Funktionentheorie. Wolfram Decker

Funktionentheorie Wolfram Decker

Inhaltsverzeichnis Kapitel. Grundlagen 7 1. Komplexe Zahlen 7 1.1. Der Körper C 7 1.2. Konjugation 7 1.3. Euklidischer Abstand, C als metrischer Raum 8 1.4. Zusammenhang 8 2. Konvergenz von Reihen 9 2.1. Konvergente Reihen 9 2.2. Absolute Konvergenz und Umordnung 1 2.3. Produkte von Reihen 11 2.4. Cauchy scher Doppelreihensatz. 11 Kapitel 1. Analytische Funktionen 13 3. Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen und -reihen 13 3.1. Punktweise Konvergenz 13 3.2. Gleichmäßige Konvergenz 13 3.3. Lokal-gleichmäßige Konvergenz 13 3.4. Funktionenreihen 14 3.5. Normale Konvergenz von Funktionenreihen 14 4. Potenzreihen 16 4.1. Formale Potenzreihen 16 4.2. Konvergente Potenzreihen 16 4.3. Konvergenzradius 16 4.4. Identitätssatz für Potenzreihen 17 5. Analytische Funktionen 19 5.1. Definitionen 19 5.2. Entwicklungssatz für Potenzreihen 19 5.3. Identitätssatz für analytische Funktionen 2 6. Elementare Funktionen 21 6.1. exp, sin, cos 21 6.2. Polarkoordinaten 22 6.3. Epimorphiesatz für exp und Folgerungen 22 Kapitel 2. Holomorphe Funktionen 25 7. Komplex differenzierbare Funktionen 25 7.1. Komplexe Differenzierbarkeit 25 7.2. Reelle Differenzierbarkeit 26 7.3. Wirtinger Ableitungen 27 7.4. Cauchy-Riemann sche Differentialgleichungen 27 3

4 Wolfram Decker 8. Holomorphe Funktionen 29 8.1. Definitionen 29 8.2. Analytische Funktionen sind holomorph 29 8.3. Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen 3 8.4. Stammfunktionen 31 9. Wegintegrale 32 9.1. Integration in reellen Intervallen 32 9.2. Integrationswege 34 9.3. Integration längs Wegen 35 1. Wegunabhängigkeit von Integralen, Cauchy scher Integralsatz 39 1.1. Wegunabhängig integrierbar 39 1.2. Integrabilitätskriterium für Sterngebiete 4 1.3. Der Cauchy sche Integralsatz für Sterngebiete 42 1.4. Der Cauchy sche Integralsatz für einfach zusammenhängende Gebiete 44 11. Cauchy scher Integralformel für Kreisscheiben, Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor 47 11.1. Cauchy scher Integralformel für Kreisscheiben 47 11.2. Entwicklungslemma 47 11.3. Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor 48 11.4. Holomorphiekriterien 48 11.5. Cauchy sche Integralformeln für Ableitungen 49 11.6. Cauchy sche Ungleichungen 49 Kapitel 3. Erste Anwendungen der Cauchy-Formel 51 12. Der Konvergenzsatz von Weierstraß 51 12.1. Weierstraß scher Konvergenzsatz 51 12.2. Weierstraß scher Differentiationssatz für Reihen 51 12.3. Weierstraß scher Doppelreihensatz 52 13. Offenheitssatz und Maximumprinzip 53 13.1. Offenheitssatz 53 13.2. Maximum- und Minimumprinzip 53 14. Wachstum und Fundamentalssatz 55 14.1. Wachstumslemma 55 14.2. Fundamentalsatz der Algebra 55 15. Holomorphe Logarithmen und Wurzeln 57 15.1. Holomorphe Logarithmen 57 15.2. Holomorphe Wurzeln 58 15.3. Die Gleichung f(z) = f(c) exp f f γ 16. Riemann scher Fortsetzungssatz, biholomorphe Abbildungen, lokale Nebenform 6 16.1. Riemann scher Fortsetzungssatz 6 16.2. Biholomorphe Abbildungen 6 16.3. Lokales Biholomorphikriterium 61 16.4. Lokale Normalform 62 17. Der Satz von Moutel 63

FUNKTIONENTHEORIE 5 17.1. Der Satz von Ascoli-Bourbaki 63 17.2. Der Satz von Moutel 64 17.3. Der Satz von Vitali 64 Kapitel 4. Konforme Abbildungen (Riemann scher Ansatz) 65 18. Konforme Abbildungen 65 18.1. Definitionen 65 18.2. Konformitätskriterium 66 19. Einige Automorphismengruppen 68 19.1. Automorphismen des Einheitskreises 68 19.2. Automorphismen der oberen Halbebene 69 19.3. Automorphismen von C 69 19.4. Automorphismen von C 69 Kapitel 5. Isolierte Singularitäten, meromorphe Funktionen, Residuenkalkül 71 2. Isolierte Singularitäten 71 2.1. Definition 71 2.2. Riemannscher Hebbarkeitssatz 71 2.3. Pole 71 2.4. Satz von Casorati-Weierstraß 73 21. Meromorphe Funktionen 74 21.1. Definition und Beispiele 74 21.2. Reihen meromorpher Funktionen 74 22. Laurententwicklung holomorpher Funtionen in Kreisringen 76 22.1. Cauchy-Theorie für Kreisringe 76 22.2. Laurenttrennungen 77 22.3. Laurententwicklung 78 22.4. Laurentreihen 78 22.5. Charakterisierung isolierter Singularitäten 79 23. Allgemeine Cauchysche Integralformel 81 23.1. Die Indexfunktion 81 23.2. Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz 81 23.3. Allgemeine Cauchysche Integralformel 84 24. Der Resiudensatz 86 24.1. Residuen 86 24.2. Residuensatz 87 25. Anwendungen des Resiudensatzes 88 25.1. Anzahlformel für Null- und Polstellen 88 25.2. Satz von Rouché 89 25.3. Satz von Hurwitz 89 25.4. Beispiel 9 26. Der Riemann sche Abbildungssatz 91 26.1. Lemma 91 26.2. Riemannscher Abbildungssatz 91 Kapitel 6. Partialbruch- und Produktentwicklungen 95

6 Wolfram Decker 27. Der Satz von Miltag-Leffler, Partialbruchzerlegung 95 27.1. Satz von Miltag-Leffler 95 27.2. Beispiele 96 28. Der Weierstraßsche Produktsatz 98 28.1. Konvergente Produkte 98 28.2. Weierstraßscher Produktsatz 99 Kapitel 7. Die Idee der Riemannschen Fläche 11 29. Analytische Fortsetzung und Monochromiesatz 11 29.1. Kreiskettenverfahren 11 29.2. Monochromiesatz (Homotopieinvarianz der analytischen Fortsetzung) 13 29.3. Beispiel: Der Logarithmus 15 3. Riemannsche Flächen 17 3.1. Definitionen 17 3.2. Identitätssatz und Satz von der Gebietstreue 18 31. Analytische Fortsetzung und Monochromiesatz für Riemannsche Flächen 11 31.1. Analytische Fortsetzung 11 31.2. Monochromiesatz 11 32. Die unverzweigte Riemannsche Fläche eines holomorphen Keims 112 32.1. Definition und Satz 112 Literaturverzeichnis 115

KAPITEL Grundlagen 1. Komplexe Zahlen 1.1. Der Körper C. Auf dem R Vektorraum R 2 mit Elementen z = (x, y) definieren wir eine Multiplikation durch z 1 z 2 = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Dann ist C := (R 2, +, ) ein Körper, der Körper der komplexen Zahlen, mit Nullelement (, ), Einselement (1, ) und Die Abbildung z = (x, y) = (, ) 1 z = z 1 = R C, x (x, ) 1 (x, y). x 2 + y2 ist ein Körpermonomorphismus, wir fassen R C als Unterkörper auf und identifizieren x = (x, ). Für i = (, 1) gilt i 2 = 1, d.h. i ist Nullstelle des Polynoms z 2 + 1. Wir haben z = (x, y) C: z = (x, y) = x(1, ) + y(, 1) = x + iy = Re z + i Im z Realteil Imaginärteil Bemerkung. C kann nicht angeordnet werden. Annahme. doch < 1 2 = 1 und < i 2 = 1 < 1 + ( 1) = 1.2. Konjugation. Für z = x + iy sei z := x iy. Dann ist J : C C, z z ein Körperautomorphismus mit J 2 = id und Fixkörper R. Mit anderen Worten z + w = z + w, zw = z w, = z = z, z R z = z. Weiter ist Re z = 1 2 (z + z), Im z = 1 (z z). 2i 7

8 Wolfram Decker Anschaulich ist z z die Spiegelung an der reellen Achse: z z 1.3. Euklidischer Abstand, C als metrischer Raum. Wie üblich seien z 1, z 2 := x 1 x 2 + y 1 y 2 das euklidische Skalarprodukt z = x 2 + y 2 der euklidische oder Absolutbetrag und d(z 1, z 2 ) := z 1 z 2 der euklidische Abstand bzw. die euklidische Metrik. Dann gelten die Regeln z = z, Re z z, Im z z, zz = z 2 und z 1 = z für z =. z 2 Der euklidische Abstand d macht C zum metrischen und damit insbesondere zum topologischen Raum. Begriffe wie offen, abgeschlossen, Umgebung, stetig, Konvergenz, Cauchy-Folge, Häufungspunkt oder kompakt sind damit definiert. Ist z C, so schreiben wir U(z) für die Menge aller Umgebungen von z. Wir wiederholen z.b. Konvergenz: a n a ε > n N : a n a < ε n n. Dies ist äquivalent zu (Re a n Re a und Im a n Im a). C ist vollständig, d.h. Cauchy-Folge in C konvergiert gegen komplexe Zahl. Man hat die üblichen Limessätze sowie zusätzlich falls lim a n existiert. lim a n = lim a n, 1.4. Zusammenhang. Sei A C. 1.4.1. Definition. lim a n = lim a n (i) Eine stetige Abbildung α : [a, b] A heißt Weg mit Anfangspunkt α(a) und Endpunkt α(b). ( α verbindet α(a) mit α(b) ). A heißt wegzusammenhängend, wenn je zwei Punkte in A durch einen Weg verbindbar sind.

FUNKTIONENTHEORIE 9 (ii) A heißt zusammenhängend, wenn die Bedingungen des folgenden Satzes erfüllt sind. 1.4.2. Satz. Es sind äquivalent: (i) Sind A 1, A 2 A offen (bzgl. der induzierten Metrik bzw. Topologie) mit A 1 A 2 =, A 1 A 2 = A, so folgt A 1 = A oder A 2 = A. (ii) Ist B A offen und abgeschlossen (bzgl. der induzierten Metrik bzw. Topologie), so ist B = A oder B =. Beweis. Aufgaben. 1.4.3. Satz. Stetige Abbildungen bilden (i) wegzusammenhängende Mengen auf ebensolche ab (ii) zusammenhängende Mengen auf ebensolche ab. Beweis. Aufgaben. 1.4.4. Satz. Für G = A offen sind äquivalent: (i) G wegzusammenhängend ( Gebiet ) (ii) G zusammenhängend. Beweis. Aufgaben. 1.4.5. Beispiel. Gebiete sind etwa: Offene Kreisscheiben K r (a) := {z C z a < r}, a die obere Halbebene H := {z C Im z > }, C \ R := C \ {x R x }. 2. Konvergenz von Reihen 2.1. Konvergente Reihen. 2.1.1. Definition. Eine Reihe a ν komplexer Zahlen (i.a. ist k =, 1) heißt konvergent mit Summe s, wenn s n := n dann auch s = a ν. a ν s. Wir schreiben

1 Wolfram Decker 2.1.2. Satz. Äquivalent: (i) a ν = s ist konvergent. (ii) ε > n k : n ν=m+1 a ν < ε n, m n ( Cauchy- Kriterium ) (iii) Re a ν = Re s und Im a ν = Im s sind konvergent. (iv) Cauchy für Real- und Imaginärteil. Beweis. (i) (ii) bzw. (iii) (iv) ist die Vollständigkeit von C bzw. R. (i) (iii) ergibt sich wegen n a ν = n Re a ν + n Im a ν aus den Limessätzen für Folgen. ν= 2.1.3. Beispiel. Geometrische Reihe n z ν = 1 zn+1 1 1 z 1 z z C mit z < 1. 2.2. Absolute Konvergenz und Umordnung. Motivation. Wir betrachten ein Beispiel. Die Reihen 1 1 2 + 1 3 1 4 bzw. 1 + 1 3 1 2 + 1 5 + 1 7 1 4 + sind Umordnungen voneinander, sie sind konvergent, haben aber die verschiedenen Summen 3 ln 2 bzw. 2 ln 2. Will man, unabhängig von Umordnungen, immer denselben Grenzwert erhalten, so braucht man, dass die Reihe absolut konvergiert. 2.2.1. Definition. a ν heißt absolut konvergent, wenn a ν konvergiert. 2.2.2. Bemerkung. (i) Jede absolut konvergente Reihe a ν ist konvergent und es gilt a ν a ν. (ii) Majorantenkriterium. Sei r ν eine konvergente Reihe reeller Zahlen r ν. Ist a ν eine Reihe komplexer Zahlen mit a ν r ν für k k fast alle ν k, so ist a ν absolut konvergent. k Beweis. Anwendung des Cauchy-Kriteriums. 2.2.3. Umordnungssatz. Ist a ν absolut konvergent, so auch jede Umordnung dieser Reihe, genauer gilt a τ(ν) = a ν Bijektion τ : N N. Beweis. Wortwörtlich wie im Reellen.

FUNKTIONENTHEORIE 11 2.3. Produkte von Reihen. Sind a µ, b ν zwei Reihen, so heißt jede Reihe c λ, wo c, c 1, c 2,... genau einmal die Produkte a µ b ν durchläuft, eine Produktreihe von a µ und b ν. Besonders wichtig für uns ist das Cauchy-Produkt. p λ mit p λ = λ= µ+ν=λ a µ b ν. 2.3.1. Reihenproduktsatz. Sind a µ, b ν absolut konvergent, so auch Produktreihe c λ und es gilt a µ b ν = c λ. Beweis. l N m N mit {c,..., c l } {a µ b ν µ, ν m}. Also folgt l m m c λ a µ b ν a µ b ν <. λ= µ= ν= Damit ist c λ absolut konvergent und nach dem Umordnungssatz kann man zur Berechnung von c λ jede Anordnung der a µ b ν benutzen, die man durch Ausmultiplizieren von n n a µ b ν erhält. Also ist µ= ν= µ= ν= n n c λ = lim a µ b ν = a µ b ν n λ= µ= ν= 2.4. Cauchy scher Doppelreihensatz. Sei a µν, (µ, ν) N N, eine Doppelfolge komplexer Zahlen. Dann gilt: a µν konvergiert genau µ= ν= dann, wenn a µν konvergiert. In diesem Fall ist ν= Beweis. Aufgaben µ= µ= a µν = ν= ν= µ= a µν. µ= ν=

KAPITEL 1 Analytische Funktionen (Weierstraß scher Ansatz) 3. Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen und -reihen Seien A C und (f n ) n N eine Folge von Funktionen f n : A C. 3.1. Punktweise Konvergenz. 3.1.1. Definition. f n heißt punktweise konvergent in A (gegen eine Funktion f : A C), falls z A f n (z) konvergiert (gegen f(z)). Wir schreiben dann f n f, f = lim f n. 3.2. Gleichmäßige Konvergenz. 3.2.1. Definition. f n heißt gleichmäßig konvergent in A (gegen f : A C), falls ε > n N : f n (z) f(z) < ε n n, z A. Wir schreiben dann f n f. 3.2.2. Bemerkung. (i) f n f (Re f n Re f und Im f n Im f) (ii) (f n f, g n g, a, b C) = (af n + bg n af + bg) (iii) (f n f, g n g, f, g beschränkt) = (f n g n f g). (Übung) 3.2.3. Cauchy-Kriterium: f n gleichmäßig konvergent ε > n N :. Beweis. Wie im reellen. f n (z) f m (z) < ε n, m n z A 3.3. Lokal-gleichmäßige Konvergenz. Sei A = Ω offen. 3.3.1. Definition. f n heißt lokal-gleichmäßig (kompakt) konvergent in Ω (gegen f : Ω C), falls die Bedingungen des folgenden Satzes erfüllt sind. Wir schreiben dann f n = lok f n. 3.3.2. Satz. Äquivalent: (i) z Ω U U(z) offen, U Ω : f n U f U. 13

14 Wolfram Decker (ii) K Ω kompakt: f n K f K. Beweis. (i) = (ii) Sei K Ω kompakt. z K U z U(z): f n U z f n U z. Da K kompakt z 1,..., z r K mit K also auch f n K f K. r U zi i=1 =: U. Dann f n U f U, (ii) = (i) Sei z Ω. Wählen Radien s, r mit K s (z) =: U K r (z) =: K Ω. offen kompakt Dann f n K f K, also auch f n U f U. 3.3.3. Bemerkung. (f n f) = (f n lok f) = (f n f). 3.3.4. Stetigkeitssatz: (f n lok f, fast alle f n stetig) = (f stetig). Beweis. Wie im reellen. 3.4. Funktionenreihen. Obige Definitionen und Aussagen übertragen sich wie üblich auf Funktionenreihen f ν durch Betrachten der Partialsum- men f ν. Außerdem gilt das Majorantenkriterium von Weierstraß: Sei r ν eine konvergente Reihe in R + mit f ν (z) r ν z A, für fast alle ν. Dann konvergiert f ν gleichmäßig auf A. Beweis. Für n > m groß genug gilt n n f ν (z) f ν (z) ν=m+1 ν=m+1 und Behauptung folgt aus Cauchy-Kriterium. n ν=m+1 r ν (z) z A Die bereits in 2 erwähnten Probleme beim Umordnen von Reihen führen zu 3.5. Normale Konvergenz von Funktionenreihen. Sei wieder A = Ω offen. 3.5.1. Definition. f ν heißt normal konvergent in Ω, falls die Bedingungen des folgenden trivialen Satzes erfüllt sind. 3.5.2. Satz. Äquivalent: (i) z Ω U U(z) offen, U Ω: fν U konvergiert. (ii) K Ω kompakt: fν K konvergiert. Dabei verwenden wir die Bezeichnung: Funktion und M X, so sei g M := sup g(m). m M Sind X eine Menge, g : X C eine

3.5.3. Bemerkung. FUNKTIONENTHEORIE 15 (i) Normal konvergent = lokal-gleichmäßig konvergent. (ii) Für Ω = K r (c) sind obige Bedingungen äquivalent zu: < s < r : f ν Ks (c) konvergiert. 3.5.4. Umordnungssatz: Konvergiert f ν in Ω normal gegen f, so konvergiert Bijektion τ : N N auch f τ(ν) in Ω normal gegen f. Beweis. Für K Ω kompakt konvergiert f ν K, also auch f τ(ν) K, nach dem Umordnungssatz (2.2.4). Ist z Ω so folgt speziell mit K = {z} : fν (z) = f τ(ν) (z). Analog ergibt sich aus (2.3.1): 3.5.5. Reihenproduktsatz: Sind f ν, g ν normal konvergent in Ω, so auch jede ihrer Produktreihen gegen ( f ν )( g ν ).

16 Wolfram Decker 4. Potenzreihen 4.1. Formale Potenzreihen. Ist c C ein fester Punkt, so heißt jede Funktionenreihe a ν (z c) ν, a ν C (formale) Potenzreihe mit Entwicklungspunkt c und Koeffizienten a ν. Jedes Polynom n a ν (z c) ν wird als Potenzreihe mit a ν = für ν > n aufgefaßt. Die Potenzreihen mit festem Entwicklungspunkt c werden zu einer C Algebra durch aν (z c) ν + b ν (z c) ν := (a ν + b ν )(z c) ν ( a ν (z c) ν )( b ν (z c) ν ) := ( a µ b ν ). λ µ+ν=λ 4.2. Konvergente Potenzreihen. 4.2.1. Definition. Eine Potenzreihe a ν (z c) ν heißt konvergent, wenn z = c mit a ν (z c) konvergiert. Wichtiges Beispiel ist die geometrische Reihe z ν, konvergent für z < 1. 4.2.2. Abel sches Lemma: Gibt es zu a ν (z c) ν reelle Zahlen r >, M >, so daß a ν r ν M ν, so konvergiert a ν (z c) ν normal in K r (c). Beweis. Wir wenden (3.5.3), (ii) an. Für < s < r gilt s ν M ν := a ν (z c) ν Ks(c) a ν s ν = a ν r ν M s ν. r r Wegen s < 1 konvergiert M r ν. 4.2.3. Korollar. Konvergiert a ν (z c) ν in z = c, so ist a ν (z c) ν normal konvergent in K z c (c). z c z c Beweis. a ν (z c) ν ist Nullfolge, also beschränkt. 4.3. Konvergenzradius. Sei a ν (z c) ν eine Potenzreihe. 4.3.1. Definition. R := sup (z c) a ν (z c) konvergent R + { } heißt Konvergenzradius und K R (c) Konvergenzkreis von a ν (z c) ν. 4.3.2. Konvergenzsatz für Potenzreihen: Ist R >, so konvergiert a ν (z c) ν normal in K R (c) und divergiert in C \ K R (c).

FUNKTIONENTHEORIE 17 Beweis. Sei < s < R. Dann z mit s < z c < R. Nach (4.2.3) konvergiert a ν (z c) ν normal in K z c (c) und somit erst recht in K s (c). Ist z / K R (c), so divergiert a ν (z c) ν nach Definition von R. Insbesondere ist die Grenzfunktion K R (c) C, z a ν (z c) ν stetig. Zum Konvergenzverhalten auf dem Rand K R (c) des Konvergenzkreises vergleiche Aufgaben. Für Anwendungen nützlich sind: 4.3.3. (i) Formel von Cauchy-Hadamard: Es gilt 1 R = lim ν a ν. (ii) Quotientenkriterium: lim a ν a ν+1 Ist a ν = für fast alle ν, so ist R lim a ν a ν+1. Speziell R = lim aν a ν+1, falls dieser Limes existiert. Beweis. Wie im reellen. 4.3.4. Beispiele: (i) Exponentialreihe 1) =. exp(z) = (ii) Logarithmische Reihe 1 1. (iii) Arcustangensreihe 1 da a ν = ν= z ν : R = lim aν ν! a ν+1 = lim (ν + ( 1) ν 1 ν z ν : R = lim aν a ν+1 = lim ν+1 ν = ( 1) µ 1 2µ 1 z2µ 1 : R = 1 nach Cauchy-Hadamard, ν gerade 1 ν = 2µ 1 ungerade. 2µ 1 4.4. Identitätssatz für Potenzreihen. Von großer Bedeutung für die Funktionentheorie ist die Tatsache, daß eine konvergente Potenzreihe durch ihre Grenzfunktionen bestimmt ist. Wir zeigen zunächst: 4.4.1. Satz (Isolierte Nullstellen). Sei f(z) = a ν (z c) ν in K r (c) konvergent. Wenn nicht alle a ν =, so < s < r mit f(z) = z K s (c)\{c}. Insbesondere ist jede Nullstelle isoliert. Beweis. Nach Voraussetzung ist n := min ν a ν = N und f(z) = (z c) n g(z) wo g(z) = a n+ν (z c) ν. Die Funktion g(z) ist stetig in K r (c) ν= mit g(c) = a n =. Also < s < r mit g(z) = und somit auch f(z) = z K s (c) \ {c}. 4.4.2. Identitätssatz: Seien f(z) = a ν (z c) ν, g(z) = b ν (z c) ν in K r (c) konvergent. Gibt es eine Folge z n c, z n K r (c) \ {c} n, mit f(z n ) = g(z n ) n, so folgt a ν = b ν ν.

18 Wolfram Decker Beweis. Mit f, g konvergiert auch h := f g, h(z) = a ν b ν (z c) ν, in K r (c). Wenn nicht alle a ν = b ν, so liefert (4.4.1) ein < s < r mit h(z) = z K s (c)\{c}. Wegen z n c n N mit z n K s (c)\{c} n n im Widerspruch zu h(z n ) =.