Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Allgemeiner Näherungsverlauf y x y 3 y y y Abbildung: Richtungsfeld zur Dgl y (x) = y(x) und Näherungsverlauf des Euler-Verfahrens Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Lokaler Diskretisierungsfehler y x y x x Η 3 y 3 Η Η y y y Abbildung: Lokaler Diskretisierungsfehler des Euler-Verfahrens zur Dgl y (x) = y(x) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Einschrittverfahren Globaler Diskretisierungsfehler y x y x x e 3 y 3 e e y y y Abbildung: Globaler Diskretisierungsfehler des Euler-Verfahrens zur Dgl y (x) = y(x) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Runge-Verfahren Abbildung: Auswertungsstellen zum Runge-Verfahren Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 5 / 3
Einschrittverfahren Klassisches Runge-Kutta-Verfahren Abbildung: Auswertungsstellen zum klassischen Runge-Kutta-Verfahren Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Heun-Verfahren Abbildung: Auswertungsstellen zum Prädiktor-Korrektor-Verfahren Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 7 / 3
Einschrittverfahren im Vergleich Konvergenzordnung t Euler-Verf. Runge-Verf. Runge-Kutta Runge-Kutta Verfahren Verfahren. Ord.. Ord. 3. Ord. (.7). Ord...95e 5 5.5e 5.355e 5.55e 7.5.33e 5.e.3e 7.5e..3e 5.55e 7.573e.9e..55e.3e 7 3.3e 9 3.3e.5.533e.95e 3.73e.5e..9e 7.573e 9.35e 5.53e. 9.59e 7.9553e 9.939e.9959e Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Konvergenzordnung Abbildung: Konvergenzverhalten unterschiedlicher Runge-Kutta-Verfahren Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 9 / 3
Mehrschrittverfahren Stabilität Näherungen y i für Exakte Werte t i t =. t =.5 t =.5 y(t i )..5.5.5.5......3.399.395.97.399..95.3 3.7.9.5.99..7..3 3.5..7..5.3..97.55.9 3.3.59..7.73 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Modellproblem mit k =.3 und c =. Lösung y (t) = k(c y(t)), t R + y() = y(t) = c ( e kt ) Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Gruppe A: Explizite Einschrittverfahren Verfahrensname Ordnung p Abkürzung Explizites Euler-Verfahren EE Runge-Verfahren Runge Heun-Verfahren Heun 3-stufiges Runge-Kutta-Verfahren 3 ERK3 Klassisches Runge-Kutta-Verfahren ERK Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Gruppe B: Implizite Einschrittverfahren Verfahrensname Ordnung p Abkürzung Implizites Euler-Verfahren IE Implizite Mittelpunktregel IM Implizite Trapezregel IT SDIRK-Verfahren 3 SDIRK Implizites Verfahren nach Hammer und Hollingsworth IHH Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Gruppe C: Explizite Mehrschrittverfahren Verfahrensname Ordnung p Abkürzung Adams-Bashfort-Verfahren m = AB Adams-Bashfort-Verfahren m = 3 3 AB3 Nyström-Verfahren m = NYS Nyström-Verfahren m = 3 3 NYS3 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Gruppe D: Implizite Mehrschrittverfahren Verfahrensname Ordnung p Abkürzung Adams-Moulton-Verfahren m = 3 AM Adams-Moulton-Verfahren m = 3 AM3 Milne-Simpson-Verfahren m = MS BDF()-Verfahren m = BDF BDF(3)-Verfahren m = 3 3 BDF3 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 5 / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Fehlerverläufe für e(5, t) = y(5) y num (5, t) Gruppe A: Explizite Einschrittverfahren t EE Runge/Heun ERK3 ERK 5.5.37.79 3.9.5.3. 5.3. 5. 5.7 5. 3..3.5.5.7.7 7.3 9. 5. 3 5. 3.77 9.7 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Fehlerverläufe für e(5, t) = y(5) y num (5, t) Gruppe B: Implizite Einschrittverfahren t IE IM/IT SDIRK IHH..53.39 3.79 5.5..9 3 7. 5.3..9.5 5. 7 3.77 9.5.5. 5 7.3.35. 5. 3.5 5.3 3. 3 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 7 / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Fehlerverläufe für e(5, t) = y(5) y num (5, t) Gruppe C: Explizite Mehrschrittverfahren t AB AB3 NYS NYS3.9.7. 3..5 3. 3.99 3.5 5...5 3 3.35 5 5.95 7.9.5 3.3..37...5 5 3.39 5.. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Ein- und Mehrschrittverfahren im Vergleich Fehlerverläufe für e(5, t) = y(5) y num (5, t) Gruppe D: Implizite Mehrschrittverfahren t AM AM3 MS BDF BDF3 3.5 3.3..5..5.5 3.7 5.7 5.39.55 3. 3.73.9.75 9.9.3 5.5.7 7. 9. 9.5.. 3.7 9 7.7.. 5. Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 9 / 3
Einschrittverfahren Stabilität beim expliziten Euler-Verfahren t =.,.5,.,.5 9 9 9 7 7 7 5 5 5 5 3 3 3 5 3 5 5 5 5 5 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Stabilität beim expliziten Euler-Verfahren t =.9,.,.,.5 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Stabilität beim expliziten Runge-Verfahren t =.,.5,.,.5 9 9 9 9 7 7 7 7 5 5 5 5 3 3 3 3 5 3 5 5 5 5 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Stabilität beim expliziten Runge-Verfahren t =.9,.,.,.5 5 9. 55 5. 5. 5 35 7. 9. 35 3 3 5 5 9. 5 5 9. 9. 5 5 3 5 9 5 5 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Einschrittverfahren Stabilität beim klassischen Runge-Kutta-Verfahren t =.,.5,.,.5 9 9 9 9 7 7 7 7 5 5 5 5 3 3 3 3 5 3 5 5 5 5 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Einschrittverfahren Stabilität beim klassischen Runge-Kutta-Verfahren t =.9,.,.,.5 9 9 9 9 7 7 7 7 5 5 5 5 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 5 / 3
Einschrittverfahren Stabilität beim klassischen Runge-Kutta-Verfahren t =.7,., 3. 9 9 3.5 3 7 7.5 5 5.5 3 3.5 5 5 5 5 5 5 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Analytische Lösung des linearen Testproblems T.. Y.. L L5........ X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 7 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Hochauflösende Lösung des nichtlinearen Testproblems T Y L L L3 L 5 5 5 3 X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Hochauflösende Lösung des Robertson Testfalls T. Y.. L L L3 L. e-.. e+ e+ e+ X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 9 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des linearen Testproblems mittels Euler-Verfahren bei t =.5 T.5 Y.5 L -.5 L L3 L L5 -........ X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des nichtlinearen Testproblems mittels Euler-Verfahren bei t =.5 T Y L L L3 L L5 L L7-5 5 5 3 X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des linearen Testproblems mittels Patankar-Verfahren bei t =.5 T.5 Y.5 L -.5 L L3 L L5 -........ X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des nichtlinearen Testproblems mittels Patankar-Verfahren bei t =.5 T Y L L L3 L L5 L L7-5 5 5 3 X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 33 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des linearen Testproblems mittels modifiziertem Patankar-Verfahren bei t =.5 T.5 Y.5 L -.5 L L3 L L5 -........ X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des linearen Testproblems mittels modifiziertem Patankar-Runge-Kutta-Verfahren bei t =.5 T.5 Y.5 L -.5 L L3 L L5 -........ X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 35 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des nichtlinearen Testproblems mittels modifiziertem Patankar-Verfahren bei t =.5 T Y L L L3 L L5 L L7-5 5 5 3 X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des nichtlinearen Testproblems mittels modifiziertem Patankar-Runge-Kutta-Verfahren bei t =.5 T Y L L L3 L L5 L L7-5 5 5 3 X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 37 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des nichtlinearen Testproblems mittels hybriden modifiziertem Patankar-Runge-Kutta-Verfahren bei t =.5 T Y L L L3 L L5 L L7-5 5 5 3 X Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des Robertson Problems mittels Patankar-Verfahren.5 PE Ci.5 L L L3 L L5 L L7 -.5.. e+ e+ e+ time / s Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 39 / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des Robertson Problems mittels modifiziertem Patankar-Verfahren.5 MPE Ci.5 L L L3 L L5 L L7 -.5.. e+ e+ e+ time / s Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Positivitätserhaltende, konservative Verfahren Lösung des Robertson Problems mittels modifiziertem Patankar-Runge-Kutta-Verfahren.5 MPRK Ci.5 L L L3 L L5 L L7 -.5.. e+ e+ e+ time / s Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Schießverfahren Lösung des RWPs y (x) = y 3 mit y() = und y() = / n s n F(s n ).e + 3.e +.e +.7e + 9.7e 3.3e + 3.77e.9e + 9.57e.e 5.3e +.e.39e + 3.9e 7.7e +.e 3.e + 7.e 9.e +.53e 9 Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln / 3
Schießverfahren Lösung des RWPs y (x) = y 3 mit y() = und y() = / Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik von Dgln 3 / 3