Quantenrechnung. aus Computational Complexity - A modern approach Juli Institut für Informatik Freie Universität zu Berlin.

Transkript

1 quark rechnung aus Computational Complexity - A modern approach 1 Institut für Informatik Freie Universität zu Berlin 14. Juli von S. Arora und B. Barak, Cambridge University Press, 1. Auflage 1 / 28

2 Übersicht quark Algorithmus von Shor: Primfaktorzerlegung -Fourier-Transformation 4 von rechnern 5 2 / 28

3 Church-Turing-These quark Church-Turing-These [Church, 1936], [Turing, 1936] Jede intuitiv berechenbare Funktion kann von einer Turingmaschine simuliert werden. Introduction Turing machines Quantum computers Physikalische Version der CT-These [Deutsch, 1985] ing machine T Jedes physikalisch realisierbare Rechenmodell, unabhängig von der ihm zugrundeliegenden Technologie, kann von einer TM simuliert werden. ing operations read (i.e. identify) the symbol currently under the head write a symbol on the square currently under the head move the tape left one square move the tape right one square change state halt Structure Probabilistic Turing machines Principle 3 / 28

4 Church-Turing-These quark Church-Turing-These [Church, 1936], [Turing, 1936] Jede intuitiv berechenbare Funktion kann von einer Turingmaschine simuliert werden. Physikalische Version der CT-These [Deutsch, 1985] Jedes physikalisch realisierbare Rechenmodell, unabhängig von der ihm zugrundeliegenden Technologie, kann von einer TM simuliert werden. Stärker formuliert (strong form of CT thesis) Jedes physikalisch realisierbare Rechenmodell kann von einer TM mit höchstens polynomiellen Aufwand simuliert werden. 3 / 28

5 Was sind? Quantelung quark lat. quantum: wie groß, wie viel nicht teilbare Portion bezüglich einer physikalischen Größe, meist Energie (Quantelung der physik. Größe) kann nur als Ganzes verändert/abgegeben werden Beispiele: Photon als Quant des elektromagnetischen Feldes Energie des Lichts tritt in zur Frequenz propotionalen Einheiten auf Quant des Drehimpulses L = r p ganz- und halbzahlige Vielfache von h( 2 ) Elektron bzgl. seiner vier zahlen Hauptquantenzahl: Schale n {1, 2, 3,...} Nebenquantenzahl: Orbital l {0, 1, 2,..., n 1} Magnetische zahl des Drehimpuls: m { l, l + 1,..., l} Spinquantenzahl: Orientierung des Spins s z { 1 2, 1 2 } 2 Planckschen Wirkungsquantums h 6, Js 4 / 28

6 Was sind? Dualismus Welle Teilchen quark (a) Spalt 1 geöffnet (b) Spalt 2 geöffnet Abbildung: Beschuss durch Teilchen/Licht 5 / 28

7 Was sind? Dualismus Welle Teilchen quark Abbildung: Teilchenbeschuss durch beide Öffnungen 5 / 28

8 Was sind? Dualismus Welle Teilchen quark (a) Lichtbeschuss durch beide Öffnungen (b) Beugunsbilder 5 / 28

9 Was sind? Dualismus Welle Teilchen quark Abbildung: Beugung, Entstehung neuer Wellen Beugung und Interferenz führen zu einem charakteristischen Beugungsbild Experiment wiederholbar für Elektronen, Ionen objekten wird eine Wahrscheinlichkeitswelle mit Wellenlänge λ = h p zugeordnet 5 / 28

10 Was sind? Dualismus Welle Teilchen quark Abbildung: Interferenz, Überlagerung von Wellen Beugung und Interferenz führen zu einem charakteristischen Beugungsbild Experiment wiederholbar für Elektronen, Ionen objekten wird eine Wahrscheinlichkeitswelle mit Wellenlänge λ = h p zugeordnet 5 / 28

11 Von zu Superposition quark benötigen manipulierbares Speicherelement analog zum Bit: das Qubit Zustandsbeschreibung mithilfe des Superpositionsprinzip Prinzip der Superposition zwei beliebige Zustände eines Quants werden als Grundzustände festgesetzt: 0 und 1 beide Zustände überlagern sich, bzw. interferieren Quant kann alle Zustände der Form α α 1 1 annehmen Amplituden α 0/1 C und α α 1 2 = 1 ersetze Quant durch Qubit Achtung: Messung führt zum Kollaps des systems! 6 / 28

12 Von zu Zwei-Qubit-System quark Ein-Qubit-System: α α 1 1 p( 0 ) = α 2 0 und p( 1 ) = α 2 1 Analog ein Zwei-Qubit-System: umgeschrieben: z b1 b 2 = α α α α z b1 b 2 = ( ) ( ) }{{}}{{} b 1 b 2 b 1,b 2 α b1 b 2 2 = 1 Frage: Wie groß ist die W keit, dass sich ein Zwei-Qubit-System im Zustand b 1 b 2 befindet? 7 / 28

13 Von zu Zwei-Qubit-System quark Ein-Qubit-System: α α 1 1 p( 0 ) = α 2 0 und p( 1 ) = α 2 1 Analog ein Zwei-Qubit-System: umgeschrieben: z b1 b 2 = α α α α z b1 b 2 = ( ) ( ) }{{}}{{} b 1 b 2 b 1,b 2 α b1 b 2 2 = 1 Frage: Wie groß ist die W keit, dass sich ein Zwei-Qubit-System im Zustand b 1 b 2 befindet? Antwort: Antwort: α b1 b / 28

14 Von zu Geometrische Veranschaulichung der quark 1> v = cos! 0> + sin! 1> v = 1 sin!! 0> cos! Zu einem beliebigen Zeitpunkt befindet sich das System 3 in Zustand 0 mit W keit cos 2 θ in Zustand 1 mit W keit sin 2 θ 3 Koeffizienten aus R 8 / 28

15 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Das EPR-Paradoxon 4 veranschaulicht wie zwei Systeme 5 mithilfe der mechanik zeitgleich ihre Aktionen koordinieren können. zunächst nur Gedankenspiel [1935] paradox: nichts ist schneller als Licht John Bell [1964] macht daraus ein reales Experiment Version von Bells Experiment: Paritätsspiel Ratespiel Spielleiter und zwei Spieler Alice (A) und Bob (B) 4 benannt nach Einstein, Podosky und Rosen 5 räumlich getrennte 9 / 28

16 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Spielablauf 1 Spielleiter wählt zufällig zwei Bits x, y R {0, 1}] 2 x wird Alice und y Bob gezeigt 4 3 Alice und Bob entscheiden 5 mit welchen Bit a bzw. b sie dem Spielleiter antworten, a, b {0, 1} 4 Alice und Bob gewinnen x y = a b x y x y a b a b keiner kennt das andere Bit 5 ohne Informationsaustausch mit dem anderen Spieler 9 / 28

17 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Versuchsaufbau 1: kein gemeinsames system falls f(x) = a und g(y) = b 4, dann Gewinnw keit p = 1 2 beste Strategie: beide antworten unabhängig von der Eingabe immer mit 0, dann p = 3 4 x y x y a b a b p = p(x y = 0) p(a b = 0 a = b = 0) }{{}}{{} Antwort abhängig von Eingabe 9 / 28

18 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Versuchsaufbau 2: gemeinsames system im Zustand z EP R = A bekommt das erste Qubit q A, B das zweite Qubit q B einigen sich vorher: 1 A: x = 1, dann rotate(q A, π 8 ) 2 B: y = 1, dann rotate(q B, π 8 ) 3 x = 0 y = 0, dann tun sie nichts 4 Antwort: Lesen ihr Qubit q A,B = α A/B,0 0 + α A/B,1 1 und antworten mit den W keiten f(q A,0 ) = αa,0 2 für 0 und f(q A,1 ) = αa,1 2 für 1, B analog drei grundsätzliche Fälle 1 p xy (x = y = 0) = 1/4 2 p xy (x y) = 1/2 3 p xy (x = y = 1) = 1/4 9 / 28

19 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Fall 1: x = y = 0, Aktion: beide rotieren nicht ihre Qubit und messen es zum Zeitpunkt der Messung q EP R (t) = q EP R (t) = 00, θ = 0 f(q A ) = ( cos 2 0 sin 2 0 Auswertung: x y }{{} 0 0=0 ) = f(q B ) = = a }{{ } b 1 0 0=0 ( cos 2 ) 0 sin 2 = 0 q EP R (t) = 11, θ = π/2 ( cos 2 φ) ( 2 cos 2 θ ) 2 f(q A ) = = f(q B ) = = sin 2 θ 2 Auswertung: x y }{{} 0 0=0 p(x = y = 0) = 1 = a }{{ } b 1 1 1=0 sin 2 θ 2 ( ) 1 0 ( ) / 28

20 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Fall 2: x y, Aktion: einer rotiert, der andere tut nichts, o.b.d.a. A: x = 0 und B: y = 1 und messen zum Zeitpunkt der Messung q EP R (t) = q EP R (t) = 00, θ = 0 f(q A ) = ( cos 2 ) 0 sin 2 = 0 ( ) 1 0 B rotiert q B = cos π 8 0 sin π 8 1 und gibt aus ( cos 2 π ) 8 f(q B ) = sin 2 π 8 um zu gewinnen müssen beide Bits gleich sein p(x y 00 ) = 1 cos 2 θ 8 9 / 28

21 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Fall 2: x y, Aktion: einer rotiert, der andere tut nichts, o.b.d.a. A: x = 0 und B: y = 1 und messen zum Zeitpunkt der Messung q EP R (t) = q EP R (t) = 11, θ = π 2 ( cos 2 π ) 2 f(q A ) = = sin 2 π 2 ( ) 0 1 B rotiert q B = cos( π 2 π 8 ) 0 + sin( π 2 π 8 ) 1 = sin π cos π 8 und gibt aus ( sin 2 π ) f(q B ) = 8 cos 2 π 8 um zu gewinnen müssen beide Bits gleich sein p(x y 11 ) = 1 cos 2 θ 8 9 / 28

22 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Fall 3: x = y = 1, Aktion beide rotieren ihr Qubit und messen, gewinnen g.d.w. a b 1> + 1> - sin!/8 cos!/8!/ > cos!/8 sin!/8 0> Abbildung: Rotation aus 0 und 1 9 / 28

23 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Fall 3: x = y = 1, Aktion beide rotieren ihr Qubit und messen, gewinnen g.d.w. a b q AB = q 00 AB + q 11 AB = (cos π sin π 8 1 ) (cos π }{{} 8 0 sin π 8 1 ) }{{} q 0 A q 0 B + ( sin π cos π 8 1 ) (sin π }{{} cos π 8 1 ) }{{} q 1 A q 1 B = (cos 2 π 8 sin2 π 8 ) 00 2 sin π 8 cos π sin π 8 cos π (cos2 π 8 sin π 8 ) 11 Alle Koeffizienten betragen 1 2 = alle Zustände gleichwahrscheinlich mit Normalisierungsfaktor ( ) 2 = / 28

24 EPR-Paradoxon Ein Gedankenexperiment quark Zusammengefasst: p q = }{{} 4 2 x=y=0 }{{} x y cos 2 π }{{} > 0.75 = p notq x=y=1 = mit einem Qubit-System erhöht sich die Gewinnwahrscheinlichkeit im Ratespiel ohne Informationsaustausch 4 4 dieser fand vor Spielbeginn statt 9 / 28

25 rechnung quark Abbildung: 16-Qubit-computer der Firma D-Wave 10 / 28

26 Lineare Algebra zur Erinnerung quark komplexe Zahl z = a + ib, dann ist z = a ib die komplex Konjugierte zu z, i = 1 Norm u 2 = u = < u, u > Orthogonalität < u, v >= 0 u, v sind orthogonal Orthonormalbasis {v i } i [1..m] C m ist Orthonormalbasis von C m g.d.w. < v i, v j > i j = 0 und < v i, v j > i=j = 1 konjugiert Transponierte A zu A C m m mit A ij = Āji, i, j [1..m] unitäre Matrix eine Matrix A R m m ist unitär, wenn AA = I 11 / 28

27 register quark Speicher - ein m-qubit-register ist zusammengesetzt aus m q1 q2 - Zustandsraum: alle über die {0, 1} m = 2 m Grundzustände qm - Zustandsvektor v = v 0 m, v 0 m 1 1,..., v 1 m, x v x 2 = 1 - Messung: p( x ) = v 2 x und v x y = Kollaps: alle anderen Koeffizienten werden Null 12 / 28

28 operationen quark operation F Eine operation ist eine Funktion F, die für ein m-qubit-register einen Zustandswechsel durchführt und den Bedingungen genügt: F : C 2m C 2m Linearität F (v) = x v xf ( x ), v C 2m Normerhaltung v = 1 F (v) = 1 1 F kann durch eine unitäre 2 m 2 m -Matrix A beschrieben werden 2 da AA = I 6, hat jede Funktion eine Inverse 6 also unitär ist 13 / 28

29 operationen Elementare operation rechnung quark Definition: elementar Eine operation a ist elementar, wenn sie auf höchstens drei des Registers rechnet. a oder auch mehrere gatter Definition: berechnung Eine berechnung ist eine Sequenz von Elementaroperationen angewandt auf ein register. 14 / 28

30 operationen BQP: bounded error quantum polynomial time quark Definition: BQP Ein Boolesche Funktion f : {0, 1} {0, 1} ist in BQP, wenn es ein Polynom p : N N gibt, so dass f in p(n)-zeit quantenberechenbar ist. 14 / 28

31 No-Cloning-Theorem quark No-Cloning-Theorem Resultat der physik: Das Kopieren von einem Qubit auf ein anderes ist nicht möglich ohne das ursprüngliche zu verändern. Kopieren ist nicht umkehrbar, also keine gültige Funktion a b x := y, aber x := }{{} x =0 y a keine unitäre Matrix bildbar b es dürfen auch keine neuen hinzugenommen werden 15 / 28

32 No-Cloning-Theorem quark Beispiele: 1 CNOT (x) 7 xy x(x y) x y = x AND(b 1, b 2 ) x y = x b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b 3 (b 1 b 2 ) 3 F LIP (x, y), 0 1 und 1 0! y, b 3 müssen unberührte im Zustand 0 bzw. 1 sein! 7 controlled NOT 15 / 28

33 Hadamard- quark Hadamard- einstellige Funktion, die Zustände 0, 1 in überlagerte Zustände überführt ( ) 0 1 ( ) ( ) , Matrix: Schaltsymbol:, allgemein: b 0 + ( 1) b 1 Hadamard- auf ein m-qubit-register angewandt: b 1 2 m ( 1) xb x = 1 ( 1) x b x x {0,1} 2 m m x {0,1} m 16 / 28

34 Hadamard- quark Beispiele: 1 m = 1 2 m = 2 01 ( ) ( ) v1 = 1 ( ) v1 + v v 2 2 v 1 v m ( 1) x b x = 1 ( 1) x x 2 x {0,1} m x {0,1} 2 = 1 [ ] / 28

35 Integerfaktorisierung Algorithmus von Shor quark Primfaktorzerlegung Gegeben ein N N Finde Menge aller Primzahlfaktoren von N Bisher bester klassische Algorithmus: 2 (log N)1/3 Schritte Algorithmus von Shor: in BPQ Es gibt ein algorithmus, der ein gegebenes N die Primzahlzerlegung in poly(log N)) Zeit ausgibt. Der Algorithmus von Shor [1994] gehört zur Klasse der Monte-Carlo- ist in wenigen Fällen falsch zwei Teile: klassischer Teil (Reduktion) und teil 17 / 28

36 Algorithmus von Shor Klassischer Teil Reduktion auf Bestimmung der Ordnung quark Behauptung Problem der Primzahlfaktorisierung kann auf das Problem der Ordnungsbestimmung reduziert werden Definition: Ordnung Die Ordnung r ist die kleinste natürliche Zahl mit der ein Element a einer Gruppe G mit sich selber verknüpft werden muss, damit gilt: a r = e. e sei das neutrale Element von G. im Fall der Primfaktorzerlegung einer Zahl N gilt: a r 1( mod N) es reicht einen Faktor zu finden und die Anwendung zu wiederholen 18 / 28

37 Algorithmus von Shor Klassischer Teil Reduktion auf Bestimmung der Ordnung quark Sei dies vom Algorithmus sicher gestellt 8 : 1 wähle zufällig 1 < A < N 2 Bestimme Ordnung r, so dass 3 r gerade und A r/ k 1 5 N, betrachte A r 1( mod N) A r 1 0 ( } A r/2 {{ 1 } )( A } r/2 {{ + 1 } ) = A } r {{ 1 } k 4 N+k 5 0 aus 2. k 2 N+k 3 0 k 1 N 0 k 4 Nk 2 N + k 4 Nk 3 + k v k 2 N + k 5 k 3 0 = N } {{ Rest } + k 5 k 3 0 = A }{{} r/2 1 enthält Teiler falls nicht wieder zu Schritt 1 18 / 28

38 Algorithmus von Shor Klassischer Teil Algorithmus quark Shor s Algorithm Eingabe: N N, Ausgabe: ein Primfaktor 1 Wähle ein A zufällig aus [2..N 1] 2 Bestimme g = ggt (A, N) mit euklidischen Algorithmus a (a) falls g 1 gebe g zurück und terminiere (b) sonst weiter 3 3 Bestimme mit teil Ordnung r von A b 4 zurück zu 1. falls c (a) r ungerade (b) A r/2 1(%N) 5 gebe ggt (A r/2 1, n) zurück a siehe Anhang im Handout b kleinstes r, so dass A r 1(%N) c W keit < 3/4 19 / 28

39 Algorithmus von Shor teil quark Kernstück ist die -Fourier-Transformation (, analog zur FFT) jedes sich wiederholende Ereignis f lässt sich durch Sinus/Kosinuswellen darstellen 9 ˆf(x) = 1 M y Z M f(x)ω xy mit ω = e 2πi/M Transformation von f in die Fourier-Basis {χ x } x ZM wenn f periodisch ist, dann werden die Koeffizienten zur Amplitude korrespondierender Basen groß Bestimmung der hauptsächlich vorkommenden Frequenzen im Signal und deren Amplituden erlaubt Detektion der Perioden von zuständen 9 e iφ = cos φ + i sin φ 20 / 28

40 Algorithmus von Shor teil quark Lemma zur -Fourier-Transformation Für jedes m und M = 2 m gibt es einen algorithmus, der O(m 2 ) elementare operationen benötigt und eine register vom Zustand f = x Z m f(x) x nach ˆf = y Z m ˆf(x) x mit ˆf(x) = 1 M y Z m ω xy f(x) Z M = {0, 1, 2,..., M 1} Begründung: F T M lässt sich in zwei Teilprobleme der Größe M/2 trennen. 21 / 28

41 Algorithmus von Shor teil quark Zwei reichen zur Durchführung einer 1 Hadamard- operierend auf dem j-ten Qubit R j = Phasengatter, operierend auf j und k S j,k = e iθ k j θ k j = π/2 k j 22 / 28

42 Analyse teil Ordnung quark Algorithmus zur Ordnungsbestimmung Eingabe: N und A < N, Ausgabe: Ordnung r, Register: m + polylog(n) mit m = 5 log N 1 Wende die auf die ersten m an 2 Berechne x y x y (A x (%N)) 3 Miss das zweite Register um y 0 zur erhalten 4 Wende die auf das erste Register an 5 Miss das erste Register x Z M und finde rationale x Approximierung a/b für die Zahl M, falls Ab = 1(%N), gebe b aus 23 / 28

43 Analyse teil Ordnung quark Algorithmus 1 der ersten m 2 x y x y (A x (%N)) 3 y 0 aus Messung von 2. Register 4 auf ersten m 5 Messung auf erstem Register Zustand, initial: 0 m+n M x Z M x 0 n 1 M x Z M x A x (%N)) 1 K 1 K l=0 x 0 + lr y }{{} 0, mit stark period. Signal K = (M 1 x 0 )/r 1 ( MK x Z n K 1 l=0 ) ω (x0+lr)x x y 0 23 / 28

44 quark Stärker formuliert (strong form of CT thesis) Jedes physikalisch realisierbare Rechenmodell kann von einer TM mit höchstens polynomiellen Aufwand simuliert werden. Realisierbarkeit von Q Nur wenn Bauanleitung für Q vorhanden Entscheidung treffen, ob Q effizient simulierbar durch TM 24 / 28

45 quark Stärker formuliert (strong form of CT thesis) Jedes physikalisch realisierbare Rechenmodell kann von einer TM mit höchstens polynomiellen Aufwand simuliert werden. Realisierbarkeit von Q Nur wenn Bauanleitung für Q vorhanden Entscheidung treffen, ob Q effizient simulierbar durch TM Ja TM bleibt bisher mächtigstes Rechenmodell Nein CT-These widerlegt Verschlüsselungsalgorithmen der Klasse QMA a müssen her a analog zu NP für TMs 24 / 28

46 Und wann gibt s den ersten rechner bei Saturn? Steuerung von quark Kandidaten Ionenfallen optische/magnetische Felder um Ionen einzufangen Optische Fallen Lichtwellen um Partikel einzufangen und zu steuern punkte verwenden Halbleitermaterialen, die Elektronen enthalten Stickstoff-Fehlstellen im Diamanten (NV-Zentren), eingeschlossenes Stickstoffatom 25 / 28

47 von rechnung quark rechnungen können auf einem herkömmlichen PC simuliert werden, siehe C-Bibliothek Libquantum Halteproblem auch mit computer nicht lösbar Klasse der en auf einer TM ist PSPACE, also Theorem BQP PSPACE Idee: Berechnung der Koeffizienten mittels Rekursion (Wiederverwendung von Speicherplatz) 26 / 28

48 quark Shor:1994 P. W. Shor, Polynomial Time Algorithms For Prime Factorization And Discrete Logarithms On A Quantum Computer, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 26 (1997) 1484 [arxiv:quant-ph/ ]. 27 / 28