Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte A, B und B bilden ein Dreieck, das in einer Ebene E liegt. (Nachweis nicht erforderlich) Teilaufgabe a ( BE) Zeigen Sie, dass das Dreieck bei B einen rechten Winkel hat, und geben Sie eine Gleichung von E in Normalenform an. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat E? [mögliches Ergebnis: E : x = ] Teilaufgabe b ( BE) Zeichnen Sie das Dreieck in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein. Teilaufgabe b (4 BE) F k bezeichnet die von der Geraden a und dem Punkt B k bestimmte Ebene. Ermitteln Sie für F k eine Gleichung in Normalenform. [mögliches Ergebnis: F k : ( + k)x x + k = ] Teilaufgabe c (4 BE) Das in Teilaufgabe b angegebene Ergebnis lässt sich als Ebenenschar deuten. Zeigen Sie, dass die Ebene G : x + = die Gerade a enthält, aber nicht der Ebenenschar F k angehört. In welcher Lagebeziehung stehen die Ebene G und die Gerade b zueinander? Das Dreieck A B B aus Aufgabe bildet die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Punkt S (s s s ) ist. Teilaufgabe a ( BE) Ermitteln Sie alle für die Koordinaten s, s und s möglichen Werte, wenn die Pyramide das Volumen 4 hat. Teilaufgabe b (4 BE) Auf den in Teilaufgabe d betrachteten Kreis wird nun eine Halbkugel ebenfalls mit M als Mittelpunkt und r als Radius gesetzt. Kann S so gewählt werden, dass diese Halbkugel ganz im Inneren der Pyramide liegt? Machen Sie Ihre Antwort plausibel. Teilaufgabe c ( BE) Weisen Sie nach, dass die Gerade A B den Innenwinkel des Dreiecks bei A halbiert. Teilaufgabe d ( BE) Berechnen Sie die Koordinaten des Inkreismittelpunkts M des Dreiecks A B B tragen Sie M in die Zeichnung ein. Geben Sie den Radius r des Inkreises an. [zur Kontrolle: M( )] und Im Folgenden bezeichnet a die Parallele zur x -Achse durch den Punkt A und b die Gerade, auf der die Punkte B k liegen. Teilaufgabe a (4 BE) Zeigen Sie, dass die Geraden a und b windschief sind. Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 4 Lösung Teilaufgabe a ( BE) Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte A, B und B bilden ein Dreieck, das in einer Ebene E liegt. (Nachweis nicht erforderlich) Prüfen ob die Vektoren B A und B B senkrecht aufeinander stehen: B A B B = = + + = die Vektoren stehen senkrecht aufeinander das Dreieck hat bei B einen rechten Winkel Ebene aus drei Punkte Zeigen Sie, dass das Dreieck bei B einen rechten Winkel hat, und geben Sie eine Gleichung von E in Normalenform an. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat E? [mögliches Ergebnis: E : x = ] Lösung zu Teilaufgabe a Winkel zwischen zwei Vektoren A( ), B ( ), B ( ) Die Vektoren B A und B B bilden die Richtungsvektoren der Ebene E. Der Punkt B z.b. ist der Aufpunkt der Ebene. Ebenengleichung in Normalenform B A = A B = B B = B B = = = Normalenvektor n E der Ebene E aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen: B A B B = Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Erläuterung: Vektorprodukt Erläuterung: Normalenform einer Ebene = Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b zweier Vektoren a und b ist ein Vektor n, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: a a b = a = a In diesem Fall ist: = 4 Normalenvektor vereinfachen: Erläuterung: Vereinfachen b b b a b a b a b a b a b a b = ( ) Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt. 4 Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. [ X E N ] : P n E = Hier: E N : X = Kann auch geschrieben werden: X = E N : X = E N : x = E N : x = Besondere Lage im Koordinatensystem Hier wird der Normalenvektor durch -4 geteilt. Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich. n E = 4 4 = Normalenform E N der Ebene E: Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite 7 http://www.abiturloesung.de/ Seite Die Ebene E ist parallel zur x x -Ebene, da der Normalenvektor n E = (Richtungsvektor der x -Achse) sowohl auf der x -Achse als auch auf der x -Achse senkrecht steht. Teilaufgabe c ( BE) Weisen Sie nach, dass die Gerade A B den Innenwinkel des Dreiecks bei A halbiert. Lösung zu Teilaufgabe c Teilaufgabe b ( BE) Zeichnen Sie das Dreieck in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein. Winkel zwischen zwei Vektoren A( ), B ( ), B ( ), B ( ) Lösung zu Teilaufgabe b Skizze Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite 9 A B = B A = A B = B A = A B = B A = = Winkel α = B A B bestimmen: = = http://www.abiturloesung.de/ Seite = = 4 = α = cos ( ), Erläuterung: Skalarprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren a und b a b = a b cos ( a, b ) } {{ } α folgt für den Winkel α zwischen den beiden Vektoren: a b cos α = a b (Formel zur Winkelberechnung zwischen Vektoren) A B A B cos α = A B A B Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a = a + a + a Winkel α = B A B bestimmen: A B A B cos α = A B A B = = = α = cos ( ), α = α Der Innenwinkel bei A wird halbiert. Alternative Lösung cos α = cos α sin α Mit dem trigonometrischen Pythagoras sin α + cos α = gilt dann: cos α = cos α Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Einsetzen von cos α und cos α in obige Formel: = 4 (wahre Aussage) Gleichung der Winkelhalbierenden A B bei A (siehe Teilaufgabe c) aufstellen: Erläuterung: Winkelhalbierende Teilaufgabe d ( BE) Berechnen Sie die Koordinaten des Inkreismittelpunkts M des Dreiecks A B B tragen Sie M in die Zeichnung ein. Geben Sie den Radius r des Inkreises an. [zur Kontrolle: M( )] Lösung zu Teilaufgabe d Inkreismittelpunkt bestimmen A( ), B ( ), B ( ), B ( ) und Nach Teilaufgabe c, halbiert die Gerade A B den Innenwinkel des Dreiecks bei A. Also ist A B die Winkelhalbierende Gerade bei A. A ist der Ortsvektor (des Aufpunkts) und A B Geraden A B A B : X = A + λ A B = + λ Gleichung der Winkelhalbierenden w bei B bestimmen: Aus Teilaufgabe a und c: B A = B B = der Richtungsvektor der Aus Teilaufgabe a und c: A B =, B A =, B B = B A =, B B = Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 4 Erläuterung: Gleichung der Winkelhalbierenden Erläuterung: Schnitt zweier Geraden Um den Schnittpunkt M zweier Geraden g : P + λ v und h : Q + µ u zu bestimmen, setzt man die Geradengleichungen gleich, also g = h. Es entsteht somit ein Gleichungssystem mit Variablen, λ und µ. Man löst das Gleichungssystem nach einer der zwei Variablen auf. Einsetzen der gefundenen Variable in die entsprechende Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt M. Bilden zwei Vektoren a und b einen Winkel α im Punkt P, so lautet die Gleichung der Winkelhalbierenden w : w : X = [ a P + µ + ] b Dabei sind a und b die normierten Einheistvektoren (Vektoren der Länge ). Es gilt: a = a a w : X = [ B + µ B A + ] B B = = + µ + µ + + λ + λ = = µ + µ.gleichung in die.gleichung einsetzen: + λ = λ λ = Einsetzen von λ = in A B : M = + = Der Inkreismittelpunkt ist M( ) Lage eines Punktes = λ = µ λ = µ Der Radius r des Inkreises entspricht dem Abstand zwischen dem Punkt M und der Geraden A B. Da alle Objekte auf derselben Ebene liegen, kann der Abstand direkt aus der x -Koordinate des Punktes M abgelesen werden. Der Radius ist r =. Winkelhalbierenden schneiden: A B w Teilaufgabe a (4 BE) Im Folgenden bezeichnet a die Parallele zur x -Achse durch den Punkt A und b die Gerade, auf der die Punkte B k liegen. Zeigen Sie, dass die Geraden a und b windschief sind. Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite Lösung zu Teilaufgabe a Geradengleichung aufstellen A( ), B k ( k) Gleichung der Geraden a: http://www.abiturloesung.de/ Seite b : X = + λ Lagebeziehung von Geraden Lage der beiden Geraden bestimmen: Erläuterung: Geradengleichung Erläuterung: Windschiefe Geraden Eine Gerade g ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: g : X = P + µ v, µ R Wenn A als Aufpunkt genommen wird, dann ist A der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden a. Da die Gerade a parallel zur x -Achse verläuft, ist ein Richtungsvektor der Geraden. a : X = + µ Gleichung der Geraden b: Erläuterung: Geradengleichung Eine Gerade g ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: g : X = P + λ u, µ R Wenn B als Aufpunkt genommen wird, dann ist B der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden b. Da sich auf der Geraden b alle Punkte B k befinden, ist b parallel zur x -Achse. Der Vektor ist somit ein Richtungsvektor der Geraden b. Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn die Richtungsvektoren kein Vielfaches voneinander sind und sich die Geraden nicht schneiden. Das ist der Fall wenn das Gleichungssystem, das beim Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen entsteht, nicht aufgeht. = k = Widerspruch = = k Die Richtungsvektoren sind kein Vielfaches voneinander a und b sind nicht parallel und nicht identisch Geraden schneiden: a b + µ = + µ = λ + λ a und b sind zueinander windschief Teilaufgabe b (4 BE) µ = = = λ Widerspruch F k bezeichnet die von der Geraden a und dem Punkt B k bestimmte Ebene. Ermitteln Sie für F k eine Gleichung in Normalenform. [mögliches Ergebnis: F k : ( + k)x x + k = ] Lösung zu Teilaufgabe b Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite 7 Ebene aus Punkt und Gerade http://www.abiturloesung.de/ Seite A B = B k A = k = (Verbindungsvektor von A und B k ) k + Ebenengleichung in Normalenform Normalenvektor n E der Ebene F k aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen: v A B k = k + Erläuterung: Vektorprodukt Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b zweier Vektoren a und b ist ein Vektor n, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. A( ), B k ( k) a : X = + µ (siehe Teilaufgabe a) B k = k v = Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene F k Richtungsvektor der Geraden a ist ein Richtungsvektor der Ebene F k Zweiter Richtungsvektor der Ebene F k bestimmen: Für die komponentenweise Berechnung gilt: a a b = a = a In diesem Fall ist: k + = = k Normalenvektor vereinfachen: b b b a b a b a b a b a b a b (k + ) (k + ) = k Erläuterung: Richtungsvektor Man wählt einen Punkt auf der Geraden a, z.b. A, und verbindet diesen mit dem Punkt B k, den die Ebene F k enthalten soll. Der Vektor A B k ist dann ein Richtungsvektor der Ebene E. Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite 9 http://www.abiturloesung.de/ Seite Erläuterung: Vereinfachen Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt. Lösung zu Teilaufgabe c Lagebeziehung Gerade und Ebene Hier wird der Normalenvektor durch - geteilt. Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich. n E = k = k + Normalenform F N k der Ebene F k : Erläuterung: Normalenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt P aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. F N k E : X n E = P n E Hier ( B k ist Aufpunkt): : X + k = k F N k : ( + k)x x = k + F N k : ( + k)x x + k = + k F N k : ( + k)x x + k = (siehe Teilaufgabe b) G : x + = a : X = + µ (siehe Teilaufgabe a) b : X = + λ Zu zeigen: a G und b G Teilaufgabe c (4 BE) Das in Teilaufgabe b angegebene Ergebnis lässt sich als Ebenenschar deuten. Zeigen Sie, dass die Ebene G : x + = die Gerade a enthält, aber nicht der Ebenenschar F k angehört. In welcher Lagebeziehung stehen die Ebene G und die Gerade b zueinander? Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Erläuterung: Lagebeziehung von Ebene und Gerade Die Ebene G ist echt parallel zur Geraden b. Da die Ebenenschar F k den Punkt B k enthält, kann F k nicht die Ebene G enthalten. Um die Lagebeziehung zwischen einer Ebene und einer Geraden zu bestimmen, setzt man die Geradengleichung in die Normalenform der Ebenengleichung ein. Fällt der Parameter von der Geradengleichung (in diesem Fall µ ) weg und es bleibt eine wahre Aussage stehen, z.b. =, so leitet man daraus, dass die Gerade in der Ebene enthalten ist. Bleibt eine falsche Aussage stehen, z.b. =, so leitet man daraus, dass die Gerade echt parallel zur Ebene liegt. a : X = + µ x = + µ x = x = + = in G einsetzen: = (wahre Aussage) Die Gerade a ist in der Ebene G enthalten b : X = + λ x = x = x = + λ + = in G einsetzen: = (falsche Aussage) x = + µ x = x = x = x = x = + λ Die Gerade b liegt echt parallel zur Ebene G Lagebeziehung von Ebenen Die Ebene G ist nicht in der Ebenenschar F k enthalten, da es kein Wert von k gibt, so dass aus F k die Ebenengleichung G entsteht. oder Bemerkung Nur wenn k gegen Unendlich geht, ist G F k : ( k F k : x + ) k k x + k = ( lim k k F k = lim x + ) x + k k k }{{}}{{}}{{} k Teilaufgabe a ( BE) = x + = }{{} G Das Dreieck A B B aus Aufgabe bildet die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Punkt S (s s s ) ist. Ermitteln Sie alle für die Koordinaten s, s und s möglichen Werte, wenn die Pyramide das Volumen 4 hat. Lösung zu Teilaufgabe a Volumen einer Pyramide A B B S (s s s ) Grundfläche der Pyramide Spitze der Pyramide Aus Teilaufgabe d): A B =, B B = V P y r = 4 Höhe der Pyramide über das Volumen bestimmen: V = G h = A B B }{{} B h = h }{{} 4 = h h = Abstand Punkt - Ebene Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 4 Höhe der Pyramide über den Abstand der Spitze zur Grundfläche bestimmen: Erläuterung: Grundfläche Die Grundfläche der Pyramide ist das Dreieck A B B welches, laut Teilaufgabe, in der Ebene E liegt. Der Abstand zwischen S und der Ebene E entspricht somit der Höhe der Pyramide. h = d(s, E) E N : x = n E = n E = Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E: Erläuterung: Hesse-Normalenform der Ebene Die Hesse-Normalenform E HNF einer Ebene E entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene E mit dem Betrag des Normalenvektors n E. Beispiel: E : x + x + x 4 = n E = n E = + 4 + 4 = E HNF : (x + x + x 4) = E H N F : x = E H N F : x = Erläuterung: Abstand Punkt - Ebene Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Hesse-Normalenform E HNF der Ebene E (zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand d(p, E) des Punktes zur Ebene. Beispiel: E HNF : (x + x + x 4) = P ( ) d(p, E) = ( + + ( ) 4) = 9 = d(s, E) = s s = ± (s ) = s = ± s = und s = 4 s und s beliebig Teilaufgabe b (4 BE) Auf den in Teilaufgabe d betrachteten Kreis wird nun eine Halbkugel ebenfalls mit M als Mittelpunkt und r als Radius gesetzt. Kann S so gewählt werden, dass diese Halbkugel ganz im Inneren der Pyramide liegt? Machen Sie Ihre Antwort plausibel. Lösung zu Teilaufgabe b Geometrische Vorstellung Höhe bestimmen: Abitur Bayern LK Geometrie V
Seite S kann nicht so gewählt werden, dass die Halbkugel mit Mittelpunkt M und Radius r ganz im Inneren der Pyramide liegt. Auch wenn zwei Seiten der Pyramide mit der Grundfläche einen rechten Winkel bilden (siehe Bild), und es somit zweit Seiten gibt die die Halbkugel nur berühren, so schließt die dritte Seite mit der Grundfläche einen Winkel ein der kleiner ist als 9 Grad. Diese Seite schneidet dann die Halbkugel. Abitur Bayern LK Geometrie V