Dekohärenz und die Entstehung klassischer Eigenschaften aus der Quantenmechanik

Dekohärenz und die Entstehung klassischer Eigenschaften aus der Quantenmechanik G. Mahler Spezialvorlesung SS 6 7. 4. 6 Einführung und Übersicht Warum und in welchem Sinn ist Kohärenz»untypisch«? 4. 5. 6 Zur Begründung der Thermostatistik aus der Quantenmechanik. 5. 6 Dekohärenz: Dynamik offener Systeme 8. 5. 6 Coarse graining und der Zeitpfeil. 6. 6 Quantenthermodynamische Maschinen. 6. 6 Nichtgleichgewicht: Zum Problem der Wärmeleitung 9. 6. 6 Fluktuationstheoreme 6. 7. 6 Messprozesse und stochastische Entfaltung 3. 7. 6 Nanomechanik. 7. 6 Physik und Information: Maxwells Dämon u. a. 7. 7. 6 Quantencomputing versus klassische Rechner Literatur D. Giulini et. al: Decoherence and the appearence of a classical world in quantum theory, Springer J. Gemmer et. al: Quantum Thermodynamics, Springer H. P. Breuer et. al: The theory of open quantum systems, Oxford

Dekohärenz und die Entstehung klassischer Eigenschaften aus der Quantenmechanik: 8. Nanomechanik Heiko Schröder 3.7.6 Inhaltsverzeichnis Motivation und Übersicht. Begriff Nanomechanik............................ Begriff Nanomechanik im Rahmen der Vorlesung............ minimales nanomechanisches Modell: harmonischer Oszillator 3. Bedeutung................................... 3. Definitionen.................................. 3.3 Kohärente Zustände............................. 3 3 Treiber 4 3. phänomenologisch............................... 4 3. mikroskopisch................................. 4 3.3 quantenmechanisch.............................. 5 3.4 notwendige Bedingung............................ 5 4 Faktorisierungs-Näherung 6 4. Aussage der Faktorisierungs-Näherung................... 6 4. Verallgemeinerung auf halbgemischte Zustände............... 7 5 Spin-HO-Modell 8 5. Modell..................................... 8 5. Ergebnisse................................... 8

Motivation und Übersicht. Begriff Nanomechanik Die Mechanik ist die Theorie von der Dynamik physikalischer Körper. Die betrachteten Größen sind Orte (x i ) und Impulse (p i ), oder auch Drehimpulse im Falle ausgedehnter Körper. Die Nanomechanik ist die entsprechende Theorie für nanoskopische Körper. Die Beschreibung baut auf der Quantenmechanik auf: ˆx i, ˆp i. Konkrete Fragestellungen der Nanomechanik sind die theoretische Beschreibung und der experimentelle Einsatz nanomechanischer bzw. nanoelektromechanischer Geräte (NEMS). Das Ziele sind die Messung extrem kleiner Kräfte und Strukturen, Vorstoß ins Quantenregime und direkte Messung quantenmechanischer Fluktuationen. (vgl. hierzu []) Obwohl natürlich im allgemeinen Sinne alles (Quanten-)Mechanik ist, wird bereits in diesem Kontext die Unterscheidung zwischen Schwingungen (Phononen) in nanoskopischen Körpern, die entweder als mechanische oder als thermische Freiheitsgrade anzusehen sind, gemacht. (ebenfalls []) [] ist ein ausführliches Lehrbuch zu den Grundlagen der Nanomechanik.. Begriff Nanomechanik im Rahmen der Vorlesung In der Thermodynamik spielen nicht nur Gleichgewichtsfragen, Relaxation, Wärme/ Wärmetransport, eine Rolle, sondern auch ein wichtiger Aspekt ist nartürlich auch Arbeit im thermodynamischen Sinne. In den vorangehenden Vorlesungen wurden aus einer rein quantenmechanischen Beschreibung heraus die Konzepte Gleichgewicht, Wärme und Relaxation behandelt. Auf derselben Basis soll nun das Konzept Arbeit im thermodynamischen Sinne behandelt werden. Der Begriff Mechanik soll jetzt also im thermodynamischen Sinne verstanden werden: Mechanik liegt vor, wenn ein System mechanisch im thermodynamischen Sinne auf ein anderes System wirkt, d.h. wenn es an ihm Arbeit verrichtet (Treiber). Nano bedeutet, dass der quantenmechanische Grenzfall betrachtet werden soll. Die zentrale Frage lautet in Analogie zu den vorhergehenden Vorlesungen: Wie muss die Umgebung, die Wechselwirkung zum System und der Anfangszustand des Gesamtsystems beschaffen sein, damit die Umgebung als Treiber auf das System wirkt?

minimales nanomechanisches Modell: harmonischer Oszillator. Bedeutung Bei dem quantenmechanischen harmonischen Oszillator handelt es sich um das einfachste nanomechanische Modell: Man kann sich z.b. einen schwingenden nanoskopischen Stab vorstellen, wobei die Beschreibung soweit vereinfacht wird, dass alle innere Struktur ignoriert wird.. Definitionen Hamilton-Operator: Definition der dimensionslosen Orts-/Impulsoperatoren: ˆX = Ĥ = ˆp m + mωˆx () mω h ˆx, ˆP = Hamilton-Operator mit den dimensionslosen Operatoren: hmω ˆp, [ ˆX, ˆP ] = ı () Ĥ = hω( ˆX + ˆP ) (3) Definition des Erzeuger-/Vernichter-Operators: â = ( ) ˆX + ı ˆP, â = ( ) ˆX ı ˆP (4) Hamiltonian mit Erzeugern/Vernichtern: Ĥ = hω(â â + ) (5) Definition der Energieeigenzustände (Fock-Zustände):.3 Kohärente Zustände Definition: Ĥ n = hω(n + ) n (6) α := ˆD(α) = e αâ α â = e α n= α n n! n (7) 3

Die besondere Bedeutung der kohärenten Zustände liegt darin, dass sie als quasiklassische Zustände angesehen werden können: Zwar sind Ort und Impuls nicht scharf, die Erwartungswerte von ˆx und ˆp verhalten sich aber genau wie der Ort und Impuls eines klassischen harmonischen Oszillators. Kohärente Zustände heißen kohärent, weil die Wellenpakete nicht auseinanderfließen, also zusammenhängend (=kohärent) bleiben. Vorstellung: verschwommener =unscharfer harmonischer Oszillator 3 Treiber 3. phänomenologisch Treiber / Treibende Umgebung : Ein System, das an einem anderen System Arbeit im thermodynamischen Sinne verrichtet. Was ist eigentlich Arbeit im thermodyn. Sinne? Phänomenologisch wird der Zustand eines thermodynamischen Systems beschrieben durch Zustandsvariablen, z.b. U, V, T, p, H,.... Unter diesen Variablen gibt es verallgemeinerte Wegvariablen, wie z.b. V, H,..., bei deren Veränderung Arbeit im thermodynamischen Sinne verrichtet werden muss (gegen die verallgemeinerten Kräfte p, M,... ). 3. mikroskopisch Auf quantenmechanischer Ebene ist, wie quantenmechanisch schon sagt, alles irgendwie mechanisch (im allgemeinen Sinne): Es gibt ja nur die Wechselwirkungen zwischen System und Umgebung, die zwischen den einzelnen Teilen der beiden Systeme wirkt. Diesen Wechselwirkungen sieht man nicht an, ob sie nun Arbeit oder Wärme ins System bringen. Insbesondere werden beide Energien über dieselben Wechselwirkungen ins System befördert. Ob das jetzt Wärme ist, wenn die Wand an einer Wellenfunktion im Innern rüttelt, oder Arbeit, ist also nicht von vorneherein klar. Die Statistische Physik liefert uns aber einen Hinweis, wie man Wärme von Arbeit unterscheiden kann: du = T ds pdv = E i dp i + p i de i i i }{{}}{{} =d Q=T ds =d W (8) Die Zuordnung der Terme zur Wärme/Arbeit ist im Rahmen der Statistischen Physik möglich, solange der Prozess reversibel durchgeführt wird. ([3], S. 679ff) Man sieht hier, dass 4

Wärme = Änderung der Besetzungszahlen p i Arbeit = Änderung der Energien der Mikrozustände E i 3.3 quantenmechanisch Das kann man natürlich direkt auf die Quantenthermodynamik übertragen werden: Ganz allgemein lässt sich für die innere Energie eines Systems sagen: U = Ĥ = tr{ˆρĥ} = i ρ }{{} ii E i (9) =p i wenn die E i die Energieeigenwerte des Systems sind. Durch Bilden des Differenzials kommt man direkt zu (8). Da das Treiben eines Systems also gleichbedeutend ist mit der Änderung von den Energieeigenwerten des betrachteten Systems, lautet die Frage nach Bedingungen, die ein Treiber erfüllen muss: Wie muss die Umgebung, die Wechselwirkung mit dem System und der Anfangszustand des Gesamtsystems beschaffen sein, so dass die einzige Wirkung der zeitlichen Entwicklung des Gesamtsystems ist, die Energieeigenwerte des Systems zu verändern? 3.4 notwendige Bedingung Der Hamilton-Operator des betrachteten Systems muss also offensichtlich explizit zeitabhängig werden, denn ein konstanter Hamiltonian bedeutet keine Änderung der Energieeigenwerte. Konkreter: Die Gesamtdynamik des Gesamtsystems muss so beschaffen sein, dass sich ein effektiver zeitabhängiger lokaler Hamilton- Operator für das System ergibt. Mathematisch formuliert: Betrachte ein zweigeteiltes System (Syst. + Umgebung): Ĥ = Ĥ ˆ + Ĥ + ˆ Ĥ () Die Zeitentwicklung des Gesamtsytems ist gegeben durch die Liouville-von- Neumann-Gleichung (LvNGl) d dt ˆρ (t) = ī [Ĥ, ˆρ (t)] () h Die Zeitentwicklung des Zustands des Systems (= System ) ergibt sich daraus durch partielle Spurbildung: d dt ˆρ (t) = tr { [Ĥ, ˆρ (t)] } () 5

und die formulierte Bedingung ist dann gegeben durch: d dt ˆρ (t) = tr { [Ĥ, ˆρ (t)] } =! ī [Ĥeff ] h (t), ˆρ (t) (3) Diese Bedingung ist natürlich nicht hinreichend für einen idealen Treiber, weil z.b. durch nicht-adiabatische (im quantenmechanischen Sinn) Änderung der Energieeigenfunktionen es Übergänge im System geben kann: Zu schnelles Treiben, Treiben ins Nicht-Gleichgewicht. einfaches, aber drastisches Beispiel: Spin mit Ausgangszustand: Ĥ eff (t) = Θ( t)ˆσ z + Θ(t)ˆσ x (4) ˆρ (t < ) = = ( Dabei soll der Spin-runter-Zustand bzgl. ˆσ z sein. Die Energieeigenbasis ändert sich bei t = instantan und die neue Energieeigenbasis ist gegeben durch die Transformation T auf das neue Eigensystem, bestehend aus den Eigenvektoren von ˆσ x : ( ) T = ) (5) (6) Zustand nach t = in der neuen Basis hρ (t > ) = T.ˆρ (t < ).T = ( ) (7) Offensichtlich ist der Zustand kein Gleichgewichtszustand mehr. Sichere Aussagen über Arbeit und Wärme hängen dann stark vom System ab (wg. Irreversibilität/Nicht-Gleichgewicht). 4 Faktorisierungs-Näherung 4. Aussage der Faktorisierungs-Näherung Die Faktorisierungs-Näherung liefert eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines effektiven, zeitabhängigen, lokalen Hamilton-Operators. [4] Definition der Purity: Falls P (ˆρ ) =, dann P (ˆρ) := tr{ˆρ } (8) P (ˆρ ) = P (ˆρ ) (9) 6

Aussage der Faktorisierungs-Näherung: Gegeben sei ein zweigeteiltes System, das in einem reinem Produkt-Zustand starten soll: Ĥ = Ĥ ˆ + Ĥ + ˆ Ĥ () Ψ() = Φ () Φ () () Solange P (ˆρ i ) gilt, ist die Zeitentwicklung des Systems in gute Näherung (Fehler ist quantifizierbar, s. [4]) gegeben durch die Gleichungen ı h d ) dt Φ,(t) = (Ĥ, + Φ, (t) Ĥ Φ, (t) Φ, (t) () }{{} H, eff (t) Die Interpretation der Gleichungen ist: Solange die Bedingungen für die Näherung gegeben ist, kann die Zeitentwicklung der Systeme in guter Näherung mit den effektiven, zeitabhängigen, lokalen Hamilton-Operatoren H,(t) eff beschrieben werden. Der Beweis ist auch in [4] zu finden. 4. Verallgemeinerung auf halbgemischte Zustände Als halbgemischte Zustände sollen Zustände der Form bezeichnet werden. ˆρ = ˆρ Φ () Φ () (3) Die Verallgemeinerung ist notwendig, da mit der Faktorisierungs-Näherung die Frage nach dem Treiben thermischer Systeme bearbeitet werden soll. Ein System, dass in einem thermischen Zustand vorliegt, befindet sich aber immer in einem gemischten Zustand. Man kann zeigen: Solange P (ˆρ (t)) gilt und wenn das System in dem Anfangszustand ˆρ () = ˆρ () Φ () () Φ () () (4) gestartet ist, gilt in guter Näherung ı h d dt ˆρ (t) = [Ĥ + Φ (t) Ĥ Φ (t), ˆρ (t)] (5) ı h d ) dt Φ (t) = (Ĥ + tr {(ˆρ (t) ˆ)Ĥ} Φ (t) (6) Wieder ist eine Beschreibung mit einem effektiven, zeitabhängigen, lokalen Hamilton- Operator möglich. Dies ist natürlich noch nicht gleichbedeutend mit dem Vorliegen eines Treibers im thermodynamischen Sinne, denn damit ist nur die notwendige Bedingung erfüllt. 7

5 Spin-HO-Modell 5. Modell Ein sehr einfaches Modell zur Veranschaulichung der besprochenen Konzepte stellt das Spin + Harmonischer Oszillator -Modell dar. Das Modell wird beschrieben durch den Hamilton-Operator ( h = ) Ĥ = κˆσ z ˆ + γˆσ z ˆX }{{} Ĥ system + (ˆ ω ˆX + ˆ ˆP ) }{{} und besteht aus einem Spin, der über ˆσ z an die dimensionslose Ortskoordinate des Oszillators ankoppelt. Warum wird der Wechselwirkungsterm mit in Ĥsystem hineingenommen? Im Rahmen der Thermodynamik ist die innere Energie eines Systems gegeben als: du = SdT pdv. pdv ist offensichtlich ein Wechselwirkungsterm mit der Wand des Containers. Genauso ist auch der Wechselwirkungsterm hier im Modell auffassbar und muss daher mit in Ĥsystem hineingenommen werden. Als Anfangszustand wird ˆρ () = ˆρ system () ˆρ env () = gewählt, wobei α ein kohärenter Zustand ist. 5. Ergebnisse Ĥ env ( ɛ ɛ (7) ) α α (8) Mit den verwendete Parametern (ω =, γ =.5, κ =., α =, ɛ =.7) ergibt sich folgendes Bild:. PSfrag replacements P (ˆρenv).998.996.994.99 time 8

-..5 -..5 Sfrag replacements Ĥsystem -.3 -.4 -.5 -.6 -.7 PSfrag replacements Ĥenv.49.48.47.46.45 time time Erklärung: Die Purity des Oszillators bleibt sehr nahe bei, d.h. die Voraussetzung für die Faktorisierungs-Näherung ist erfüllt. Im Spin finden keine Übergänge statt. Daher kann die Veränderung der System-Energie tatsächlich mit dem effektiven, zeitabhängigen, lokalen Hamilton-Operator Hsystem eff = (κ + γ ˆX )ˆσ z beschrieben werden und die Dynamik kann als ein nahezu ideales Treiben des Systems gedeutet werden: Es ändert sich nichts weiter als die Aufspaltung des Spins, also seine Energieeigenwerte. Literatur [] K. C. Schwab and M. L. Roukes, Physics Today 58, 36 (6). [] Andrew N. Cleland, Foundations of Nanomechanics. From Solid-State Theory to Device Applications (Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 3). [3] B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, and B. Roulet, Grundlagen der Statistischen Physik (Walter de Gruyter, 994). [4] J. Gemmer and G.Mahler, Eur. Phys. J. D 7, 385 (). 9