Wirtschaftsmathematik

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1 Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Datum Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede Sie ausschließlich das vom Aufsichtführede zur Verfügug gestellte Papier ud gebe Sie sämtliches Papier (Lösuge, Schmierzettel ud icht gebrauchte Böge) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführede ab. Eie icht vollstädig abgegebee Klausur gilt als icht bestade. Beschrifte Sie ede Boge mit Ihrem Name ud Ihrer Immatrikulatiosummer. Lasse Sie bitte auf eder Seite / ihrer Breite als Rad für Korrekture frei ud ummeriere Sie die Seite fortlaufed. Notiere Sie bei eder Ihrer Atworte, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösuge ud Lösugswege sid i eier für de Korrektate zweifelsfrei lesbare Schrift abzufasse. Korrekture ud Streichuge sid eideutig vorzuehme. Uleserliches wird icht bewertet. Bei ummerisch zu lösede Aufgabe ist außer der Lösug stets der Lösugsweg azugebe, aus dem eideutig hervorzugehe hat, wie die Lösug zustade gekomme ist. Zur Prüfug sid bis auf Schreib- ud Zeicheutesilie ausschließlich die achstehed geate Hilfsmittel zugelasse. Werde adere als die hier agegebee Hilfsmittel verwedet oder Täuschugsversuche festgestellt, gilt die Prüfug als icht bestade ud wird mit der Note 5 bewertet. Hilfsmittel : Bearbeitugszeit: 90 Miute HFH-Tascherecher Azahl Aufgabe: 7 Formelsammlug Wirtschaftsmathematik Höchstpuktzahl: 00 Vorläufiges Bewertugsschema: Puktzahl Ergebis vo bis eischl bestade 0 9,5 icht bestade Viel Erfolg! Klausuraufgabe, Studieleistug 06/06, Wirtschaftsmathematik, BB/BW BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606

2 Klausuraufgabe, Studieleistug 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe Pukte Gegebe sid die Teilmege der reelle Zahle (Itervalle) A 0 x } ud { x < x < 7} Bilde Sie die Mege A B A B A \ B B R. A R (Komplemet vo A i der Mege der reelle Zahle R) ud gebe Sie eweils i obiger Schreibweise a, welche Elemete zu diese Mege gehöre. Aufgabe Pukte Bestimme Sie die Lösug der Gleichug x x x ud überprüfe Sie das Ergebis auf Richtigkeit. Aufgabe Pukte Vo eier arithmetische Zahlefolge ( a ) sid die folgede Beziehuge zwische eizele Glieder der Zahlefolge bekat: a 5 + a8 6 a + a 0. Bestimme Sie das Afagsglied a der Zahlefolge. Aufgabe 6 Pukte Gegebe ist die reelle Fuktio x 5 f ( x) x +.. Bestimme Sie de Defiitiosbereich D der Fuktio f (x).. Utersuche Sie die Fuktio f (x) auf Symmetrie.. Bestimme Sie die Nullstelle der Fuktio f (x). BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Seite /

3 Klausuraufgabe, Studieleistug 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe 5 Pukte Ei Geldbetrag vo K , 00 wird ach dem Prizip der Budesschatzbriefe für Jahre lag fest agelegt (Verzisug mit Ziseszis). Für die ährliche Verzisuge gelte folgede Staffelzissätze:. Jahr: p,5 % p.a.. Jahr: p,50 % p.a.. Jahr: p,00 % p.a.. Jahr: p,00 % p.a. 5. Welches Guthabe steht am Ede der Laufzeit zur Verfügug? 7 5. Ermittel Sie de durchschittliche effektive Zissatz p eff für die Alage, d. h. deeige Zissatz der über die Zisperiode der Laufzeit gewährt werde müsste, um dasselbe Guthabe zu erziele wie mit de vereibarte Staffelzissätze. Gebe Sie de Zissatz mit Nachkommastelle a. 7 Aufgabe 6 5 Pukte Herr P. besitzt auf seiem Bakkoto, das mit,5 % p.a. verzist wird, am ei Guthabe vo ,00. Er möchte edes Jahr am 0. Jauar (begied im Jahre 005) 000,00 abhebe. 6. Bereche Sie die Azahl der abzuhebede Rate, bis das Koto erschöpft ist Bereche Sie de Kotostad vo Herr P. ach der füfte Abhebug. 5 Hiweis: Verwede sie zur Lösug dieser Aufgabe die Sparkasseformel für Kapitalverzehr. Aufgabe 7 9 Pukte Herr Musterma will seie Soh beim Bau eies Eigeheimes uterstütze, idem er ihm aus seier private Altersvorsorge ,00 bereitstellt. Damit sei Kapital sich icht etwertet, verlagt er außerdem, % Zise ährlich (mittlere Teuerugsrate). Er vereibart mit dem Soh eie Auitätetilgug mit eier Laufzeit vo Jahre. Stelle Sie de Tilgugspla für die Auitätetilgug gemäß achsteheder Vorlage auf ud gebe Sie die Formel für die erforderliche Berechuge a. Jahr Restschuld S (zu Begi des Jahres) Zise Z Tilgug T Auität A BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Seite /

4 Korrekturrichtliie zur Studieleistug Wirtschaftsmathematik am Betriebswirtschaft BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Für die Bewertug ud Abgabe der Studieleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme Sie bitte so vor, wie i der Korrekturrichtliie ausgewiese. Eie summarische Agabe vo Pukte für Aufgabe, die i der Korrekturrichtliie detailliert bewertet worde sid, ist icht gestattet. Nur da, we die Pukte für eie Aufgabe icht differeziert vorgegebe sid, ist ihre Aufschlüsselug auf die eizele Lösugsschritte Ihe überlasse. Stoße Sie bei Ihrer Korrektur auf eie adere richtige als de i der Korrekturrichtliie agegebee Lösugsweg, da ehme Sie bitte die Verteilug der Pukte sigemäß zur Korrekturrichtliie vor. Rechefehler sollte grudsätzlich ur zur Abwertug des betreffede Teilschrittes führe. Wurde mit eiem falsche Zwischeergebis richtig weitergerechet, so erteile Sie die hierfür vorgesehee Pukte ohe weitere Abzug. Ihre Korrekturhiweise ud Puktbewertug ehme Sie bitte i eier zweifelsfrei lesbare Schrift vor. Die vo Ihe vergebee Pukte ud die daraus sich gemäß dem achstehede Noteschema ergebede Bewertug trage Sie i de Klausur-Matelboge sowie i das Formular Klausurergebis (Ergebisliste) ei. Gemäß der Diplomprüfugsordug ist Ihrer Bewertug folgedes Bewertugsschema zugrude zu lege: Puktzahl Ergebis vo bis eischl bestade 0 9,5 icht bestade Die korrigierte Arbeite reiche Sie bitte spätestes bis zum. Juli 006 i Ihrem Studiezetrum ei. Dies muss persölich oder per Eischreibe erfolge. Der agegebee Termi ist ubedigt eizuhalte. Sollte sich aus vorher icht absehbare Grüde eie Termiüberschreitug abzeiche, so bitte wir Sie, dies uverzüglich dem Prüfugsamt der Hochschule azuzeige (Tel. 00 / 509 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de). Korrekturrichtliie, Studieleistug 06/06, Wirtschaftsmathematik, BB/BW BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606

5 Lösug vgl. SB ; Kap.. /. Pukte A B A B x A oder x B} 0 x oder < x < 7} 0 x < 7} x A ud x B} 0 x ud < x < 7} < x } A \ B x A ud x B} A \ B 0 x ud ( x oder x 7) } A \ B 0 x ) } AR { x R x R ud x A} { x R x R ud ( x < 0 oder x > ) } { x R x < 0 oder x > } Lösug vgl. SB ; Kap...5 Pukte x x x quadriere ( x ) ( x ) x x x x + ( x ) x zusammefasse ( x ) x( x ) x umforme x( x ) 0 x( x ) 0 ereut quadriere ( ( x ) ) 0 x x( x ) 0 x 0, x Probe: x 0 Widerspruch, x 0 ist keie Lösug x x ist Lösug der Wurzelgleichug BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Seite /6

6 Lösug vgl. SB ; Kap.. Pukte Bildugsvorschrift arithmetische Folge (vgl. Formelsammlug 6.): a k a + ( k ) d mit k N +, d 0. Damit ist ud a5 a + d a8 a + 7d a a + d. a6 a + 5d Eisetze i die Ausgagsgleichuge ergibt a 5 + a8 a + d + ( a + 7d) a + d (I) a + a6 a + d + ( a + 5d) a + 6d 0 (II) Aus (II) folgt a a + 6d 0 6d a d Eisetze i (I) liefert a a 6a a 5a a 5 Das Afagsglied der Zahlefolge ist a. 5 BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Seite /6

7 Lösug vgl. SB ; Kap... ud SB, Kap.. ud. 6 Pukte. Die Fuktio f (x) ist für alle reelle Zahle defiiert, damit gilt für de Defiitiosbereich: D R.. Es ist der Fuktioswert f ( x) zu betrachte. ( x) 5 x 5 f ( x) ( x) + x + f ( x) Da f ( x) f ( x) für alle x aus dem Defiitiosbereich, ist die Fuktio gerade (vgl. Formelsammlug 6.), d. h. axialsymmetrisch zur y-achse.. Zur Bestimmug der Nullstelle muss ma f ( x) 0 setze: x 5 x + 0 Die biquadratische Gleichug lässt sich durch Substitutio auf eie quadratische Gleichug zurückführe. Substitutio: x 5 z z + 0. z. z 6z z, ± ± ± z ud z 5 Alterative: Awedug der biomische Formel ergibt ( z ) ( z 5) 0 mit de Lösuge z ud z 5. Rücksubstitutio: x x ud x x 5 x 5 ud x 5 Lösugsmege: { 5 ; ; ; + 5} L. BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Seite /6

8 Lösug 5 vgl. SB ; Kap.. ud SB, Kap. Pukte 5. Das Edkapital K ergibt sich mit de Aufzisugsfaktore zu p,5 q + +, p,50 q + +, p,00 q + +, p,00 q + +, K K0 q q q q K 5 000,05,050,00, ,7 5. Für de effektive Zissatz p eff muss gelte peff K K0 q q q q K Mit p q + eff eff folgt 00 K0 q q q q K0 qeff q q q q qeff qeff q q q q qeff,05,050,000,000,095,09 Damit ist p,09 + eff 00 peff (,09 ) 00,9 % Hiweis: Die i der Formelsammlug uter 8.7 geate Formel für de effektive Zissatz p eff q q... q ist icht korrekt, die rechte Seite etspricht der effektive Zisrate (zur Berechug des effektive Zissatzes fehlt die Multiplikatio mit 00). Sollte Studierede diese Formel verwedet ud als Ergebis p eff (,09 ) 0, 09 erhalte habe, so sollte die Teilaufgabe als korrekt bewertet werde. BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Seite /6

9 Lösug 6 vgl. SB ; Kap.. 5 Pukte 6. Awedug der Sparkasseformel für de Kapitalverzehr bei achschüssig etommee Rate mit E 0 (vgl. Formelsammlug 9.): 0 K0 q q r. q Umstelle ach der Periode ergibt: 0 K0 ( q ) q rq + r q ( r K0 ( q )) r q r r K ( q ) 0 q r log q log r K 0 ( q ) r log r K0 ( q ). log q Eisetze vo K ; q, 05 ud r 000 liefert: log ,05 5,7. log ( ) (,05) Es köe 5 volle Rate ud eie stark vermiderte 6-te Schlussrate abgehobe werde. 6. Awedug der Sparkasseformel für de Kapitalverzehr bei achschüssig etommee Rate (vgl. Formelsammlug 9.): q E K0 q r. q Eisetze vo K ; q, 05 ; r 000 ud 5 liefert: 0 5 E , E 5 55,0. Der Kotostad ach der füfte Abhebug beträgt 5 55, 0. BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Seite 5/6

10 Lösug 7 vgl. SB ; Kap.. 9 Pukte Für die Auitätetilgug ergebe sich folgede Werte (Formelsammlug 0.) Laufzeit: Schuldsumme: S Zissatz: p, % p Aufzisugsfaktor: q +, 0 00 Auität: q A S0 q q 0,0 A (,0) 8 99,6,0 p Zise der -te Periode: Z S S ( q ), mit,, 00 Tilgug der -te Periode: T A Z, mit,, Restschuld ach Zahlug der -te Auität: q q S S, mit,, q alterativ: Restschuld ach Zahlug der -te Auität: S S T, mit,, Mit diese Werte ud Formel ergibt sich der folgede Tilgugspla (i Euro): Jahr Restschuld S (zu Begi des Jahres) Zise Z Tilgug T Auität A ,00 55,00 68,6 8 99,6 0 5,9 7,5 5 7,5 8 99,6 9 60,0 75, ,7 8 99,6 7 89,0 00,0 7 89,0 8 99,6 Hiweis zur Bewertug des Tilgugsplaes: Für ede korrekt berechete Wert der Spalte S, Z ud T eweils Pukt, Bewertug der Auität siehe obe. BB-WMT-S-0606 / BW-WMT-S-0606 Seite 6/6