M. Knobel. Schulaufgabe aus er Mathematik WC 3..07 S_A7_WC_A703.mc.0 Gegeben ist ie Funktionenschar f : x--> f k k ( x) mit f k ( x) = x 4 k + k mit k R. Berechnen Sie f k ( x) f k ( x) un folgern Sie araus as Symmetrieverhalten von G fk. BE. Ermitteln Sie Lage un Vielfachheit aller Nullstellen von f k in Abhängigkeit von k. Führen Sie hierzu eine geeignete Fallunterscheiung urch. 8BE Sei ab jetzt k >.3 Ermitteln Sie ie Abszissen un ie Art aller relativen Extrempunkte von f k in Abhängigkeit von k. 8BE Sei ab jetzt k = un wir betrachten f : x-->x 4 6 x.4 Berechnen Sie ie Wenepunkte es Graphen von f. 3BE.5 Bestimmen Sie mit Hilfe bisheriger Ergebnisse ie Nullstellen un relativen Extrempunkte. Berechnen Sie f (.6). Zeichnen Sie en Graphen von f im Bereich.6 x.6 in ein Koorinatensystem. (x-achse: LE = cm, y-achse: LE = 0,5cm.) 5BE x in ihrer maximalen Definitionsmenge D = R. Der Graph von f k wir mit G fk bezeichnet..0 Eine Klasse mit Jungen un 9 Mächen fährt für 3 Tage auf eine Skihütte.. Jeen Tag wir neu ausgelost, wer von en 0 Personen abspülen muss. Wer Pech hat, kann auch mehrmals eingeteilt weren. Berechnen Sie ie Wahrscheinlichkeit er Ereignisse A un B mit: A: An en 3 Tagen trifft es 3 verschieene Personen. B: Die Geschlechter wechseln sich täglich beim Spülen ab. 5BE. Untersuchen Sie ie Ereignisse A un B aus Aufgabe. auf stochastische Unabhängigkeit. (Teilergebnis: P(A B) = 0,75) 3BE.3 Am Ene es Aufenthalts weren 3 Personen gleichzeitig zum Hüttenputz ausgelost. Berechnen Sie ie Wahrscheinlichkeit, ass minestens ein Junge abei ist. 3BE 3.0 Myriam lernt as Skifahren. Im Schlepplift kommt sie stets mit einer Erfolgsquote von 80% oben an. Sie benutzt en Lift 0 Mal. 3. Berechnen Sie ie Wahrscheinlichkeiten er folgenen Ereignisse: E: Genau 9 Liftfahrten sin erfolgreich. F: Höchstens 7 Liftfahrten sin erfolgreich. G: Myriam kommt bei en ersten 4 Liftfahrten un anschließen noch bei weiteren Fahrten sicher oben an. 7BE
Musterlösung: x.0 Gegeben ist ie Funktionenschar f( k, x) x 4 k + k mit k R in ihrer maximalen Definitionsmenge D = R. Der Graph von f k wir mit G fk bezeichnet.. Berechnen Sie f k ( x) f k ( x) un folgern Sie araus as Symmetrieverhalten von G fk. BE f( k, x) f( k, x) 0 BE => G fk ist achsensymmetrisch zur Orinate. BE. Ermitteln Sie Lage un Vielfachheit aller Nullstellen von f k in Abhängigkeit von k. Führen Sie hierzu eine geeignete Fallunterscheiung urch. 8BE x x 4 k + k = x x k + k = 0 => () x = 0 BE BE () x k + k = 0 Fallunterscheiung: BE. Fall: Keine weiteren Nullstellen, falls k( k + ) < 0 => < k < 0 Also: falls x = k( k + ) BE < k < 0 existiert ein BP (oppelte NS) bei x = 0 un sonst nichts weiter. BE. Fall: Eine (weitere) Nullstelle bei x 34 = 0, falls k( k + ) = 0 => k = oer k = 0 Also: falls k = oer k = 0 existiert ein BP (vierfache NS) bei x 34 = 0 un sonst nichts weiter. BE 3. Fall: Eine (weitere) Nullstelle bei x 34 = ± k( k + ), falls k( k + ) > 0 => k < oer 0 < k Also: falls k < oer 0 < k existiert ein BP (oppelte NS) bei x = 0 un zwei SP (einfache NS) bei x 34 = ± k( k + ). BE Sei ab jetzt k >.3 Ermitteln Sie ie Abszissen un ie Art aller relativen Extrempunkte von f k in Abhängigkeit von k. 8BE fs( k, x) x f( k x) 4 x 3 k + k x = 4 x x k + k = 0 BE BE BE xe 0 x = ( k + k) > 0 siehe., 3. Fall => f ' (x) < 0 für x ] ; k k + k [ ] 0; BE => xe ( k) k + k [ k + k xe 3 ( k) ( k + k) => G fk ist smofa für x ] ; k + k ] [ 0; un smost für x [ k + k ; 0] [ => fallen ann steigen ergibt Min bei xe, analog Max bei 0 un wieer Min bei xe 3. k + k ] k + k ; [ BE 3 0 3
Sei ab jetzt k = un wir betrachten f ( x) f(, x) x 4 6 x.4 Berechnen Sie ie Wenepunkte es Graphen von f. 3BE f s ( x) x f ( x) 4 x 3 x f ss ( x) x f s( x) x = 0 BE Nach obengeöffnete Parabel mit en Schnittpunkten xw = ± VZW => Wenepunkte existieren BE f = 5 BE.5 Bestimmen Sie mit Hilfe bisheriger Ergebnisse ie Nullstellen un relativen Extrempunkte. Berechnen Sie f (.6). Zeichnen Sie en Graphen von f im Bereich.6 x.6 in ein Koorinatensystem. (x-achse: LE = cm, y-achse: LE = 0,5cm.) 5BE Nullstellen: xn 0 x 3 6 x 4 6 0.5BE Extrempunkte: xe 3 9 ye f xe Minimum xe 0 ye 0 Maximum 9 xe 3 3 ye 3 f xe 3 Minimum BE f ( x) 5 4 3 3 0 3 3 4 f (.6) = 5.376 0.5BE xt 0, 0.5...5 xt = f ( xt) 0 0.5.5.5 = 0 -.4375-5 -8.4375-8.565 5 6 7 8 9 Maßstab Zeichnung BE BE x
.0 Eine Klasse mit Jungen un 9 Mächen fährt für 3 Tage auf eine Skihütte.. Jeen Tag wir neu ausgelost, wer von en 0 Personen abspülen muss. Wer Pech hat, kann auch mehrmals eingeteilt weren. Berechnen Sie ie Wahrscheinlichkeit er Ereignisse A un B mit: A: An en 3 Tagen trifft es 3 verschieene Personen. B: Die Geschlechter wechseln sich täglich beim Spülen ab. 5BE 0 9 8 9 9 9 P A P A = 0.855 BE P B + P B = 0.475 3BE 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Untersuchen Sie ie Ereignisse A un B aus Aufgabe. auf stochastische Unabhängigkeit. (Teilergebnis: P(A B) = 0,75) 3BE 9 0 9 8 P AB + BE P AB = 0.8 P A P B = 0.6 BE => abhängig BE 0 0 0 0 0 0.3 Am Ene es Aufenthalts weren 3 Personen gleichzeitig zum Hüttenputz ausgelost. Berechnen Sie ie Wahrscheinlichkeit, ass minestens ein Junge abei ist. 3BE 9 8 7 P KeinJunge BE 0 9 8 P KeinJunge = 0.0737 P minjunge P KeinJunge P minjunge = 0.963 BE BE 3.0 Myriam lernt as Skifahren. Im Schlepplift kommt sie stets mit einer Erfolgsquote von 80% oben an. Sie benutzt en Lift 0 Mal. 3. Berechnen Sie ie Wahrscheinlichkeiten er folgenen Ereignisse: E: Genau 9 Liftfahrten sin erfolgreich. F: Höchstens 7 Liftfahrten sin erfolgreich. G: Myriam kommt bei en ersten 4 Liftfahrten un anschließen noch bei weiteren Fahrten sicher oben an. 7BE P E PBinver ( 0, 0.8, 9) P E = 0.057646 BE siehe Tafelwerk S.3 P F SPBin_h( 0, 0.8, 7) P F = 0.79395 BE P G 0.8 4 PBinver ( 6, 0.8, ) P G = 6.7554 0 4 3BE siehe Tafelwerk S.3 0.8 4 = 0.044 PBinver ( 6, 0.8, ) = 0.054
Binomialkoeffizient: Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli: n: Anzahl er Versuche p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer k: Anzahl er Treffer Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer: n bk( n, k) wenn k <,, k bk( n, k ) PBinver ( n, p, k) bk( n, k) p k ( p) n k Bsp.: PBinver ( 5, 0.4, 9) = 0.5085568 SPBin_h( n, p, z) k = 0 Bsp.: SPBin_h( 5, 0.4, 9) = 0.446708 z Bsp.: bk( 0, 3) = 0 PBinver ( n, p, k) Summenwahrscheinlichkeit, minestens z Treffer: SPBin_m( n, p, z) k = z Bsp.: SPBin_m( 5, 0.4, 9) = 0.7646855 SPBin_h( 5, 0.4, 8) = 0.7646855 n PBinver ( n, p, k) F(n,p) in Tabellenform, für große n : SPBinTabelle( n, p) k 0 b ( p) n m 0 b while s 0 for k < n k k + b p ( n k + ) b ( p) k m k b k 0.. n s s + m k m k s m n m