Einführng in die Meteorologie (met20) - Teil IV: Dnamik der Atmosphäre Clemens Simmer
IV Dnamik der Atmosphäre Dnamische Meteorologie ist die Lehre on der Natr nd den Ursachen der Bewegng in der Atmosphäre. Sie teilt sich af in Kinematik nd Dnamik im engeren Sinne. Kinematik Diergen nd Rotation Massenerhaltng Stromlinien nd Trajektorien 2. Die Bewegngsgleichng Newtonsche Aiome nd wirksame Kräfte Naier-Stokes-Gleichng Skalenanalse 3. Zweidimensionale Windssteme natürliches Koordinatensstem Gradientwind nd andere Reibngseinflss af das Vertikalprofil des Windes 2
IV.2 Die Bewegngsgleichng Die Newtonschen Aiome Die wirksamen Kräfte Drckgradient Schwerkraft Reibngskraft Scheinkräfte (Zentrifgal- Corioliskraft) Die Naier-Stokes-Gleichng Skalenanalse geostrophische Approimation hdrostatische Approimation geostrophischer Wind im p-koordinatensstem 3
IV.2. Bewegngsgleichng im Inertialsstem. Aiom K 0 a 2. Aiom d m a K 3. Aiom K 2 K 2 i K i const Korrolar ("4. Aiom" ) K Im kräftefreien Ram bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit fort. Af angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit einer Beschlenigng (ach Definition der Masse). Greift eine Kraft an einem Körper an so wirkt eine gleiche Kraft mit mgekehrtem Voreichen (actio reactio). Unterschiedliche Kräfte addieren sich ektoriell r Gesamtkraft. Die Newtonschen Aiome die nr in einem Inertialsstem gelten sind der Asgangspnkt für die Bewegngsgleichng af der rotierenden Erde. 4
IV.2.2 Af die Atmosphäre wirksame Kräfte a) in einem Inertialsstem gilt nach Aiom 2 nd dem Korrolar d d K a a m K f mit f massenspeifische Kraft m oder Beschlenigng 3 f f mit f Drckgradientbeschlenigng i i f2 f 3 Schwerebeschlenigng Reibngsbeschlenigng 5
Drckgradientbeschlenigng B 0 0 0 A An allen Wänden des Volmens () wirkt der Lftdrck als Implsflssdichte pkraft/fläche Impls/(Zeit Fläche) Fläche A: p( 0 /2)p( 0 )(p/)(/2) Fläche B: p( 0 -/2)p( 0 ) -(p/)(/2) Nettoimplsflssdichte in -Richtng p( 0 /2)-p( 0 -/2)- (p/) Nettokraft (Drck Fläche) K -(p/) -(p/)v massenspeifische Kraft (Beschlenigng) f K /m-(p/)v/m -(/)(p/) f p f p f p p p p oder fp p 6
Schwerebeschlenigng Wir kennen bereits : g gn gz mit gn Newtonsche Aniehng (Graitation) gz Zentrifgalbeschlenigng g mss senkrecht af der Erdoberfläche sein Im Inertialsstem dürfen wir aber die Zentrifgalbeschlenigng der Erde nicht einbeiehen. g N g g Also gilt f g g N 0 g g N N 7
Reibngskraft () Astasch on Molekülen wischen den Schichten nterschiedlicher Geschwindigkeit drch thermische Bewegng moleklare Reibng «Astasch on Lftpaketen wischen den Schichten nterschiedlicher Geschwindigkeit drch Trblen trblente Reibng Prinip der Reibng: Analog m Drck ist Reibng als Implsastasch sehen allerdings nn parallel den Grenflächen 8
Reibngskraft (2) Grndlegender Ansat: Schbspannng intiti nächst nr für Reibng in der Horiontalen kg ms m / s m kg m / s m β mit β kg ms [ β ] Zähigkeit [ ] Implsflssdichte wie der Drck 2 s 0 0 0 ( 0 / 2) ( 0 / 2) : Schb in Richtng drch Implsastasch in Richtng ± wirkt oben nd nten am Volmen Differen bewirkt Nettoschb 9
Reibngskraft (3) ( 0 /2) 0 ( 0 -/2) > 0 ( 0 /2)- ( 0 -/2)<0 Abbremsng β ( 0 /2) > 0 ( 0 -/2) < 0 ( 0 /2)- ( 0 -/2)»0 starke Beschlenigng ( 0 /2) >0 ( 0 -/2) > 0 ( 0 /2)- ( 0 -/2)~0 weder Abbremsng noch Beschlenigng Entscheidend für Abbremsng oder Beschnenigng ist also nicht der Implstransport selbst sondern dessen rämliche Änderng: Konergen beschlenigt Diergen bremst. 0
Reibngskraft (5) Berechnng der Nettokraft in -Richtng (Implsflssdiergen): Reibngsbeschlenigng nach / ) ( ) / ( über ) / ( ) / ( m V m K f K R R R ± ± 2 2 2 2 0 0 0 0 Laminare nd trblente Strömngen trblenter Diffsionskoeffiient K moleklare Zähigkeit bw. kinematische mit ) ( ) ( trblent laminar 2 2 µ ν µ υ υ µ β K K f R
Reibngskraft (6) Problem: Neben eistieren noch nd nd analog für die anderen Richtngen nd nd nd. Die ii sind schon drch die Drckgradientkraft erledigt! Lösng: Schbspannngstensor 0 0 0 nd fr 2
Bewegngsgleichng für die Atmosphäre im Inertialsstem d a p g N In der Bewegngsgleichng für das Inertialsstem treten die bekannten Coriolis- nd Zentrifgalbeschlenigngen nicht af! Als brachbares Inertialsstem kann dabei ein in der Sonne erankertes Koordinatensstem sein das seine Achsen starr am Fisternhimmels asrichtet. 3
IV.2.2 Bewegngsgleichng im Erdsstem b) im erdfesten Begssstem Das erdfeste Sstem ist kein Inertialsstem da jeder feste Pnkt (bis af die Pole) drch die Erddrehng ständig seine Bewegngsrichtng ändern mss. Massen af der Erde reagieren af diese Beschlenigngen mit Trägheit d.h. sie erschen ihre momentane Bewegng im Inertialsstem beibehalten. Im erdfesten Sstem erscheinen diese Trägheitsbewegngen als Beschlenigngen die dann als Reaktion af Scheinkräfte interpretiert werden 4
Coriolisbeschlenigng - qalitati () - Ein on P (fest af der Scheibe) nach Q geworfener Körper hat ach eine -Komponente der Geschwindigkeit; sie entspricht etwa der -Bewegng on P. Nach der Zeit t ist P bei P nd ach der Körper mss etwa die gleiche Strecke in -Richtng nach Q t 0 Q Q P P tt Q rück gelegt haben. Der Pnkt Q hat sich aber nr nach Q erlagert drch die kleinere Entfernng on der Drehachse. Der Körper hat sich also relati r Scheibenoberfläche nach rechts bewegt. Analoges ergibt sich für die mgekehrte Richtng. 5
Coriolisbeschlenigng - qalitati (2) - P P Q Q Q P Q Q Q Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit t. P wirft nach Q (blaer Vektor). Doch gleicheitig ist die Drehng der Scheibe berücksichtigen (roter Vektor). Die Smme ist der grüne Vektor der die Position des Balls im Intertialsstem aneigt. Beachte nn die Position des Balls Q relati der Geraden P Q. Rechtsablenkng P 6
Coriolisbeschlenigng - halb qantitati () - Ein Körper startet bei A mit konstanter Geschwindigkeit nach B (nach Norden) nd hält afrecht über ein Zeitinterall t. Drch Erhaltng des Ost-Implses nimmt er dabei eine Relatigeschwindigkeit in Ostrichtng af nd hat nach t die Strecke s nach Osten rückgelegt. B t A 2 s C 3 s t( (A)- (B))t (Rcos()/t - Rcos( )/t) t (R(cos() - cos( ))) t mit Länge nd Breite Mit b C 2s/(t)² (Annahme einer konstanten Beschlenigng nach Ost: s/2b c t²) nd /t/r t R/ folgt b C 2R(cos()-cos( )) / ( R/ ) - 2 (cos()-cos()) / () - 2 (cos()) / () -2d(cos)/d 2sin b C 2Ω sinϕ Der Körper beschlenigt nach rechts in Abhängigkeit on Geschwindigkeit nd Breite 7
Coriolisbeschlenigng - halb qantitati (2) - Ein Körper bewege sich mit der Relatigeschwindigkeit nach Ost. Er hat dann die Absoltgeschwindigkeit a rrcos. Da er einer Kreisbewegng folgt folgt eine Zentrifgalbeschlenigng on ( a ) 2 /r. r R P 2 cos 2 sin 2 r ( Ωr ) 2 2 2 a 2 r Ω r 2 Ω r Der erste Term ist das bekannte g. Die beiden letten Terme beschreiben die sätliche Zentrifgalbeschlenigng drch die (relatie) -Bewegng. Der dabei meist dominierende mittlere Term (nr er hängt om Voreichen on ab!) lässt sich in eine nd eine -Komponente afteilen (Abbildng). Offensichtlich erfolgt in der Horiontalen wieder eine Rechtsablenkng nd war mit der Beschlenigng b C 2Ω sinϕ 8
Coriolisbeschlenigng - formal () - Betrachtng der Darstellng eines Vektors im Intertialsstem nd im rotierenden Erdsstem Bildng der eitlichen Ableitng nter Berücksichtigng der Änderng des rotierenden Koordinatensstems Anwendng af den Vektor der absolten Geschwindigkeit. 9
Coriolisbeschlenigng - formal (2) - i k j Ω j k i da a Vektor ai a j ak a i a j a k daras folgt da da da i j k da da da i j k d a beobachtete Änderng im beschlenigten Sstem di dj dk a a a d a a Ω i a Ω j a Ω k d a Ω a i Ω a j Ω a k d a Ω a 20
Coriolisbeschlenigng - formal (3) - da d a Ω a dr da d r Ω r identisch mit a Ω r d a a d d ( r ) Ω Ω Ω Ω r d d Ω d r r Ω Ω Ω Ω r 2
Coriolisbeschlenigng - formal (4) - d d d Ω a r 2 Ω Ω Ω r IV V I II III I. Scheinbare Beschlenigng relati r Erdoberfläche II. Beschlenigng im Inertialsstem ( Smme der angreifenden Kräfte) III. Beschlenigng drch Änderng der Erdrotation (Herbsttag 005 s kürer als Sommertag i.a. aber ernachlässigbar) IV. Coriolisbeschlenigng V. Zentrifgalbeschlenigng 22
Coriolisbeschlenigng - formal (5) Coriolisbeschlenigng i fc 2Ω 2 Ω j Ω k Ω w 2Ω ( sinϕ w cosϕ) 2Ω sinϕ 2Ω cosϕ da 0 cosϕ sinϕ Äq. Wo ist ²/r on Folie 8 geblieben? f Mit dem Coriolisparameter f2sin gilt für die horiontale Komponente C h f 2Ωcosϕ w f fk h f f da w << 23
Naier-Stokes-Gleichng () d d da d Ω r 2Ω Ω Ω r d a p gk ( ) p gk 2Ω t f R Dabei wrden totale Ableitng in partielle Ableitngen gesplittet Rotationsektor als konstant angenommen Zentrifgalbeschlenigng in der Schwerebeschlenigng integriert d /d/ gesett Reibng erallgemeinert 24
25 Naier-Stokes-Gleichng (2) f R gk p t d Ω 2 ) ( komponentenweise ( ) R R R f -g p w w w w t w dw f p w t d f w p w t d cos sin cos sin Ω Ω Ω ϕ ϕ ϕ ϕ 2 2 2 gekoppelte nichtlinear Diff gleichngen 2. Ordnng
IV.2.3 Skalenanalse - für snoptische Ssteme der mittleren Breiten - Snoptische Skalenanalse der -Komponente (Vertikalwind) -> statische Grndgleichng Snoptische Skalenanalse der /- Komponente (Horionalwind) -> der geostrophische Wind 26
Skalenanalse (2) - charakteristische snoptische Größen - Horiontalgeschw. U ~ 0 m/s Vertikalgeschw. W ~ 0-2 m/s Länge L ~ 0 6 m (000 km) Höhe H ~ 0 4 m (0 km) Lftdrckariat. P ~ 0 3 Pa (0 hpa) Zeit L/U T ~ 0 5 s (ca. Tag) Coriolisparam. f 2Ωsinϕ ~ 0-4 s - Lftdichte ~ kg/m 3 Lftdrck am Boden p o ~ 0 5 Pa (000 hpa) 27
Skalenanalse (3) horiontale Bewegngsgleichng - d d p 2Ω( sinϕ w cosϕ) p 2Ω sin ϕ F Fr F Fr U/T / p/l fu fw - 0-4 0-3 0-3 0-6 - m/s 2 f f p p...coriolisbeschlenigng nd Drckgradientbeschlenigng heben sich gegenseitig af! 28
snoptische Skalenanalse (4) geostrophischer Wind - f p p f h oder k f h p fk h h p T geostrophischer Wind: g g k f p g h p f p p 3 p p 2 p p p p F PH F CH H g 29
snoptische Skalenanalse (5) - 3. Bewegngsgleichng - dw p g 2Ω cos ϕ f F W/T / p o /H g fu - 0-7 0 0 0-3 - m/s 2 p g...schwerebeschlenigng nd Drckgradientbeschlenigng heben sich gegenseitig af! 30
Snoptische Skalenanalse (6) - Berücksichtigng der Beschlenigng - d d f p f ( g ) d d f ( g ) ag ag p f Offensichtlich bestimmt der ageostrophische Wind die Änderng des Windes. Wann ist das wichtig? Wenn d d f f U T fu U L U fu U² L fu U fl R o Rossb - Zahl groß ist. Mit gegebenen Zahlen gilt R o 0 also 0% Fehler bei Anname des geostrophischen Windes. Bei L00 km nd sonst neränderten Skalen gilt R o also 00% Fehler (.B. für Mesosklonen oder mit U größer bei Hrrikanen) 3
Übngen IV.2. Berechne den Vektor der Drckgradientbeschlenigng wenn bei p000 hpa nd einer Temperatr on 20 C der Lftdrck on Westen nach Osten m 5 hpa af 00 km abnimmt. 2. Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschlenigng bei einem Windektor (w) (5 m/s 5 m/s 0.002 m/s) am Pol in 45 N nd am Äqator. 3. Schäte die Größe der Terme der Gleichng für die Zentrifgalbeschlenigng af Seite 8 ab. 4. Erlätere die Ableitng der Bewegngsgleichng af der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen. 5. Welche Beschlenigngen würden Änderngen des Betrags des Rotationsektors der Erde m %/Tag aslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der Coriolisbeschlenigng. 6. Versche eine Skalenanalse der horiontalen Bewegngsgleichng für einen Badewannenwirbel. 32