5. Meßfehler Man unterscheidet... zufällige Meßfehler systematische Meßfehler Zufällige Messfehler machen das Ergebnis unsicher - ihre Abschätzung ist nur unter Verwendung statistischer Methoden durchführbar Systematische Messfehler machen das Ergebnis unrichtig - sind Fehler des Meßverfahrens (Nichtidealitäten der Meßmethode und/oder Meßgeräte) statische Meßfehler dynamische Meßfehler
Meßfehler absoluter Meßfehler (5.1) relativer Meßfehler (5.2) Näherung (5.3) auf die Meßspanne bezogener Meßfehler (5.4)
5.1 Systematische Meßfehler Fortpflanzung systematischer Fehler Aufgabengesetz (5.5) absoluter Meßfehler (5.6) Taylorreihe (5.7)
Aus Gl. (5.7) lassen sich die folgenden Regeln für die Fortpflanzung systematischer Fehler herleiten: Bei der Addition von Meßgrößen werden die absoluten Fehler addiert. Bei der Subtraktion von Meßgrößen werden die absoluten Fehler subtrahiert. Bei der Multiplikation von Meßgrößen werden die relativen Fehler addiert. Bei der Division von Meßgrößen werden die relativen Fehler subtrahiert.
Beispiel für Aufgabengesetz Systematische Meßfehler (cont.) (5.8) absoluter Fehler durch Auswertung von Gl. (5.7) (5.9) gesamter relativer als Summe der mit den Exponenten gewichteten relativen Einzelfehler (5.10) (5.11)
5.2 Zufällige Meßfehler nicht unmittelbar erfaßbar nicht korrigierbar Messungen liefern verschiedene Meßwerte statistisch verteilt Behandlung mithilfe statistischer Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie Gauß- oder Normalverteilung
5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung und Stichprobe Gauß- bzw. Normalverteilung (5.12) Arithmetischer Mittelwert = wahrer Wert (5.13) Standardabweichung (5.14) Varianz:
Gaußsche Verteilungsfunktion Abb. 5.1.
Statistische Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) (5.15) Errorfunction (5.16)
Zusammenhang zwischen der Variablen der Errorfunction und der Variablen der Wahrscheinlichkeitsdichte (5.17) Statistische Sicherheit (5.18) (5.19) (5.20)
Tabelle 5.1. Fehlerwahrscheinlichkeit (statistische Sicherheit) bei symmetrischem Intervall.
Vertrauensfaktor (5.21) Zufälliger Fehler eines Einzelmeßwertes (5.22) Messungen für Schätzwert (5.23) Empirische Standardabweichung = Schwankung (5.24) Streuung:
5.2.2 Vertrauensbereich für den Schätzwert Schwankung (5.25) Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz (5.26) (5.27)
Grundgesamtheit von Meßwerten mit einer Stichprobe zu Einzelmeßwerten Abb. 5.2.
Vertrauensgrenzen (5.28) zufälliger Fehler des Schätzwertes (5.29) mittlerer Fehler des Schätzwertes (5.30)
Vergleich von Normalverteilung und Student-Verteilung (t-verteilung) für = Abb. 5.3.
Tabelle 5.2. Abhängigkeit des Vertrauensfaktors von der Anzahl der Messungen bei verschiedener statistischer Sicherheit.
Angabe eines Meßergebnisses Korrektur der systematischen Fehler Bestimmung des Schätzwertes Bestimmung der Schwankung Angabe in der Form mittlerer Fehler
Beispiel Meßreihe mit zufälligen Fehlern
Beispiel Meßreihe mit zufälligen Fehlern (cont.) Schätzwert (5.31) Schwankung (empirische Standardabweichung) (5.32)
Beispiel Meßreihe mit zufälligen Fehlern (cont.) zufälliger Fehler der Einzelmessung (5.33) zufälliger Fehler des Schätzwertes (5.34) vollständige Angabe des Meßergebnisses (5.35)
Meßgröße 5.2.3 Fortpflanzung zufälliger Fehler (5.36) Mittelwert (5.37) Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz (5.38) Beispiel für Aufgabengesetz (5.39)
mittlerer relativer Fehler (5.40) Schätzwert des wahren Wertes (5.41) Schwankung des Schätzwertes (5.42)
5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßgeräten Genauigkeitsklasse (5.43) maximaler relativer Fehler (5.44) genormte Genauigkeitsklassen (VDE 0410)
5.4 Dynamische Meßfehler 5.4.1 Das Übertragungsverhalten von Meßsystemen Beschreibung des Übertragungsverhaltens durch Impulsantwort bzw. Sprungantwort Ausgangssignal durch Faltung mit der Impulsantwort (5.45) (5.46)
Impulsantwort eines linearen Meßsystems Abb. 5.4.
Sprungantwort (5.47) Zusammenhang zwischen Sprungantwort und Impulsantwort (5.48)
Sprungantwort eines linearen Meßsystems Abb. 5.5.
Beschreibung des Übertragungsverhaltens durch Übertragungsfunktionen Harmonische Anregung (5.49) (5.50) Übertragungsfunktion des linearen Systems (5.51)
Dämpfung und deren Phase (5.52) (5.53) Übertragungsfunktion eines linearen Systems aus den Quotienten der Fouriertransformierten (5.54)
Multiplikation der Fouriertransformierten im Frequenzbereich (5.55) (5.56) Laplace-Übertragungsfunktion eines linearen Systems (5.57) (5.58)
Übertragungsfunktion (5.59) Integrationssatz der Laplacetransformation (5.60) (5.61) Zusammenhang zwischen der Übertragungsfunktion Sprungantwort und der (5.62)
Tabelle 5.3. Definitionsgleichungen der Laplace- und Fourier-Transformationen (Kap. 3)
Zusammengesetzte Übertragungssysteme Abb. 5.6.
Zusammengesetzte Systeme Serienschaltung (5.63) Parallelschaltung (5.64) Rückkoppelschaltung (Kreisschaltung) (5.65)
Beschreibung des Übertragungsverhaltens durch Differentialgleichungen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (5.66) Differentiationssatz der Laplace-Transformation (5.67)
(5.68) Zusammenhang zwischen der Übertragungsfunktion im Laplacebereich und den Koeffizienten der Differentialgleichung (5.69) Empfindlichkeit des Meßsystems (5.70)
5.4.2 Definition des dynamischen Meßfehlers momentaner dynamischer Meßfehler (5.71) mittlerer quadratischer dynamischer Fehler (5.72) quadratischer Mittelwert des Meßsignals (5.73) bezogener quadratischer Mittelwert des dynamischen Fehlers (5.74)
5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers (5.75) Momentanverlauf des absoluten Meßfehlers (5.76) (5.77)
Dynamischer Meßfehler aufgrund des (nicht-idealen) Übertragungsverhaltens des Meßsystems Abb. 5.7.
5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten Vorwärtsanalyse (5.78) (5.79) (5.80)
Meßsystem (Tiefpaß 1. Ordnung) Abb. 5.8.
zeitlicher Verlauf des dynamischen Meßfehlers (5.81) mittlerer quadratischer dynamischer Fehler (5.82)
Rückwärtsanalyse (5.83) (5.84)
Verringerung des dynamischen Fehlers durch Korrekturnetzwerk (5.85) (5.86) (5.87) (5.88) (5.89)
Meßsystem mit Korrekturnetzwerk (Tastkopf) Abb. 5.9.
(5.90) (5.91) (5.92) (5.93) (5.94) (5.95)
Sprungantwort am Ausgang des Tastkopfes Abb. 5.10.
http://www.springer.com/978-3-642-22608-3