26. Der Gaußsche Integralsatz

6 26. Der Gaußsche Integralsatz Im Folgenden sei eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n und a 2. 26.1. Tangentialvektoren. Ein Vektor v 2 R n heißt Tangentialvektor an in a, falls es eine stetig differenzierbare Kurve :] ", "[! gibt (" > geeignet) mit der Eigenschaft, dass () = a und () = v. Die enge T a aller Tangentialvektoren in a wird als der Tangentialraum in a bezeichnet. 26.2. Satz. (a) T a ist k-dimensionaler Unterraum des R n. (b) Ist ' : T! V (T offen in R k ) eine lokale Karte in einer Umgebung von a und ist t 2 T mit '(t) =a, so bilden die Vektoren (t),..., (t) @t 1 @t n eine Basis von T a. (c) Ist U eine offene Umgebung von a in R n,undsindf 1,...,f n k : U! R stetig differenzierbare Funktionen mit @fi (a) \ U = {x 2 U : f 1 (x) =...= f n k (x) =} und rang = n @x j i=1,...,n k;j=1,...,n k, so gilt T a = {v 2 R n : v? gradf j (a),j =1,...,n k}. Beweis. Es sei T 1 der Vektorraum aus (b) und T 2 der aus (c). Wir zeigen, dass T 1 T a T 2. Wegen dimt 1 =dimt 2 = k folgt dann Gleichheit. T 1 T a : Es sei v = 1 @t 1 (t)+...+ k @t k (t). Definiere :] ", "[! durch ( ) ='(t 1 + 1,...,t k + k ). Dann ist ( ) 2 für hinreichend kleine, und () = '(t) =a. Ferner ist () = ' (t) = v. T a T 2 : Nun sei v 2 T a und :] ", "[! stetig differenzierbar mit () = a und () = v. Da in verläuft, gilt f j ( ( )) =. Differenzieren liefert somit v 2 T 2. =f j( ()) () = hgradf j (a),vi, 26.3. Normalenvektoren. Ein Vektor w 2 R n heißt Normalenvektor an in a, falls w? T a. us 26.2 sehen wir sofort: Die Normalenvektoren bilden einen (n des R n,dermitn a bezeichnet wird und der von den Vektoren aufgespannt wird. gradf 1 (a),...,gradf n k (a) k)-dimensionalen Unterraum 26.4. Definition. Es sei R n kompakt. Wir sagen, habe glatten Rand, falls es zu jedem Randpunkt a von eine offene Umgebung U und eine stetig differenzierbare Funktion : U! R mit folgenden Eigenschaften gibt: (i) \ U = {x 2 U : (x) apple }

61 (ii) grad (x) 6= für alle x 2 U. 26.5. Satz. it den Bezeichnungen von 26.3 ist @ \ U = {x 2 U : (x) =}. an nennt daher eine randdefinierende Funktion. Insbesondere folgt, dass @ eine (n 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n ist. Beweis. Istx 2 U mit (x) <, soistauch (y) < für alle y in einer Umgebung von x. Wegen (i) liegt diese Umgebung in, somit ist x kein Randpunkt. Istx 2 U mit (x) =,undistv = grad (x) 6=, so betrachte 7! (t + v)= (t)+hgrad (a), vi + o(k vk) =+ kvk 2 + o(k vk). Diese Funktion wechselt in =das Vorzeichen. Damit enthält jede Umgebung von x Punkte y mit (y) > ; diese liegen nicht in. Daher ist x Randpunkt. 26.6. Satz. Es sei R n ein Kompaktum mit glattem Rand und a 2 @. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Vektor 2 R n mit folgenden Eigenschaften: (i)? T a @ (ii) k k =1. (iii) 9" >: a + v /2 für < <". an nennt = (a) den äußeren (Einheits-)Normalenvektor an in a. Beweis. Existenz: Ist eine randdefinierende Funktion nahe a, so hat (a) = die gewünschten Eigenschaften (vgl. Beweis 26.5). grad (a) kgrad (a)k Eindeutigkeit. Es ist dim N a (@) =n dim @ =1.lsoistv = grad (a) für ein 6=. Wegen (ii) ist = ±kgrad (a)k 1. us (iii) folgt, dass >. 26.7. Folgerung. Die äußeren Normalenvektoren an eine kompakte enge mit glattem Rand bilden ein stetig differenzierbares Vektorfeld : @! R n \{}. 26.8. Beispiel. Es sei = {x 2 R n : kxk appler} die Vollkugel vom Radius r. ls randdefinierende Funktion kann man (x) =kxk 2 r 2 wählen. Hier ist @ = {x : kxk = r}; der Normalenvektor an a 2 @ ist (a) = a r. 26.9. Graphdarstellung. Ist kompakt mit glattem Rand und a 2 @, sokann nahe a als enge unterhalb des Graphen einer Funktion von n 1 Variablen (obd der ersten n 1) dargestellt werden: Es sei : U! R eine randdefinierende Funktion auf einer Umgebung U von a. Dann ist grad (x) 6= auf U. OBd sei @ xn (x) >. Nach dem Satz von der impliziten Funktion finden wir U R n 1 offen und I =], [ mit U I U sowie eine stetig differenzierbare Funktion g : U! I, so dass für (x,x n ) 2 U I gilt: Dann ist (x,x n )=, x n = g(x ). \ (U I) ={(x,x n ) 2 U I : (x,x n ) apple } = {(x,x n ) 2 U I : x n apple g(x )}.

62 it (x) =x n g(x ) haben wir dann eine weitere randdefinierende Funktion. Das zugehörige äußere Normalenfeld ist also grad (x) ( grad g, 1) = = p kgrad (x)k. 1+kgrad gk 2 26.1. Definition. Es sei f : R n! m eine Funktion. Der Träger von f ist die enge supp f = {x : f(x) 6= } (bschluss in R n ). 26.11. Lemma. Ist U R n offen und hat die stetig differenzierbare Funktion g kompakten Träger in U, soist @ xj g(x) dx =, j =1,...,n. U Beweis. OBd j = n. Wir setzen durch Null fort und fassen g als stetig differenzierbare Funktion auf R n auf. Dann ist 1 @ xn g(x) dx = @ xn g(x) dx = @ xn g(x) dx n dx = dx =. U R n R n 1 1 R n 1 26.12. Lemma. (Spezialfall des Satzes von Gauß) Es sei U R n 1 offen, I =], [ ein Intervall und g : U! I stetig differenzierbar. Wir setzen = {(x,x n ) 2 U I : x n apple g(x )} = {(x,x n ) 2 U I : x n = g(x )}. Dann gilt für jede stetig differenzierbare Funktion f : U I! R mit kompaktem Träger in U I und alle j =1,...,n @ xj f(x)dx = f(t) j (t)ds(t), wobei j die j-te Komponente des Normalenvektors ist. Beweis. Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1: 1 apple j apple n 1. Wir beobachten zunächst, dass nach der Kettenregel g(x ) @ xj f(x) dx n = Dann folgt, da nach 26.9 und 25.26 j (x) = g(x ) @ xj f(x) dx n + f(x,g(x )) @ xj g(x ). @ xj g(x ) p 1+kgrad g(x )k 2 und ds(x) = p 1+kgrad g(x )k 2. @ xj f(x) dx Fubini = = U 26.11 = + U @ xj g(x ) g(x ) @ xj f(x) dx n! f(x) dx n! f(x) j (x)ds(x). dx dx U f(x,g(x )) @ xj g(x ) dx

Fall 2: j = n. Hier ist n (x) = p 1+kgrad g(x )k 2 1 und ds(x) = p 1+kgrad g(x )k 2 dx, somit 1 @ xn f(x) dx = @f(x,g(x )) f(x,) dx = f(x) U {z } n (x) ds(x). = 26.13. -erlegung der Eins. Es sei K kompakt und {U j : j =1,...,N} eine Überdeckung durch offene engen. Wir setzen U " j = {x 2 U j :dist(x, @U j ) >"}. Da {U " j : j =1,...,N; ">} ebenfalls eine offene Überdeckung von K ist, und da U " j U j für ">, finden wir ein "> mit der Eigenschaft, dass K S N j=1 U " j. Indem wir eine zu {U j " } gehörige grobe erlegung der Eins nach 25.19 mit einer geeigneten glatten Funktion falten (!Übung), erhalten wir eine der Überdeckung {U j } untergeordnete erlegung der Eins. Unter Kartenwechseln bleiben diese glatten Funktionen -mal differenzierbar. 26.14. Gaußscher Integralsatz. R n sei kompakt mit glattem Rand und : @! R n die äußere Normale. Ferner sei U offen und F : U! R n ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist divf (x) dx = hf (x), (x)ids(x). @ Erweiterung. an nennt a 2 @ regulär, wenn es eine Umgebung U von a gibt, so dass @\U eine glatte annigfaltigkeit ist, sonst singulär. Der Satz von Gauß gilt auch noch, wenn die enge der singulären Randpunkte den (n 1)-dimensionalen inkowski-inhalt Null hat, die Funktion F auf stetig ist und div F auf dem Inneren von stetig ist. (ohne Beweis) Beweis. Wir überdecken mit endlich vielen offenen engen U j so, dass entweder (a) U j \ @ (U j schneidet den Rand nicht) oder (b) nach evtl. Umnummerierung der Koordinaten ist U j = U I mit U offen in R n 1 und I =], [ und U j \ = {(x,x n ) 2 U I : x n apple g(x ).} it Hilfe einer untergeordneten erlegung der Eins können wir annehmen, dass F seinen Träger in einer dieser engen hat. Im Fall (i) gilt, weil nach Lemma 26.11 die linke Seite Null ist und die rechte ohnehin Null ist (F =auf @). Im Fall (ii) folgt die ussage durch Summation über j =1,...,n aus Lemma 26.12. 26.15. Beispiel. Wir betrachten auf R n das Vektorfeld F (x) =x mit div F (x) = P n j=1 1=n für alle x. Für jede kompakte enge mit glattem Rand ist dann nach Gauß vol = 1 div F (x) dx = 1 hx, ids(x). n n @ 26.16. Greensche Formel in der Ebene. Es sei ' :[a, b]! R 2 eine stetig differenzierbare, überschneidungsfreie geschlossene Kurve, die den Rand der kompakten enge G R 2 im positiven Sinn durchläuft, d.h. es sei @G = '([a, b]), ' (t) 6= für alle t und für x = '(t) sei die äußere Normale (x) = (' 2 (t), ' 1 (t)) k'. (t)k 63

64 Das Oberflächenmaß auf ' ist ds(t) =k' (t)k dt. lso folgt nach 26.15 vol G = 1 i ds(x) = 2 @Ghx, 1 b ' 1 (t)' 2 2(t) ' 2 (t)' 1(t) dt. a Dies ist aber gerade ein Kurvenintegral. it der üblichen Schreibweise (x, y) für die Variablen in R 2 und für Kurvenintegrale ( R hf,dxi = P R b a f j( (t)) j (t) dt) erhalten wir also vol G = 1 xdy ydx. 2 Bemerkung. Es langt hier, dass ' stückweise stetig differenzierbar ist. ' 26.17. rchimedisches Prinzip. Ein fester Körper sei eingetaucht in eine Flüssigkeit der konstanten Dichte c>, deren Oberfläche mit der Ebene x 3 =in R 3 zusammenfalle. Die Physik sagt uns, dass im Punkt x 2 @ die Flüssigkeit einen Druck der Stärke cx 3 (x) ausübt, wobei die äußere Normale ist (man beachte, dass x 3 negativ ist und der Druck nach innen gerichtet ist). Die Gesamtauftriebskraft ist F = cx 3 (x) ds(x); für jede Komponente F j von F gilt also F j = @ @ cx 3 j (x) ds(x). Dies ist ein Integral der Form c R @ hf j, ids, wobei f 1 (x) = @ x 1 3,f 2 (x) = @ 1 x 3,f 3 (x) = @ 1. Folglich ist nach Gauß F j = c @ hf j (x), (x)i ds(x) =c x 3 divf j (x) dx = @x 3 @x j dx. Damit ist F 1 = F 2 =, während F 3 = c 1 dx = c vol() ist. Der Körper erfährt also eine nach oben gerichtete uftriebskraft, die gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist.