Folge explizit ud rekursiv Ac 03-08 Folge sid Fuktioe, bei dee atürliche Zahle ( 0; ; ; ) reelle Zahle a() zugeordet werde. Ma schreibt dafür : a() bzw. a. Für die Folge schreibt ma auch < a >. Folge köe explizit (iterativ) oder rekursiv defiiert werde. Grafisch stellt ma Folge als Pukte im Koordiatesystem dar ( Rechtsachse, Hochachse a ). Ferer gibt es eie sog. Cob-Web-Darstellug, die Aufschluss darüber gibt, ob die Folge sich bei größer werdedem auf eie edliche oder uedliche Wert zubewegt, d.h. ob sie kovergiert oder divergiert. Folge köe beschräkt sei (ach obe; ach ute; beides) oder mooto (falled; steiged). Diese Eigeschafte ka ma auch algebraisch beweise. Beispiele für explizit defiierte Folge : = = = =... 4 6 8 a = a a a a 3 4 (-) a = 3 4 a = - a = a = - a =... 4 9 6 a =! = 3... ( - ) a = a = a3 = 6 a4 = 4... a a = ( + ) a = a 64 65 =, 5 a3 =»,37 a4 =», 44... 7 56 - = ( - ) a = 4 a 7 56 35 3 = = 3,375 a4 =» 3,6 a5 =» 3, 05... 8 8 04 Beispiele für rekursiv defiierte Folge : a = ( + ) + a ; a = 0 Fakultät 6 4 0 70 a = + a ; a0 3 + = strebt lagsam gege 6 8/3 34/9 /7 406/8 98/43 4054/79,5 a = ( + + ) a ; a0 000 00 = Ziseszise mit,5% p.a. ud Startkapital 000 000 050 0,5 53,78... 07,6... 6,8... 39,38... a+ = a+ + a ; a = ; a = ( Fiboacci-Folge) 3 5 8 3 34 a+ = a+ + a ; a = ; a = ( Lucas-Folge) 3 5 8 3 34 55
Kompliziertere Beispiele : a + 5 () a+ = ; a0 = 5 strebt gege 5»,36 a + ( siehe Grafik ) 30-3000 / a 6 a = - ; a =, a = (vo Jea-Michel Muller,989) () + 0 a+ Vorsicht: Bei der Berechug mit eiem Computer gibt es grobe Rudugsfehler, die zu teils völlig falsche Ergebisse führe. Die Folge strebt übriges gege 6. Computerwerte: a = 5,59 a 5 = 5,7 a 0 = 5,86 a 6 = 5,05 a 7 = -,7 ( völlig falsch! ) Ihre explizite Darstellug ist + + 6 + 5 a + = 6 + 5 (3) a = 3,8 a ( - + a ) ; a = 0 0, Chaos-Folge Auch hier gibt es umerische Probleme! Computerwerte: a = 0,608 a 5 = 0,58... a 0 = 0,75... a 50 = 0.500... (korrekt: 0.498) a 80 = 0,475... (korrekt: 0,703) a 00 = 0,658... (korrekt: 0,344) a 00 = 0,756... (korrekt: 0,569)
Geauere Betrachtuge eiiger bekate Folge : Hero-Folge r Besoders berühmt ist die Hero-Folge a = ( a + + ) / ; a0 r a = zur Berechug der Quadratwurzel eier positive reelle Zahl r. Hier eie Grafik für r =. Die rasche Kovergez gege ca.,4 ist auffällig. Dieses Kovergezverhalte sei och am Cob-Web-Diagramm (bzw. Web-Diagramm) betrachtet : Web-Diagramme köe ur bei rekursive Folge erstellt werde, bei dee a(+) ausschließlich vo a() abhägt. Hägt a(+) vo a(-) ud a() ab, wie es bei der Fiboacci-Folge der Fall ist, so ist ei Web-Diagramm icht möglich!! Beim Web-Diagramm wird auf der Rechtsachse stets a() ud auf der Hochachse a(+) eigetrage. Also: Für jedes Folgeglied a() erhält ma als Fuktioswert g das Folgeglied a(+). Dieser Fuktioswert g wird gemäß der rekursive Vorschrift berechet bzw. erzeugt. Im Fall der Hero-Folge ist g = ( a() + r / a() ) / (*). Dies ist eie Hyperbel. Wir brauche daher im a()-a(+)-diagramm eie Hyperbel mit der Gleichug (*). Zusätzlich zeiche wir och die Wikelhalbierede des erste Quadrate mit der Gleichug a(+) = a() ei. Der Si dieser Gerade ergibt sich aus der Kostruktiosvorschrift (siehe ute). Kostruktiosvorschrift für die Web-Grafik: ) Startwert a(0) auf der Rechtsachse suche ud vo dort eie sekrechte Pfeil zeiche bis zum Graphe der Fuktio g. ) Vo dort aus eie waagerechte Pfeil ziehe bis zur Wikelhalbierede. 3) Vo dort aus eie sekrechte Pfeil zeiche bis zum Grafe vo g. 4) Schritte ) ud 3) mehrmals wiederhole. r Amerkug: Für die k-te Wurzel eier Zahl r gilt: a+ = (( k - ) a + ) / k ; a k 0 = r - a
Kehrwert / r Zur Berechug des Kehrwertes eier reelle positive Zahl r seie verschiedee Folge betrachtet: () a + = ( - r) a + ; a 0 = 0,5, falls r > ; sost () a + = ( - r a ) a ; 0 < a 0 < 3/r Beispiel r =,5 a 0 = 0,5 < 3/5 : ( Kehrwert = 0,4 ) Die erste Folge divergiert, währed die zweite Folge schell gege 0,4 kovergiert (s. Grafik). Amerkuge : Für 0 < r < kovergiert auch (), jedoch recht lagsam! Für r = 9 ud a 0 = 0, erzeugt () ei besoders schöes Zahlemuster (!), ämlich 0, 0, 0, 0, 0, usw. McCarthy-Folge bzw. Ulam-Folge bzw. Collatz-Folge : Ei bisher i der Mathematik och ugelöstes Problem: Es sei a eie beliebige atürliche Zahl. Ist a gerade, so ist a = 0,5a. Ist a ugerade, so ist a = 3a +. Aalog werde die weitere Folgeglieder gebildet. Zu utersuche ist, ob für jede Startwert a die Folge schließlich i de Zyklus (4,,) müdet. Beispiele: 57 7 86 43 30 65 96 98 49 48 74 37 56 8 4 7 34 7 5 6 3 40 0 0 5 6 8 4 00 50 5 76 38 9 58 9 88 44 34 7 5 6 3 40 0 0 5 6 8 4 997 99 496 748 374 87 56 8 844 4 634 37 95 476 38 9 358 79 538 69 808 404 0 0 304 5 76 38 9 58 9 88 44 34 7 5 6 3 40 0 0 5 6 8 4
ARCHIMEDES-Approximatio der Zahl Eiem Eiheitskreis werde acheiader 6-Eck, -Eck, 4-Eck, usw. eibeschriebe. Der halbe Umfag (U/) eies jede -Ecks ist eie Näherug für. Für das 6-Eck ergibt sich auf eifache Weise die Näherug 3 für, de die Seiteläge s 6 beträgt. Die Seiteläge der adere Vielecke lasse sich aufgrud elemetargeometrischer Beziehuge (Pythagoras) rekursiv aus de jeweils vorhergehede -Ecke berechet. Bezeichet ma die Seiteläge des -Ecks mit s, so ist s die Seiteläge des -Ecks. Es gilt folgede Rekursiosformel : s = - 4 - s, mit s 6 = ( ARCHIMEDES-Approximatio) Multipliziert ma u die jeweilige Seiteläge s mit der halbe Eckezahl (/), so erhält ma immer bessere Näherugszahle für, d.h. / s. Tabelle: s / s 6 3 0,5763809005 3,058... 4 0,60538444 3,36... 48 0,308065846 3,393... 96 0,06543865644 3,409... 9 0,037346353 3,44... 384 0,06367908 3,455... 644450944 0,0000000009878676 88490888 0,000000000465669 3,00000007... Beachte muss ma hierbei, dass bei größer werdeder Eckezahl eie Auslöschug der Stelle durch Subtraktio ( Subtraktioskatastrophe ) auftritt (s. Ergebis obe), die ma aber durch Umstelle der Rekursiosformel behebe ka. Umstelle ka ma durch Erweiter vo - 4 - s mit 4 s, was folgede s äuivalete ( ud umerisch stabilere! ) Rekursiosformel liefert: s 4 s Amerkug: Selbstverstädlich liefert der Recher ach eiiger Zeit auch bei der verbesserte Formel für s de Wert 0 (Gleitkommauterlauf!), weil die Werte betraglich immer kleier werde. s / s 6 0,5763809005 4 0,60538444 48 0,308065846 96 0,06543865644 9 0,037346353 384 0,06367908 3,455... 644450944 0,000000000975787 88490888 0,00000000048763936 3,45965...
Utersummefolge : Die achfolged defiierte Utersummefolge S lasse sich alle geometrisch deute als Summe vo Flächeihalte ebeeiaderliegede Rechtecke mit der Breite /. a) b) c) S S S - i 0 - æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö = å ç = [ ç + ç + ç +... + ç ] i= 0 è ø è ø è ø è ø è ø - 3 3 3 3 3 i 0 - æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö = å ç = [ ç + ç + ç +... + ç ] i= 0 è ø è ø è ø è ø è ø æ i ö æ ö æ ö æ 3 ö æ ö = å - ç = [ - ç + - ç + - ç +... + - ç ] i= è ø è ø è ø è ø è ø Beispiel : = 5 S 5 = 0,4 S 5 = 0,6 S 5 0,659607 Lässt ma gege Uedlich strebe, so ergibt sich jeweils ei Grezwert : a) b) c) 50 0,334 0,40 0,77456777 00 0,3835 0,4505 0,78004579 000 0,338335000 0.49500500 0,7848888667 0 6 0,333338333 0,499995 0,7853976639 Grezwert /3 0,333333333 ¼ = 0,5 /4 0,785398667 Amerkug : Die drei Grezwerte sid Itegrale über dem Itervall [0;] für die 3 Fuktioe a) f(x) = x² b) f(x) = x³ c) f(x) = (-x²)
Arithmetische Folge ud Reihe : Bei eier arithmetische Folge sid die Differeze beachbarter Glieder immer kostat, also a - a = + d bzw. a = a + + d. Explizit gilt: a = a0 + d Beispiel: 0 5 0 5 0 5, also a = 0 + 5 = 5 Bei eier arithmetische Reihe s werde die Glieder eier arithmetische Folge (uedlich oft) summiert. Da die Glieder immer gleich groß sid, ka eie arithmetische Reihe icht kovergiere. Wir beschräke us daher auf die -te Partialsumme s : s = å ( a0 + k d). Umgeformt: s = a0 + k d = ( + ) a0 + d k å å å k = 0 k = 0 k = 0 k = 0 Wege + + å k = ist da s = ( + ) a0 + d k = 0 Beispiel: 0 + 5 + 0 + 5 + 0 + 5 + + 5 = Für z.b. = 00 erhält ma s = 550. + ( + ) 0 + 5 =,5 ( + ) Ebeso berechet ma + + 3 + 4 + 5 + + 00 = 5050 (berühmtes Beispiel vo C.F. Gauß)
Geometrische Folge ud Reihe : Bei eier geometrische Folge sid die Quotiete beachbarter Glieder immer kostat, a + also = bzw. a+ = a. Jedes Glied ist ei kostates Vielfaches des Vorhergehede. a Explizit gilt: a = a0 Beispiel: Ziseszise mit Zissatz = 5% p.a. Afagskapital K 0 = 000 Das Kapital K etwickelt sich ach ;;3;t Jahre folgedermaße: K() = 000 + 000 5/00 = 000 (+5/00) K() = 000 (+5/00) + 000 (+5/00) 5/00 = 000 (+5/00)² K(3) = 000 (+5/00)² + 000 (+5/00)² 5/00 = 000 (+5/00)³ Allgemei gilt die Ziseszisformel K(t) = K 0 ( + p/00) t Für das Beispiel ist K(t) = 000,05 t. Der Quotiet ist hier K K + =,05 Bei eier geometrische Reihe s werde die Glieder eier geometrische Folge (uedlich oft) summiert. k Es gilt also s = å a0. Für gilt da: s lim a0 k = 0 = å bzw. k = 0 k + - s = a0 lim ; ¹ - a0 Für < ist die Reihe koverget. s heißt da die Summe der Reihe ud es gilt : s = ; < - Beispiel: s = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + = å k = 0 k 3 3 0, = = 3, 3 0,9 Was ädert sich, we die geometrische Reihe mit dem Summeidex k= begit?? + + k k 0 - - s = lim a å = lim a ( å - ) = a ( - ) = a - - 0 0 0 0 k = k = 0 Für eie kovergete Reihe gilt da s = a0 ; < - Beispiel: s = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + = å k = k 0, 3 0, = 3 = 0, 3 0,9
Summe vo Flächeihalte im gleichseitige Dreieck (geom. Reihe): Der Flächeihalt des große gleichseitige Dreiecks sei A =. Die Kostruktio der immer kleier werdede Teildreiecke uter Verwedug vo Seitemitte sei uedlich oft fortgesetzt. Ma sieht auf Ahieb, dass alle schraffierte Dreiecke jeweils liks ud rechts vo zwei kogruete Dreiecke umgebe sid. Sie mache daher alle /3 des Flächeihalts der drei Dreiecke auf eier Höhe aus. Daher ka ma auf eie Gesamtflächeihalt der schraffierte Dreiecke vo /3 schließe. Aalytische / recherische Betrachtug: A = ¼, weil 4 gleichgroße Dreiecke i das äußere Dreieck passe. Ebeso schließt ma: A = ¼ ¼ = (¼) A 3 = ¼ (¼) = (¼) 3 A 4 = ¼ (¼) 3 = (¼) 4 Allgemei: A = (¼) Bildet ma die Folge s(), die aus de Teilsumme besteht, so erhält ma: s() = A = ¼ s() = A + A = ¼ + (¼) s(3) = A + A + A 3 = ¼ + (¼) + (¼) 3 Allgemei: æ ö s( ) = åç i= è 4 ø i Bildet ma de Grezwert für, so erhält ma eie geometrische Reihe mit dem Grezwert æ ö / 4 / 4 lim s( ) = limå ç = = = i = è 4 ø -/ 4 3 / 4 3 i
Weiteres Beispiel für eie geometrische Reihe (Wurzelschecke): 6 Gerade möge sich im Ursprug uter eiem Wikel vo 30 scheide. Auf eier der Gerade sei i der Etferug a vom Ursprug ei Pukt P markiert. Vo diesem Pukt aus werde das Lot auf die beachbarte Gerade gefällt. Der Lotfußpukt werde mit P bezeichet. Vo diesem aus werde das Lot auf die ächste Gerade gefällt ud so fort. ( siehe Grafik ) Die aeiaderliegede Lote P P P 3... bilde eie Polygozug, der sich um de Ursprug zusammezieht. Ma ka zeige, dass der Polygozug die Läge L = a ( + 3 ) hat : Beweis: Zuächst sid die Läge der Streckezüge P P, P P 3, P 3 P 4 i Abhägigkeit vo a zu bereche: P P = a si(30 ) = a/ P P 3 = x si(30 ) = x / mit x = a cos(30 ) = a 3/. Also: P P 3 = a 3/4. P 3 P 4 = x si(30 ) = x / mit x = x cos(30 ) = a 3/4. Also: P 3 P 4 = a 3/8. P 4 P 5 = x 3 si(30 ) = x 3 / mit x 3 = x cos(30 ) = a 3 3/8. Also: P 4 P 5 = a 3 3/6. P 5 P 6 = x 4 si(30 ) = x 4 / mit x 4 = x3 cos(30 ) = a 3 /6. Also: P 5 P 6 = a 3 /3. Allgemei: P P + = a ( 3) - 0,5. Die Gesamtläge ist daher L = i i i - a æ 3 ö a æ 3 ö lim å a 0,5 3 = lim å = lim 3 ç å 3 ç è ø è ø i= i= i= Der Summeterm ist für eie geometrische Reihe mit dem Grezwert / ( - ) für Folglich gilt L = a 3 / a / a a ( + 3) = = = = a ( + 3) 3-3 / - 3 / - 3 ( - 3)( + 3) i 3 =.
Bemerkuge zu Itelligeztests I Itelligeztests werde u.a. Aufgabe zum Errate vo Folgeglieder gestellt. Beispiel : Gegebe sid die erste Glieder eier Folge: 5 3. Gebe Sie die ächste Glieder a! Lösugsmöglichkeite: 9 56 97 ach der Vorschrift a = ³/ ² + 7/ 38 6 38 a =? 33 8 93 a =? Fazit : Das Bildugsgesetz eier Folge ka aus edlich viele gegebee Glieder icht bestimmt werde!