s n =a 1 1 qn 1 q Für unendliche Reihen mit q 1 gilt: s=a 1

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1 Fiazmathematik Folge Arithmetische Geometrische Rekursiosformel a 1 =a d a 1 =a q N-tes Glied a =a 1 1 d a =a 1 q 1 N-te Partialsummer Prozetreche Grudwert, Bezugsgrösse Prozetfuss Prozetsatz i p s = 2 a 1 a K i= p 100 Prozetwert Z Z =Ki Zisreche Begriffe Ziszuschlagtermie Zisperiode s =a 1 1 q 1 q Für uedliche Reihe mit q 1 gilt: s=a q Zeitpukte, zu dee Zise fällig werde. Zeitraum zwische zwei Ziszuschlagtermie Nachschüssige (dekursive) Verzisug Zis am Ede der Kapitalüberlassug bezahlt Vorschüssige (atizipative) Verzisug Zis zu Begi der Kapitalüberlassug bezahlt Eifache Verzisug Diskotierug Zis wird Kapital zugeschlage, aber icht verzist Afagskapital aus Edwert bereche. Iflatiosrate Eifache/Lieare Verzisug Afagskapital K 0 (Diskotierug) K K 0 = 1 i Edwert K K =K 0 1 i Zissatz i Laufzeit i= K K 0 K 0 = K K 0 K 0 i

2 Äquivalezprizip Mittlerer Zahlugstermi t Ratezahlug L=GL We icht explizit Ausgemacht, gilt als Stichtag das Datum der letzte Zahlug t = K j t K j K = Nachschüssig t = m 1 2 Vorschüssig t = m 1 2 K j K j 1 i t j =K 1 i t K =Rm 1 i m 1 2m K =Rm 1 i m 1 2m Edbetrag K, Rate R, Azahl Rate m Ziseszis Edkapital K, K t K =K 0 1 i Verdoppelugszeit T Äquivalezprizip Effektiver Zissatz i Redite Gemischte Verzisug (uterjährig liear, gaze Jahre expoetiell) Uterjährige Verzisug K =K 0 q Tageschreibweise K t = K 0 1 i t / T = l 2 l 1 p 100 L=GL Stichtag frei wählbar i= 1 i k 1 i=1 K t = K 0 1 i t i N 1 i t mit t=t 1 N t 2 K =K 0 1 i m m Laufzeit i Jahre m Azahl Zistermie pro Jahr i omieller Jahreszissatz Periodezissatz i p =i rel = i m

3 Mittlerer Zahlugstermi / Fälligkeitstermi eier eimalige Zahlug Duratio / Mittlere Bidugsdauer Duratio festverzislicher Aleihe = D= r lg [ j =1 r t =1 r t =1 r K j ] lg[ lg 1 i t Z t 1 i t Z t 1 i t Barwert i t fälliger Zahlug K j 1 i j ] Z t 1 i t D= 1 i K 1 i 1 T 1 i i i K 1 i [ 1 i 1 1] Ti D= 1 i K T 1 i i i K [ 1 i 1] T i i Marktzissatz Laufzeit T Rückzahlugsbetrag K Kupo (Nomialwert * Nomialzis) Stetige Verzisug Edkapital K t K t = K 0 e i t Äquivalezbezieh ug Effektiver Aufzisfaktor i eff =e i s 1 Stetiger Aufzisfaktor i s =l 1 i eff Rete Barwert B Sparkasseformel B= R q 1 q (achschüssig) B '= R q 1 (vorschüssig) q 1 B '=B q K =K 0 q ±R q 1 K = K 0 q ± R q q 1 (achschüssig) (vorschüssig) Soderfall: Kapital mit Rate aufbrauche ( K =0 ) 1 lg 1 i K 0 R = lg q

4 Ewige Rete Aufgeschobee Rete Uterbrochee Rete Spezialfälle B= R B '= R q (achschüssig) (vorschüssig) Barwertfaktore ä = 1 a q k = q k 1 q k 1 k Jahre zwische Zahluge B= R 1 q 1 qm m Azahl Zahluge m + Wartezeit B= R R... R R q k 1 q k 2 q k 1 q k k 1 bis k sid jee Periode, i welche Zahluge stattfide. (ur gültig, we das Jahr i m gleich grosse Teile zerlegt) Zahlug Verzisug Edwert K / Barwert B Rete, uterjährig, achschüssig Rete, uterjährig, vorschüssig Rete, jährlich, achschüssig Jährlich (Jahresede) Jährlich (Jahresede) uterjährig K =R [m i m ] q m Azahl uterjähriger Zahluge Azahl Jahre K =R [m i m ] q m Azahl uterjähriger Zahluge Azahl Jahre K m = R q m 1 q m 1 m Azahl uterjähriger Zistermie Azahl Jahre Rete, jährlich, vorschüssig uterjährig q=1 i m K m = R q m q m 1 q m 1 B= K m q m m Azahl uterjähriger Zistermie Azahl Jahre q=1 i m

5 Rete, uterjährig, achschüssig Rete, uterjährig, vorschüssig uterjährig uterjährig K m = R q m 1 B= K m q = R m q m 1 m q m Azahl uterjähriger Zistermie Azahl Jahre q=1 i m K m = Rq q m 1 B= K m q = R m m q m 1 q 1 m Azahl uterjähriger Zistermie Azahl Jahre q=1 i m Auitätetilgug Afagsschuld S 1 S1 = E q N Edwert E Auität / Rate a=r Jährlich gleichbleibede Rückzahlug S 1 =r q N 1 q N S 1 =t 1 qn 1 E=r q N 1 a=s 1 q N q N 1 a=s 1 1 a N 1 a N 1 a N = qn q N 1 Restschuld r r =S 1 q r q 1 r =t 1 qn q Tilgug t t =t 1 q 1 Summe aller Zise Dauer N Z j t 1 =a S 1 i N Z j = N a S 1 N = l 1 S 1 r l q

6 Effektivzisermittlug...bei Darlehe...bei Ratekredite Dq T =R qt 1 Darlehe D, Rate R, Laufzeit T T T 12 K 0 q Eff =r q 12 1 Rate r= K 0 T K b 0 T K i 0 Ratekredit K 0, Zissatz p.m. i Eim. Bearbeitugsgebühr % b, Laufzeit i M T Ivestitiosrechug Kapitalwertmethode lohed, we KW>1 KW = A 0 L 1 i S Iterer Ertragssatz-Methode Kombiatorik S=Ü 1 i t =Ü 1 1 i t=1 i Aschaffugskoste A 0, Liquidatioswert L Überschuss Ü, Dauer KW = A 0 L q S 1 t q S=Ü q t t= Ü 1 Ü kost. Aschaffugskoste A 0, Liquidatioswert L Überschuss Ü, Dauer Permutatio (Aordugsprobleme) Permutatio Azahl Möglichkeite, verschiedee Elemete azuorde. Permutatio mit Wiederholuge Azahl Möglichkeite, Elemete azuorde, we we k Elemete gleich sid.!= P, k =! k!! P, k = k 1! k 2! k 3!...

7 Stichprobe (Auswahlprobleme) Geordet (Reihefolge relevat) Ohe Zurücklege (Elemet ka ur 1 mal vorkomme) V k =! k! Mit Zurücklege (Elemet ka mehrmals vorkomme) V k = k Ugeordet (Reihefolge egal) C k = k =! k! k! N = r k 1 k Wahrscheilichkeitsrechug Ereigisse Ergebisraum S S={e 1, e 2,...,e 1,e } Elemetarereigis e i e 1 S Sicheres Ereigis A A=S Umögliches Ergebis S ={} Ereigis A S Gegeereigis A A A= S A A= Uvereibare Ereigisse A, B S A B= A ud B A B A oder B A B p A p B p A B Weder A och B A B p A p B p A B A B Nicht A ud B zusamme A B 1 p A p B p A B A B 1 p A p B p A B

8 B, aber icht A A B B oder icht A A B Häufigkeitsfuktio Umfag der Stichprobe N Absolute Häufigkeit e i relative Häufigkeit h e i h e i = e i, 0 h e i 1 N h S =1, h =0, h A h A =1 Wahrscheilichkeit Mächtigkeit eies Ereigisses Mögliche Fälle Güstige Fälle m g E Wahrscheilichkeit P E P E h E P= E S = g m P E 1 P E 2... P E 1 P E =1 Bedigte Wahrscheilichkeit p A/ B Bedigte Wahrscheilichkeit p A/ B (bei uabhägige Ereigisse) Totale Wahrscheilichkeit Revidierte Wahrscheilichkeit (Satz vo Bayes) p A p B j / A p A/ B = p A B p B p A/ B = p A p B p A = i=1 B i =S i=1 p B j / A = p B i p A/ B i i=1...midestes eimal... p E 1 p E 1 =1 p E p B j p A/ B j p B i p A/ B i

9 Rechetipps 0!=1 1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 Wahrscheilichkeit, dass vo Elemete midestes k Elemete fuktioiere bei Wahrscheilichkeit p 1!= 1! x x =1 x y = x x y x y 1 x y = x 1 y 0 x 1 x 2 x... x x 1 x x =2 x p Z = i=k i pi 1 p i Darstellugshilfe