Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit
4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Polyadische Zahlensysteme Gleitkomma-Arithmetik
4. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Wandeln Sie die Zahl 101010111001 2 ins Dezimal-, Oktalund Hexadezimalsystem um!
4. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Wandeln Sie die Zahl 101010111001 2 ins Dezimal-, Oktalund Hexadezimalsystem um! Umwandlung ins Dezimalsystem: 101010111001 2 = 2 11 + 2 9 + 2 7 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 0 = = 2048 + 512 + 128 + 32 + 16 + 8 + 1 = = 2745 10
4. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Wandeln Sie die Zahl 101010111001 2 ins Dezimal-, Oktalund Hexadezimalsystem um! Umwandlung ins Oktalsystem: 1. Erweitern auf 3er-Blöcke 2. Zusammenfassen der 3er-Blöcke 101010111001 2 = 101 010 111 001 2 = 5271 8
4. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Wandeln Sie die Zahl 101010111001 2 ins Dezimal-, Oktalund Hexadezimalsystem um! Umwandlung ins Hexadezimalsystem: 1. Erweitern auf 4er-Blöcke 2. Zusammenfassen der 4er-Blöcke 101010111001 2 = 1010 1011 1001 2 = AB9 16
4. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Wandeln Sie die Zahl 684 10 ins Binär-, Oktal- und Hexadezimalsystem um!
4. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Wandeln Sie die Zahl 684 10 ins Binär-, Oktal- und Hexadezimalsystem um! Umwandlung ins Binärsystem: Sukzessive Division
4. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Wandeln Sie die Zahl 684 10 ins Binär-, Oktal- und Hexadezimalsystem um! 684 : 2 = 342 R0 342 : 2 = 171 R0 171 : 2 = 85 R1 85 : 2 = 42 R1 42 : 2 = 21 R0 21 : 2 = 10 R1 10 : 2 = 5 R0 5 : 2 = 2 R1 2 : 2 = 1 R0 1 : 2 = 0 R1 684 10 = 1010101100 2
4. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Wandeln Sie die Zahl 684 10 ins Binär-, Oktal- und Hexadezimalsystem um! 684 10 = 1010101100 2 Umwandlung ins Oktalsystem: 001 010 101 100 2 = 1254 8
4. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Wandeln Sie die Zahl 684 10 ins Binär-, Oktal- und Hexadezimalsystem um! 684 10 = 1010101100 2 684 10 = 001 010 101 100 2 = 1254 8 Umwandlung ins Hexadezimalsystem: 0010 1010 1100 2 = 2AC 16
4. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Wandeln Sie die Zahl 684 10 ins Binär-, Oktal- und Hexadezimalsystem um! 684 10 = 1010101100 2 684 10 = 001 010 101 100 2 = 1254 8 684 10 = 0010 1010 1100 2 = 2AC 16
4. Übungsblatt Aufgabe 1 c) Wandeln Sie die Zahl 1011,1011 2 ins Dezimalsystem um!
4. Übungsblatt Aufgabe 1 c) Wandeln Sie die Zahl 1011,1011 2 ins Dezimalsystem um! 1. Vorkommaanteil: wie üblich! 1011 2 = 2 3 + 2 1 + 2 0 = 11 10
4. Übungsblatt Aufgabe 1 c) Wandeln Sie die Zahl 1011,1011 2 ins Dezimalsystem um! 1. Vorkommaanteil: wie üblich! 1011 2 = 2 3 + 2 1 + 2 0 = 11 10 2. Nachkommaanteil: negative Exponenten! 1011 2 = 2-1 + 2-3 + 2-4 = 0,6875 10
4. Übungsblatt Aufgabe 1 c) Wandeln Sie die Zahl 1011,1011 2 ins Dezimalsystem um! 1. Vorkommaanteil: wie üblich! 1011 2 = 2 3 + 2 1 + 2 0 = 11 10 2. Nachkommaanteil: negative Exponenten! 1011 2 = 2-1 + 2-3 + 2-4 = 0,6875 10 1011,1011 2 = 11,6875 10
4. Übungsblatt Aufgabe 1 d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 ins Binärsystem um. Nehmen Sie an, dass für Vor- und Nachkommastellen insgesamt 31 Bits zur Verfügung stehen und maximieren Sie die Genauigkeit!
4. Übungsblatt Aufgabe 1 d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 ins Binärsystem um. 1. Vorkommaanteil: 172 10 172 : 2 = 86 R0 86 : 2 = 43 R0 43 : 2 = 21 R1 21 : 2 = 10 R1 10 : 2 = 5 R0 5 : 2 = 2 R1 2 : 2 = 1 R0 1 : 2 = 0 R1 172 10 = 10101100 2
4. Übungsblatt Aufgabe 1 d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 ins Binärsystem um. 2. Nachkommateil: 0,175 10 0,175 * 2 = 0,35 0 0,35 * 2 = 0,7 0 0,7 * 2 = 1,4 1 0,4 * 2 = 0,8 0 0,8 * 2 = 1,6 1 0,6 * 2 = 1,2 1 0,2 * 2 = 0,4 0 0,4 * 2 = 0,8 0 0,17510 0,00101102
4. Übungsblatt Aufgabe 1 d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 ins Binärsystem um. Nehmen Sie an, dass für Vor- und Nachkommastellen insgesamt 31 Bits zur Verfügung stehen und maximieren Sie die Genauigkeit! 172,175 10 10101100,00101100110011001100110 2
4. Übungsblatt Aufgabe 1 d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 ins Binärsystem um. Nehmen Sie an, dass für Vor- und Nachkommastellen insgesamt 31 Bits zur Verfügung stehen und maximieren Sie die Genauigkeit! 172,175 10 10101100,00101100110011001100110 2 10101100,00101100110011001100110 2 = 172,1749 10
a) Führen Sie die Addition der folgenden Dezimalzahlen im Gleitkommaformat durch: 9,999 10 * 10 1 + 1,610 10 * 10-1 Bleiben Sie dabei immer im Dezimalsystem.
a) Führen Sie die Addition der folgenden Dezimalzahlen im Gleitkommaformat durch: x 1 = 9,999 * 10 1 x 2 = 1,610 * 10-1 1. Transformiere durch Rechtschieben der kleineren Zahl auf den Exponenten der Größeren E(x 1 ) = 1 E(x 2 ) = -1 E(x 1 ) > E(x 2 ) x 2 durch Rechtsschieben um E(x 1 ) E(x 2 ) = 2 Stellen transformieren M(x 2 ) = 1,610 M(x 2 ) = 0,01610
a) Führen Sie die Addition der folgenden Dezimalzahlen im Gleitkommaformat durch: x 1 = 9,999 * 10 1 x 2 = 1,610 * 10-1 2. Addieren der Mantissen M(x 2 ) : 1, 610 M(x 2 ) : 0, 0161 + M(x 1 ) : 9, 999 1 1 1 1 1 0, 0151 10,0151 = 1,00151 * 10 1 E = E(x 1 ) + 1 = 2 x 1 + x 2 = 1,00151 * 10 2
b) Wandeln Sie die Zahl -0,75 10 in eine binäre Gleitkommazahl (IEEE 754) um.
b) Wandeln Sie die Zahl -0,75 10 in eine binäre Gleitkommazahl (IEEE 754) um. 1. Vorzeichen: negative Zahl V = 1
b) Wandeln Sie die Zahl -0,75 10 in eine binäre Gleitkommazahl (IEEE 754) um. 2. Mantisse: 0,75 10 = 0,5 10 + 0,25 10 = 0 + 2-1 + 2-2 = 0,11 2 0,11 2 = 1,1 * 2-1
b) Wandeln Sie die Zahl -0,75 10 in eine binäre Gleitkommazahl (IEEE 754) um. 3. Exponent: M = 0,11 2 = 1,1 2 * 2-1 E = -1 C = E + BIAS = -1 10 + 2 8-1 10 1 10 = -1 10 + 127 10 = 126 10 126 10 = 01111110 2
b) Wandeln Sie die Zahl -0,75 10 in eine binäre Gleitkommazahl (IEEE 754) um. V = 1 M = 0,11 2 = 1,1 2 * 2-1 C = 01111110 2-0,75 10 = 1 01111110 100000000000000000000000 2
c) Wandeln Sie die Zahl 11000011111010001000000000000000 2 (IEEE 754) ins Dezimalsystem um!
c) Wandeln Sie die Zahl 11000011111010001000000000000000 2 (IEEE 754) ins Dezimalsystem um! V = 1
c) Wandeln Sie die Zahl 11000011111010001000000000000000 2 (IEEE 754) ins Dezimalsystem um! V = 1 C = 10000111 2 = 135 10
c) Wandeln Sie die Zahl 11000011111010001000000000000000 2 (IEEE 754) ins Dezimalsystem um! V = 1 C = 10000111 2 = 135 10 E = C - BIAS = 135 10-127 10 = 8 10
c) Wandeln Sie die Zahl 11000011111010001000000000000000 2 (IEEE 754) ins Dezimalsystem um! V = 1 C = 10000111 2 = 135 10 E = C - BIAS = 135 10-127 10 = 8 10 M = 11010001000000000000000 2 = 2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-8 = = 0,81640625 10
c) Wandeln Sie die Zahl 11000011111010001000000000000000 2 (IEEE 754) ins Dezimalsystem um! V = 1 C = 10000111 2 = 135 10 E = C - BIAS = 135 10-127 10 = 8 10 M = 11010001000000000000000 2 = 2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-8 = = 0,81640625 10 1 10000111 11010001000000000000000 2 = = -1,81640625 * 2 8 = -465 10
d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 in eine Gleitkommazahl (Format: IEEE-Standard 754) um.
d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 in eine Gleitkommazahl (Format: IEEE-Standard 754) um. V = 0
d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 in eine Gleitkommazahl (Format: IEEE-Standard 754) um. V = 0 Vorkommateil: 172 10 = 10101100 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 in eine Gleitkommazahl (Format: IEEE-Standard 754) um. V = 0 Vorkommateil: 172 10 = 10101100 2 Normalisieren: 10101100 2 = 1,01011100 2 * 2 7 C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 10000110 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 in eine Gleitkommazahl (Format: IEEE-Standard 754) um. Nachkommateil: 175 10 0,175 * 2 = 0,35 0 0,35 * 2 = 0,7 0 0,7 * 2 = 1,4 1 0,4 * 2 = 0,8 0 0,8 * 2 = 1,6 1 0,6 * 2 = 1,2 1 0,2 * 2 = 0,4 0 0,4 * 2 = 0,8 0 0,17510 0,00101102
d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 in eine Gleitkommazahl (Format: IEEE-Standard 754) um. V = 0 Vorkommateil: 172 10 = 10101100 2 Normalisieren: 10101100 2 = 1,01011100 2 * 2 7 C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 10000110 2 Nachkommateil: 0,17510 0,00101102 172,17510 0 10000110 01011000010110011001100 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,175 10 in eine Gleitkommazahl (Format: IEEE-Standard 754) um. V = 0 Vorkommateil: 172 10 = 10101100 2 Normalisieren: 10101100 2 = 1,01011100 2 * 2 7 C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 10000110 2 Nachkommateil: 0,17510 0,00101102 172,17510 0 10000110 01011000010110011001100 2 0 10000110 01011000010110011001100 2 = 172,1749 10
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754 Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion durch: 0,5 10 0,4375 10
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754 Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion durch: 0,5 10 0,4375 10 Konvertierung: 0,5 10 = 2-1 = 0,1 2 = 1,0 * 2-1 -0,4375 10 = -(2-2 + 2-3 + 2-4 ) = -0,0111 2 = -1,11 * 2-2
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754 Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion durch: 0,5 10 0,4375 10 Konvertierung: 0,5 10 = 2-1 = 0,1 2 = 1,0 * 2-1 -0,4375 10 = -(2-2 + 2-3 + 2-4 ) = -0,0111 2 = -1,11 * 2-2 Angleichen an größeren Exponenten: -1,11 * 2-2 = -0,111 * 2-1
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754 Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion durch: 0,5 10 0,4375 10 Addieren der beiden Zahlen: 1 * 2-1 0,111 * 2-1 = 0,001 * 2-1
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754 Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion durch: 0,5 10 0,4375 10 Addieren der beiden Zahlen: 1 * 2-1 0,111 * 2-1 = 0,001 * 2-1 Normalisieren des Ergebnisses: 1,000 * 2-4
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754 Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion durch: 0,5 10 0,4375 10 Normalisieren des Ergebnisses: 1,000 * 2-4 Darstellung im IEEE-Format: V = 0 E = -4 10 + 127 10 = 123 10 = 01111011 2 M = 00000000000000000000000 2 0,5 10-0,4375 10 = 0 01111011 00000000000000000000000 2
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch.
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch. Konvertierung: 0,5 10 = 2-1 = 0,1 2 = 1,0 * 2-1 -0,4375 10 = -(2-2 + 2-3 + 2-4 ) = -0,0111 2 = -1,11 * 2-2
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch. Konvertierung: 0,5 10 = 2-1 = 0,1 2 = 1,0 * 2-1 -0,4375 10 = -(2-2 + 2-3 + 2-4 ) = -0,0111 2 = -1,11 * 2-2 Addition der Exponenten: E 1 + E 2 = -1 10 + (-2 10 ) = -3 10
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch. Konvertierung: 0,5 10 = 2-1 = 0,1 2 = 1,0 * 2-1 -0,4375 10 = -(2-2 + 2-3 + 2-4 ) = -0,0111 2 = -1,11 * 2-2 Addition der Exponenten: E 1 + E 2 = -1 10 + (-2 10 ) = -3 10 Multiplikation der Mantissen: M 1 * M 2 = 1 2 * 1,11 2 = 1,11 2
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch. Multiplikation der Mantissen: M 1 * M 2 = 1 2 * 1,11 2 = 1,11 2 Darstellung im IEEE-Format: V = 1 E = -3 10 + 127 10 = 124 10 = 01111100 2 M = 1,11 2 = 11000000000000000000000 2 0,5 10 * (-0,4375 10 ) = 1 01111100 11000000000000000000000 2
4. Übungsblatt Danke für die Aufmerksamkeit