rhein. () Der Wal ist ein Fisch. (3) 4 ist eine Primzahl. (4) (Unter der Voraussetzung dass x eine gewisse reelle Zahl ist:) x ist Nullstelle eines Polynoms ungleich null mit ganzzahligen Koeffizienten. (5) (Wenn A und B gewisse Mengen sind:) A B. In den letzten zwei Beispielen steht der Kontext zwischen Klammern; er besteht aus allen Voraussetzungen, die gestellt wurden bis zu dem Punkt, wo die Aussage getan wird. Natürlich sind nur die letzten drei Aussagen mathematisch. Keine Aussagen sind zum Beispiel: (1) Rot ist schöner als blau. () (Unter der Voraussetzung dass A eine Menge ist:) ist ein Teiler von A. Im ersten Fall, weil ein objektives Kriterium fehlt, um festzustellen ob eine Farbe schöner ist als eine Andere; im zweitem Fall, weil wir nicht wissen, was es heissen würde, dass eine Zahl eine Menge teilt. Es gibt drei wichtige Verknüpfungen, mit denen man aus Aussagen in einem gewissen Kontext neue Aussagen in demselben Kontext bilden kann: Negation: die Negation (oder Verneinung) A einer Aussage A (gelesen: nicht A) ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist. Und-Verknüpfung: Sind A und B Aussagen, so ist A B (gelesen: A und B) die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A und B es beide sind. Oder-Verknüpfung: Sind A und B Aussagen, so ist A B (gelesen: A oder B) die Aussage die genau dann wahr ist, wenn A es ist oder B es ist. Hier ist das oder nicht exklusiv zu verstehen, d.h. A B ist auch dann wahr, wenn A und B es beide sind. Beispiel 11. (1) Ist A die Aussage Basel liegt am Rhein, so ist A die Aussage Basel liegt nicht am Rhein. () Ist A die Aussage 3 ist eine Primzahl und B die Aussage 3 > 7, so ist A B die Aussage 3 ist eine Primzahl und grösser als 7. (3) Ist A die Aussage Es regnet morgen und B die Aussage Ich komme morgen nicht zur Vorlesung, so ist ( A) B die Aussage es regnet morgen nicht, oder ich komme morgen nicht zur Vorlesung. Bemerke, dass die letzte Aussage sich auch so interpretieren lässt: wenn es morgen regnet, dann komme ich nicht zur Vorlesung. Diese Verknüpfung: wenn A,
VORKURS MATHEMATIK 7 dann B, schreibt man A B. Aus der natürlichen Sprache ist man gewohnt, dass dann zwischen A und B eine gewisse Kausalität besteht. Oft ist das auch in der Mathematik tatsächlich der Fall, aber es muss nicht so sein. So ist zum Beispiel die Aussage wenn 4 gerade ist, dann ist 7 eine Primzahl wahr, ohne dass eine deutliche Beziehung zwischen den beiden Aussagen besteht. Die genaue Bedeutung von A B wird von dem letzten Beispiel oben suggeriert, nämlich: A B heisst nichts anders als ( A) B. Zugegeben, diese Interpretation von bedürft einige Gewöhnung. Die letzte wichtige Verknüpfung zweier Aussagen ist die Äquivalenz, geschrieben A B und gelesen A genau dann wenn B. Diese Aussage bedeutet dasselbe wie (A B) (B A). Aufgaben! Induktion. Zum Schluss betrachten wir jetzt noch eine der wichtigsten Beweisstrategien, welche es überhaupt in der Mathematik gibt, die Induktion. Bei der Induktion geht es darum, etwas zu beweisen (eine Behauptung), wobei diese Behauptung von einem Wert n abhängig ist. Dafür wollen wir zuerst einsehen, dass die Behauptung für einen gewissen Wert n 0 (das ist meistens 0 oder 1) richtig ist. Dann wird vorausgesetzt, dass die Behauptung richtig ist für alle Werte bis n 1 und es wird gezeigt, dass die Behauptung unter dieser Voraussetzung richtig ist für n. Daraus folgt dann, dass die Behauptung richtig ist für alle n n 0. Dies tönt zuerst ein wenig verwirrend, darum schauen wir uns gleich mal ein Beispiel an: Beispiel 1. Wir behaupten, dass n i = n(n+1) für alle n 1 gilt. (Erinnerung: n i = 1 + + 3 +... + n). Zuerst versichern wir uns, dass diese Behauptung für den kleinst möglichen Wert von n erfüllt ist, in unserem Fall also für n = 1 (da wir n 1 verlangt haben): 1 1(1 + 1) = 1, und = = 1 also stimmt unsere Behauptung für n = 1. Nehmen wir nun an, dass die Behauptung für alle Werte bis zu n 1 gilt (d.h. n 1 i = (n 1)((n 1)+1) = (n 1)n ) und zeigen, dass in diesem Falle, die Behauptung auch für n richtig ist: n i = ( n 1 ) i + n = (n 1)n + n = (n n) + n = n + n = n(n + 1). Somit haben wir bewiesen, dass die Behauptung auch für n gilt. Wir wissen nun also, dass die Behauptung für 1 gilt und dass, falls die Behauptung für n 1 richtig ist, die Behauptung auch für n richtig ist. Da sie aber für n = 1 korrekt ist, folgt somit, dass sie auch für n = korrekt ist (denn dann ist n 1 = 1, und wir wissen dass sie für 1 korrekt ist, also stimmt die Voraussetzung, dass sie für n 1 korrekt ist und somit ist sie auch für n(= ) korrekt). Sie stimmt also sicher für 1 und für. Jetzt nehmen wir n = 3 an, und da sie für n 1 = korrekt ist, muss sie also auch für n = 3 stimmen, usw. So angeln wir uns nun entlang der ganzen Zahlen hinauf bis wir zu einer beliebig grossen Zahl kommen, und haben so bewiesen, dass die Behauptung für alle n 1 richtig ist.
8 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA a n a n 1 Der erste Schritt, also das Beweisen der Behauptung für einen Anfangswert n 0, wird Induktionsverankerung genannt. Die Voraussetzung, dass die Behauptung für alle Werte bis n 1 richtig ist, nennt man Induktionsvoraussetzung, und die Stelle, wo die Induktionsvoraussetzung in den Beweis, dass die Behauptung für n stimmt, einfliesst, diese Stelle nennt man den Induktionsschritt. Am Mittwoch wurde der Begriff der geometrischen Folge behandelt (zur Erinnerung: das ist eine Folge, für die gilt, dass = q konstant für alle n ist), und wir haben gesehen, dass wir den Wert der Summe der ersten n Folgeglieder anhand von einer Formel angeben können. Dies wollen wir nun per Induktion beweisen. Sei also a 1, a,... eine geometrisch Folge mit q < 1. Satz 13 (Behauptung). s n = n a i = a 1 n. Beweis. Überlegen wir uns zuerst(auch per Induktion), dass a n = a 1 q n 1 gilt: Induktionsverankerung: Sei n = 1. Dann gilt a 1 = a 1 q 0, denn q 0 = 1. Induktionsvoraussetzung: Wir setzen voraus, dass a n 1 = a 1 q n. Da es sich um eine geometrische Reihe handelt, gilt a n = a n 1 q. Somit folgt Induktionsschritt: a n = a 1 q n q = a 1 q n 1. Daraus folgt diese erste Zwischenbehauptung. Kommen wir nun zu dem, was wir eigentlich beweisen möchten: Induktionsverankerung: Sei n = 1. Dann ist s 1 = a 1 = a 1 1 q1 1 q 1 q (da 1 q =1). Induktionsvoraussetzung: Wir setzen voraus, dass für ein bestimmtes n gilt: Da s n = s n 1 + a n folgt nun Induktionsschritt: s n = a 1 n 1 s n 1 = a 1 n 1. + a n = a 1 n 1 + a 1 q n 1, wobei wir beim letzten Schritt angewendet haben, was wir gerade vorher bewiesen haben, nämlich dass a n = a 1 q n 1 gilt. Da a 1 n 1 gilt, folgt die Behauptung. Aufgaben! + a 1 q n 1 = a 1 n 1 + q n 1 () = a 1 n