6. Kontinuierliche Zufallsgrößen Definition: Eine Z. G. ξ ist absolut stetig mit (Wahrscheinlichkeits-) Dichte f : R R, wenn gilt: P ( a ξ < b ) = b a f(x) dx (a < b) allgem. Eigenschaften einer Dichte f: (1) f(x) 0 (x R) (2) f(x) dx = 1 Beispiel 1: Die Exponentialverteilungen Sei λ > 0. Setzen f(x) := λ e λx (x 0) 0 sonst Sagen: eine Z.G. ξ mit dieser Dichte ist exponentialverteilt mit Parameter λ. Schreibweise: P ξ = Ex λ Anwendungsbeispiel: Die Lebensdauer eines radioaktiven Atoms ist exponentialverteilt. Der Parameter λ ergibt sich dabei aus der Halbwertszeit τ durch λ = ln2/τ. Anwendungsbeispiele: Neonröhren, elektronische Bauteile 1
Beispiel 2: Die Normalverteilungen Seien µ R und σ 2 > 0 (d. h. σ 0). Setzen f(x) := 1 2 σ 2 exp [ ] (x µ)2 2σ 2 (x R) Sagen: eine Z. G. ξ mit dieser Dichte ist normalverteilt mit Parameter µ und σ2. Schreibweise: P ξ = N µ,σ 2 Spezialfall: µ = 0, σ 2 = 1 P ξ = N 0,1 - Standardnormalverteilung Satz: (a) Seien P ξ = N 0,1 und η = σξ + µ P η = N µ,σ 2 (b) Seien P ξ = N µ,σ 2 und η = ξ µ σ P η = N 0,1 2
Definition: Sei ξ eine Z. G. mit Dichte f. Eξ := + heißt Erwartungswert von ξ. Dξ := x f(x) dx (x Eξ) 2 f(x) dx heißt Varianz von ξ. Dξ wird Standardabweichung genannt. Bemerkung: es gelten die Rechenregeln vom diskreten Fall allgemein. Beispiele: 1. P ξ = N µ,σ 2 Eξ = µ, Dξ = σ 2 N µ,σ 2 wird deshalb Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 genannt. 2. P ξ = Ex λ Eξ = 1 λ, Dξ = 1 λ 2. 3
Zur Bedeutung der Normalverteilung Stochastische Störungen an sich determinierter Systeme werden in der Regel durch Normalverteilungen beschrieben. Theoretische Begründung: Der Zentrale Grenzwertsatz Sei X 1,..., X n eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen mit EX k = 0 (k = 1,..., n) und k=1 DX k = σ 2. Ist n sehr groß und sind die Varianzen DX k alle sehr klein, dann ist die Zufallsgröße ξ = näherungsweise gemäß n X k k=1 N 0,σ 2 verteilt. Beispiel: stochastisch gestörte Messungen Modell: Annahmen 1. Eine ideale Messung am System würde den Wert a ergeben. 2. Der reale Meßvorgang unterliegt einer Vielzahl kleiner Störungen, die nicht eliminiert werden können. Das Ergebnis der realen Messung wird durch eine Zufallsgröße η = a + ξ beschrieben mit P ξ = N 0,σ 2 und damit P η = N a,σ 2. 4
Die 3σ-Regel Wir betrachten das Beispiel der stochastisch gestörten Messung: - (zufälliges) Ergebnis der realen Messung: η = a + ξ - idealer Meßwert a Problem: Wie weit liegen a und η voneinander entfernt? Eine Antwort liefert die folgende 3σ-Regel: Sei η eine Zufallsgröße mit P η = N a,σ 2. Dann gilt P ( η a < 3σ ) 99, 7% (gerundet) wobei σ = σ 2 > 0. Anwendung auf unser Problem: Voraussetzung: σ 2 sei bekannt (was als Kenngröße der realen Meßapparatur häufig der Fall ist). Wir haben η a < 3σ η 3σ < a < η + 3σ 3σ-Regel Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99, 7% liegt der gesuchte (ideale) Wert a in dem durch das Meßergebnis der realen Messung bestimmten Intervall η 3σ < a < η + 3σ 5
Ein (anderes) Anwendungsbeispiel Die Herstellung eines oral einzunehmenden Arzneimittels geschieht i.d. Regel dadurch, daß ein bestimmter Wirkstoff in einer Flüssigkeit gelöst oder in Tabletten verpackt wird. Die einzelne Tablette sollte nun eine genormte Menge a des Wirkstoffes enthalten. Der automatisierte Herstellungsprozeß kann das jedoch nie mit absoluter Genauigkeit realisieren. Die reale Menge des Wirkstoffes in einer Tablette wird also eine Zufallsgröße η mit P η = N a,σ 2 sein. Dabei ist σ 2 das Charakteristikum für die Zuverlässigkeit der Anlage. Vorgegeben wird nun eine Toleranzgrenze b > 0 und es wird gefordert, daß mindestens mit Wahrscheinlichkeit 99, 7% die Menge des Wirkstoffes in einer Tablette zwischen a b und a + b liegt, d.h., es soll gelten: a b < η < a + b η a < b. Problem: Wie gut muß die Anlage arbeiten, d.h., wie klein muß σ 2 sein, damit diese Forderung erfüllt ist?! Antwort (3σ-Regel): 3σ b, d.h. σ 2 b2 9. 6
Die 3σ-Regel in allgemeiner Fassung Problem ist, eine Abschätzung zu finden für P ( η a < 3σ )? wobei Eη = a, Dη = σ 2 ist. -Fall P η = N a,σ 2 P ( η a < 3σ ) = 99, 7%. -Im allgemeinen Fall liefert die Tscheby.Ungl. P ( η a < 3σ ) 1 1 9 = 8 9 88, 8%. Beispiel: Sei P η = Ex λ. a := Eη = 1 λ, σ2 := Dη = 1 λ 2 σ = 1 λ P ( η 1 λ < 3 λ ) 88, 8% Wir haben nun η 2 λ < 3 λ 1 λ 3 λ < η < 1 λ + 3 λ 2 λ < η < 4 λ η 0 0 < η < 4 λ Also P ( η < 4 λ ) 88, 8%, 1 λ = Eη. Deshalb P ( η < 4Eη ) 88, 8%. Die direkte Rechnung liefert P ( η < 4 ) = 98, 2% (Ü.A.). λ 7