Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " 5 Wechselsromkrese ev5-87 Be der Berechnng von Glechsromkresen waren de dargelegen Sachverhale dadrch gekennzechne, dass de beracheen elekrschen Größen Srom nd Spannng zenabhängg waren. Be der Behandlng der Indkonsvorgänge haen wr allerdngs fesgesell, dass nfolge der Bewegng enes eers m Magnefeld m allgemenen ene zelch veränderlche Spannng ndzer wrde. Als Ergebns ener Drehbewegng ensand dabe ene perodsche Zefnkon der elekrschen Größe. Grndsäzlch snd de elekrschen Vorgänge glecher Nar we be Glechsrom, aber es ensehen zsäzlche Vorgänge egener Prägng, de ene gesondere Behandlng erfordern. Von den perodschen Zefnkonen haben de Wechselgrößen ene besondere Bedeng. In der Energeechnk erfolg de Erzegng, Überragng nd Wandlng fas asschleßlch m Wechselgrößen von Srom nd Spannng, n der Nachrchenechnk haben Wechselgrößen domnerende Bedeng. 5. Grndbegrffe snsförmger Zefnkonen Der ernende kann - erläern, was ene zeabhängge perodsche Größe s nd de Begrffe Perodendaer nd Freqenz defneren - den Begrff Wechselgröße anhand des arhmeschen Melweres erläern - de snsförmge Wechselgröße belebger age m Zekoordnaensysem mahemasch formleren nd de Begrffe Agenblckswer, Scheelwer nd Nllphasenwnkel defneren - den Glechwer ener zelchen perodschen Fnkon berechnen - den Effekvwer ener Wechselgröße physkalsch erläern - den Effekvwer ener snsförmgen Wechselgröße berechnen nd den Zsammenhang zwschen Effekvwer nd Scheelwer nennen 5.. Defnon der Wechselgröße Da Wechselgrößen snd perodsche Zefnkonen. Wr wollen znächs ene perodsche Zefnkon defneren. Ene perodsche Zefnkon () s ene Fnkon, deren Fnkonswere sch nach ener Ze n glecher Wese wederholen. In Abb.5..0 s ene perodsche Zefnkon dargesell. Se läss sch drch Gl.(5..0) beschreben. () = ( + n ) n=,,3... (5..0) De Ze zm Drchlafen ener Perode wrd als Perodendaer bezechne. Der rezproke Wer der Perodendaer s de Freqenz f. f = (5..0) Für Perodendaer nd Freqenz ergeben sch folgende Maßenheen: [] = s [] f = = s =Hz (Herz) [ ] Henrch Herz (857-894) descher Physker
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-88 Der Zahlenwer { f} der Freqenz m der Maßenhe [ f] Schwngngsperoden n der Seknde an. = Hz gb de Zahl der Bespel 5..0 Z berechnen snd de Perodendaern für de Freqenzen f = 50Hz nd f = khz. s s = = = = 0ms = = = = ms f 50Hz 50 f khz 000 + () ( + ) Abb.5..0 Perodsche Zefnkon De Wechselgröße s ene spezelle perodsche Zefnkon. Nach DIN 5488 s ene Wechselgröße vom Agenblckswer ene perodsche Fnkon der Ze m enem arhmeschen Melwer über ene Perode glech Nll. Der arhmesche Melwer über ene Perode s nach Gl.(5..03) defner + = () d (5..03) Be der Bldng des arhmeschen Melweres wrd das Inegral über ene Perode, das heß de Fläche ner der Krve über ene Perode, drch en flächengleches echeck ersez, dessen ene See de Perodendaer nd de andere der arhmesche Melwer s. + = () d Arhmescher Melwer über ene Perode glech Nll bedee, dass de Fläche ner der Krve nnerhalb ener Perode glechgroße posve nd negave Anele haben mss. In Abb.5..0 snd enge perodsche Zefnkonen dargesell, de. dese Bedngng erfüllen nd demzfolge Wechselgrößen snd.
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-89 X 0 X 0 X X 0 X 0 Abb.5..0 Wechselgrößen X 5.. Snsförmge Zefnkonen Wechselgrößen m snsförmger Zefnkon haben ene besondere Bedeng nd werden als Wechselgrößen m engeren Snne bezechne. Im Folgenden wollen wr ner Wechselgrößen nr noch solche m snsförmgen zelchen Verläfen versehen, nach DIN 5488 werden se ach als Snsgrößen bezechne. En snsförmger Zeverlaf kann mahemasch drch ene Snsfnkon oder ene Kosnsfnkon beschreben werden. Da de Kosnsfnkon hnschlch hrer Symmere enge mahemasche Vorele besz, wrd m Folgenden fas asschleßlch de Kosnsfnkon verwende. In Abb.5..03 s der zelche Verlaf der Wechselgröße als rene Kosnsfnkon dargesell. Der z enem besmmen Zepnk vorlegende Wer () der Wechselgröße wrd als Agenblckswer bezechne. Der größe posve Agenblckswer s der Scheelwer X. Da der Kosns nr von enem Wnkel geblde werden kann, wrd de Wechselgröße znächs nr als Fnkon ener Wnkelkoordnae α angegeben. De Fnkon läss sch nach Gl.(5..04) formleren. = X cosα (5..04) De Maßenhe des Wnkels s [α] = rad (Bogenmaß) oder [ ] o α = (Grad), wobe de Umrechnngsbezehngen gelen: o 80 o π rad = = rad (5..05) π 80 Um den Agenblckswer als Fnkon der Ze anzgeben, sellen wr m Abb.5..03 de Verhälnsglechngen af:
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " X ev5-90 α π π α Abb.5..03 Wechselgröße n Wnkel- nd Zeabhänggke α π π = α = (5..06) Dam wrd as Gl.(5..04) π = X cos (5..07) In der Ze wrd der Wnkel π zrückgeleg. Dam läss sch de Wnkelgeschwndgke ω defneren: α π ω= = (5..08) = X cosω (5..09) l l X X ϕ α l α l α α ϕ l α α l α α Abb.5..04 Wechselgröße allgemener age a) ϕ > 0 b) ϕ < 0 Wenden wr ns jez der Darsellng der Kosnsfnkon allgemener age z. Der zelche Verlaf s n Abb.5..05 dargesell. Um de Fnkon m Koordnaensysem
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-9 α z formleren, s es zweckmäßg, ene Koordnaenransformaon drchführen. Im l Koordnaensysem α gl nämlch Gl.(5..04) l = X cosα Es wrd der Wnkel ϕ zr Markerng des posven Mamms m Koordnaensysem engeführ. Der Wnkel ϕ s vorzechenbehafe. ϕ >0 Der chngspfel begnn bem posven Mamm, zeg n chng der Ze- oder Wnkelachse nd ende be α = 0. ϕ <0 Der chngspfel begnn bem posven Mamm, zeg n de negave Zeachsenrchng nd ende be α = 0. l Um de Bezehng zwschen den Wnkeln α nd α herzsellen, rechen wr m den Wnkeln we am Zahlensrahl nd erhalen α = α + ϕ (5..0) Dam ergb sch de allgemengülge Glechng für de Zefnkon der Wechselgröße = X cos ω +ϕ) ( Bespel 5..0 Es s de Zefnkon der Schwngng anzgeben, deren Scheelwer m Koordnaensysem a) be ω = π b) be ω = π afr. 4 4 (5..) X s nd deser a) Nach Abb.5..04a leg das posves Mamm be ω = 4 π, dam s ϕ = π nd 4 m Gl.(5..) = X cos ω +ϕ = X cos ω + π ( ) ( ) 4 b) Nach Abb.5..04b leg das posve Mamm be ω = 4 π, dam s ϕ = 4 m Gl.(5..) = X cos ω +ϕ = X cos ω π ( ) ( ) 4 π nd
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-9 5..3 Melwere Be Zefnkonen werden zr qanaven Beschrebng Melwere benz. a) Arhmescher Melwer: Der arhmesche Melwer oder Glechwer ener perodschen Fnkon wrd geblde, ndem man de Fläche ner der Krve während ener Perodendaer drch en flächengleches echeck be glecher Berachngsze ersez (Gl.5..03). Für ene Wechselgröße ergb sch über de Perodendaer der arhmesche Melwer + = () d = 0 In Abb.5..05 s de Bldng des arhmeschen Melweres dargesell. X ω + α =ω ω ( ) Abb.5..05 Arhmescher Melwer über ene Perodendaer + ( ) = () d = ω dω ω ( ) = 0 ω + ω Be der Inegraon über ene Perodendaer s der posve nd der negave Flächenanel glech groß nd dam der arhmesche Melwer über ene Perodendaer glech Nll. Der arhmesche Melwer wrd für perodsche Fnkonen angewand, de en Glechgled haben, z. B. für de Besmmng der Asgangsspannng ener Glechrcherschalng. In Abb.5..06 s ene Enwegglechrchng gezeg. Û d U d N N d N Abb.5..06 Zr Besmmng des Glechweres be ener Enwegglechrchng
Prof. Dr.-Ing. Herzg 93 Vorlesng " Elekroechnk " ev5- Be der Melwerbldng wrd de schraffere Fläche ner der Krve über ene Perode drch das gra angelege echeck ersez. U = d d 0 d De Spannng d ha folgenden Zeverlaf Ûsn ω 0 / d = 0 / Dam wrd / U Ud = d d = U snω d = ω d 0 0 U U U U = = = = 0.38 U ω π π b) Qadrascher Melwer, Effekvwer Für de qanave Beschrebng ener Wechselgröße wrd der qadrasche Melwer oder Effekvwer verwende. Der Effekvwer enes Wechselsromes s folgendermaßen defner. Fleß der Wechselsrom drch enen Ohmschen Wdersand, so wrd elekrsche Energe n Wärme mgewandel. Um de von desem Wechselsrom bewrke Energemwandlng berelen z können, wrd de während ener Perode mgewandele Energe m der Energe verglchen, de ene Glechsrom m glechen Wdersand während der glechen Ze wandel. Deser zelch konsane Srom erzeg also am Wdersand den glechen Effek we der Wechselsrom nd wrd als Effekvwer des Wechselsromes bezechne. In Abb.5..07 s der Energemsaz für bede Fälle für ene Perode berechne. I + W = ()d W = I Abb.5..06 Berechnng des Energemsazes während ener Perode be Wechselsrom nd be Glechsrom Wr sezen dese beden Energen verenbarngsgemäß glech nd lösen nach dem Effekvwer des Sromes af + I ()d = + I= () d (5..) Dese Bezehng wrd nn für de Berelng ener belebgen perodschen Fnkon () verwende. Allgemen erhalen wr den Effekvwer ener perodschen Zefnkon nach Gl.(5..3)
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-94 X + = () d (5..3) Im Folgenden wollen wr den Effekvwer ener snsförmgen Zefnkon berechnen. Da der Effekvwer nabhängg von der age der Fnkon m Koordnaensysem s, verwenden wr für de Fnkon: = X cosω nd für de Inegraonsgrenzen = 0 nd + =. Engesez n Gl.(5..3) ergb sch X X = ( X cos ) d ( cos ) d X cos d ω = ω = ω 0 0 0 M cos ω = ( + cosω ) X = X (+ cosω) d 0 X X X = sn + ω = ω 0 X X = X 0. = 7 X X = X (5..4) Be ener snsförmgen Wechselgröße vermel zwschen Effekvwer nd Scheelwer der Fakor. Bespel 5..03 Im Nederspannngsnez haben Spannngen de Effekvwere U N = 30V nd U = 400V. Z berechnen snd de Scheelwere. Û = U = 30V = 35V N N Û = U = 400V = 566V
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-95 5. Wechselsromverhalen der Grndschalelemene Der ernende kann - den Wechselsromwdersand defneren de Besmmngswere des Wechselsromwdersandes nennen - den Wechselsromwdersand des Ohmschen Wdersandes, des dealen Kondensaors nd der dealen Sple angeben - de Srom-Spannngsbezehngen der dre Grndschalelemene m hren Zählzordnngen angeben - de Zordnng von Srom nd Spannng an den dre Grndschalelemenen m Zedagramm angeben nd de Begrffe Vorelen nd Nachelen erklären 5.. Defnon des Wechselsromwdersandes Werden de dre dealen Grndschalelemene Wdersand, Kondensaor nd Sple an ener Wechselspannng = U cos ω +ϕ ( ) bereben nd ware man nach dem Enschalen der Spannng genügend lange, so fleßen dann m saonären Zsand Wechselsröme = I cos( ω +ϕ ). Das Wechselsromverhalen der Grndschalelemene wrd dann für den saonären Berebszsand drch den Wechselsromwdersand beschreben. Der Wechselsromwdersand wrd drch zwe Größen besmm. eg man an das Schalelemen ene Wechselspannng m dem Scheelwer Uan, so ergb das Epermen, dass en Wechselsrom m dem Scheelwer Î.fleß. Als Schenwdersand Z wrd der schenbare Wdersand defner, der sch nach dem Ohmschen Gesez as dem Qoenen der Scheelwere von Spannng nd Srom ergb. Nach Gl.(5..4) erhäl man den glechen Wer bem Qoenen der Effekvwere von Spannng nd Srom. Û U Z = I = I (5..0) Der Kehrwer des Schenwdersandes wrd als Schenlewer Y bezechne. I I Y = Z = U = U (5..0) Der zwee Besmmngswer des Wechselsromwdersandes s de Phasenverschebng ϕ. De Phasenverschebng s de Dfferenz der Nllphasenwnkel von Spannng nd Srom. ϕ = ϕ - ϕ (5..03) Be posver Dfferenz der Nllphasenwnkel von Spannng nd Srom s de Phasenverschebng der Wnkel, m den der Srom gegenüber der Spannng nachel, be negaver Dfferenz der Wnkel, m den der Srom der Spannng vorasel. Wegen der Dfferenzbldng s es nbedng nowendg, den Nllphasenwnkeln en Vorzechen (Zählpfel) ensprechend Abb.5..04 zzordnen.
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " 5.. Wechselsromverhalen des dealen Wdersandes ev5-96 Für den dealen Wdersand gl de Srom-Spannng-Bezehng nach Gl.(5..04) m Zsammenhang m der Zählzordnng nach Abb.5..0 = = (5..04) Abb.5..0 Zählpfele von Srom nd Spannng am Wdersand M = Î cos( ω +ϕ) erhalen wr nach Gl.(5..04) für de Spannng = I cos( ω +ϕ ) Defneren wr de Spannng als = U cos( ω +ϕ ) nd führen enen Verglech m Gl.(5..05) drch, dann erhalen wr (5..05) U = I ϕ = ϕ As desen Bezehngen lassen sch de Besmmngswere des Wechselsromwdersandes berechnen. U I Z = = = (5..06) I I ϕ =ϕ ϕ = (5..07) 0 Der Schenwdersand s glech dem Wdersand. Spannng nd Srom haben den glechen Nllphasenwnkel, se snd phasenglech. In Abb.5..0 snd de Zeverläfe von Spannng nd Srom am dealen Wdersand afgeragen., ϕ ϕ ω Abb.5..0 Zeverläfe von Srom nd Spannng am Wdersand
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-97 5..3 Kondensaor Für den dealen Kondensaor gl de Srom-Spannng-Bezehng nach Gl.(5..08) m Zsammenhang m der Zählzordnng nach Abb.5..03 d = C (5..08) d C Abb.5..03 Zählpfele von Srom nd Spannng am Kondensaor M = Û cos( ω +ϕ ) erhalen wr nach Gl.(5..08) den Srom d = C = CU ω ( sn( ω +ϕ )) = CU ω cos( ω +ϕ + π ) (5..09) d Defneren wr den Srom als = I cos( ω +ϕ) nd führen enen Verglech m Gl.(5..09) drch, dann erhalen wr I =ω C U ϕ=ϕ + π As desen Bezehngen lassen sch de Besmmngswere des Wechselsromwdersandes des Kondensaors berechnen. U U ZC = = = (5..0) I ω C U ω C ϕ =ϕ ϕ =ϕ ϕ + π = π (5..) ( ) C Der Schenwdersand des Kondensaors s der Freqenz nd der Kapazä mgekehr proporonal. Am Kondensaor el der Srom der Spannng m 90 o voras. Der Srom errech sen posves Mamm früher als de Spannng. In Abb.5..04 snd de 4 Zeverläfe von Spannng nd Srom am dealen Kondensaor afgeragen., ϕ π / ϕ ω Abb.5..04 Zeverläfe von Srom nd Spannng am Kondensaor
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " 5..4 Sple Für de deale Sple gl de Srom-Spannng-Bezehng nach Gl.(5..) m Zsammenhang m der Zählzordnng nach Abb.5..05 d = (5..) d ev5-98 Abb.5..05 Zählpfele von Srom nd Spannng an der Sple M = Î cos( ω +ϕ) erhalen wr nach Gl.(5..) de Spannng d = = I ω ( sn( ω +ϕ )) = I ω sn( ω +ϕ + π) d Defneren wr den Srom als = U cos( ω +ϕ ) nd führen enen Verglech m Gl.(5..3) drch, dann erhalen wr I =ω C U ϕ=ϕ + π As desen Bezehngen lassen sch de Besmmngswere des Wechselsromwdersandes des Kondensaors berechnen. (5..3) U ω I Z = = =ω I I (5..4) ϕ=ϕ ϕ =ϕ ϕ π = π (5..5) ( ) Der Schenwdersand der Sple s der Freqenz nd der Indkvä proporonal. An der Sple el de Spannng dem Srom m 90 o voras. De Spannng errech hr posves Mamm früher als der Srom. In Abb.5..06 snd de Zeverläfe von Spannng nd 4 Srom an der dealen Sple afgeragen., ϕ π / ϕ ω Abb.5..06 Zeverläfe von Srom nd Spannng an der Sple
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " 5..5 Zsammenfassng ev5-99 In abelle 5..0 snd alle Zsammenhänge an den Wechselsromwdersänden der dealen Grndschalelemene Wdersand, Kondensaor nd Sple zsammengesell. Dese Zsammenhänge sollen Se sch scher enprägen. = = U = I U= I C ( = d C ) d = C d Î Û = ω C I U = ω C d = d ( = d) U = ω I U = ω I ϕ = ϕ ϕ =ϕ π ϕ =ϕ + Z = Z C = Z = ω ω C Y = = G YC =ω C Y = ω ϕ = 0 ϕ C = π ϕ = π abelle 5..0 Wechselsromwdersände von Wdersand, Kondensaor nd Sple π Bespel 5..0 Z berechnen snd de Schenwdersände nd Phasenverschebngen folgender Baelemene m den Weren = 00Ω, = H nd C = 0µ F be f = 50Hz. Wdersand: Z = = 00Ω ϕ = 0 Z f 50s Vs/A 34 Sple: =ω = π = π = Ω ϕ = π/ Kondensaor: Z C 3 6 ω C = π f C = π 50s 0 0 As / V 8Ω ϕ C = π/
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-300 Bespel 5..0 De ehenschalng der dealen Baelemene Wdersand, Kondensaor nd Sple wrd vom Wechselsrom = Î cosω drchflossen. Z berechnen snd de Spannngen über den dre Baelemenen. Srom nd Spannng snd für jedes Baelemen n enem Dagramm als Zefnkonen darzsellen. C Abb.5..07 Schalng z Bespel 5..0 = = I cosω = U cosω I I C = d I cos d sn cos( ) U C cos( ) C = C ω = ω = ω π = ω π ωc ωc ( d dicos ω) = = = I ω snω =ω Icos ω + π = U cos ω + π d d ( ) ( ) ( ),, C, C ω π ω π ω a) Wdersand b) Kondensaor Abb.5..08 Srom- nd Spannngsverläfe z Bespel 5..0 c) Sple
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-30 5.3 neare Nezwerke be snsförmger Erregng Der ernende kann - den Begrff snsförmge Erregng erklären - Knoen- nd Maschensaz af lneare Nezwerke be snsförmger Erregng anwenden - de Srom-Spannngs-Bezehngen der Grndschalelemene m den zgehörgen Zählpfelen von Srom nd Spannng anwenden - Addon, Sbrakon, Mlplkaon m konsanem Fakor, Dfferenzaon nd Inegraon von snsförmgen Wechselgrößen drchführen. - erklären, dass alle nowendgen echenoperaonen nr Enflss af Amplde nd Nllphasenwnkel der Ergebnsgröße haben 5.3. Berechnngsgrndlagen Grndsäzlch gelen für de Berechnng lnearer Nezwerke be snsförmger Erregng de glechen Gesezmäßgkeen we be Glechsromnezwerken. Das Besondere beseh darn, dass de Qellengrößen der Spannngs- nd Sromqellen zelch snsförmge Spannngs- nd Sromverläfe glecher Freqenz haben. Bedng drch de Zefnkonen der Spannngen nd Sröme müssen neben den Wdersänden ach de Kondensaoren nd Splen be der Berechnng berückschg werden. Zr Berechnng benögen wr Knoen- nd Maschensaz sowe de Srom-Spannngs-Bezehngen der Grndschalelemene Wdersand, Kondensaor nd Sple. In abelle 5.3.0 snd de nowendgen Berechnngsgrndlagen zsammengesell. Knoensaz = ν 0 (5.3.0) Maschensaz ν = 0 (5.3.0) Spannngsqelle q = Uq cos( ω +ϕ q ) q Sromqelle I cos ( ) q = q ω +ϕ q q Wdersand = (5.3.03) Kondensaor Sple d = C d (5.3.04) d = d (5.3.05) C abelle 5.3.0 Berechnngsgrndlagen für lneare Nezwerke be snsförmger Erregng
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-30 5.3. Analyse der echenoperaonen Da wr es be der Berechnng jez m Wechselgrößen z n haben, wollen wr znächs nerschen, welche echenoperaonen wr dabe drchführen müssen nd we dese echenoperaonen m snsförmgen Größen asgeführ werden. Analyseren wr as deser Sch abelle 5.3.0, so ergeben sch be der Anwendng von Knoen- nd Maschensaz Addon nd Sbrakon zelch snsförmger Sröme nd Spannngen. Be den Srom-Spannngsbezehngen der Grndschalelemene müssen wr Sröme nd Spannngen m konsanen Fakoren, C nd mlplzeren nd de Sröme nd Spannngen nach der Ze dfferenzeren oder negreren. Mlplkaon nd Dvson von Srömen nd Spannngen r nch af. De Berachng erfolg gena we be den Glechsromnezwerken m engeschwngenen, saonären Zsand, also genügend lange nach dem Enschalen der Qellen. a) Addon, Sbrakon Wr wollen de beden snsförmg schwngenden Größen nd menander verknüpfen. = X cos( ω + ϕ) = X cos( ω + ϕ ) = + = X cos( ω +ϕ ) + X cos( ω +ϕ ) = Xcos( ω +ϕ ) (5.3.06) De Addon oder Sbrakon snsförmger Größen glecher Freqenz ergb ene snsförmge Größe derselben Freqenz m der Amplde X nd dem Nllphasenwnkel ϕ. Ohne Herleng sollen deser Selle angegeben werden, we Amplde nd Nllphasenwnkel für de Smme berechne werden können. X = X + X + X Xcos( ϕ ϕ ) (5.3.07) X snϕ + Xsnϕ anϕ = (5.3.08) Xcos ϕ + Xcos ϕ Für de Sbrakon analoge Ergebnsse nr m anderen Vorzechenkombnaonen. Jede Sbrakon kann n de Addon ener negaven Größe mgewandel werden. ( ) = = + (5.3.09) = X cos( ω +ϕ ) = X cos( ω +ϕ +π ) = X cos( ω +ϕ ) ϕ =ϕ +π (5.3.0) (5.3.) Für de Berechnng von Amplde nd Nllphasenwnkel der Dfferenz können dann weder de Gl.(5.3.07) nd (5.3.08) verwende werden. Grndsäzlch s es möglch, de Addon nd Sbrakon ach grafsch drchzführen. Dabe werden z glechen Zeen de Agenblckwere der Größen adder bezehngswese sbraher.
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-303 b) Mlplkaon m konsanem Fakor Mlplkaon enes konsanen Fakors m ener snsförmgen Größe veränder nr den Scheelwer be Bebehalng der Freqenz nd des Phasenwnkels. Wr haen dese echenoperaon beres be der Berechnng des Srom-Spannngs-Verhalens des Wdersandes n Gl.(5..05) kennen gelern = A = X A cos( ω +ϕ ) = X cos( ω +ϕ ) X = X A ϕ =ϕ (5.3.) (5.3.3) c) Dfferenzaon Be der Dfferenzaon ener snsförmgen Schwngng besmmer Freqenz s das Ergebns wederm ene snsförmge Schwngng glecher Freqenz veränderer Amplde (Scheelwer) nd ener m + π/ veränderen Phasenlage. Wr haen dese echenoperaon bem der Srom-Spannngs-Verhalen des Kondensaors Gl.(5..09) nd der Sple Gl.(5..3) kennen gelern. ( ( ω +ϕ) ) d d X cos = = = ω X ( sn( ω +ϕ ) d d =ω X cos( ω +ϕ + π ) = X cos( ω +ϕ ) (5.3.4) X =ω X (5.3.5) ϕ =ϕ + π (5.3.6) d) Inegraon X = d = X cos( ω +ϕ) d = sn( ω +ϕ ) ω X = cos( ω +ϕ π ) = X cos( ω +ϕ ) (5.3.7) ω X X = ω (5.3.8) ϕ =ϕ π (5.3.9)
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " ev5-304 e) Zsammenfassng Als Ergebns aller be der Berechnng von Wechselsromkresen verwendeen echenoperaonen können wr fessellen:. De Ergebnsgrößen snd snsförmg schwngende Wechselgrößen glecher Freqenz we de Asgangsgrößen.. Amplden nd Nllphasenwnkel der Ergebnsgrößen werden drch de Amplden nd Nllphasenwnkel der Asgangsgrößen besmm. Bespel 5.3.0 Gegeben s de ehenschalng enes Wdersandes m ener Sple, de von ener Wechselspannngsqelle gespes werden. Gegeben s de Zefnkon des Sromes. Z berechnen snd de Spannngsfälle nd über Wdersand nd Sple sowe de Qellenspannng q. U cos( ) q = q ω +ϕ q M: + + = 0 q q M = = d d = 00Ω = H f = 50Hz = 0.7A cosω Abb.5.3.0 Nezwerk z Bespel 5.3.0 d q = + d Dfferenzalglechng, m saonären Zsand alle Größen snsförmg = I cos( ω +ϕ) = 0.7A cosω Î = 0.7A ϕ= 0 = I cos( ω +ϕ) = 0.7A 00Ω cosω = 7V cosω Û = 7V ϕ = 0 = I ω cos( ω + ϕ + 0.5π) = 0.7A π 50Hz cos ( ω + 0.5π ) = 3V cos( ω + 0.5π ) Û = 3V ϕ = 0.5π q = U cosω + U cos( ω + π ) = U q cos( ω +ϕ q) = 7V cosω + 3V cos( ω + π ) q
Prof. Dr.-Ing. Herzg Vorlesng " Elekroechnk " M Gl.(5.3.07) nd (5.3.08) erhalen wr ev5-305 U = U + U + U U cos( ϕ ϕ ) = 34V q U snϕ + U snϕ U cosϕ + U cosϕ anϕ = = 3.4 q ( ) = 34V cos ω + 0.40π o ϕ q = 7.3 = 0.40π In Abb.5.3.0 snd de zelchen Verläfe aller Spannngen nd des Sromes afgeragen. In deser Skzze können Se ach de grafsche Addon der Spannngen = + nachvollzehen, ndem Se z glechen Zeen de Agenblckswere adderen. q /V /A 300 3 34 00 -π -π/ 00 0 0.40π -00 - π/ π ω -00 - -300-3 Abb.5.3.0 Zelche Verläfe der Spannngen nd des Sromes z Bespel 5.3.0 Bespel 5.3.0 zeg, dass Berechnngen m Wechselgrößen n der gezegen Form m so genannen Ze- oder Orgnalberech rech afwendg snd. Häen wr n der Afgabensellng dese Bespels de Qellenspannng q vorgegeben nd den Srom z berechnen versch, wäre de echnng noch erheblch mfangrecher gewesen, oder wr häen zr grafschen ösng grefen müssen. Wr wollen deshalb n den folgenden Abschnen ene andere ösngsmehode behandeln, m der wr Berechnngen lnearer Nezwerke be snsförmger Erregng raonell bewälgen können. Dese Mehode berh af der Erkennns, dass de Ergebnsgrößen n Amplde nd Nllphasenwnkel nr drch de Amplden nd Nllphasenwnkel der Asgangsgrößen besmm werden.