Exkurs: Klassifikation orthogonaler 2 2-Matrizen. Aussage: Es gilt: (a) Jede orthogonale 2 2 Matrix A mit det(a) = 1 hat das Aussehen cos(α) sin(α) D(α) = sin(α) cos(α), wobei α [0,2π[. Ist sin(α) 0, so hat die Matrix keine Eigenvektoren. (b) Jede orthogonale 2 2 Matrix A mit det(a) = 1 hat das Aussehen cos(α) sin(α) S(α) = sin(α) cos(α), wobei α [0,2π[. Diese Matrix hat die Eigenwerte 1 und 1.
Beweis. Wir benutzen Fakt (Vorl. 22 LA I). A Mat(n, n) ist genau dann orthogonal, wenn das Standard-Skalarprodukt der 1, falls i = j i ten Zeile mit der j ten Zeile gleich ist. 0, falls i j Fakt (Vorl. 22 LA I). Sind A, B Mat(n, n) orthogonal, so sind A 1, AB und A t auch orthogonal. Es gilt: det(a) = ±1. Wenn A = a 11 a 12 a 21 a 22 orthogonal ist, muss a 2 11 + a12 2 = 1 sein. Dann ist a 11 < 1 und deswegen existiert (genau) ein α [0, π] mit cos(α) = a 11, siehe das Bild. Nach Zwischenwertsatz existiert ein α [0, π] mit cos(α) = a 11, weil die Funktion cos stetig ist und cos(0) = 1, cos(π) = 1 erfüllt.
Dann muss a12 2 = sin(α)2 sein, da a11 2 = cos(α)2 und a11 2 }{{} +a2 12 = 1. cos(α) 2 Dann gilt: a 12 = sin(α) oder a 12 = sin(α). Im ersten Fall ersetzen wir α α. Dann haben wir cos(α) = a 11 und sin(α) = a 12. Also gilt cos(α) = a 11 und sin(α) = a 12 für ein α [ π,π]. Analog folgt, dass ein β [ π,π] existiert mit a 21 = sin(β) und a 22 = cos(β). Dann nehmen wir die Bedingung LA I: Standard-Skalarprodukt der 1-ten Zeile mit der 2-ten Zeile gleich 0. cos α sin α sin β cos β Da a 11 a 12 a 21 a 22 =, gibt uns diese Bedingung die Gleichung trig. Formel 0 = cos(α)sin(β) sin(α)cos(β) = sin(β α). Dann ist β α = k π mit k Z. Wenn k eine gerade Zahl ist, ist sin(β) = sin(α) und cos(β) = cos(α), also ist die Matrix A = D(α) = cos α sin α sin α cos α. Wenn k eine ungerade Zahl ist, ist sin(β) = sin(α) und cos(β) = cos(α). Also ist die Matrix A = S( α) = cos α sin α sin α cos α.
Orthogonale Matrix mit det = 1 entspricht einer Drehung Wir betrachten die Matrix A = cos(α) sin(α) sin(α) cos(α) aus Fall (a) von Lemma 4. Diese Matrix entspricht der Drehung (mit Winkel α) um den 0 Punkt des Koordinatensystems: In der Tat, die Multiplikation mit der Matrix A dreht die Basisvektoren (und deswegen auch alle Vektoren) um den Winkel α:
Orthogonale Matrix mit det = 1 entspricht einer Spiegelung Wir ermitteln zuerst die Eigenvektoren von A = cos(α) sin(α). sin(α) cos(α) Der Eigenvektor zu 1 ist u := sin(α) 1 cos(α) für α 2πk, k Z und 1 0 für α = 2πk. (In der Tat, cos(α) sin(α) sin(α) sin(α) cos(α) 1 cos(α) = sin(α) 1 cos(α) ). Der Eigenvektor zu 1 ist v := cos(α) 1 sin(α) für α 2πk, k Z und 0 1 für α = 2πk. Man bemerke, dass u zu v orthogonal ist (sodass wir eine orthonormierte Basis bekommen, wenn wir sie normieren). In dieser Basis ( 1 v v, 1 u u) ist die Matrix der Abbildung gleich 1 0 0 1 und die Abbildung ist die Spiegelung bzgl. der Geraden mit dem Richtungsvektor u -v u v
Bemerkung. Es ist einfach zu verstehen, ob eine gegebene orthogonale (2 2) Matrix einer Drehung oder der Verkettung einer Drehung mit einer Spiegelung entspricht. In der Tat (wie oben einmal berechnet wurde), det cos(α) sin(α) = cos(α) 2 + sin(α) 2 = 1. sin(α) cos(α) det cos(α) sin(α) sin(α) cos(α) = 1. Also, wenn det(a) = 1 (wobei A eine orthogonale 2 2 Matrix ist), dann ist A die Matrix einer Drehung. Wenn det(a) = 1, dann entspricht A einer Spiegelung. Bsp. Die Matrix 0 1 1 0 ist orthogonal und det(a) = 1. Dann muss sie die Matrix einer Spiegelung sein: e =f(e ) 2 1 Die Matrix 0 1 1 0 ist die Matrix der Spiegelung bzgl. der Geraden auf dem Bild. e 1=f(e ) 2
Folgerung. Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Beweis. Die Multiplikation von zwei orthogonalen Matrizen ist orthogonal. Die Determinante davon ist (det der ersten Matrix) (det der zweiten Matrix)= ( 1) ( 1) = 1
Die Formel für cos(α + β), die man in der Schule elementargeometrisch bewiesen hat (und die notwendig ist, um die Formel cos 2 +sin 2 = 1 zu beweisen), kann man ebenfalls aus der analytischen Formel herleiten. Bemerkung zur Existenz von α mit cos(α) = a 11 und sin(α) = a 12 für belieb. a 11, a 12 mit und a 2 11 + a2 12 = 1. In der Analysis-Vorlesung werden die Funktionen cos und sin rein analytisch, also ohne Bezug zur Schulgeometrie eingeführt, und zwar als Grenzwerte der unendlichen Summen cos(x) = 1 1 2 x2 + 1 4! x4 +... bzw. sin(x) = x 1 6 x3 +... Die Eigenschaften der Funktionen Sinus und Kosinus, die Ihnen noch aus der Schule bekannt sind und die eigentlich notwendig zur Definition der Funktion arccos sind, kann man ebenfalls sauber, d. h. nur anhand dieser analytischen Formeln bewiesen (z.b. der Definitionsbereich, siehe das Bild).