Prof. Dr. Michael Eiermann Höhere Mathematik 3 (vertieft Kapitel L Laplace Tranformation Die Laplace Tranformation verwandelt Anfangwertprobleme für lineare Differentialgleichungen mit kontanten Koeffizienten in algebraiche Gleichungen. Sie erfreut ich beonder bei Phyikern und Ingenieuren einer großen Beliebtheit. Harro Heuer (97 I am, and will ever be, a white-ock, pocket protector, nerdy engineer, born under the econd law of thermodynamic, teeped in team table, in love with free-body diagram, tranformed by Laplace and propelled by compreible flow. Neil Armtrong (93 WiSe 7/8 www.igt.uni-tuttgart.de/eierm/lehre/hm3 Stand 9..8 Motivation Die Laplace Tranformierte von f : R C it die Funktion F ( : e t f(t dt für C Re>σ. Diee Tranformation kann lineare Differentialgleichungen löen: Lineare DG in y mit kont. Koeffizienten und Anfangwerten in Löung Probe Löung der DG in y L Integral / Tabelle L algebraiche Hilfgleichung für die Tranformierte Y L (y algebraiche Löung Löung in Y Die Methode der Laplace Tranformation it dann effizient, wenn Sie jeden der drei Schritte effizient auführen können. Auführliche L Tabellen finden Sie in Lehrbüchern, Formelammlungen und Computer-Algebra-Sytemen. Erte Beipiele zur Laplace Tranformation Aufgabe: Laplace tranformieren Sie f(t e at mit a σ + i C. Löung: Wir etzen die Definition ein und rechnen einfach au: f(t F ( Def e t f(t dt Def e e (a t (a t dt HDI BI a L L a. Da Integral exitiert nur für Re( > σ. Wir erhalten folgende Tabelle: f(t F ( für Re( > σ für Re( > e at a für Re( > Re(a e it i + i + für Re( > co(t + (Realteil für Re( > in(t + (Imaginärteil für Re( > Erte Beipiele zur Laplace Tranformation Manche Funktionen laen ich nicht L tranformieren! Aufgabe: ( Lät ich f(t /t laplace tranformieren? ( Lät ich g(t exp(t laplace tranformieren? Begründen Sie, warum die un/möglich it. Löung: Wir etzen die Definition ein und rechnen au: F ( G( e t f(t dt e t g(t dt e t t dt + e t t dt + Diee Integrale konvergieren für keinen Parameterwert R! ( Die Poltelle von f(t /t in t verhindert die Konvergenz. ( Die Funktion g(t exp(t wächt für t viel zu chnell. L3 Inhalt diee Kapitel Die Laplace Tranformation Definition der Laplace Tranformation Linearität und Ableitungregel Streckung, Dämpfung, Verchiebung Anwendung auf Differentialgleichungen Tabelle einfacher Laplace Tranformierter Löung von Differentialgleichungen Partialbruchzerlegung und Reiduen 3 Weitere Eigenchaften und Anwendungen Rücktranformation durch Umkehrformel Faltung und Integralregel Greenche Fundamentallöung 4 Fazit: Die Laplace Tranformation Vergleich von Laplace und Fourier Anwendung in der Sytemtheorie Aufgaben zu Differentialgleichungen Aufgaben zu Differentialgleichungen Vorgehenweie Differentialgleichungen laen ich mittel Integraltranformationen in algebraiche Gleichungen verwandeln und o manchmal löen. Zu dieer formalen Überetzung dient die Laplace Tranformation. Ihr Vorteil it eine Reihe einfacher Rechenregeln (die Grammatik zuammen mit umfangreichen Tabellen von L Integralen (ozuagen die Vokabeln. Sie erübrigen praktich jede Integralberechnung zumindet in gutartigen Fällen und mit hinreichender Erfahrung. L L Überblick Theorie und Anwendung der L Tranformation ind ein weite Feld. Sie wird in der Regelungtechnik und Kybernetik augiebig genutzt. Ich will daher eine erte Idee dieer vieleitigen Methode vermitteln, oda Sie ich ein Bild machen und informiert entcheiden können. Hierzu werde ich die nötigen Grundlagen erklären, damit Sie ogleich Anwendungen auf Differentialgleichungen vertehen und nutzen können. Wenn Sie diee Thema vertiefen möchten, empfehlen ich die Klaiker von Gutav Doetch, Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace Tranformation, 3. Auflage 976, und Anleitung zum praktichen Gebrauch der Laplace Tranformation, 5. Auflage 985. Erte Beipiele zur Laplace Tranformation Aufgabe: Laplace tranformieren Sie f(t t n für n mit Hilfe der Gamma Funktion??. Wa erhalten Sie für n N? Für n /? L Löung: Für Re( > etzen wir die Definition ein und rechnen au: f(t t n F ( n e t f(t dt e t (t n dt n+ n! Γ(n + n+ n+ e t t n dt x e x x n dx für n N Au Γ( π folgt Γ( 3 Γ( und omit L ( t π 3/. Wir ubtituieren x t, alo dx dt bzw. dt dx. Die Werte Γ(n + n! haben wir bereit berechnet, durch wiederholte partielle Integration?? und durch Ableiten unterm Integral D43. Einen alternativen Rechenweg ohne Gamma Funktion nutzen wir auf Seite L3. Au dem Gaußchen Integral?? folgt Γ( und rekuriv die halbzahligen Werte Γ( 3 uw. Die Gamma Funktion it eine der Grundfunktionen der Analyi und tritt in ertaunlich vielen verchiedenen Rechnungen auf. E hilft daher, wenn Sie ie erkennen und nutzen lernen. Zur Wiederholung iehe Kimmerle Stroppel, Analyi, Bemerkung 3.7.3. Konvergenz de Laplace Integral L4 Wir etzen im Folgenden vorau, da die zu tranformierende Funktion f : R C höchten exponentiell wächt. Auführlich bedeutet da: f(t c e σt für alle t und geeignete Kontanten c, σ R. Aufgabe: ( Da Laplace Integral konvergiert für C mit Re( > σ. ( Zudem gilt F ( c/(re( σ, alo F ( für Re( +. Löung: ( Wir wenden da Majorantenkriterium an auf die Funktion f(t e t f(t e Re( t c e (σ Re( t. Die Funktion e λt mit λ Re( σ it über, integrierbar: f(t e t dt c e λt dt c λ <. ( Hierau folgt ofort die Betragabchätzung F ( c/(re( σ. Inbeondere folgt hierau da Abklingen F ( für Re( +.
Definition der Laplace Tranformation L5 Definition der Laplace Tranformation L6 Definition LA (Laplace Tranformation Da Laplace Integral von f : R C zum Parameter C it F ( : r e t f(t dt lim e t f(t dt. r Al Konvergenzabzie von f bezeichnet man den kritichen Wert σ : inf { R Da obige Laplace Integral konvergiert }. Da Integral divergiert für Re( < σ und konvergiert für Re( > σ: Da chnelle Abklingen de Faktor e t erzwingt die Konvergenz. Die Funktion F : C Re>σ C heißt Laplace Tranformierte von f. Schreibweie F L (f, kurz f(t F ( oder F ( f(t. Satz LB (Holomorphie der Laplace Tranformierten Die Funktion F it holomorph mit n F ( ( t n f(t für n N. Die Laplace Tranformierte it holomorph. Aufgabe: Wir wollen die Ableitung unter da Integral ziehen: F ( e t f(t dt F ( e t ( tf(t dt Warum dürfen wir da hier? Finden Sie eine geeignete Majorante! Zur Erinnerung und al Vorbild: Die entprechende Aufgabe für die Gamma Funktion haben wir auf Seite D43 gelöt. L7 Wir etzen weiterhin vorau, da f höchten exponentiell wächt, da heißt f(t c e σt für alle t und geeignete Kontanten c, σ R. Löung: Wir nutzen die Ableitung von Parameterintegralen (D3E. Zunächt it der Integrand f(t e t tetig nach differenzierbar. Zudem it die Ableitung t f(t e t majoriiert integrierbar: Für alle C mit Re( σ > σ gilt die Abchätzung t f(t e t t f(t e t c t e σt e Re(t c t e σt Re(t c t e (σ σt : h(t. Linearität der Laplace Tranformation Wir uchen weitere hilfreiche Eigenchaften der L Tranformation Satz LC (Linearität f(t F ( L ( f ( Die Laplace Tranformation it linear: L a f + b g a L (f + b L (g e t f(t dt. für alle L tranformierbaren Funktionen f, g : R C und a, b C. f F, g G a f + b g a F + b G Die Schreibweie f F bedeutet, da f tranformierbar it mit L Tranformierter F, und g G bedeutet, da g tranformierbar it mit L Tranformierter G. Genauer it F ( definiert für Re( > σ f und G( für Re( > σ g. Dann it ihre Summe F + G zumindet definiert für alle C mit Re( > σ max(σ f, σ g, und in dieem Bereich gilt Linearität. Meit unterdrückt man die explizite Nennung de Definitionbereich. In den Beipielen haben F und G häufig Poltellen in C und erinnern un daran, da ie nur für große definiert ind. Ableitungregel der Laplace Tranformation Aufgabe: Berechnen Sie L (f, L (f, L (f uw. au L (f. Löung: ( Wir nutzen die Definition und partielle Integration: f (t L (f ( Def part?? e t f(t e t f (t dt L (f( f( e t f(t dt Hierzu ei f : R C tetig differenzierbar. Wir nehmen e t f(t für t an; die gilt immer, wenn f höchten exponentiell wächt. ( Für die zweite Ableitung f (f wenden wir die erneut an: f (t L ( f ( ( L ( f ( f ( ( L ( f ( f( f ( L ( f ( f( f ( Alle weiteren Ableitungen folgen nun ebeno per Induktion... L9 L Zur Integration etzen wir tillchweigend vorau, da f auf jedem endlichen Intervall, r integrierbar it, alo r f(t dt < erfüllt. Für jeden Parameter R gilt dann ebenfall r Wir erhalten alo ein wohldefinierte Integral r e t f(t dt <. e t f(t dt. Da Laplace Integral exitiert, wenn der obige Grenzwert für r exitiert, gechrieben F ( e t r f(t dt lim r e t f(t dt. Die gilt, wenn f höchten exponentiell wächt, wie oben erklärt. Der Faktor e t dämpft den Integranden f(t exponentiell und erzwingt die Integrierbarkeit für aureichend große Re( > σ. Bei σ haben wir Konvergenz für alle C, bei σ + für kein C. Zur Holomorphie prüfen wir geduldig nach, da wir dank majoriierter Integrierbarkeit die Ableitung nach unter da Integral ziehen dürfen. Dank Satz LB it F beliebig oft differenzierbar, ogar analytich: F : C Re>σ C lät ich (lokal in eine Potenzreihe entwickeln (??. Oft lät ich die Funktion F holomorph auf die geamte Ebene C fortetzen mit Aunahme einiger Poltellen, wie in obigen Beipielen. Die Laplace Tranformierte it holomorph. L8 Die Majorante h(t c t e λt mit λ σ σ > it unabhängig von. Sie it zudem über, integrierbar: Dank partieller Integration gilt r t e λt dt t λ e λt λ e λt r λ für r. Demnach it die Ableitung t f(t e t majoriiert integrierbar. Alle Vorauetzungen zur Ableitung von Parameterintegralen (D3E ind alo erfüllt, und wir dürfen die Ableitung unter Integral ziehen. Somit it die Funktion F : C Re>σ C holomorph (??, denn F it auf ganz C Re>σ komplex differenzierbar und die Ableitung F it tetig. Genau die haben wir in obigen Beipielen bereit beobachtet! Unere Rechnung zeigt, da die kein Zufall it, ondern immer gilt. Hier zahlt ich unere olide Vorbereitung au: Wir können unere Werkzeuge für holomorphe Funktionen gewinnbringend einetzen, inbeondere den Reiduenatz zur Laplace Umkehrformel L3A. Linearität der Laplace Tranformation Aufgabe: Berechnen Sie gechickt die L Tranformierten von coh(at, inh(at, co(t, in(t. Löung: L Integrale aurechnen... oder gleich Linearität nutzen: f(t F ( für > σ e at für > Re(a a coh(at e at + e at a + + a a inh(at e at e at a a + a a co(t e it + e it i + + i + in(t e it e it i i i + i + Ableitungregel der Laplace Tranformation Satz LD (Ableitungregel der Laplace Tranformation Sind f, f, f,..., f (n : R C tetig und L tranformierbar, o gilt f(t f (t F ( F ( f( f (t F ( f( f ( f (t 3 F ( f( f ( f ( f (4 (t 4 F ( 3 f( f ( f ( f (... f (n (t n F ( n f( n f ( f (n ( Ableitungen nach t werden zu polynomiellen Audrücken in. Hierin liegt der ungemein praktiche Nutzen der L Tranformation für da Löen von Differentialgleichungen. Die erte Gleichung haben wir oben durch partielle Integration direkt nachgewieen. Alle weiteren Gleichungen ergeben ich per Induktion durch Anwendung dieer Formel. L L
Ableitungregel der Laplace Tranformation Aufgabe: Berechnen Sie dank Ableitungregel die L Tranformierte t n n! n+ für alle n N. Löung: Wir haben bereit / berechnet, alo n. Für f(t t n gilt f (n (t n!, dank Linearität alo f (n (t n!/. Anderereit liefert die Ableitungregel für f(t F ( hier f (n (t n F ( da f( f (n (. Wir erhalten n!/ n F (, alo F ( n!/ n+. Wir können da Laplace Integral auch direkt aurechnen wie auf Seite L. Die führt zu wiederholter partieller Integration für die Gamma Funktion wie auf Seite?? erklärt. Wir haben tattdeen unere Rechnung gleich o formuliert, da wir die Ableitungregel gechickt aunutzen können. Damit wird der Rechenweg weentlich kürzer und leichter! Auch hier führt Differenzieren der Funktion f auf einfache algebraiche Operationen der Bildfunktion F L (f. Die it die Eigenart und der Nutzen der Laplace Tranformation. Streckung, Dämpfung, Verchiebung Satz LE (Tranformationregeln Sei f(t F (. Für alle n N gilt die Multiplikationregel: t n f(t Für alle a C gilt die Dämpfungregel: Für a > gilt die Streckungregel: ( n F (n ( e at f(t F ( a f(at ( a F a Für a > und f(t für t gilt die Verchiebungregel: f(t a e a F ( Die chreibt man zur Betonung f(t au(t a Eine kleine L Tabelle f(t t F ( Re(>σ e at a t n n! n+ t n e at n! ( a n+ in(t + co(t + a inh(at a coh(at a f(t t af(t + bg(t f (t e a F (. F ( e t f(t dt af ( + bg( F ( f( f (t F ( f( f ( L3 L5 f (n (t n F ( f (n ( t n f(t ( n F (n ( e at f(t F ( a f(at, a > ( a F a f(t au(t a Löung von Differentialgleichungen e a F ( Aufgabe: Löen Sie durch L Tranformation die Differentialgleichung y (t + y (t + y(t e t mit y(, y (. Löung: ( Wir laplace tranformieren dank L Tabelle: y(t Y ( Y ( y (t Y ( y( Y ( + y (t Y ( y( y ( Y ( + e t /( + Dank Linearität tranformieren wir die DG zur Hilfgleichung ( + + Y ( + +. + char. Polynom Anfangdaten rechte Seite Die Anfangwerte werden chon im erten Schritt in die L Tranformation eingearbeitet und omit nur die pezielle Löung de AWP angeteuert. Die allgemeine Löung der Gleichung y (t + y (t + y(t e t wird hier nicht benötigt (und auch nicht nebenbei gefunden. In dieem Beipiel liegt Reonanz vor; die L Tranformation verarbeitet da automatich. L L3 Streckung, Dämpfung, Verchiebung Wir betrachten f(t d d F ( F (. Für die Ableitung von F gilt: L7 e t f(t dt Dämpfung: Für alle a C gilt L e at f(t e t e at f(t dt e t ( tf(t dt L Streckung: Subtitution mit τ at und a > liefert L f(at e t f(at dt τ tf(t e ( at f(t dt F ( a. a e τ/a f(τ dτ a F ( a L4 Verchiebung: Subtitution mit τ t a und a > liefert L f(t a e t f(t a dt e τ a f(τ dτ e a F (. ta Hierbei gelte f(t für alle t, alo f(t a für alle t a. Die Heaviide Sprungfunktion u I, bedeutet Anchalten bei t. Für unere Funktion chreiben wir f(tu(t, verchoben f(t au(t a. Anwendungbeipiele τ Aufgabe: Berechnen Sie gechickt die L Tranformierten von Löung: Mit Dämpfungregel: t n e at, in(t e at, co(t e at. L ( t n e at ( L (t n n! ( a ( a n+ L ( in(t e at ( L (in t( a ( a + L ( co(t e at a ( L (co t( a ( a + Die erte Formel gewinnen wir auch mit Multiplikationregel: L ( t n e at ( ( n dn d n a n! ( a n+. L6 Die L Tranformation gehorcht einfachen Regeln. Zuammen mit einer Tabelle grundlegender L Integrale erübrigt ich häufig jede Integralberechnung zumindet mit hinreichender Erfahrung. Löung von Differentialgleichungen Laplace Tranformation kann lineare Differentialgleichungen löen: Lineare DG in y mit kont. Koeffizienten und Anfangwerten in Löung Probe Löung der DG in y L Integral / Tabelle L algebraiche Hilfgleichung für die Tranformierte Y L (y algebraiche Löung Löung in Y Die Laplace Tranformation verwandelt etwa komplizierte in etwa einfache, nämlich Differentialgleichungen in algebraiche Gleichungen. Die Löung der Hilfgleichung it oft einfach und beruht hauptächlich auf Bruchrechnung: Partialbruchzerlegung der berechneten Funktionen. Die Methode der Laplace Tranformation it dann effizient, wenn Sie jeden der drei Schritte effizient auführen können. Auführliche L Tabellen finden Sie in Lehrbüchern, Formelammlungen und Computer-Algebra-Sytemen. Löung von Differentialgleichungen ( Auflöung der Hilfgleichung nach Y und Partialbruchzerlegung: + ( + Y ( + + ( + 3 + (3 Rücktranformation von Y zu y dank L Tabelle: Y ( ( + 3 t e t e t y(t + (4 Wir machen die Probe: Löen it chwer, prüfen it leicht! y(t ( t e t y (t ( t +t + e t y (t + y (t + y(t e t y (t ( t 4t + e t Die Funktion y erfüllt die Differentialgleichung mit Anfangdaten! Die Methode der Laplace Tranformation it effizient, wenn Sie jeden der drei Schritte chnell und icher auführen können. Hierzu nützen Tabellen, vor allem aber viel Erfahrung! Daher zahlt ich die L Methode vor allem bei längerem Gebrauch au; bei nur gelegentlicher Anwendung zeigt ie ich dem Amateur eher abweiend. Da müen Sie elbt auprobieren. Diee Differentialgleichung löen wir päter erneut mit anderen Methoden, iehe Seite O. Vergleichen Sie die verchiedenen Methoden au Kapitel N. Viele Wege führen zum Ziel! L L4
Partialbruchzerlegung und Reiduen L5 Sei q( a + a + a + + a n n C ein Polynom vom Grad n. Wir zerlegen q in Linearfaktoren: Dank Fundamentalatz der Algebra (?? exitieren n komplexe Nulltellen z, z,..., z n C, oda gilt: q( a n ( z ( z ( z n a n n k ( z k Wir betrachten eine rationale Funktion p/q mit Zählerpolynom p C. Nach Polynomdiviion können und werden wir deg p < deg q annehmen. Einfacher Fall: Angenommen q hat nur einfache Nulltellen, d.h. z i z j für i j. Dann hat die Partialbruchzerlegung von p/q folgende Form: n p( q( c z + c z + + c n z n k c k z k Wir wollen die Koeffizienten c, c,..., c n C betimmen. Die primitive Methode beteht darin, die Summe auf den gemeinamen Nenner q( zu bringen und dann den Zähler mit p( zu vergleichen. Da führt auf ein lineare Gleichungytem... Noch effizienter geht e wie folgt. Partialbruchzerlegung und Reiduen Allgemeiner Fall: Wir ammeln mehrfache Faktoren von q gemäß q( a n ( z n ( z n ( z l n l mit Nulltellen z i z j für i j und Vielfachheiten n, n,..., n l. (Für den Geamtgrad gilt weiterhin deg(q n n + n + + n l. Dann hat die Partialbruchzerlegung von p/q die allgemeine Form: p( q( l n k k ν c k,ν ( z k ν L7 Für jede k,..., l it die Summe H k ( n k ν c k,ν( z k ν der Hauptteil der Laurent Reihe von p/q im Entwicklungpunkt z k, und entprechend it N k ( j k H j( dann ihr Nebenteil (??. (Für die reelle Zerlegung fat man komplex konjugierte zuammen. Wir wollen wie zuvor die Koeffizienten c k,ν C betimmen. Auch hier it die primitive Methode de Koeffizientenvergleich immer möglich, doch da lineare Gleichungytem it bei höherem Grad meit umtändlich. Da folgende Verfahren it etwa raffinierter und meit effizienter. Umkehrformel zur Laplace Tranformation Satz L3A (Umkehrformel zur Laplace Tranformation Zu f : R C betrachten wir die Laplace Tranformierte: f F mit F ( e t f(t dt, Re( > σ Au F : C Re>σ C lät ich f rekontruieren, denn e gilt: F f mit f(t x e (+ixt F ( + ix dx L3 für Re( > σ und fat alle t, und immer wo f tetig diff bar it. Inbeondere it L injektiv, da heißt, au L (f L (g folgt f g. (Wir identifizieren Funktionen, die nur auf einer Nullmenge differieren. Reiduen: Hat F in C nur iolierte Singularitäten und klingt ab, o gilt x e (+ixt F ( + ix dx z C Beipiel zur Umkehrformel re e zt F (z. z L33 Aufgabe: Mittel Umkehrformel betimme man die Urbildfunktion f zu F ( a für Re( > Re(a, a C. Löung: Laut L Umkehrformel berechnen wir da Integral f(t x e (+ixt F ( + ix dx x e (+ixt a + ix dx. Wir wenden den Reiduenatz an. Einzige Poltelle it z i( a: x e (+ixt i re a + ix zz e (+izt a + iz i lim (z z e(+izt z z i(z z e at. Wir erhalten alo f(t e at. Die Probe it leicht: L (f F. E lebe der Reiduenatz! Noch einfacher geht mit L Tabelle! Diee erübrigt häufig die explizite und mühame Integralberechnung. Partialbruchzerlegung und Reiduen Multiplikation mit dem k ten Linearfaktor ( z k ergibt: p(( z k q( c k + j k c j z k z j Für z k geht die rechte Seite gegen c k. Für die linke Seite gilt: p(( z k q( p( p(z k q( q(z k q (z k z k L6 Für die Koeffizienten c, c,..., c n erhalten wir o die praktiche Formel c k p(z k q (z k. Augechrieben erhalten wir die erehnte Partialbruchzerlegung: p( n q( p(z k n q, peziell (z k z k q( q (z k z k k k Wir nutzen dieen Trick für Reiduen einfacher Poltellen (F4B Partialbruchzerlegung und Reiduen Multiplikation mit dem k ten Faktor ( z k n k ergibt: p(( z k n k c k, ( z k nk + c k, ( z k nk + + c k,nk q( + N k (( z k n k L8 Der Nenner r k ( q(/( z k n k entteht au q( durch Kürzung. Die Koeffizienten c k,, c k,,..., c k,nk erhalten wir wieder durch Ableiten: d nk ν p( c k,ν lim zk (n k ν!( d q(/( z k n. k Speziell für eine einfache Poltelle (n k gilt wie zuvor: c k c k, q(z k r k (z k p(z k q (z k Wir nutzen dieen Trick für Reiduen mehrfacher Poltellen (F4C: d n re z (f lim (z z z z (n!( n f(z. dz Der Reiduenatz it allgemeiner; über rationale Funktionen hinau gilt er für alle holomorphen Funktionen mit iolierten Nulltellen. Umkehrformel zur Laplace Tranformation L3 Die Umkehrformel zeigt, da die Rücktranformation prinzipiell immer möglich it. Zur praktichen Berechnung it e meit am effizienteten, die L Tabelle rückwärt zu leen. Da Fourier Integral dieer Umkehrformel it recht raffiniert und bedarf einiger en. (Eine Dikuion findet ich in Doetch Einführung 4, 7. Die Umkehrformel gilt in allen Punkten t, in denen f tetig diff bar it. Sie gilt auch in Sprungtellen, in denen f link- und rechteitige Ableitungen beitzt, wenn wir gemäß f(t f(t+ + f(t prungnormieren. Ganz ohne Vorauetzungen gilt ie natürlich nicht: Wir können f auf einer Nullmenge abändern, ohne die Integrale zu verändern. Zur Vereinfachung betrachten wir Funktionen al gleich, wenn ie ich nur auf einer Nullmenge untercheiden; dann gilt die Umkehrformel für fat alle t. Die Laplace Tranformierte F : C Re>σ C it holomorph. Eventuelle Singularitäten der Fortetzung F : C C können daher nur für R mit Re( σ vorliegen. Da Integral f(t et x e ixt F ( + ix dx z C re e zt F (z z können wir bereit al Fourier Rücktranformation behandeln. Dank Reiduenatz ind wir ogar in der glücklichen Lage, einfache Integrale dieer Bauart explizit aurechnen zu können. Wir nehmen an, da F auf ganz C fortgeetzt werden kann bi auf iolierte Singularitäten. Al Integrationweg wählen wir dann da Segment von ir nach + ir gefolgt von dem linken Halbkrei von + ir zurück nach ir. Wenn da Wegintegral von F über olche Halbkreie für r verchwindet, dann gilt die genannte Reiduenformel. Beipiel zur Umkehrformel Aufgabe: Betimmen Sie die Urbildfunktion f zu F ( + 3 für >. Löung: ( Wir wenden direkt den Reiduenatz an: f(t re e zt F (z z z C Die Poltellen z und z,3 e ±iπ/3 ± i 3 Die Reiduen rechnen wir geduldig au: f(t 3 k ind einfach. e z kt 3zk ( e t e t/ 3 co 3 t + ( 3 e t/ 3 in t L34 ( Alternativ in Partialbrüche zerlegen und L Tabelle nachchlagen: + 3 3 + ( i 3/ ( i 3/ ( + i 3/ ( + i f(t 3/
Faltung und Integralregel Die Rücktranformation führt gelegentlich zu folgendem Problem: F ( und G( finden wir in der Tabelle, nicht aber H( F ( G(. Die Anwendbarkeit der L Tabelle erweitern wir dann durch Faltung: Satz L3B (Faltungregel der Laplace Tranformation Zu den Funktionen f, g : R C definieren wir ihre Faltung durch (f g(t : f(u g(t u du f(t v g(v dv. u v Die L Tranformation überführt die Faltung in punktweie Produkt: Speziell für g(t (f g(t (F G( u / G( erhalten wir die Integralregel: f(u du F (/ L35 Faltung und Integralregel L36 Aufgabe: Rechnen Sie die Faltungregel nach! Nachrechnen: Zur Vereinfachung etzen wir f, g fort zu f, g : R C mit f(t g(t für t <. Dank Fubini und Subtitution v t u gilt: (f g(t H( e t (f g(t dt t R Def Lin Fub Sub Lin t R t R Def F ( G( e t f(u g(t u du dt e t f(u g(t u du dt e t f(u g(t u dt du t R e (u+v f(u g(v dv du v R e u f(u du e v g(v dv v R Faltung und Integralregel L37 Faltung und Integralregel L38 Aufgabe: Nutzen Sie da Faltungintegral zur Rücktranformation von H( ( + h(t? Löung: Wir zerlegen H in ein Produkt bekannter Funktionen: H( ( + + + Die beiden Faktoren können wir leicht rücktranformieren: F ( + co(t f(t G( + in(t g(t H( (F G( (f g(t h(t Die L Tabelle erleichtert un den Großteil der Arbeit. Lineare Differentialgleichungen Zu löen ei eine lineare Differentialgleichung mit Anfangwerten: y (n (t + a n y (n (t + + a y (t + a y(t b(t, y( y, y ( y,..., y (n ( y (n. Gegeben ind hierzu kontante Koeffizienten a, a,..., a n C. Die rechte Seite b : R C ei tetig und L : b(t B(. Da charakteritiche Polynom unerer Gleichung it q( n + a n n + + a + a. Die Differentialgleichung chreiben wir damit kurz q( t y(t b(t. Laplace tranformiert die mit AW zu folgender Hilfgleichung: + y ( n + a n n +... + a + a + y ( n + a n n 3 +... + a q( Y ( B( + +... + y (n ( + a n + y (n Homogene lineare Differentialgleichungen L39 L3 Wir löen nun die homogene Gleichung mit beliebigen Anfangwerten: y (n (t + a n y (n (t + + a y (t + a y(t, y( y, y ( y,..., y (n ( y (n. Diee könnten wir wie zuvor L tranformieren und in Partialbrüche zerlegen. E geht aber noch einfacher: Dank der Fundamentallöung u(t können wir die geuchte Löung nämlich ofort hinchreiben: y(t y u (n (t + a n u (n (t +...a u (t a + y u (n (t + a n u (n 3 (t +...a u(t +... + y (n u (t + a n u(t + y (n u(t Aufgabe: Machen Sie die Probe! Löen u, u,..., u (n die DG? It jede Zeile eine Löung der DG? Mit welchen Anfangwerten? E bleibt chließlich nur noch, die Faltung h f g zu berechnen: h(t (f g(t f(t τ g(τ dτ co(t τ in(τ dτ Dank Additiontheorem co(α in(β in(α + β in(α β folgt: h(t in(t in(t τ dτ t in(t 4 co(t τ t in(t Wir machen die Probe! Hier hilft die letzte Regel unerer L Tabelle: t in(t d d + ( + t τ Da it Satz LB. Wer ofort ieht, kann auch o berechnen. Greenche Fundamentallöung Aufgabe: Löen Sie den homogenen Fall (b und zwar peziell: u (n (t + a n u (n (t + + a u (t + a u(t, u( u (n ( und u (n (. L3 Löung: Laplace tranformiert die zu q( U(, alo U( /q(. Zur Rücktranformation U( u(t zerlegen wir /q( wie oben: u(t u(t n q (z k ez kt k l k c k, + c k, t! + c k,3 im einfachen Fall bzw. allgemein: t! + + c t nk k,n k e z kt (n k! Die Koeffizienten c k,ν der Partialbruchzerlegung finden wir wie L5. Diee Funktion u : R C heißt die Greenche Fundamentallöung unerer homogenen linearen Differentialgleichung q( t u(t. Wir nutzen ie in Kapitel N zur Greenchen Löungformel ND. Inhomogene lineare Differentialgleichungen L3 Wir nutzen weiter unere Fundamentallöung u(t U( /q(. Aufgabe: Löen Sie chließlich die inhomogene Differentialgleichung y (n (t + a n y (n (t + + a y (t + a y(t b(t, u( u (n ( u (n ( mit verchwindenden Anfangwerten. Löung: Laplace tranformiert zu q( Y ( B(, alo Y ( B( U( B(. q( Dank Faltungatz L3B erhalten wir die Rücktranformation: Y ( y(t (u b(t τ u(t τ b(τ dτ Die it die Greenche Löungformel ND. Kapitel N dikutiert Differentialgleichungen genauer und gibt zahlreiche Rechenbeipiele. Steht die Löungformel ert einmal da, o können wir ie auch ohne L Tranformation direkt anwenden: Wir müen un lediglich die Fundamentallöung u(t bechaffen. Rechnen Sie nach! N5
Die Laplace Tranformation Die Laplace Tranformierte von f : R C it definiert durch f(t F ( : L ( f ( e t f(t dt. Die Konvergenzabzie it σ : inf{ R F ( konvergiert }. Da Integral konvergiert für alle > σ und divergiert für alle < σ. E definiert eine holomorphe Funktion F : C Re>σ C. Umgekehrt gilt F ( f(t L (F (t x e (+ixt F ( + ix dx für jede > σ und fat alle t, und immer wo f tetig diff bar it. Inbeondere it L injektiv, da heißt, au L (f L (g folgt f g. (Wir identifizieren Funktionen, die nur auf einer Nullmenge differieren. Reiduen: Hat F in C nur iolierte Singularitäten und klingt ab, o gilt L (F (t x e (+ixt F ( + ix dx z C Anwendung auf Differentialgleichungen re e zt F (z. z Laplace Tranformation kann lineare Differentialgleichungen löen: Lineare DG in y mit kont. Koeffizienten und Anfangwerten in Löung Probe Löung der DG in y L Integral / Tabelle L algebraiche Hilfgleichung für die Tranformierte Y L (y algebraiche Löung Löung in Y Antatt da Anfangwertproblem im Original direkt zu löen, machen wir den gezeigten Umweg über den Bildraum; da it manchmal leichter. Die Methode der Laplace Tranformation it dann effizient, wenn Sie jeden der drei Schritte effizient auführen können. Auführliche L Tabellen finden Sie in Lehrbüchern, Formelammlungen und Computer-Algebra-Sytemen. Zudem nutzen wir die obigen Rechenregeln für L und L, owie Baialgorithmen wie Partialbruchzerlegung (PBZ, etc. Laplace Integrale und Potenzreihen L4 Fazit L43 Fazit L45 Aufgabe: (Erinnerung an die HM Wir betrachten die Potenzreihe F (z f(k k zk mit z C und Koeffizienten f : N C. Für welche z C konvergiert ie? Wa paiert für z e ix? für z e? Wa erhalten Sie, wenn Sie die Summe durch ein Integral eretzen? Löung: Die Reihe konvergiert für z < ρ und divergiert für z > ρ, wobei ρ / lim up k f(k der Konvergenzradiu dieer Reihe it. Für x R durchläuft z e ix den Krei; wir erhalten eine Fourier Reihe! In komplexen Polarkoordinaten chreiben wir z e und erhalten F ( f(k k e k mit C. Diee Reihe konvergiert für C mit Re( > ln ρ und divergiert für Re( < ln ρ: der Konvergenzradiu wird zur Konvergenzabzie. Die Laplace Tranformation eretzt diee Summe durch da Integral F ( f(t e t dt mit C. Daher verhalten ich Laplace Integrale und Potenzreihen ähnlich, inbeondere bei Konvergenzverhalten und Holomorphie. (Satz LB Vergleich von Laplace und Fourier L47 Aufgabe: Erklären Sie mit Fourier Theorie die Laplace Umkehrformel. Löung: Phyikaliche Interpretation: Für, R it da Integral F ( + i t e it e t f(t dt die Spektralfunktion der gedämpften Zeitfunktion g(t e t f(t. Diee Sicht erklärt die Rücktranformation durch die Umkehrformel: f(t e (+it F ( + i d Da it genau die Umkehrformel der Fourier Tranformation! Die Integrale konvergieren für Re( > σ, und dann gilt Satz KE: e (+it F ( + i d et e it ĝ( d e t g(t f(t Hier gelten die üblichen Vorichtmaßnahmen der Fourier Theorie: Die Gleichheit gilt für fat alle t, und immer wo f tetig diff bar it. Eine kleine L Tabelle f(t t F ( Re(>σ e at a t n n! n+ t n e at n! ( a n+ in(t + co(t + a inh(at a coh(at a f(t t af(t + bg(t f (t F ( e t f(t dt af ( + bg( F ( f( f (t F ( f( f ( f (n (t n F ( f (n ( t n f(t ( n F (n ( e at f(t F ( a f(at, a > ( a F a f(t au(t a Zuammenfaung und Vertändnifragen e a F ( Aufgabe: Begründen Sie durch ein Ergebni Ihrer Vorleung oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeipiel au Ihrem Fundu: ( Jede Funktion f : R C it L tranformierbar. ( Welche Bedingungen garantieren L Tranformierbarkeit? (3 It jede L Tranformierte F : C Re>σ C holomorph? Warum? (4 Lät ich jede L Tranformierte F holomorph auf C fortetzen? (5 It die Tranformation f F L (f linear? It ie injektiv? (6 Lät ich F zu f rücktranformieren? Wie? Inwiefern eindeutig? (7 It jede rationale Funktion F P/Q eine L Tranformierte? Wie? Löung: ( Nein, einfache Gegenbeipiele ind f(t /t und f(t exp(t. ( Wir fordern, da f auf jedem endlichen Intervall, r integrierbar it und höchten exponentiell wächt gemäß f(t c e σt für alle t und Kontanten c, σ R. L4 (3 Ja, die haben wir nachgerechnet dank majoriierter Integrierbarkeit. L7 (4 Nein, chon für / müen wir zumindet mit Poltellen rechnen. (5 Ja, die Tranformation f F L (f it linear. Sie it im Weentlichen injektiv: (6 Die Umkehrformel F f L (F betimmt f zumindet fat überall (Satz L3A: Wir können f auf jeder Menge vom Maß beliebig abändern, ohne da Integral F ( zu beeinfluen. Eindeutigkeit gilt, wenn f tückweie tetig differenzierbar it und zudem prungnormiert. (7 Nein, für mu F ( gelten! L4 Für deg P < deg Q gelingt mit PBZ. Vergleich von Laplace und Fourier Aufgabe: Für f F it f( F (i/ die F Tranformierte. Löung: Wir etzen f : R C für t < trivial fort durch f(t. Die Laplace Tranformierte von f it die Funktion F : C Re>σ C mit F ( e t f(t dt t e t f(t dt. L4 Fazit L44 Fazit L46 Da it nur für olche C definiert, für die da Integral konvergiert. It f abolut integrierbar, o konvergiert da Integral für alle Re(. Für imaginäre i mit R erhalten wir o da Fourier Integral F (i e it f(t dt t e it f(t dt. Da entpricht (bi auf Normierung der Fourier Tranformierten f : R C, f( : t e it f(t dt. Laplace beinhaltet Fourier demnach al Spezialfall. Vergleich von Laplace und Fourier L48 Aufgabe: Lät ich jede Funktion f : R C fourier tranformieren? und laplace tranformieren? Warum it letztere allgemeiner? Löung: Zur Konvergenz de Fourier Integral etzen wir f al abolut integrierbar vorau. Für den Cauchy Hauptwert genügt etwa weniger, doch für gute, robute Eigenchaften benötigen wir R f(t dt <. Die trifft jedoch für viele einfache und geläufige Funktionen gar nicht zu: f(t, f(t in(t oder Polynome f(t a k t k erfüllen die nicht! Diee Funktionen ind daher zunächt nicht Fourier tranformierbar. Beim Laplace Integral it die Lage von Anfang an pürbar beer: Für hinreichend große klingt der Integrand e t f(t chnell genug ab. Genauer: Für C mit Re( > σ konvergiert da Laplace Integral. Wir etzen hierzu vorau, da f(t höchten exponentiell wächt. So it die Laplace Tranformierte F ( nicht nur für reelle Parameter R >σ definiert, ondern für alle komplexen Parameter C Re>σ. Die Funktion F : C Re>σ C it ogar holomorph! (Satz LB Damit tehen un die mächtigen Werkzeuge holomorpher Funktionen zur Verfügung, inbeondere Laurent Reihen und der Reiduenatz.
Anwendung in der Sytemtheorie Ziel der Sytemtheorie it e, komplexe techniche Syteme zu bechreiben, zu analyieren, zu teuern und zu optimieren, etwa in der Kybernetik, Regelungtechnik, Signalverarbeitung. Anregung x(t Eingabe Sytem Verarbeitung Antwort y(t Augabe Typiche Beipiele ind mechaniche Syteme oder elektriche Schaltkreie (au Widertänden, Kapazitäten, Induktivitäten, etc, oder allgemeiner auch chemiche, biologiche Syteme, etc. Auf jede Eingangignal x(t antwortet da Sytem mit einem betimmten Augangignal y(t. Da Sytem entpricht omit einer Zuordnung Eingabe Augabe oder Anregung Antwort. L49 Wir betrachten hierzu reelle oder komplexe Funktionen x, y : R C und chreiben kurz x(t y(t. Den Parameter t R betrachten wir al Zeit. Zum Eingang x möchten wir den Augang y berechnen, oder umgekehrt zum gewünchten Ergebni y die hierzu nötige Aktion x betimmen. Anwendung in der Sytemtheorie Wichtige Eigenchaften für ein olche Sytem x(t y(t ind: Linearität: Au x k (t y k (t folgt k c kx k (t k c ky k (t. Zeitinvarianz: Au x(t y(t folgt x(t t y(t t. Kaualität: Au x(t für t < t folgt y(t für t < t. Stabilität: E gilt y L (,t K(t x L (,t mit K : R R. Definition L4A (LTI Sytem L4 Erfüllt da vorliegende Sytem x(t y(t Linearität und Zeitinvarianz, o nennen wir e kurz ein LZI Sytem, geläufiger jedoch auf englich linear time invariant ytem, kurz ein LTI Sytem. LTI Syteme gelten al relativ einfach und leicht zu löen im Gegenatz zu nicht-linearen und zeitabhängigen Sytemen! Aufgabe: Welche dieer Eigenchaften haben die vorigen Beipiele? Löung: ( Linear, zeitinvariant, kaual, nicht tabil für x(t in(t. (,3 Linear und zeitinvariant ind klar, kaual dank h(t für t <, tabil gdw K(t h L (,t t h(τ dτ < für alle t. Wa it ein Dirac Impul? Wir betrachten einen kurzen Impul der Länge ε > und Stärke /ε: { δ ε : R R mit δ ε (t ε I /ε für t < ε,,ε(t ont. L43 Breite ε und Höhe /ε ind o eingerichtet, da der Impul immer dieelbe Geamttärke R δ ε(t dt hat. Für ε erhalten wir o eine beliebig kurze, chlagartige Übertragung de Einheitimpule. Bei einem mechanichen Sytem denken wir an einen Hammerchlag. Aufgabe: Konvergiert δ ε punktweie? Gegen welche Funktion f? Erfüllt auch die Grenzfunktion noch die Bedingung R f(t dt? Löung: Für ε konvergiert δ ε punktweie gegen die Funktion { f : R R für t, mit f(t für t. E gilt R f(t dt : Die Mae verchwindet nach Unendlich. Anchaulich will man owohl δ ε δ al auch R δ (t dt verwenden. Hierzu ind punktweie Konvergenz und Dirac Funktion f ungeeignet! Die korrekte Behandlung gelingt ert durch Ditributionen (Kapitel D. Impulantwort und Superpoition L45 Für ε interpretieren wir δ ε δ al beliebig kurzen Einheitimpul. Die Antwort de Sytem it h ε (t h(t, wie oben augerechnet. Daher nennt man h(t auch die Impulantwort de Sytem. Allein au h(t können wir da Sytemverhalten rekontruieren! Aufgabe: Gegeben ei ein LTI Sytem mit Impulantwort h ε (t h(t. Welche Antwort y(t gibt da Sytem auf eine Treppenfunktion x(t? Löung: Jede Treppenfunktion x : R C it Summe kleiner Impule. Für die Unterteilung t < t < < t n mit ε k t k+ t k gelte: n x(t δ εk (t t k x(t k ε k k Auf diee Anregung x(t antwortet uner LTI Sytem demnach mit: n y(t h εk (t t k x(t k ε k k Wir nutzen hierzu nur die Linearität und die Zeitinvarianz! Da genügt, um die Antwort auf Treppenfunktionen zu betimmen. Anwendung in der Sytemtheorie Einfache Beipiele: x(t x(t x(t d dt h(t y(t x (t y(t t x(τ dτ y(t L4 t h(t τ x(τ dτ Vereinbarung: Im erten Falle ei x differenzierbar, im zweiten über R t abolut integrierbar, im dritten auch h. E handelt ich um die Faltung y(t h(t τ x(τ dτ, wenn wir h(t für t < vorauetzen. Mit h(t für t erhalten wir au dem dritten den zweiten Fall. Anwendung in der Sytemtheorie Aufgrund der Kaualität betrachtet man meit nur Funktionen x, y, h : R C und etzt diee für t < trivial fort durch t. Da Sytem bechreibt man dann durch da Faltungprodukt x(t y(t (h x(t : τ h(t τ x(τ dτ. Laplace tranformiert die Faltung zum punktweien Produkt: L35 X( Y ( H( X( L4 Fourier tranformiert die ebeno, wobei wir x( X(i betrachten: X(i Y (i H(i X(i Bezeichnungen: Man nennt h(t die Impulantwort de Sytem, H( die Übertragungfunktion und H(i die Frequenzantwort. Mit dieen mathematichen Werkzeugen kann man nun techniche oder allgemeine Syteme bechreiben, analyieren, teuern, optimieren. Mehr hierzu lernen Sie zum Beipiel in der Regelungtechnik. Wa it die Impulantwort? Wir betrachten wie zuvor ein Sytem x(t y(t von der Form x(t y(t (h x(t : τ h(t τ x(τ dτ. Zur Vereinfachung ei hierbei die Funktion h : R C tetig. Aufgabe: Berechnen Sie zur Anregung δ ε (t die Antwort h ε (t und betimmen Sie den (punktweien Grenzwert für ε. Löung: Wir etzen die Definition ein und rechnen e geduldig au: δ ε (t h ε (t τ h(t τ δ ε (τ dτ ε ε τ L44 h(t τ dτ h(t HDI (BI: Der Grenzübergang für ε gelingt leicht dank Stetigkeit. Allgemein nutzen wir den Mittelwertatz der Integralrechnung (??. Allgemein könnte die Funktion h zum Beipiel Sprungtellen haben, dann gilt der genannte Grenzwert nicht mehr ohne Weitere. Für jede (lokal integrierbare Funktion h gilt der Grenzwert jedoch für fat alle t. Impulantwort und Faltung Aufgabe: Wie folgt mit L Stabilität die allgemeine Sytemantwort? L46 Löung: Jede integrierbare Funktion x : R C kann in der L Norm approximiert werden durch geeignete Treppenfunktionen x n : R C. Da heißt x x n + f n mit Fehlerchranke f n L (,t für n. Auf die Anregung x(t antwortet uner LTI Sytem y y n + f n, mit Fehlerchranke f n L (,t K(t f n L (,t. Die Antwort x n y n haben wir oben augerechnet dank Linearität und Zeitinvarianz. Für n gilt x n x und y n y, alo chließlich y(t τ h(t τ x(τ dτ. Allein au der Impulantwort h(t folgt dank Linearität, Zeitinvarianz und L loc Stabilität die allgemeine Sytemantwort durch die Faltung x(t y(t (h x(t : τ h(t τ x(τ dτ.
Löung von Differentialgleichungen Aufgabe: Löen Sie durch L Tranformation die Differentialgleichung u (t u(t mit u(, u ( u (. ( Laplace tranformieren Sie diee Gleichung mittel L : u U. ( Löen Sie die o erhaltene Hilfgleichung nach U auf. (3 Betimmen Sie die Rücktranformation L : U u. (4 Machen Sie die Probe: Erfüllt u die Differentialgleichung? Löung: ( Wir laplace tranformieren dank L Tabelle: u(t U( U( u (t U( u( U( u (t U( u( u ( U( u (t 3 U( u( u ( u ( 3 U( Dank Linearität tranformieren wir die DG zur Hilfgleichung 3 U( U(. Löung von Differentialgleichungen Aufgabe: Löen Sie durch L Tranformation die Differentialgleichung u (t + u (t + u(t co(t + 9 in(t mit u(, u ( 4. ( Laplace tranformieren Sie diee Gleichung mittel L : u U. ( Löen Sie die o erhaltene Hilfgleichung nach U auf. (3 Betimmen Sie die Rücktranformation L : U u. (4 Machen Sie die Probe: Erfüllt u die Differentialgleichung? Löung: ( Wir laplace tranformieren dank L Tabelle: u(t U( U( u (t U( u( U( u (t U( u( u ( U( 4 co(t + in(t + Dank Linearität tranformieren wir die DG zur Hilfgleichung U( 4 + U( + U( + + 9 +. Erzwungene Schwingung durch Impulanregung Aufgabe: Zu löen ei die Gleichung der erzwungenen Schwingung y (t + y(t f(t mit y(, y (. Die anregende Kraft f : R R ei die periodiche Impulfunktion gegeben durch f(t für t < π und f(t für π t <. π 3π 4π 5π 6π 7π ( Berechnen Sie die Greenche Fundamentallöung dieer Gleichung, alo u : R R mit u (t + u(t owie u( und u (. ( Löen Sie die inhomogene Gleichung durch die Faltung y u f. Erklären Sie an dieem Beipiel da Phänomen der Reonanz. (3 Skizzieren Sie die Anregung f und die Antwort y. Probe! Wo liegen Schwierigkeiten? It Ihre Löung dennoch innvoll? Erzwungene Schwingung durch Impulanregung Dank Faltungatz erhalten wir o die geuchte Löung: y(t τ in(t τf(τ dτ Die rechnen wir chließlich geduldig au. Für t kπ, (k + π gilt: k y(t (l+π l τlπ k (l+π co(t τ + τlπ l in(t τ dτ + in(t τ dτ τkπ t co(t τ τkπ (k + co(t Für t (k + π, (k + π finden wir ebeno y(t (k + co(t. (3 Probe: Auf jedem dieer Intervalle gilt y + y bzw. y + y. Die hier vorgegebene rechte Seite f it nur tückweie tetig. Die Löung y it daher nicht C, ondern nur C und tückweie C. Die Differentialgleichung gilt für alle t R bi auf abzählbar viele Aunahmetellen, hier t {π,, 3π,...}. Da mu un genügen. L47 L49 L4 Übung t L43 Übung Löung von Differentialgleichungen ( Auflöung der Hilfgleichung nach U: ( 3 char. Polynom U( + Anfangdaten U( + + 3 + rechte Seite + + ( ( + + ( (3 Rücktranformation von U zu u dank L Tabelle: U( ( PBZ e t u(t (4 Machen Sie die Probe! Löen it chwer, prüfen it leicht. Die Funktion u erfüllt die Differentialgleichung mit Anfangdaten! Die Laplace Tranformation verwandelt etwa komplizierte in etwa einfache. Die Tranformation entnimmt man am beten einer der umfangreichen L Tabellen. Zur Rücktranformation nutzen wir die Partialbruchzerlegung. Da it Routinearbeit. Die Anfangwerte werden chon im erten Schritt in die L Tranformation eingearbeitet. Man vergleiche dieen Rechenweg mit den Methoden au Kapitel N. Alle Wege führen zum elben Ergebni, aber man mu die jeweil gewählte Methode einüben, um ie zu beherrchen. Löung von Differentialgleichungen ( Auflöung der Hilfgleichung nach U und Partialbruchzerlegung: ( + + U( 4 + + 9 + char. Polynom U( PBZ Anfangdaten rechte Seite 4 + + + + 9 ( + ( + + 4 + + + + + + (3 Rücktranformation von U zu u dank L Tabelle: 3 U( ( + + 3 + e t in(3t + in(t u(t + (4 Wir machen die Probe: Löen it chwer, prüfen it leicht! u(t + e t in(3t u (t e t in(3t + in(t + 3 e t co(3t + co(t u (t 8 e t in(3t 6 e t co(3t in(t Die Funktion u erfüllt die Differentialgleichung mit Anfangdaten! Erzwungene Schwingung durch Impulanregung Löung: ( Wir laplace tranformieren dank L Tabelle: u(t U( U( u (t U( u( U( u (t U( u( u ( U( Die Hilfgleichung ( + U( löen wir auf zu U( /( +. Die Rücktranformation ergibt u(t in(t. Machen Sie die Probe! Wer die Löung ofort ieht oder wiedererkennt, kann hier abkürzen. ( Wir laplace tranformieren dank L Tabelle: y(t Y ( Y ( y (t Y ( u( Y ( y (t Y ( y( y ( Y ( Die Hilfgleichung ( + Y ( F ( ergibt Y ( U( F (. Die Tranformation f F müen wir nicht explizit berechnen: Al Rücktranformation erhalten wir die Faltung y u f. Erzwungene Schwingung durch Impulanregung Skizze unerer berechneten Löung y : R R: Die Amplitude wächt linear mit der Zeit. Wir ehen wunderbar die Reonanz! π 3π 4π 5π 6π 7π Anchauliche Beipiel: Anregung einer Schaukel. Wer al Kind gechaukelt hat, kann diee Löung püren. Ähnliche Reonanz gilt bei inuförmige Anregung, iehe N. L48 L4 L4 Übung L44 Übung t