2. eteechge 2.1 Gdlage Weitee Afgabestellge i de Fiazmathematik egebe sich, we die apitaleilage ode die ückzüge egelmässig d i gleiche Höhe efolge. I diese Fälle spicht ma vo ete. Die Altesete ist davo ei we ach bekate Spezialfall. Wi speche vo eie ete, we die Ei- ode Aszahlge ( ate) egelmässig efolge d kostat imme i de gleiche Höhe efolge. Bei de etezahlg müsse wi tescheide, wa im Jah die Zahlg efolgt: Nachschüssige ete: Voschüssige ete: Die Zahlge efolge jeweils am Ede de Zahlgspeiode. Die Zahlge efolge jeweils am Afag de Zahlgspeiode. Veaschalichg Nachschüssige ete Maja zahlt wähed 5 Jahe, a jedem Jahesede, CHF 1'.-- ei. Die Vezisg efolgt z 7 %. Wie hoch ist das apital ach 5 Jahe Voschüssige ete eto zahlt wähed 5 Jahe, a jedem Jahesbegi, CHF 1'.-- ei. Die Vezisg efolgt z 7 %. Wie hoch ist das apital ach 5 Jahe 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Jahe Jahe Zahlge jeweils am Jahesede d.h. pe 31. Dezembe Zahlge jeweils am Jahesafag d.h. pe 1. Jaa Jah apital Afag Jah Zisbetag bei 7 % Eizahlg Ede Jah apital Ede Jah Jah Eizahlg Afag Jah apital Afag Jah Zisbetag bei 7 % apital Ede Jah 1 -.-- -.-- 1'.-- 1'.-- 1 1'.-- 1'.-- 7.-- 1'7. 2 1'.-- 7.-- 1'.-- 2'7.-- 2 1'.-- 2'7.-- 144.9 2'214.9 3 2'7.-- 144.9 1'.-- 3'214.9 3 1'.-- 3'214.9 225.5 3'439.95 4 3'214.9 225.5 1'.-- 4'439.95 4 1'.-- 4'439.95 31.8 4'75.75 5 4'439.95 31.8 1'.-- 5'75.75 5 1'.-- 5'75.75 42.55 6'153.3 Das Schlsskapital betägt CHF 5'75.75. Das Schlsskapital betägt CHF 6'153.3. Fazit: Bei Zahlge Afag Jah (voschüssig), wid das apital eimal meh vezist als bei Zahlge Ede Jah (achschüssig). Deshalb ist das Schlsskapital bei de voschüssige ete höhe. eteechge 127
2.2 Fomel z eteechg I de eteechgs-fomel wede folgede Begiffe d Abküzge vewedet: Bawet Edwet achschüssige ete ete Azahl Jahe voschüssige ete Zisfakto p 1 + p 1 + 1 1 Edwet eie ete ist de Betag, de sich bei eiem Zissatz vo p d de jähliche etezahlg ach Jahe af dem Alagekoto befidet. Bawet eie ete ist de Betag af eiem Alagekoto, vo dem ma Jahe lag bei eiem Zissatz vo p eie bestimmte etebetag abhebe ka. Die ete ist de Betag, de jählich eibezahlt wede mss, damit ei bestimmte Edwet etsteht ode de jählich abgehobe wede ka, we ei bestimmte Bawet z Vefügg steht. achschüssige ete voschüssige ete a) Edwet b) Bawet ( ) 1 ( ) c) ete vom Bawet ( ) 1 ( ) ete vom Edwet 1 ( ) d) Azahl Jahe lg ( 1) lg + 1 lg ( ) lg + 1 Die Aflösg de Fomel ach (bzw. ach p) ist icht möglich. Fomeleigabe mit dem Tascheeche (Vaiable bei de Eigabe dch Wete esetze) Wichtig: Beachte Sie die Eigabe de ötige lamme, we eie Mltiplikatio ode Divisio mit eie Diffeez ode eiem Bch asgefüht wede mss Fomel Beispiel 1 Beispiel 2 1 ( ) Eigabe ( - 1 ) : ( - 1 ) ( - 1 ) : ( - 1 ) : ( - 1 ) 128 eteechge
2.3 Awedgsbeispiele I: eteechg a) Ei 1-jähige Spapla sieht Eizahlge i de Höhe vo CHF 6'5.-- jeweils Ede vo jedem Jah vo. Die Vezisg betägt 4 %. Wie hoch ist das Vemöge ach 1 Jahe Aalyse 4 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Jahe 6 5.-- (achschüssig) Fomel festlege achschüssige ete Asechg 1 1.4 6'5 1.4 1 1.4 6'5.4 78'39.6962... Lösg Nach 1 Jahe betägt das Vemöge CHF 78'39.7. eteechge 129
Dozeteseite (mit Lösg) b) Die etezahlge de Asgleichskasse a Maiae efolge jeweils am Begi jede Jahes d betage CHF 7'85.--. Wie hoch ist de Bawet de ete bei eie Lafzeit vo 1 Jahe, we de Zissatz 5.5 % betägt Aalyse 5.5 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Jahe 7 85.-- (voschüssig) Fomel festlege voschüssige ete 1 ( ) Asechg 7'85 1 1.55 1 1 1.55 (1.55 ) 7'85 1 1.55 1 9 1.55.55 62'424.7327... Lösg De Bawet de ete betägt CHF 62'424.75. 13 eteechge
Dozeteseite (mit Lösg) c) De Bawet eie 12 mal a jedem Jahesede asbezahlte ete betägt CHF 37'536.--. Wie hoch sid die eizele etezahlge bei eiem Zissatz vo 5 % Aalyse 5 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 37 536 11 12 Jahe achschüssig Fomel festlege achschüssige ete, vom Bawet beechet ( ) Asechg 37'536 12 1.5 (1.5 ) 12 1.5 12 1.5.5 37'536 12 1.5 1 4'235.145... Lösg Die jähliche etezahlge betage CHF 4'235.--. eteechge 131
Dozeteseite (mit Lösg) d) Sada hat eie Spavetag abgeschlosse. Sie mss pe 31. Dezembe jede Jahes CHF 6'855.35 eizahle. Nach Ablaf des Vetags ist ih ei Betag vo CHF 67'85.6 zgesichet. Wie lage ist die Vetagsdae, we mit eiem Zissatz vo 6 % geechet wid Aalyse 6 % Jahe 67 85.6 6 855.35 (achschüssig) Fomel festlege achschüssige ete lg ( 1) + 1 lg Asechg 67'85.6 (1.6 ) lg 6'855.35 lg 1.6 + 1 7.9999... Lösg Die Vetagsdae betägt 8 Jahe. 132 eteechge
2.4 ete mit tejähige Lafzeite Aalog de Ziseszisechge köe ach ete i Teilpeiode eies Jahes bezahlt bzw. geleistet wede. So ka die Aszahlg eie ete beispielsweise vieteljählich astatt jählich efolge, also z.b. imme am Afag ode Ede eies Qatals. Als tejähige Zisfakto defiiee wi (aalog z tejähige Ziseszisechg): p 1 + m 1 m Azahl Zahlgspeiode po Jah (Die Peiode müsse gleich lag sei.) Die Fomel fü ete mit jähliche Lafzeite gelte aalog ach fü tejähige Lafzeite, wobei folgedes agepasst wede mss: esetze dch esetze dch m (weil es jetzt m Zahlgspeiode gibt) - 1 esetze dch m - 1 Edwet (achschüssig): Bawet (voschüssig): m 1 1 m m 1 ( 1) a) Us übetägt a jedem Moatsede CHF 2.-- af sei Spakoto mit 3 % Zis. Wie goss ist das apital ach 1 Jahe, d wie viel hat Us isgesamt eibezahlt Aalyse 3 % 1 2 1 Jahe 2. achschüssig, moatlich Fomel festlege achschüssige ete, moatlich m, wobei p 1 + m 1 Asechg Utejähige Zisfakto: 12 1 3 1 + 1.25 12 1 1.25 2 27'948.2837... 1.25 Smme de Eizahlge: 12 Moatsate CHF 2.-- 1 Jahe CHF 24'.-- Lösg Nach 1 Jahe betägt das apital CHF 27'948.3. Gesamthaft eibezahlt hat Us eie Betag vo CHF 24'.--. eteechge 133
Dozeteseite (mit Lösg) b) ai möchte i 5 Jahe CHF 5'.-- besitze. Wie viel mss sie a jedem Moatsede eizahle, damit sie das agestebte Ziel eeicht Sie echet mit eiem Zissatz vo 4.5 %. Aalyse 4.5 % 1 2 5 5 Jahe achschüssig, moatlich Fomel festlege achschüssige ete, vom Edwet beechet (moatlich) m, wobei 1 + p m 1 Asechg Utejähige Zisfakto: 4.5 1 + 1.375 12 1 Moatliche Eizahlg: 1.375 1 5' 12 5 1.375.375 5' 1.375 744.659... 6 1 1 Lösg ai mss a jedem Moatsede CHF 744.65 eizahle, damit sie i 5 Jahe CHF 5'.-- besitzt. 134 eteechge
Dozeteseite (mit Lösg) c) He Hbe wid sei Pesioskassegeld vo CHF 4'.-- a eiem Jahesede af ei Bakkoto übewiese. De Zissatz betägt 2.5 %. Wie viel ka e am Afag vo jedem Qatal abhebe, we das apital gea 2 Jahe eiche soll Aalyse 2.5 % 4 1 2 2 Jahe voschüssig, atalsweise Fomel festlege voschüssige ete, vom Bawet beechet (atalsweise) m m ( ), wobei 1 + p m 1 Asechg Utejähige Zisfakto: 2.5 1 + 1.625 4 1 Abhebg po Qatal: 4' 4 2 1.625 (1.625 ) 4 2 1.625 4' 79 1.625.625 8 1.625 6'329.4646... Lösg He Hbe ka am Afag vo jedem Qatal CHF 6'329.45 abhebe. eteechge 135
2.5 Awedgsbeispiele II: Ziseszis- d eteechg Wid ei apital zm Zweck agelegt, z eiem spätee Zeitpkt jeweils af de 1. Jaa ode de 31. Dezembe jede Jahes eie imme gleich bleibede Betag ( ete) abzhebe, ist sowohl eie Ziseszis- als ach eie etebeechg efodelich. Mit de Ziseszisfomel mss vogägig das apital am Begi de etezahlge emittelt wede ( Bawet de ete). Mit diesem afgelafee apital ka aschliessed mit de etefomel die Höhe de etezahlge beechet wede. a) Saah zahlt am Begi des Jahes 1 CHF 65'61.-- af ei ees z 4.25 % vezistes oto ei. Vom 8. bis d mit dem 13. Jah will sie jeweils am Jahesede eie ete abhebe d damit das gaze Vemöge afbache. Wie hoch ist die jähliche Abhebg Aalyse 4.25 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 Jahe 65 61 7 Jahe (Ziseszisechg) 6 Jahe (eteechg) - - - - - - - achschüssige ete i de Jahe 8 13 Fomel festlege Ziseszisechg: Edkapital ( Bawet de ete): eteechg: ete vom Bawet (achschüssig): ( ) Asechg Ziseszisechg: Beechg des Edkapitals fü 7 Jahe 65'61 1.425 87'81.61 7... 7 eteechg: Beechg de ete fü 6 Jahe 1.425 (1.425 1) 87'81.617... 6 1.425 1 16'885.7694... 6 Lösg Saah ka i de Jahe 8 bis 13 jeweils am Jahesede CHF 16'885.75 abhebe. 136 eteechge
b) Daiel zahlt am Begi des Jahes 1 eie Betag vo CHF 5'.-- af ei ees z 4 % vezistes oto ei. I de Jahe 7 bis d mit 1 will e a jedem Jahesede eie ete abhebe d damit das gaze Vemöge afbache. Wie hoch ist die jähliche Abhebg Die Lösg diese Afgabe ka af zwei Ate efolge: Lösgsvaiate 1: Lösgsvaiate 2: Die Aszahlge wede aheliegedeweise als achschüssige ete i de Jahe 7 bis d mit 1 betachtet [aalog Beispiel a)]. Die Aszahlge wede alteativ als voschüssige ete i de Jahe 8 bis d mit 11 betachtet. Vaiate 1: als achschüssige ete Vaiate 2: als voschüssige ete Aalyse De Vegleich efolgt af Ede des 6. Jahes. Aalyse De Vegleich efolgt af Ede des 7. Jahes. 4 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Jahe 4 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 Jahe 5 5 6 Jahe 4 Jahe 7 Jahe 4 Jahe (Ziseszisechg) (eteechg) (Ziseszisechg) (eteechg) - - - - - - - - - Jahe 7 1 - Jahe 8 11 Fomel festlege Edkapital ( Bawet de ete): ete vom Bawet (achschüssig): ( ) Asechg Beechg des Edkapitals fü 6 Jahe (Ziseszisechg): 5' 1.4 63'265.95 9... 6 Fomel festlege Edkapital ( Bawet de ete): ete vom Bawet (voschüssig): 1 ( ) Asechg Beechg des Edkapitals fü 7 Jahe (Ziseszisechg): 5' 1.4 65'796.588 9... 7 Beechg de ete fü 4 Jahe (eteechg): Beechg de ete fü 4 Jahe (eteechg): 1.4 (1.4 ) 63'265.959... 4 1.4 17'429.1396... 4 65'796.5889... 17'429.1396... 4 1 1.4 (1.4 ) 4 1.4 Lösg Die jähliche Abhebg betägt CHF 17'429.15. eteechge 137
Dozeteseite (mit Lösg) c) obet zahlt am Afag eies Jahes CHF 38'632.-- af ei ees, z 5 % vezistes oto ei. Wähed de ächste 5 Jahe immt e wede Eizahlge och ückzüge vo. Ab dem 6. Jah hebt e jeweils a jedem Jahesafag eie Betag vo CHF 3'555.-- ab. Wie hoch ist das Vemöge vo obet ach 1 Jahe och Aalyse (Wähle Sie eie beliebige Vaiate fü die achfolgede Beechg as.) Vaiate 1 via Edwet de ete Vaiate 2 via Bawet de ete 5 % 5 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 38 632 1 Jahe Jahe 38 632 5 Jahe Jahe Edwet, voschüssig Bawet, voschüssig 5 Jahe -... - 5 Jahe...... Fomel festlege Vaiate 1: via Edwet de ete Edkapital (Ziseszisechg): Edwet de ete (voschüssig): Asechg Vaiate 2: via Bawet de ete Edkapital (Ziseszisechg): Bawet de ete (voschüssig): 1 ( ) Beechg des Edkapitals fü 1 Jahe (Ziseszisechg) 1 38'632 1.5 62'927.457 2... Beechg des Edkapitals fü 5 Jahe (Ziseszisechg) 38'632 1.5 49'35.39 3.. 5 Beechg des Edwetes de ückzüge (eteechg) 5 1.5 1 3'555 1.5 1.5 1 2'625.8... Beechg des Bawetes de ückzüge (eteechg) 5 1.5 3'555 5 1 1.5 (1.5 ) 16'16.854... Gthabe ach 1 Jahe: 62'927.4572... - 2'625.8... 42'31.6571... Diffeez fü 5 Jahe afzise: 49'35.3-16'16.85 33'144.45 33'144.4552... 1.5 42'31.657 1... 5 Lösg Nach 1 Jahe betägt das Vemöge vo obet och CHF 42'31.65. 138 eteechge
Dozeteseite (mit Lösg) d) Afag Jah wid ei ees oto eöffet. Begied ab diesem este Jah, wid jeweils am 31. Dezembe jede Jahes eie Eizahlg vo CHF 15'.-- gemacht. Nach de Hälfte de Alagedae betägt de otostad CHF 139'45.65. Ab diesem Zeitpkt wede keie Eizahlge meh vogeomme. Wie hoch ist das apital am Ede de Alagedae bei eiem Zissatz vo 4.25 % Aalyse ½ de Alagedae Jahe ½ de Alagedae Jahe 4.25 % 139 45.65 Jahe + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 achschüssig Jahe Jahe Jahe (eteechg) Jahe (Ziseszisechg) Fomel festlege Beechg de Jahe ( Hälfte de Alagedae): lg ( ) lg + 1 Beechg des Edkapitals: Asechg Beechg de Azahl Jahe ( Hälfte de Alagedae): 139'45.65 (1.425 1) lg + 1 15' 7.999... lg 1.425 Hälfte de Alagedae: 8 Jahe Beechg des Edkapitals fü die zweite Hälfte de Alagedae: 8 139'45.65 1.425 194'549.226... Lösg Am Ede de Alagedae ist das apital af CHF 194'549.-- agewachse. eteechge 139
2.6 Tilggsechg Eie Schld ka icht i eiem Gesamtbetag, sode ach i mehee ate zückbezahlt wede. Vo Tilgg spicht ma, we eie Schld dch gleich hohe ate, i gleiche Zeitpeiode, zückbezahlt wid. Das klassische Beispiel daz ist die ückzahlg eies leikedits, die i eie bestimmte Azahl Moatsate efolgt. 1 2 3 Jahe.-- Die Höhe de Moatsate wid dabei so gewählt, dass die Schld am Ede de Lafzeit des edits gleich Nll ist, d.h. dass sie getilgt ist. 2.6.1 Schldetilggsfomel (jähliche ate) Damit am Ede de Lafzeit eies edits diese ach gaz zückbezahlt ist, gilt: achschüssig voschüssig 1 1 daas folgt: ate ( ) 1 ( 1) 1 Fazit: Tilggsechge sid Awedge de eteechge. 2.6.2 Schldetilggsfomel (tejähige ate) Als tejähige Zisfakto defiiee wi: p 1 + m 1 m Azahl Zahlgspeiode (ate) po Jah (Die Peiode müsse gleich lag sei.) Die Fomel fü jähliche ate gilt aalog ach fü tejähige ate, wobei folgedes agepasst wede mss: esetze dch esetze dch m (weil es jetzt m Zahlgspeiode [ate] gibt) - 1 esetze dch m - 1 achschüssig voschüssig ate m ( m ) m m ( 1 1) 14 eteechge
2.7 Awedgsbeispiele III: Tilggsechge a) Ei edit vo CHF 1'.-- soll i 4 gleich hohe jähliche ate vollstädig zückbezahlt wede. Wie hoch ist eie achschüssige ate bei eiem Zissatz vo 7 % Aalyse 7 % 1 2 3 4 1 Jahe Fomel festlege ( ) Asechg 1.7 (1.7 1) 1' 4 1.7 1 4 1.7.7 1' 4 1.7 1 2'952.2811... 4 Lösg Eie jähliche achschüssige ate betägt CHF 2'952.3. eteechge 141
b) Ei edit vo CHF 1'.-- soll i gleich hohe moatliche ate ach 4 Jahe vollstädig zückbezahlt wede. Wie hoch ist eie achschüssige ate bei eiem Zissatz vo 12 %, d wie hoch ist das Total de atezahlge eies Jahes Aalyse 12 % 1 2 3 4 1 Jahe 48 achschüssige ate à Fomel festlege m m ( ), wobei p 1 + m 1 Asechg m 12 moatliche ate tejähige Zisfakto bestimme: 12 1 + 1.1 12 1 12 4 ( 1.1 1) 1.1 1' 12 4 1.1 48 1.1.1 1' 48 1.1 263.3383... Total de atezahlge po Jah: 12 263.35 3'16.2 Lösg Eie moatliche achschüssige ate betägt CHF 263.35. Das Total de Moatsate eies Jahes betägt CHF 3'16.2. 142 eteechge
Dozeteseite (mit Lösg) c) Ei edit vo CHF 25'.-- soll i gleich hohe Qatalsate i 3 Jahe vollstädig zückbezahlt wede. Wie hoch ist eie achschüssige ate bei eiem Zissatz vo 9.5 % Aalyse 9.5 % 1 2 3 25 Jahe 12 ate à Fomel festlege m m ( ), wobei 1 + p m 1 Asechg m 4 vieteljähliche ate tejähige Zisfakto: 9.5 1 + 1.2375 4 1 Qatalsate: 25' 4 3 1.2375 ( 1.2375 ) 4 3 1.2375 25' 12 1.2375.2375 12 1.2375 1 2'418.7694... Lösg Eie achschüssige Qatalsate betägt CHF 2'418.75. eteechge 143