1 Bewegung entlang eines hoizontalen Keises (a) Ein Ball de Masse m hängt an einem Seil de Länge L otiet mit eine konstanten Geschwindigkeit v auf einem hoizontalen Keis mit Radius, wie in Abbildung 2 (a) gezeigt ist. Das Seil bildet zu vetikalen den Winkel θ. Alle Käfte, die auf den Ball wiken sind in de Abbildung gezeigt. Die Kaft T, welche duch das Seil ausgeübt wid, wid in eine vetikale hoizontale Komponente zelegt (T cos θ T sin θ entspechend). Man nutzt den Fakt, dass es keine Beschleunigung entlang de y- Richtung gibt Newtons II Axiom ehält Fy = T cos θ mg = 0 Fx = T sin θ = ma z. Benutzt man die Gleichung fü die Zentipetalbeschleunigung (a z = v 2 /) löst obee Gleichungen ehält man tan θ = v2 g. somit v = g tan θ. Es ist möglich den Radius in Abhängigkeit von L θ als = L sin θ zu scheiben. Damit nimmt v folgende Fom an v = Lg sin θ tan θ. Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit unabhängig von de Masse des Balls ist. (b) Betachten Sie einen Ball de Masse 0.4kg, de an ein Seil de Länge = 2 m geben ist. De Ball wid in einem hoizontalen Keis heumgewibelt (vgl. Abbildung 2 (b)). Da de Ball sich auf eine Keisbahn bewegt, ist es möglich die Bewegung mit einem Teilchen in gleichmäÿige Keisbewegung zu beschieben. Benutzt man die Gleichung fü die Zentipetalbeschleunigung Newtons II Axiom ndet man ode T = mv2 v = T m. Aus obee Gleichung wid deutlich, dass die maximale Geschwindigkeit mit de maximalen Zugkaft des Seils zusammenhängt. Somit v max = Tmax m. 1 / 6
Einsetzen de Wete egibt v max 22.36 m/ s. Was ist de Einuss eine Ehöhung des Radius bei konstantem v? De göÿee Radius bedeutet, dass die Ändeung de Richtung de Geschwindigkeit in einem gegebenen Zeitintevall kleine wid. Somit ist die Beschleunigung kleine die Zugkaft im Seil ist kleine. Es ist also unwahscheinliche, dass das Seil eiÿt. Abbildung 1: (a) Ein konisches Pendel. De Weg des Balls ist entlang eines hoizontalen Keises. (b) Daufsicht eines Ball, des sich entlang eines Keises in de hoizontalen Ebene bewegt. 2 Bewegung entlang eines vetikalen Keises (a) Ein Pilot de Masse m= 100kg iegt imme wiede einen Looping, sodass es sich auf einem vetikalen Keis mit Radius 4km mit eine konstanten Geschwindigkeit von 400 m/ s bewegt (vgl. Abbildung 3 (a)). Es sind wiede alle Käfte in de Abbildung dagestellt. Unten im Looping wikt die Gavitationskaft nach unten F g = m g die Kaft, die de Sitz auf den Piloten ausübt nach oben N u. Die netto Kaft nach oben kommt duch die Zentipetalkaft. Nun wendet man wiede Newtons II Axiom an F = Nu mg = mv2, Die Kaft, die de Sitz auf den Piloten ausübt ist also N u = mg + mv2 ) = mg (1 + v2. g Einsetzen de entspechenden Wete egibt N u = 5000 N. Oben im Looping wikt die Gavitationskaft die Kaft, die de Sitz ausübt N b nach unten. Wiede wendet man die Gleichung fü die Zentipetalbeschleunigung Newtons II Axiom an ehält F = Nb + mg = mv2 2 / 6
ode ( ) v 2 N b = mg g 1. Einsetzen egibt N b 3000 N. (b) Ein Ball de Masse m ist an einem Seil de Länge R befestigt bewegt sich auf eine vetikalen Keisbahn um den Punkt O, wie in Abbildung 3 (b) zu sehen ist. Die wikenden Käfte sind wiede in de Abbildung zu sehen. Die einzigen Käfte sind die Gavitationskaft F g = m g nach unten duch die Ede die Kaft nach oben T duch das Seil. Anwenden Newtons II Axioms fü die tangentiale adiale Komponente: Ft = mg sin θ = ma t, egibt a t = g sin θ. füht zu F = T mg cos θ = m v2 R ( ) v 2 T = mg Rg + cos θ. Beachten Sie, das unten im Looping (θ = 0 ) T die dem T aus Teilaufgabe (a) entspicht. Abbildung 2: (a) Ein Flugzeug bewegt sich mit konstante Geschwindigkeit auf eine vetikalen Keisbahn. (b) Ein Ball ist an einem Seil de Länge R befestigt otiet auf einem vetikalen Keis, de um O zentiet ist. 3 / 6
3 Steilkuve In eine nomalen (nicht Steilkuve) Kuve wid die Zentipetalbeschleunigung duch die Hafteibung zwischen Auto Staÿe bewikt. Wenn die Kuve um einen Winkel θ geneigt ist, hat die Nomalkaft N eine hoizontale Komponente in Richtung de Innenseite de Kuve. Da die Staÿe so designed ist, dass die Hafteibung gleich null ist, bewikt nu die Komponente N x = N cos θ eine Zentipetalbeschleunigung. Newtons II Axiom egibt Fx = N sin θ = mv2 Fy = N cos θ mg = 0. Auösen nach θ egibt tan θ = v2 g. Einsetzen de entspechenden Wete egibt θ 43.83. Abbildung 3: Ein Auto in eine Steilkuve. 4 Bewegung in beschleunigten Bezugssystemen (a) Ein Ball de Masse m hängt an einem Faden von de Decke eines Zuges, de nach nach echts beschleunigt (Abbildung 5). Fü den Beobachte auÿehalb des Zugs, kann de Ball als Teilchen unte eine netto Kaft in de hoizontalen einem Teilchen im Gleichgewichtszustand in de hoizontalen betachtet weden. Fü den Beobachte im Zug, escheint de Ball im Gleichgewichtszustand somit ist eine de Käfte eine Scheinkaft. Beobachte auÿehalb de Zuges: Die Käfte auf den Ball ist die Zugkaft T vom Seil die Gavitationskaft F g von de Ede. Diese Beobachte kann auch sehen, dass die die 4 / 6
Beschleunigung des Balls die gleiche wie die des Zuges ist. Diese Beschleunigung ist duch die hoizontale Komponente von T gegeben. Newtons II Axiom: Fx = T sin θ = ma Fy = T cos θ mg = 0. Beobachte im Zug: Auch diese Beobachte sieht, dass de Faden einen Winkel zu Vetikalen einschlieÿt. Abe fü ihn ist de Ball in Ruhe (also keine Beschleunigung). Also füht e eine Scheinkaft ein, die die hoizontale Komponente von T eklät. Newtons II Axiom: Fx = T sin θ F fict = 0 Fy = T cos θ mg = 0. Lösen de Gleichungen ( Vegleichen mit denen des andeen Beobachtes) egibt F fict = ma, wobei a die Beschleunigung des Zuges laut dem auÿenstehenden Beobachtes ist. Beachten sie, dass die physikalische Intepetation de Auslenkung des Balls in den zwei Bezugssystem veschieden ist. (b) Benutzt man die Gleichungen, die fü den auÿenstehenden Beobachte hegeleitet wuden, sieht man, dass a = g tan θ. Die Beschleunigung kann also nu duch messen des Auslenkwinkels bestimmt weden. Das bedeutet auch, dass ein einfaches Pendel zum messen von Beschleunigung vewendet weden kann. Abbildung 4: Ein kleine an de Decke aufgehängte Ball in einem beschleunigendem Zug (vom uhenden Bezugssystem aus betachtet). 5 / 6
5 Relativbewegung Boot Ein Boot übequet einen Fluss Richtung Noden mit v b = 10km/ h elativ zum Wasse. Das Wasse im Fluss hat eine gleichmäÿige Bewegung von v e = 4km/ h nach Osten. Um die Eektivgeschwindigkeit des Boots elativ zu Ede v be zu beechnen, addiet man die esten beiden Vektoen ehält v be = v b + v e. Eine gaphische Dastellung diese Addition ist in Abbildung 4 zu sehen. Somit ist v be = v 2 b + v2 e 10.86m/s. Die Richtung von v be ist gegeben duch θ = actan(v e /v b ) = 21.8. Abbildung 5: Ein Boot übequet einen Fluss 6 / 6