Transformation von Gauß-Krüger(GK)- Koordinaten des Systems MGI in Universal Transversal Mercator(UTM)- Koordinaten des Systems ETRS89

Transformation von Gauß-Krüger(GK)- Koordinaten des Systems MGI in Universal Transversal Mercator(UTM)- Koordinaten des Systems ETRS89

1. Inhaltsverzeichnis 1. Inhaltsverzeichnis...2 2. Leitfaden...3 3. Ellipsoidparameter und abgeleitete Größen:...4 4. Gauß-Krüger-Koordinaten geographische Koordinaten...5 5. UTM-Koordinaten geographische Koordinaten...6 6. Geographische Koordinaten Gauß-Krüger-Koordinaten...6 7. Geographische Koordinaten UTM-Koordinaten...7 8. Gauß-Krüger-Koordinaten Koordinaten des Bundesmeldenetzes...8 9. Geographische Koordinaten 3D-kartesische Koordinaten...8 10. 3D-kartesische Koordinaten geographische Koordinaten...8 11. Transformation von 3D-kartesischen Koordinaten ETRS89 3D-kartesische Koordinaten MGI (7-Parameter-Transformation)...9 GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 2 von 9

2. Leitfaden Der Leitfaden für die Anwendung der nachstehend angeführten Parameter und der Berechnungsformeln wird in Form einer graphischen Übersicht übermittelt. Das jeweils nötige Kapitel ist ebenfalls aus der Grafik ersichtlich. Über das Zahlenbeispiel kann die gesamte Funktionalität überprüft werden. GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 3 von 9

3. Ellipsoidparameter und abgeleitete Größen: Parameter Bessel-Ellipsoid: große Halbachse: a = 6 377 397,15508 m kleine Halbachse: b = 6 356 078,96290 m Parameter Ellipsoid GRS80: große Halbachse: a = 6 378 137,00000 m kleine Halbachse: b = 6 356 752,31425 m davon abgeleitete Größen: Polkrümmungsradius: c = a2 b Abplattung: f = a - b a 1. numerische Exzentrizität e 2 = a2 - b 2 a 2 2. numerische Exzentrizität e' 2 = a2 - b 2 von der geographischen Breite abhängige Größen: b 2 Meridiankrümmungsradius M = ormalkrümmungsradius t = tan ϕ η 2 = e' 2 cos 2 ϕ V = 1 η 2 = c V c V 3 Länge des Meridianbogens: B ϕ = α ϕ - β sin 2ϕ γ sin 4ϕ - δ sin 6ϕ (1) α = A a (1 - e2 ) ρ ρ = 180 π β = B 2 a (1 - e2 ) γ = C 4 a (1 - e2 ) δ = D 6 a (1 - e2 ) GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 4 von 9

A = 1 3 4 e2 45 64 e4 175 256 e6 11025 16384 e8 43659 65536 e10... B = C = D = 3 4 e2 15 16 e4 525 512 e6 2205 2048 e8 72765 65536 e10... 15 64 e4 105 256 e6 2205 4096 e8 10395 16384 e10... 35 512 e6 315 2048 e8 31185 131072 e10... z.b.: für das Bessel-Ellipsoid : α = 111 120,61962 m/ β = 15 988,6385 m γ = 16,7300 m δ = 0,0218 m Fußpunktsbreite: ( geographische Breite einer bestimmten Meridianbogenlänge B φ ) ϕ = Bϕ α β α sin 2ϕ - γ α sin 4ϕ δ sin 6ϕ (2) α Bestimmung durch Iteration! 4. Gauß-Krüger-Koordinaten geographische Koordinaten Geographische Breite ϕ: 2 y t ϕ = ϕ x (-1 - η 2 4 y t ) ( 5 3 t 2 6η 2-6 t 2 η 2-3η 4-9 t 2 η 4 ) 2 4 2 24 6 y t ( -61-90 t 2-45 t 4-107 η 2 162 t 2 η 2 45 t 4 η 2 ) 6 720 8 y t 40320 8 ( 1385 3633 t 2 4095 t 4 1575 t 6 ) ur notwendig für das UTM-System mit einer Streifenbreite ±3 Geographische Länge λ: λ = λ 0 y cosϕ x y 3 6 3 cosϕ x ( -1-2 t 2 - η 2 ) y 5 120 5 cosϕ x ( 5 28 t 2 24 t 4 6η 2 8 t 2 η 2 ) y 7 5040 7 cosϕ ( -61-662 t2-1320 t 4-720 t 6 ) X ur notwendig für das UTM-System mit einer Streifenbreite ±3 GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 5 von 9

Das jeweils letzte angegebene Glied der Gleichungen kann für die GK-Abbildung vernachlässigt werden. Anm.: ϕ x auch als Fußpunktsbreite bezeichnet, ist die geogr. Breite für den Meridianbogen mit der Länge x (x-komponente der GK-Koordinate) und wird mit den Formeln (2) gewonnen. Diese Größe wird anschließend für die Berechnung aller von der geographischen Breite abhängigen Variablen verwendet. λ 0 ist die geographische Länge des Bezugsmeridians der Abbildung. Im Falle des österreichischen Landessystems (Bessel) sind dies die Meridiane 28, 31 und 34 im System Ferro ( λ Ferro - λ Greenwich = 17 40 ' ), im Falle von UTM (ETRS89) sind dies die Meridiane 9 und 15 im System Greenwich. H Bessel = h Bessel h Bessel ellipsoidische Höhe (über Bessel-Ellipsoid) MGI-Gebrauchshöhe Geoidundulation bezogen auf Bessel-Ellipsoid 5. UTM-Koordinaten geographische Koordinaten Zur Abbildung nach UTM sind grundsätzlich die selben Formeln wie in Punkt 4 zu verwenden, die UTM- Koordinaten müssen aber vorab in eine andere Form gebracht werden. y = (Easting(E) 500000) / 0.9996 x = orthing() / 0.9996 Easting (E) und orthing () ist die internationale Bezeichnung für der Rechtswert (RW) und Hochwert (HW) der UTM-Abbildung. H GRS80 = h GRS80 ellipsoidische Höhe (über GRS80-Ellipsoid) h orthometrische Höhe (Bezugspegel Amsterdam) GRS80 Geoidundulation bezogen auf GRS80-Ellipsoid 6. Geographische Koordinaten Gauß-Krüger-Koordinaten Hochwert x: x = B ϕ 2 λ2 sinϕ cosϕ 24 λ4 sinϕ cos 3 ϕ ( 5 - t 2 9 η 2 4 η 4 ) 720 λ6 sinϕ cos 5 ϕ ( 61-58 t 2 t 4 ) λ 8 sinϕ cos 7 ϕ ( 1385-3111 t 2 543 t 4 t 6 ) 40320 ur notwendig für das UTM-System mit einer Streifenbreite ±3 GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 6 von 9

Rechtswert y: y = λ cosϕ 6 λ3 cos 3 ϕ ( 1 - t 2 η 2 ) 120 λ5 cos 5 ϕ ( 5-18 t 2 t 4 14 η 2-58 η 2 t 2 ) 5040 λ7 cos 7 ϕ ( 61-479 t 2 179 t 4 - t 6 ) ur notwendig für das UTM-System mit einer Streifenbreite ±3 Das jeweils letzte angegebene Glied der Abbildungsgleichungen kann für die GK-Abbildung vernachlässigt werden. B ϕ ist aus (1) zu berechnen λ = λ - λ 0 λ 0...Bezugsmeridian der Abbildung (28, 31 und 34 im System Ferro) h = H BESSEL BESSEL H BESSEL BESSEL... Gebrauchshöhe ellipsoidische Höhe (über Bessel-Ellipsoid) Geoidundulation bezogen auf Bessel-Ellipsoid 7. Geographische Koordinaten UTM-Koordinaten Zur Abbildung nach UTM sind grundsätzlich die selben Formeln wie in Punkt 6 zu verwenden, dass Ergebnis ist aber noch mit einem Massstabsfaktor von 0.9996 zu multiplizieren. Eine Additionskonstante wird am Rechtswert angebracht, um immer positive Werte zu bekommen. Easting(E) = y * 0.9996 500000 orthing() = x * 0.9996 λ = λ - λ 0 λ 0...Bezugsmeridian der UTM-Abbildung (Zone 32 = 9, Zone 33 = 15 ) h = H GRS80 GRS80... orthometrische Höhe H GRS80 GRS80 ellipsoidische Höhe (über GRS80-Ellipsoid) Geoidundulation bezogen auf GRS80-Ellipsoid GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 7 von 9

8. Gauß-Krüger-Koordinaten Koordinaten des Bundesmeldenetzes xbm = x - 5000000 ybm = y konst konst ist abhängig von den Meridianstreifensystemen M28, M31 und M34 konst = 150000 für M28 konst = 450000 für M31 konst = 750000 für M34 9. Geographische Koordinaten 3D-kartesische Koordinaten X = b a ( H) ( H) 2 cos ϕcosλ cos ϕsin λ Hsin ϕ = X Y Z H ormalkrümmungsradius ellipsoidische Höhe 10. 3D-kartesische Koordinaten geographische Koordinaten tan λ = Y X tan ϕ = Z e' 2 b sin 3 ϑ X 2 Y 2 - e 2 a cos 3 ϑ mit ϑ = arctan Z a X 2 Y 2 b H = X 2 Y 2 cosϕ - H ormalkrümmungsradius ellipsoidische Höhe GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 8 von 9

11. Transformation von 3D-kartesischen Koordinaten ETRS89 3D-kartesische Koordinaten MGI (7-Parameter- Transformation) X BESSEL = C (1 dm) R X ETRS89... Matrizengleichung R = 1 α (z) -α (y) -α (z) 1 α (x) α (y) -α (x) 1... Rotationsmatrix (Coordinate Frame Convention) C = ( X Y Z ) α(x) α(y) α(z) dm Verschiebungsvektor Drehung um die X-Achse Drehung um die Y-Achse Drehung um die Z-Achse Massstabsdifferenz zwischen beiden Systemen Die Matrizengleichung explizit: X BESSEL = X (1dm) * [X ETRS89 Y ETRS89 * α(z) - Z ETRS89 * α(y)] Y BESSEL = Y (1dm) * [- X ETRS89 * α(z) Y ETRS89 Z ETRS89 * α(x)] Z BESSEL = Z (1dm) * [X ETRS89 * α(y) - Y ETRS89 * α(x) Z ETRS89 ] Österreichweiter Parametersatz: Transformationsparameter X = -577.326 m Y = -90.129 m Z = -463.919 m dm = -0.0000024232 α(x)= 5.137 α(y)= 1.474 α(z)= 5.297 Achtung: Die Drehwinkel in obigen Gleichungen sind im Bogenmaß einzusetzen! (Winkel im Bogenmaß = Winkel in Altgrad * Pi / 180) GK_MGI_UTM_ETRS89 Seite 9 von 9