..8 Mohrscher pannungskreis (Mohr 88) Drehung des Koordinatensystems (D): íj τ τ cosθ sinθ sinθ cosθ τ τ cosθ sinθ sinθ cosθ Ergebnis (allgemein): τ τ ( x - x ) Gleichung der Form y r alle äquivalenten Kombinationen aus chubspannungen liegen auf einem Kreis im τ Koordinatensystem Normal - und
Konstruktion des Mohrschen pannungskreises (D): τ τ max τ θ τ
Mohrscher pannungskreis im Dreidimensionalen Mit Hilfe von den drei gegebenen Hauptnormalspannungen ( > > ) werden drei Mohrsche pannungskreise konstruiert, deren Radien den drei möglichen Hauptscherspannungen entsprechen: r τ r τ r τ Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf der Hauptspannungsachse: M Beachte: M M Im Dreidimensionalen ersetzt die Konstruktion des Mohrschen pannungskreises nicht die Hauptachsentransformation!!!
Konstruktion der Mohrschen pannungskreise (D): τ τ τ max τ τ
Darstellung eines pannungsvektors s(e) mit Hilfe der Mohrschen pannungskreise: df(e) s(e) e n e ϕ Flächenelement df(e) definiert durch: ϕ Meridianwinkel ϑ Breitenkreiswinkel e ϑ und für das entsprechende Koordinatensystem ergibt sich : e e e ( ϕ, ϑ) { sinϑ cosϕ;sinϑ sinϕ;cosϑ}, ( ϕ, ϑ ) { sin ϕ ;cos ϕ ; }, ( ϕ, ϑ) { cosϑ cosϕ;cosϑ sinϕ; sinϑ} ϕ ϑ
τ K K ϕ s(e) K ϑ K K ϑ ϕ M M ϕ M M
τ K K ϕ s(e) K ϑ K K s(e) T s (s(e)) α ϑ ϕ M M ϕ M M T n (s(e))
. Verzerrungstensor Dehnung aber: Rotation ist auszuschließen! e du dx du dx cherung du dx e du dx θ du dx du dx
.. Definition Der Verzerrungstensor beschreibt den Verzerrungszustand in einem Punkt des Festkörpers vollständig. Er ist in dieser Form nur für kleine Verschiebungen definiert definiert. mit u i : i-komponente der Verschiebung i j j i ij x u x u i x j x u u u u u ij u u u u u x x x x x ij u u u u u x x x x x Dehnungen :,, x x x x x Dehnungen :,, cherungen :,,,
.. Besondere Verzerrungszustände ebene Dehnung reine cherung Dilatation Technische cherung cherkomponente (kein Tensor!)
.. Eigenschaften des Verzerrungstensors ) symmetrisch: ij ji 6 Komponenten ) zerlegbar: ij m m m m Dilatator m Deviator m wobei ( ) Dilatation (relative Volumenänderung): m Δ ΔV V
) Deviator ist timmer zerlegbar in 5 reine cherungen Folge: Für beliebige Verformung sind 5 unabhängige Gleitsysteme nötig.
4) Ermittlung der Hauptdehnungen analog Ermittlung der Hauptspannungen, d.h. Lösung des Eigenwertproblems. det ij λ E Die Wurzeln λ i des Polynoms entsprechen den drei Hauptdehnungen,, und. Im elastisch isotropen Feskörper fallen die Hauptspannungs- und die Hauptdehnungsachsen zusammen!
. Allgemeines Hookesches Gesetz.. Tensorschreibweise des Allgemeinen Hookeschen Gesetzes Das Allgemeine Hookesche Gesetz beschreibt den allgemeinsten linearen Zusammenhang zwischen pannung (pannungstensor) ) und Verzerrung (Verzerrungstensor): ij ijkl kl ij ijkl kl ij : pannungstensor (Tensor. tufe) kl : Verzerrungstensor (Tensor. tufe) ijkl : teifigkeitstensor (Tensor 4. tufe) (auch: Elastizitätstensor) ijkl : Nachgiebigkeitstensor (Tensor 4. tufe)
Vollständige Darstellung in Komponentenschreibweise: (9x9 Hypermatrix mi 8 Komponenten) (9 9 ype at 8 o po e te )
pannungstensor und Verzerrungstensor sind symmetrisch. Deshalb gilt für die p g g y g Komponenten des teifigkeitstensors und des Nachgiebigkeitstensors jilk ijlk jikl ijkl bzw. jilk ijlk jikl ijkl jilk ijlk jikl ijkl
Die Tensormultiplikation führt zu neun linearen Gleichungen der folgenden Form: usw. Unter Berücksichtigung der ymmetriebedingungen ergibt sich für die sechs unabhängigen Komponenten des pannungstensors: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.. Kontrahierte Notation nach Voigt ( Voigtsche Vereinfachung ) Der pannungstensor lässt sich durch einen sechskomponentigen Vektor repräsentieren (dabei geht keine Information verloren). 4 5 6
In ähnlicher Weise wird ein sechskomponentiger Verzerrungsvektor definiert: 4 5 6
Das Allgemeine Hookesche Gesetz erhält mit der Voigtschen Notation folgende Form: 6 6 5 5 4 4 6 6 5 5 4 4 6 46 5 45 4 44 4 4 4 4 6 6 5 5 4 4 6 6 5 5 4 4 6 66 5 65 4 64 6 6 6 6 6 56 5 55 4 54 5 5 5 5 6 46 5 45 4 44 4 4 4 4 bzw. 6 66 5 65 4 64 6 6 6 6 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 5 4 56 55 54 5 5 5 46 45 44 4 4 4 6 5 4 5 4 6 5 66 65 64 6 6 6 56 55 54 5 5 5 6 5
Durch Koeffizientenvergleich erkennt man,,, 4 usw. Die Voigtsche teifigkeitsmatrix ij enthält die gleiche Information über die elastischen Eigenschaften des Festkörpers wie der teifigkeitstensor. Die teifigkeitsmatrix besitzt jedoch keine Tensoreigenschaften. Die teifigkeitsmatrix enthält 6 Komponenten. Auch die teifigkeitsmatrix it t i ist symmetrisch, d.h. es gilt: ij ji. Dadurch vermindert sich die Anzahl der unabhängigen Komponenten der Matrix auf. Im allgemeinsten Fall werden zur Beschreibung des linear-elastischen Verhaltens eines Festkörpers elastische Konstanten benötigt.
Aufgrund der Kristallsymmetrie des Festkörpers wird die Anzahl der unabhängigen Konstanten reduziert. triklin monoklin orthorhombisch 9 tetragonal 6 hexagonal 5 kubisch isotrop
.. Elastische Konstanten bei kubischer ymmetrie Bei kubischer ymmetrie gilt: 44 55 66 Die restlichen Komponenten der teifigkeitsmatrix sind alle gleich null. ij kub. 44 44 44
Beziehungen zwischen ij und ij :, ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 44, 44 44, 44
Das linear-elastische Verhalten eines kubischen Kristalls lässt sich somit durch die Angabe von drei unabhängigen Konstanten (z.b., und 44 ) vollständig beschreiben. Ein Maß für die Anisotropie eines kubischen Kristalls ist der Anisotropiefaktor A, der wie folgt definiert ist: A ( ( ) 44 44 Je weiter A vom Wert abweicht, umso ausgeprägter ist die Anisotropie des Kristalls.
/A
Elastische Konstanten und Anisotropiefaktoren verschiedener kubischer Kristalle Zahlenwerte in GPa (ermittelt an Einkristallen) α A E /E
Bestimmung des E-Moduls in eine beliebige Richtung d: Einachsiger Zug in Richtung d: d Transformation in Kristallachsen pannungszustand us in Kristallachsen: se 6 Hookesches Gesetz: i ij j Dehnungszustand in Kristallachsen: 6 Rücktransformation Dehnung in Richtung d: d E-Modul lin Richtung d: Ε d d / d
Anisotropie des E-Moduls: [ ( ) ] ( ) 44 α β α γ β γ E hkl cos( [ hkl ], [ ] ), β cos( [ hkl],[ ] ), cos( [ hkl],[ ] ) mit α γ tandardorientierungsdreieck Beispiel Ni-basis-uperlegierung (PWA 48)
tereographische Projektion P Pol, chnittpunkt der Flächennormale mit der Polkugel/Referenzkugel E Einkristall
tandardprojektion
Anisotropie des E-Moduls: [ ( ) ] ( ) 44 α β α γ β γ E hkl cos( [ hkl ], [ ] ), β cos( [ hkl],[ ] ), cos( [ hkl],[ ] ) mit α γ tandardorientierungsdreieck Beispiel Ni-basis-uperlegierung (PWA 48)
..4 Elastische Konstanten bei hexagonaler ymmetrie Bei hexagonaler ymmetrie gilt:, 44 55, 66 ( ) Die restlichen Komponenten der teifigkeitsmatrix sind alle gleich null. ij hex. 44 44 66
..5 Elastische Konstanten bei Isotropie Bei isotropem elastischen Verhalten sind die drei Konstanten, und 44 nicht mehr unabhängig voneinander. 44 Es gilt: ( ) A Die drei Konstanten hängen unmittelbar mit dem Elastizitätsmodul E und der Poissonzahl ν zusammen: E( ν ) E ( ν )( ν ) ν ( ν ) 44 Eν ν ν ( )( ) E ( ν ) G
E ( ν ) E ( ν )( ν ) ν ( ν ) E ν ν ν ( )( ) E 44 G ν ( ) Die Konstante ist identisch mit dem bereits in Kap. hergeleiteten Modul für einachsige Dehnung. Die Konstante 44 entspricht dem chermodul G. Anmerkung: Polykristalline texturfreie Materialien weisen unabhängig von ihrer Kristallstruktur in der Regel ein isotropes elastisches Verhalten auf, dieses Verhalten nennt man Quasi-Isotropie.
..6 Quasi-Isotropie von Polykristallen Das elastische Verhalten von Polykristallen ist zwar in jedem einzelnen Korn anisotrop, gemittelt über viele Körner ergibt sich jedoch ein quasi-isotropes isotropes Verhalten. Für kubische Materialien lassen sich folgende Mittelwerte für den E- Modul und den chubmodul berechnen: Voigt-Mittel (Iso-Dehnung): E ( )( ) 44 V G V 44 5 Reuss-Mittel (Iso-pannung): E R 5, G R 44 4 44 4, 5 ( ) 44 Im allgemeinen gilt: E exp < < R E E V
.4 Experimentelle Bestimmung von elastischen Konstanten t Für die Bestimmung der elastischen Konstanten müssen so viele voneinander unabhängige Experimente durchgeführt werden, wie es unabhängige Konstanten gibt, also z.b. 5 bei hexagonalen Kristallen, bei kubischen Kristallen und bei isotropen Festkörpern. In der Regel wird das Ultraschallverfahren angewandt, bei dem an einem kleinen Probenkörper (ca. cm³) die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten verschiedenartig angeregter g challwellen gemessen wird
Versuchsaufbau Ultraschallmessung: Impulsgenerator/-verstärker (T/R) Koppelmittel Ultraschall- prüfkopf ignal Trigger Probe Oszilloskop c l p t p c challgeschwindigkeit, l p Probendicke, l p Laufzeit
u l x u t Man unterscheidet zwischen Longitudinalwellen (Auslenkung u parallel zur Fortpflanzungsrichtung x) und cher- bzw. Transversalwellen (Auslenkung senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung).
Isotrope Materialien Im einfachsten Fall, d.h. bei einem isotropen Festkörper, genügt zur vollständigen harakterisierung die Messung der transversalen challgeschwindigkeit c T und der longitudinalen challgeschwindigkeit c L in jeweils beliebiger Raumrichtung. Ist die Dichte ρ des untersuchten Festkörpers bekannt, so lassen sich die elastischen Konstanten aus folgenden Gleichungen berechnen (gilt so nur bei Isotropie!): c L E ( ν ) ρ ρ ( ν )( ν ) G E c 44 T ρ ρ ρ ( ν )
Anisotrope Materialien Zur Bestimmung der elastischen Konstanten von anisotropen Kristallen müssen challgeschwindigkeitsmessungen an einkristallinen Proben in verschiedenen definierten Gitterrichtungen durchgeführt werden. Für genauere Erläuterungen zu diesem Thema wird auf einschlägige Lehrbücher verwiesen, z.b. K.-H. Hellwege, Einführung in die Festkörperphysik, pringer-verlag.
challwellen in kubischen Kristallen Eine challwelle ist eine elastische Welle. ie wird charakterisiert durch die Ausbreitungsrichtung (Wellenzahlvektor K mit dem Betrag π/λ) und die Polarisation (Auslenkungsrichtung u) Verschiedene Wellenformen in einem kubischen Kristall. L longitudinal, T transversal.