Formale Matrizenrechnung

LINEARE ALGEBRA Formale Matrizenrechnung Grundlagen: Formales Rechnen mit Matrizen Datei Nr. 6 Stand 3. September 5 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

6 Matrizenrechnung: Grundlagen Vorwort In diesem ersten Themenheft geht es zunächst um die Grundlagen, also das rein formale Rechnen mit Matrizen. Man kann sie addieren und subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren und auch miteinander multiplizieren. Diese Matrizenmultiplikation ist allerdings schon ein Stolperstein, denn sie ist ziemlich aufwendig. Bemerkenswert ist es dabei, dass man die Faktoren im Gegensatz zum Zahlenprodukt nicht vertauschen darf. Dazu gibt es Ersatz für die Zahl, nämlich die Einheitsmatrix E, und es gibt auch eine Art Kehrwert zu vielen Matrizen, man nennt sie inverse Matrizen, die man etwa braucht, um Matrizengleichungen zu lösen. Daneben gibt es eine neue Operation, das ist das Transponieren von Matrizen, indem man ihre Zeilen und Spalten vertauscht. Dieses Heft wird ergänzt durch eine große Zahl an Musterbeispielen und Trainingsaufgaben mit Musterlösungen am Ende des Textes. Ich habe in diesem Text bewusst kaum Anwendungen gebracht, denn wer den formalen Umgang mit Matrizen und Matrizengleichungen nicht beherrscht, kann auch keine Anwendungsaufgaben lösen. Daher liegt der Schwerpunkt hier auf Training mit dem Ziel einer sicheren Beherrschung der behandelten Verfahren. Anwendungsaufgaben findet man dann in den Texten 63 usw. Inhalt Was sind Matrizen? 3 Formales Rechnen mit Matrizen 6. Gleichheit von Matrizen 6. Addition von Matrizen 7 Rechengesetze für die Matrizenaddition 8.3 Vielfache von Matrizen (S-Multiplikation) Rechengesetze für die S-Multiplikation 3.4 Subtraktion von Matrizen 4.5 Multiplikation von Matrizen 5.5. Erinnerung an das Skalarprodukt der Vektorrechnung 5.5. Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor 6.5.3 Einführung der Matrizenmultiplikation 9 Potenzieren von Matrizen 6.5.4 Rechengesetze für die Matrizenmultiplikation 7.5.5 Trainingsaufgaben zur Matrizenmultiplikation 7.6 Transponieren von Matrizen 3 Lösungen der Trainingsaufgaben 3-38

6 Matrizenrechnung: Grundlagen 3 Was sind Matrizen? Matrizen kann man in vielen Fällen mit Tabellen vergleichen. Sie haben rechteckige (oder oft quadratische) Formen. Beispiel Die Handelskette GroßMaxx hat in Stuttgart 3 Filialen A, B und C. Sie werden unter anderem mit folgenden Artikeln beliefert: Groß-Kaffee, Kaffeesahne, Maxx-Toast und X-Gelee. Die Lieferung am. Juli 8 an diese Filialen sah so aus (Bedarfstabelle): Groß-Kaffee Kaffeesahne Maxx-Toast X-Gelee Filiale A 3 6 Filiale B 4 5 Filiale C 4 8 3 Lässt man die Beschriftungen in der. Zeile und der. Spalte weg, entsteht die Bedarfsmatrix: 3 6 A 4 5 4 3 8 Solche Matrizen sind kein Selbstzweck. Man hat verschiedene Rechenoperationen eingeführt, mit denen man alle Anforderungen der zugehörigen Anwendungen realisieren kann. Beispielsweise muss man die Lieferungen an verschiedenen Tagen zusammenrechnen können. Also benötigt man eine Addition von Matrizen. Kurz vor Weihnachten wird das Dreifache geliefert. Also wird es notwendig sein, Vielfache von Matrizen bilden zu können. Dann muss es möglich sein, die Kosten für eine solche Lieferung berechnen zu können. Dazu benötigt man die Möglichkeit, für Matrizen eine Art Multiplikation zu definieren, denn wenn eine Packung Groß-Kaffee 7 kostet, dann muss dieser Preis mit der Lieferzahl multipliziert werden. Wie man Rechenoperationen einführt und welche Rechenregeln es dazu gibt, das wird in den nächsten Abschnitten gezeigt.

6 Matrizenrechnung: Grundlagen 4 Es gibt verschiedenen Arten von Matrizen. 3 6 A 4 5 4 3 8 hat 3 Reihen und 4 Spalten. Man nennt sie eine (3,4)-Matrix. B 5 6 ist eine quadratische Matrix, eine (3,3)-Matrix. 3 C 4 v 4 3 6 z 3 9 e, e, e o oder o D 5 6 F 5 5 3 4 E usw. und 5 5 3 5 5 3 ist eine Diagonalmatrix, denn nur in der Diagonalen stehen von verschiedene Zahlen. Jede Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix. ist eine Matrix mit nur Spalte. Solche Matrizen nennt man Spaltenvektoren. Vektoren werden gerne mit Kleinbuchstaben und einem Pfeil bezeichnet. ist eine Matrix mit nur Zeile. Solche Matrizen nennt man Zeilenvektoren. sind die drei Einheitsvektoren mit 3 Zeilen. Ein Einheitsvektor besitzt immer nur eine Eins und sonst Nullen. sind Nullvektoren, weil sie nur Nullen enthalten. ist eine obere Dreiecksmatrix und ist eine untere Dreiecksmatrix. ist eine Einheitsmatrix, weil sie eine Diagonalmatrix ist, deren Hauptdiagonale nur Einsen enthält. sind Nullmatrizen, weil sie nur Nullen enthalten. Man nennt eine Matrix symmetrisch, wenn sie auf beiden Seiten der Hauptdiagonalen gleich aussieht. Unterscheiden sich die beiden Seiten nur in den Vorzeichen, heißt die Matrix antisymmetrisch.

6 Matrizenrechnung: Grundlagen 5 Transponieren von Matrizen Will man eine Matrix transponieren, dann verwandelt man ihre Spalten in Zeilen: 3 4 T Zu A 3 5 7 ist A 5 6 4 6 8 die transponierte Matrix. 7 8 Aus einem Spaltenvektor wird durch Transponieren ein Zeilenvektor: Aus v 4 3 6 T wird durch Transponieren v 4 3 6 Dies macht man bei Spaltenvektoren gerne, wenn man im Aufgabentext Platz sparen will. Koppeln von Matrizen Man kann zwei Matrizen koppeln, wenn sie dieselbe Zeilenanzahl besitzen: Aus A 5 3 und 4 B 4 A B 5 3 Man kann auch Vektoren zu Matrizen koppeln. So kann man aus a 5, a, a 3 die Matrix 6 3 wird durch koppeln (oder erweitern): A 5 erzeugen. 6 3 Auf die senkrechten Trennstriche verzichtet man dann. Man kann diese Matrix dann kurz auch so schreiben: A a a a. 3 Man kann die Matrix A aber auch als Kopplung von drei Zeilenvektoren verstehen. Aus b, b 5 und b 6 3 3 Und ganz zum Schluss: 5 4 ist keine Matrix. wird dann die Matrix b B b. b 3

6 Matrizenrechnung: Grundlagen 6 Formales Rechnen mit Matrizen. Gleichheit von Matrizen Den Leser mag es verblüffen, diesen Paragraph mit der Frage nach der Gleichheit zu beginnen. Warum ist das erforderlich und was ist damit gemeint? Ein Gleichheitszeichen steht zwischen zwei Rechenausdrücken und drückt eine Gleichheit aus. Doch was soll gleich bedeuten? Dazu ein hoffentlich einleuchtendes Beispiel: Ein Schüler schreibt auf: 3 4, und das ist richtig. 8 8 8 3 Ein anderer notiert:, und er hat auch Recht. 8 8 4 Der Grund liegt darin, dass ist. 8 Für einen, der vom Bruchrechnen noch nichts versteht, ist dies blanker Unsinn. Denn diese Brüche sind erkennbar verschieden und sehen nicht gleich aus! Wenn er jedoch gelernt hat, dass ein Gleichheitszeichen bei Brüchen bedeutet, dass diese verschiedenen Brüche den gleichen Wert haben, wird er die Richtigkeit der beiden Gleichungen verstehen, Man muss also die Definition der Gleichheit zweier Brüche kennen! Man hat festgelegt: Zwei Brüche heißen gleich, wenn man sie durch Erweitern oder Kürzen auseinander erzeugen kann. Also wird es für das Rechnen mit Matrizen auch notwendig sein, zu definieren, wann man zwei Matrizen gleich nennen darf. Definition: Zwei Matrizen heißen gleich, wenn sie an jeder Stelle dieselbe Zahl besitzen. Folgerung: Matrizen, die verschiedene Anzahlen von Zeilen und Spalten haben, können nie gleich sein. Beispiele für ungleiche Matrizen: Dagegen gilt: 3 3 und 8,5 8 3 9 3 6 4,5,5 8, 3 5 3 4 4 6. 5 6 denn die an den entsprechenden Stellen stehenden Zahlen haben den gleichen Wert, können also als gleich bezeichnet werden

6 Matrizenrechnung: Grundlagen 7. Addition von Matrizen Grundsatz: Definition: Man kann nur Matrizen der gleichen Bauart addieren. Gegeben seien Beispiele: a an b bn A m,n und B m,n am a mn bm b mn a b an bn Dann wird definiert: Am,n B m,n : am bm amn b mn 3 5 5 3 3 3 4 5 33 4 5 4 6 3 3 4 3 4 4 6 6 4 4 6 5 3 8 4 3 3 4 4 4 4 6 5 6 5 5 6 3 4 5 6 3 4 7 8 9 Das ist die Addition zweier Spaltenvektoren. Die. Matrix ist das negative der ersten Matrix! Das bedeutet, dass die Addition einer Nullmatrix nichts verändert. a b a b a b a b n n n n Die Addition zweier Diagonalmatrizen ergibt wieder eine solche. Diese Summe ist nicht berechenbar, weil die Matrizen nicht die gleiche Bauart haben, einem anderen Matrixtyp angehören: Die erste ist eine (3,)-Matrix, die zweite eine (3,3)-Matrix.

6 Matrizenrechnung: Grundlagen 8 Rechengesetze für die Matrizenaddition Wenn man rechnen will, muss man auch wissen, wie man rechnen darf. Was ist also erlaubt und was ist verboten? Zwei wichtige Rechengesetze für die Matrizen-Addition sind (A) A BB A Kommutativgesetz (A) A B C A B C Assoziativgesetz A besagt: Man darf zwei Matrizen bei der Addition vertauschen: 3 3 4 3 4 4 6 6 4 4 6 A B B 3 4 3 3 4 4 4 6 6 4 6 A! ist dasselbe wie: Den Sinn des Assoziativgesetzes verstehen nicht alle. Daher sei er erklärt: In der Definition der Addition wird nur gesagt, wie man zwei Matrizen addiert. Wenn man nun drei Matrizen addieren soll, dann geht dies auf zwei Arten. Ich zeige dies zuerst an Zahlen: 37 66 4 kann man so berechnen: oder so: 37 66 4 3 4 7 37 66 4 37 7 7 Bei der ersten Methode werden zuerst die beiden ersten Zahlen addiert und zu deren Summe dann die dritte. Dies ist etwas schwerer als die zweite Methode, bei der zuerst die. und 3. Zahl addiert werden, bevor man deren Summe zur ersten Zahl addiert. Dies ist hier ein Rechenvorteil, weil dabei die Zahl 7 entsteht, die besser zu 37 addiert wird als 66. Grundsatz für jede Rechenart: Soll man drei Elemente (Zahlen, Matrizen oder anderes) addieren, benötigt man zunächst Klammern um anzudeuten, wie die Addition durchgeführt werden soll: oder A B C A B C Erst wenn klar ist, dass es egal ist, wie man die Klammern setzt, d. h. wenn man weiß, dass das Assoziativgesetz gilt, darf man die Klammern weglassen und die Summe so schreiben: A + B + C.

6 Matrizenrechnung: Grundlagen 9 Überprüfung des Assoziativgesetzes der Matrizenaddition an einem Beispiel: 3 4 6 3 3 4 5 6 8 3? 4 4 5 7 8 9 5 7 9 3 4 6 3 5 4 6 4 7 3 3 4 5 6 8 3 6 8 9 8 3 4 9 4 4 5 7 8 9 5 7 9 4 5 7 9 6 9 3 3 4 6 3 6 9 4 7 3 3 4 5 6 8 3 3 3 6 9 4 9 4 4 5 7 8 9 5 7 9 4 4 5 5 8 6 9 3 Bemerkung (mathematische Allgemeinbildung): Bei der Subtraktion (und Division) von Zahlen gilt das Assoziativgesetz nicht, wie folgendes Beispiel zeigt: 8? 8 8 8 und 8 4 6. Nun kommt aber die Überraschung. Nach dem Grundsatz für das Verrechnen von 3 Zahlen dürfte man die Subtraktion also nicht ohne Klammern schreiben! Warum tut man es dennoch? Die Antwort haben die meisten vergessen: Man hat festgelegt, dass man (um Klammern zu sparen) die Subtraktion ohne Klammern so durchführen soll: 8 8. Schreibt man also eine Subtraktion ohne Klammern, dann rechnet man der Reihe nach. Das lernt man in der Grundschule, und kaum jemand weiß später noch den Grund für diese Maßnahme.

6 Matrizenrechnung: Grundlagen Existenzgesetze für die Matrizenaddition Jetzt geht es ein wenig in die Grundlagen der Mathematik. Man sollte diesen kleinen Abschnitt nicht überspringen, weil er für das Verständnis wichtig ist. Für das Rechnen sind zwei so genannte Existenzsätze wichtig. Jeder kennt ihren Inhalt und wendet sie automatisch an.. Existenzsatz: (Existenz eines neutralen Elements) Für die Addition von Zahlen oder Matrizen gibt es ein neutrales Element. Bei der Addition von Zahlen ist dies die Zahl, Bei der Addition von Matrizen ist es die Nullmatrix O. Neutrales Element bedeutet, dass es sich bei der Addition neutral verhält, sich also gar nicht einmischt. Mit anderen Worten, es gilt: Beispiele: 5 5 für Zahlen: a a für beliebiges a, für Matrizen: A O A für beliebiges A. 6 6 4 4 4 4 6 5 6 5 3 4 3 4 3 6 4 7 3 6 4 7.. Existenzsatz: (Existenz von inversen Elementen) Bei der Addition von Zahlen oder Matrizen gibt es zu jedem Element ein Inverses oder besser gesagt, ein negatives Element. Bei Zahlen ist dies zu a die Zahl a, Bei Matrizen ist es zu a die Matrix ik. Das negative Element hat die Eigenschaft, dass sich in der Addition mit dem ursprünglichen Element die Zahl bzw. die Nullmatrix ergibt. Mit anderen Worten: Mit dem Inversen bzw. negativen Element macht man eine Addition wieder rückgängig. a ik Für Zahlen: a a oder Für Matrizen: a a O ik ik a a

6 Matrizenrechnung: Grundlagen Beispiele: Negatives Element zu 4 4 A 3 ist A 3. 5 5 Ihre Addition ergibt: 4 4 A A 3 3 O 5 5 Negatives Element zu 3 a 7 Ihre Addition ergibt: ist 3 a. 7 3 3 a a o 7 7 (Nullvektor) Negatives Element zur Einheitsmatrix E ist E. Ihre Addition ergibt E E