Nichtlineare modellprädiktive Regelung

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1 Nichtlineare modellprädiktive Regelung Seminararbeit von Sabine Böhm, Miriam Kießling FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK MATHEMATISCHES INSTITUT Datum: 23. und 30. Mai 2006 Betreuung: Prof. Dr. L. Grüne

2 Inhaltsverzeichnis Tabellenverzeichnis Abbildungsverzeichnis I III 1 Nichtlineare modellprädiktive Regelung Einführung Variablen-Transformation LMPC mit multiplen linearen Modellen Indirekte Lösung von NMPC Verwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Verfahren zur Lösung des Randwertproblems Dynamische Programmierung nach Bellman direct multiple shooting Erweiterter Kalman - Filter Anwendungen: Reinst-Destillationsanlage I

3 II INHALTSVERZEICHNIS

4 Tabellenverzeichnis III

5 IV TABELLENVERZEICHNIS

6 Abbildungsverzeichnis 1.1 nichtkonvexes Problem Linearisierung durch Variablen - Transformation LMPC mit multiplen linearen Modellen LOLIMOT LOLIMOT-Baum Verwendung des PMP single shooting multiple shooting Destillations-Kolonne PI-Regler Ziegler-Nichols, Wendetangentenverfahren NMPC-Regler Vergleich NMPC PI bei Änderung der Zuflussrate

7 2 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

8 Kapitel 1 Nichtlineare modellprädiktive Regelung 1.1 Einführung Während die lineare modellprädiktive Regelung in vielen Anwendungen zu tragen kommt, ist die nichtlineare eher wenig vertreten. Zwar sind verfahrenstechnische Prozesse in der Regel nichtlinear, viele können aber, ohne dass zu große Abweichungen entstehen, linearisiert und durch lineare MPC, für die es schon eine ausgereifte Theorie gibt, geregelt werden. Jedoch ist das bei einigen Anwendungen nicht der Fall. Es können zu große Abweichungen von der Praxis auftreten, so dass andere Lösungswege in Betracht gezogen werden müssen. Dies ist zum Beispiel bei Reinstdestilationsanlagen der Fall, bei denen in einer engen Umgebung ihres Betriebspunktes eine starke lokale Nichtlinearität auftritt. Aber auch bei Prozessen, die lokal nur schwach nichtlinear sind, jedoch auf einem weiten Arbeitsbereich betrieben werden sollen, ist es schwierig eine geeignete Linearisierung zu finden. (z.b. bei Mehrprodukt- Polymerisationsanlagen, Krafterkanlagen mit häufigen großen Lastenwechseln) Unterschied von NMPC zu linearer MPC: Größerer Aufwand bei der Entwicklung des Prozessmodells Parameteridentifikation nichtlinearer dynamischer Systeme schwieriger größerer Aufwand zur Lösung von Optimierungsproblems (nichtkonvexes Problem) Stabilität, Optimalität und Robustheit viel komplizierter 3

9 4 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG Genauere Betrachtung des konvexen Problems: Zur Lösung des Problems muss Konvexität gelten, da bei konvexen Programmen gilt: Jeder lokale Minimierer ist ein globaler Minimierer globale Lösung Problem: nichtlineare Systeme sind im Allg. nichtkonvex Abbildung 1.1: nichtkonvexes Problem Das zu lösende Problem ist wie gewohnt in der Form eine DGL gegeben. Definition 1.1 (DGL). mit den Eingangs- und Zuständen: ẋ(t) = f(x(t), u(t)), x(0) = x 0 (1.1) u(t) U, t 0 x(t) X, t 0 (1.2) wobei X R n die Menge der durchführbaren Eingänge und U R m die der durchführbaren Zustände ist. Dabei er erfüllen diese die folgenden Annahmen: A(1) U R m ist kompakt, X R n ist zusammenhängend und (0, 0) X U A(2) Das Vektorfeld f : R n R m R n ist stetig erfüllt f(0, 0) = 0 und ist lokal Lipschitz

10 1.1. EINFÜHRUNG 5 stetig in x. A(3) die Differenzialgleichung hat eine eindeutige stetige Lösung für jede Anfangsbedingung in der Umgebung von Interesse und für jede stückweise stetige und rechtseitig stetige Funktion u( ) : [0, T P ] U. Definition 1.2 (Minimierungsproblem). mit min J(x(t), u( ); T p ) (1.3) u( ) J(x(t), u( ); T p ) := t+tp t f 0 (x(τ), u(τ))dτ) (1.4) finite Form für Stabilität infinite Form (T p ) (Bellman-Prinzip: Durchführbarkeit & Optimalität in einem Berechnungsumlauf Durchführbarkeit & Optimalität im nächsten aber in der Praxis infinite Form selten, da die Berechnung des open-loop OPC zu langsam ist, für die finite Form wäre ein langer Horizont nötig, um infiniten nachzuahmen. (Bei kurzen Horizont können Lösungen zu verschieden sein) Quasi-Infinite-Horizont-NMPC mit J(x(t), u( ); T p ) := unter den Nebenbedingungen: Hierbei ist E die Endregion t+tp t f 0 (x(τ), u(τ))dτ) + g(x(t + T p )) (1.5) ẋ(τ) = f(x(τ), u(τ)), x(t) = x(t) u(τ) U, τ [t, t + T p ] x(τ) X τ [t, t + T p ] x(τ) E Variablen-Transformation Es ist möglich durch Anwendung nichtlinearer Transformationsbeziehungen auf die Regelund/oder Stellgrößen eine Linearisierung der Zusammenhangs zwischen diesen Größen zu erzeugen. Prinzip:

11 6 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG Abbildung 1.2: Linearisierung durch Variablen - Transformation Dadurch erhält man ein lineares Ersatz -System, für welches ein linearer MPC-Regler entwickelt werden kann. Hierbei wird g( ) in der Form eines Vorfilters gebraucht und auch zur Transformation des Feedback verwendet. Aber es ist schwierig geeignete Transformationsbeziehungen g( ) und q( ) zu finden, außerdem sind sie meist nur auf einen bestimmten Prozess anwendbar. Man muss also diese immer neu entweder aus einem theoretischen Prozessmodel, durch Experimente oder Simulationsstudien entworfen werden. Hierbei ist vor allem Expertenwissen gefragt. Die grundlegenden Ideen der Transformationsmethode werden nun im Folgenden an einem nichtlinearen Modell gezeigt. ẋ(t) = dx dt = f(x, u) (1.6) wobei f irgendeine nichtlineare Funktion von x (die Zustandsvariable des Systems) und u (die Eingangskontrollvariable) ist. Nun zerlegt man die Funktion, in einen Teil, der nur von x abhängt, und den Rest. Dann denkt man sich eine Transformation: dx dt = f(x, u) = c 1f 1 (x) + c 2 f 2 (x, u) (1.7) z = g(x) (1.8) wobei g( ) so gewählt wird, dass das Prozessmodell, welches mit den ursprünglichen Variablen nichtlinear ist, nun entweder die Form dz dt = az + bv (1.9) oder dz dt = a + bv (1.10)

12 1.1. EINFÜHRUNG 7 hat, welche in z und v linear sind. Durch die Ableitung von z = g(x) erhält man: dz dt = dz dx dx dt wenn man in diese Gleichung die Zerlegte Differenzialgleichung einsetzt, ergibt sich: dz dt = c 1f 1 (x) dz dx + c 2f 2 (x, u) dz dx Nun wählt man z = g(x) so, dass gilt: dz dx = z f 1 (x) (1.11) (1.12) (1.13) wobei f 2 (x, u) dz dx = v (1.14) nach Einsetzen von Gleichung (1.14) und (1.13) in (1.12) ist diese identisch mit (1.9), wobei a = c 1 und b = c 2. Durch Anwendung von Variation der Konstanten auf (1.14) erhält man: oder und schließlich dz z = lnz = z = exp[ dx f 1 (x) dx f 1 (x) dx f 1 (x) ] Durch Einsetzen von Gleichung (1.13) in (1.14) und Umformung erhält man: f 2 (x, u) = vf 1(x) z wobei v nun die Kontrolle (also u) im Ersatz-System darstellt. (als alternative kann man auch die nichtlineare Gleichung (1.12) zur linearen Gleichung (1.10) transformieren, wobei hier dann z = dx und f f 1 (x) 2(x, u) = vf 1 (x) gilt. Jeweils die letzte Gleichung löst man dann nach u auf, um u = q(x, v) zu erhalten. Dadurch erhält man ein lineares Problem, das durch MPC gelöst werden kann LMPC mit multiplen linearen Modellen Bei dieser Form der Regelung wird der gesamte Arbeitsbereich in n Teilbereiche untergliedert, für die jeweils ein lineares Prozessmodell identifiziert wird. Die folgende Abbildung zeigt das Grundprinzip dieser Vorgehensweise:

13 8 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG Abbildung 1.3: LMPC mit multiplen linearen Modellen Es werden alle Modelle parallel zur Vorhersage der Regelgrößen y herangezogen und die Vorhersagen der einzelnen Modelle gewichtet aufsummiert. Daraus ergibt sich ein gewichteter Mittelwert ŷ = n i=1 α iŷ, wobei die Gewichtsfaktoren α i rekursiv aus den Residuen ɛ j,k = (y ŷ i ) ermittelt werden können, dabei sind α i [0, 1] und α i = 1. (Je größer α i, desto besser beschreibt das i - te Teilmodell, die aktuell Verfahrensweise.) α j,k = p j,k N m=1 p m,k wobei p j,k = exp( 1 2 ɛt j,k Kɛ j,k)p j,k 1 P N m=1 exp( 1 2 ɛt m,k Kɛ m,k)p m,k 1, dabei ist K die Konvergenzmatrix. Die größte Herausforderung bei dieser Lösungsmethode besteht in der Bestimmung der n Teilmodelle und die geeignete Unterteilung des Arbeitsbereiches. Als einfachste Zerlegungsmethode kann die Unterteilung des gesamten Arbeitsbereichs in ein gleichmäßiges mehrdimensionales Gitter im Raum der Eingangsvariablen (umfasst Steuergrößen und bekannte Störgrößen) gewählt werden. Aus den Gitterpunkten wird daraus jeweils ein lineares Modell identifiziert. Jedoch führt dies zu einer riesigen Zahl von Modellen, die dann gefunden werden müssen. Daher gibt es systematische Konstruktionsverfahren, die zu einer geringeren Zahl von Modellen führen. Ein besonders effizientes ist das so genannte LOLIMOT-Verfahren (Local Linear Model Tree), für das auch eine Matlab-Toolbox existiert. Hierbei wird der Eingangsraum sukzessive geteilt. Zuerst wird er gesamte Raum halbiert, dann der mit der größten Kostenfunktion wieder in zwei Hälften und so weiter...

14 1.2. INDIREKTE LÖSUNG VON NMPC 9 Abbildung 1.4: LOLIMOT Abbildung 1.5: LOLIMOT-Baum 1.2 Indirekte Lösung von NMPC Bei der indirekten Lösung wird der MPC - Algorithmus direkt auf das nichtlineare System angewandt. Als Problem erweist sich, dass hierbei dass nun ein nichtlineares Kostenfunktional unter nichtlinearen Nebenbedingungen minimiert werden muss. Durch die Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips oder durch Dynamische Programmierung wird dieses trotzdem möglich.

15 10 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG Verwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Abbildung 1.6: Verwendung des PMP Definition 1.3 (Randbedingungen). Sei r N, 0 r 2n. Die Bedingung ψ(x(t 0 ), x(t f )) = 0 (1.15) für Anfangs- und Endzustand mit einer (bezüglich x(t 0 ) und x(t f )) stetigen differenzierbaren Funktion ψ : R n R n R r wird eine allgemeine Randbedingung genannt. Definition 1.4 (Optimaler Steuerprozess in Bolza-Form). Das Problem Minimiere unter den Nebenbedingungen J(x, u) = g(x(t 0 ), x(t f )) + tf t 0 f 0 (x(t), u(t), t)dt heißt optimaler Steuerprozess ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), ψ(x(t 0 ), x(t f )) = 0, u(t) U, t [t 0, t f ], Definition 1.5 (optimale Lösung). Ein zulässiges Funktionenpaar (x, u ) zur Endzeit t f heißt optimale Lösung des optimalen Steuerprozesses, falls J(x, u ), falls J(x, u ) J(x, u) für alle zulässigen Paare (x, u) zur Endzeit t f gilt.

16 1.2. INDIREKTE LÖSUNG VON NMPC 11 Definition 1.6 (Hamilton-Funktion und adjungierte Variable). Sei λ 0 R und λ R n. Dann heißt H(x, λ, u, t) := λ 0 f 0 (x, u, t) + λ T f(x, u, t) die Hamilton-Funktion zum Steuerprozess. Der Spaltenvektor λ R n wird adjugierte Variable zu x genannt. Satz 1.7 (Pontyraginsches Minimumprinzip). Für eine optimale Lösung (x, u ) existieren eine reelle Zahl λ 0 0, eine stetig und stückweise stetig differenzierbare Funktion λ : [t 0, t f ] R n, sowie ein Vektor ρ R r, so dass gelten: 1. (λ 0, λ T (t), ρ T ) 0, t [t 0, t f ] 2. An allen Stetigkeitsstellen t von u in [t 0, t f ] gelten: Minimumbedingung: Adjungierte Differentialgleichungen: 3. Transversalitätsbedingung: H(x (t), λ(t), u (t), t) = min u U H(x (t), λ(t), u, t), λ T = x H(x (t), λ(t), u (t), t), λ(t 0 ) = x(t0 )(λ 0 g(x (t 0 ), x (t f )) + ρ T ψ(x (t 0 ), x (t f ))) T, λ(t f ) = x(tf )(λ 0 g(x (t 0 ), x (t f )) + ρ T ψ(x (t 0 ), x (t f ))) T, Verfahren zur Lösung des Randwertproblems Einfach - Schießverfahren Gegeben sei das Randwertproblem ẋ(t) = f(x, t), ψ(x(t 0 ), x(t f )) = 0. (1.16)

17 12 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG Es wird ein Anfangswert s R n für das Anfangswertproblem ẋ = f(x, t), x(t 0 ) = s, (1.17) bestimmt, so dass die Lösung x(t) = x(t; s) den Randbedingungen genügt, Hierzu ist eine Nullstelle der Funktion ψ(x(t 0 ; s), x(t f ; s)) ψ(s, x(t f ; s)) = 0. (1.18) F (s) := ψ(s, x(t f ; s)) (1.19) zu bestimmen. Die Nullstellenbestimmung kann mit dem Newtonverfahren oder newtonähnlichen Verfahren erfolgen. x(t f, s) wird in jedem Iterationsschritt neu bestimmt. Die Differenz der durch die Anfangsschätzung bestimmten Lösung in t f d.h. x(t f, s) und der bekannten Endbedingung x(t f ) wird zu 0 gerechnet. Abbildung 1.7: single shooting Das Anfangswertproblem kann durch folgende Verfahren gelöst werden: Einschrittverfahren (Polygonzugverfahren von Euler, Runge-Kutta-Verfahren) Mehrschrittverfahren (Adams-Bashforth, Adams-Moulton) Extrapolationsverfahren

18 1.2. INDIREKTE LÖSUNG VON NMPC 13 Schrittweitensteuerung Problematisch bei der Lösung des Randwertproblems durch das Einfachschießverfahren ist die Tatsache, dass erhebliche Ungenauigkeiten auftreten können, wenn x(t) = x(t; s) sehr empfindlich von s abhängt. Mehrfach - Schießverfahren Um das Problem der von s empfindlich abhängenden Lösung zu umgehen, wird dazu übergangen eine Unterteilung des Intervalls [t 0, t f ] zu wählen und auf diesen Teilintervallen das Einfachschießverfahren anzuwenden. An mehreren Stellen t 0 = t 1 < t 1 < t 2 <... < t M = t f (1.20) werden die Werte s k = x(t k ), k = 1,..., M 1, (1.21) der exakten Lösung x(t) des Randwertproblems gleichzeitig iterativ berechnet. x(t; t k, s k ) bezeichne dazu die Lösung des Anfangswertproblems ẋ = f(x, t), x(t k ) = s k. (1.22) Die Vektoren s k, k = 1,..., M 1 sind so zu bestimmen, dass die aus den x(t; t k, s) stückweise zusammengesetzte Funktion (1.23) stetig ist und die Randbedingungen ψ(x(t 0 ), x(t f )) = 0 erfüllt. Abbildung 1.8: multiple shooting

19 14 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG Man erhält die folgenden n(m-1) Bedingungen x(t k+1 ; t k, s k ) = s k+1, k = 1,..., M 2, ψ(s 1, x(t M ; t M 1, s M 1 )) = 0, (1.24) für die n(m 1) unbekannten Komponenten s (j) k, j = 1,..., n, k = 1,..., M 1, der s k, F (s) := s k = (s (1) k, s(2) k,..., s(n) k )T (1.25) Insgesamt gilt für s = (s 1,..., s M 1 ) T das Gleichungssystem F 1 (s 1, s 2 ) F 2 (s 2, s 3 ). F M 2 (s M 2, s M 1 ) F M 1 (s 1, s M 1 ) := x(t 2 ; t 1, s 1 ) s 2 x(t 3 ; t 2, s 2 ) s 3. x(t M 1 ; t M 2, s M 2 ) s M 1 ψ(s 1, x(t M ; t M 1, s M 1 )). Folgende Verfahren können zur Lösung dieses Gleichungssystems angewandt werden: Newton Quasi - Newton = 0 Reduzierung des Rechenaufwands durch Verwendung von Broyden - Approximationen zur Bestimmung von F (s) Dynamische Programmierung nach Bellman Die Grundlage der dynamischen Programmierung ist das Bellmansche Optimalitätsprinzip: Satz 1.8 (Bellmansches Optimalitätsprinzip:). Die Gesamtstrategie kann nur optimal sein, wenn jede Reststrategie optimal ist, egal von welchem Zwischenzustand sie ausgeht. Ausgehend von diesem Satz wird mittels der Bellmanschen Rekursionsformel ausgehend von k das jeweils minimale Zielfunktional I k (x k, u k ) für jeden Zwischenschritt bestimmt. Nach dem Bellmanschen Optimalitätsprinzip ist daher das aus diesen zusammengesetzte Zielfunktional J k (x k) minimal.

20 1.3. DIRECT MULTIPLE SHOOTING 15 Satz 1.9 (Bellmansche Rekursionsformel:). J k(x k ) = min uk [ Ik (x k, u k ) + J k+1 {g k (x k, u k )} ], k = N 1,..., 1, 0 (1.26) Im Gegensatz zum PMP kann die Dynamische Programmierung ohne weiteres auch angewandt werden, wenn Zustandsbeschränkungen vorliegen. Das Pontryaginsche Minimumprinzip wird dann sehr kompliziert. Außerdem wird direkt das optimale Steuerungsgesetz geliefert was beim PMP nicht der Fall ist. Jedoch wird bei der Implementierung der Dynamischen Programmierung sehr viel Speicherplatz und Rechenzeit benötigt, weshalb sie auch momentan noch sehr wenig Anwendung findet. 1.3 direct multiple shooting Bei direkten Verfahren wird der optimale Steuerprozess durch eine Diskretisierung in ein nichtlineares Optimierungsproblem überführt. Beim direct multiple shooting wird: 1. der Prädiktionshorizont [t 0, t f ] in N Teilintervalle unterteilt 2. für jedes Teilintervall ein konstanter Wert ū i angenommen 3. das DAE - System in N Abschnitte zerlegt Man bekommt neue Variablen s i für die Anfangszustände jedes Teilintervalls und hat dann folgende Gleichungen zu lösen: x i (τ) = f( x i (τ), ū i ) (1.27) 0 = g( x i (τ), u i ) α i (τ)g( s i, ū i ) (1.28) x i (τ i ) = s i (1.29) Die s i werden als zusätzliche unabhängige Variblen aufgefasst. unter Nebenbedingungen minūi, s i {J = N 1 i=0 J i } (1.30)

21 16 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG 1.4 Erweiterter Kalman - Filter Da nicht alle Zustandsgrößen messbar sein müssen, der MPC - Algorithmus jedoch für die Prädiktion diese benötigt, kann es sein, dass man Zustandsgrößen rekonstruieren muss. Dies kann im nichtlinearen Fall mit dem erweiterten Kalman - Filter geschehen. Definition 1.10 (Prozessmodell:). x(t) = f( x(t), ū(t)) + ξ(t) (1.31) ȳ(k) = ḡ( x(k), ū(k)) + ν(k) (1.32) Definition { 1.11 (Präzisionsmatrix:). E [ x(t = 0) ˆ x(t = 0) ] [ x(t = 0) ˆ x(t = 0) ] } T = P (t = 0) Filtergleichungen: ˆ x(k k) = ˆ x(k k 1) + K(k)[ȳ(k) ḡ(ˆ x(k k 1), ū(k 1))] (1.33) K(k) = P (k k 1)H T (k) [ H(k)P (k k 1)H T (k) + R ] 1 (1.34) P (k k) = [I K(k)H(k)] P (k k 1) (1.35) mit H(k) = ḡ( x(k), ū(k))/ x(k) x=ˆ x(k k 1) Prädiktionsgleichungen: ˆ x(k + 1 k) = ˆ x(k k) + P (k + 1 k) = P (k k) + mit F (t) = f( x(t), ū(k))/ x(t) x=ˆ x(t k) tk+1 t k f( x(t), u(t))dt (1.36) tk+1 t k [ F (t)p (t k) + P (t k)f T (t) + Q ] dt (1.37)

22 1.5. ANWENDUNGEN: REINST-DESTILLATIONSANLAGE Anwendungen: Reinst-Destillationsanlage Im folgenden wird am Beispiel einer Reinst-Destillationsanlage die Anwendbarkeit NMPC gezeigt. Das Ziel hierbei ist die Trennung von Gemisch aus Methanol und n-propanol. Dafür wird eine Destillationkolonne verwendet die aus 40 Böden besteht. Am Kolonnenboden wird das Gemisch durch einen Verdampfer erhitzt. Der überhitzte Dampf wird vollständig in einem wassergekühlten Kondensierer kondensiert und bei genügender Reinheit abgeführt, sonst in die Kolonne rückgeführt. Abbildung 1.9: Destillations-Kolonne Während des Experiments werden folgende Daten online gemessen und überwacht: Temperatur: des Zufluss- und Rückflussstromes, am Kondensierer, am Verdampfer und an jedem Boden der Kolonne Volumenflussrate: des Zuflusses, des Rückflusses, des Destillates, und des Bodenproduktes und schließlich noch der Kolonneninnendruck. Als steuerbare Störung verwendet man zwei Tank mit unterschiedlichen Gemischkonzentrationen. Das Gemisch wird dann vorgeheizt am Zuflussboden zugeführt. Prozesseingänge für Kontrollierung sind: Q: Hitzezufuhr durch den elektrischen Verdampfer L vol : Rückflussfließrate die Reinheitskontrolle des Destillats (2 Möglichkeiten: Messungen am Destillat (online schlecht möglich, da zu ungenau), Messung der Temperatur an den Böden (14 und 28) Für die Kolonne gelten, solange die molare Flüssigkeitsmenge n l konstant ist, die folgende Bedingungen:

23 18 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG 0 = L l+1 L l + V l 1 V l + F l (1.38) 0 = L 1 L 0 V 0 (1.39) 0 = V N L N 1 D (1.40) dabei bezeichnet L den Flüssigkeitsfluß V den Volumenfluß des Dampfes und D den des Destillates, l = 1, 2,..., N sind die einzelnen Böden, l = 0 wird für den Verdampfer und l = N + 1 für den Kondensierer gebraucht. Das Materialkomponenten Gleichgewicht ist: Energie-Bilanz: n l ẋ l,k = L l+1 x l+1,k L l x l,k + V l 1 y l 1,k V l y l,k + F l x F,l,k (1.41) n 0 ẋ 0,k = L 1 x 1,k L 0 x 0,k V 0 y 0,k (1.42) n N+1 ẋ N+1,k = V N y N,k (L N 1 + D)x N+1,k (1.43) n l ḣ L l = L l+1 h L l+1 L l h L l + V l 1 h V l 1 V l h V l + F l h L F,l n 0 ḣ L 0 = L 1 h L 1 L 0 h L 0 V 0 h V 0 + Q Q loss x l und y l bezeichnen hierbei die Konzentrationen der Flüssigkeit und des Dampfes, dabei kann man h l (die Enthalpie) und y l durch algebraische Umformungen eliminieren. Das resultierende Modell hat 42 Differentialgleichungen f und 122 algebraische Gleichungen g: ẋ(t) = f(x(t), z(t), u(t), p) 0 = g(x(t), z(t), u(t), p) wobei gilt: u = (L vol, Q) T : Kontrollvektor z = (L 1,..., L N, V 1,..., V N, T 0,..., T N+1 ) T : algebr. Zustandsvektor wobei p der Vektor aller Systemparameter ist.

24 1.5. ANWENDUNGEN: REINST-DESTILLATIONSANLAGE 19 Zwei Lösungsmöglichkeiten: (a) Traditionell mit PI-Reglern (b) mit NMPC (Direct Multiple Shooting) zu Fall (a) Abbildung 1.10: PI-Regler Ein PI-Regler ist enthält mindestens ein Integrierglied und wird wegen seiner hohen stationären Genauigkeit gerne angewendet, ihr Nachteil: sie neigen zu relativ starken Überschwingen. Sie haben als Kontrollfunktion die Form: u(t) = K P e(t) + K P T I t 0 e(τ)dτ dabei ist e(t) die Funktion des noch vorhandenen Fehlers (Tref 28 T 28 bzw. Tref 14 T 14 ), K P der Reglerproportionalbeiwert und T I eine Zeitkonstante. Diese Konstanten werden online durch Ziegler-Nichols bestimmt: 2 T K p = 0, 45 K s T t, T I = 3.33 T t Abbildung 1.11: Ziegler-Nichols, Wendetangentenverfahren

25 20 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG zu Fall (b): Die erwünschten Zustände x s, z s und die dazugehörige Kontrolle u s, wie auch die Temperaturen sollen die folgenden Gleichungen erfüllen: f(x s, z s, u s, p) = 0 g(x s, z s, u s, p) = 0 T (z s ) T ref = 0 dabei gilt T (z) := (T 14, T 28 ) T Diese drei Gleichungen werden in einem Vektor r zusammengefasst: Das optimale Kontrollproblem lautet dann: r(x s, z s, u s, p) = 0 t0 +T p min u( ),x( ),p t 0 l(x(t), z(t), u(t), u s, p) 2 2dt (1.44) dabei gilt: l(x, z, u, u s, p) := ( T (z) Tref R(u u s ) ) wobei R = diag(0.05 Chl 1, 0.05 CkW 1 ) mit den Anfangswertbedingungen: x(t 0 ) = x 0 p = p 0 = konstant mit alle Zustands- und Kontroll-Ungleichheitsbedingungen, zusammengefasst zu: c(x(t), z(t), u(t), p) 0 und den obigen Annahmen.

26 1.5. ANWENDUNGEN: REINST-DESTILLATIONSANLAGE 21 Abbildung 1.12: NMPC-Regler Für das Multiple-Shooting-Verfahren muss das DAE-System noch etwas modifiziert werden, nämlich: ẋ i (t) = f(x i (t), z i (t), q i, p) 0 = g(x i (t), z i (t), q i, p) e β t t i t i+1 t i g(s x i, s z i, q i, p) x i (t i ) = s x i, z i (t i ) = s z i wobei q i die Kontrollparameter sind. β wurde hier eingeführt um ein besseres Verhalten zu realisieren. Das zu lösende Problem ist nun: min ξ N 1 i=0 ti+1 t i l(x i (t), z i (t), q i, u s, p) 2 2dt (1.45) dabei ist u s := q n 1 und ξ = (s x 0,..., s x N, sz 0,..., s z N 1, q 0,..., q N 2, x s, z s, u s, p) ist der Vektor der unbekannten. ausserdem gelten die Nebenbedingungen: s x 0 = x 0, p = p 0, s x i+1 = x i (t i + 1; s x i, s z i, q i, p), i = 0,..., N 1 0 = g(s x i, s z i, q i, p), i = 0,..., N 1 0 c(s x i, s z i, q i, p), i = 0,..., N 1 r(x s, z s, u s, p) = 0 Linearisierung zu einem quadratischen Programm (hierbei x 0, p 0 iterativ angepasst): ξ = ( s x 0,..., s x N, sz 0,..., s z N 1, q 0,..., q N 2, x s, z s, u s, p) min ξ N 1 i=0 ti+1 t i l i (t) + L i (t)( s xt i, s zt i, q T i, u T s, p T ) T 2 2dt

27 22 KAPITEL 1. NICHTLINEARE MODELLPRÄDIKTIVE REGELUNG unter den Nebenbedingungen: s x 0 = (x 0 ) k+1, p = (p 0 ) k+1 p, s x i+1 = x i + X i ( s x i T, s z i T, q T i, p T ) T, i = 0,..., N 1 0 = g i + G z i s z i + G i ( s x i T, q T i, p T ) T, i = 0,..., N 1 0 c i + C i ( s x i T, s z i T, q T i, p T ) T, i = 0,..., N 1 0 = r + R( x T s, z T s, u T s ) T + R p p aus ξ k bestimmt man (q 0 ) k+1 := (q 0 ) k + ( q 0 ) k und ξ k+1 = ξ k + ξ k Beim Vergleich der Reaktion der Regler auf eine Änderung der Zuflussrate sieht man, dass der NMPC Regeler es schafft mindestens gleichwertige Ergebnisse zu realisieren und bei großen Änderungen sogar schneller zurückregelt als der PI-Regler, was vor allem auf der schnellereren und genaueren Regelung beruht. Fazit: die Verwendung von NMPC statt alternativen Methoden ist sinnvoll. Abbildung 1.13: Vergleich NMPC PI bei Änderung der Zuflussrate

28 1.5. ANWENDUNGEN: REINST-DESTILLATIONSANLAGE 23 Literatur: Mayne: NMPC: Challenges and Opportunities, Progress in Systems and Control Theory, Vol. 26, pp.23-44, 2000 Dittmar et al.: Modellbasierte prädiktive Regelung, Oldenburg Verlag München Wien, 2004 Allgöwer et al.: Introduction to NMPC, 21st Benelux Meeting on Systems and Control, Veldhoven, 2002 Fontes: A General Framework to design stabilizing NMPC, Systems and Control Letters, Vol. 42(2), pp , 2001 Föllinger: Optimale Regelung und Steuerung, Oldenburg Verlag München Wien, 1994 Büskens: Skript zur Vorlesung Diskretisierungsverfahren Ogunnaike, B. A., Ray, W.H.: Process Dynamics, Modeling and Control, Oxford University Press 1994 Nelles O.:LOLIMOT-Lokale, lineare Modelle zur Identifikation nichtlinearer Systeme. Automatisierungstechnik at 45(1997)H.4,S B. Aufderheide, B. Wayne Bequette: Extension of dynamic matrix control to multiple models Moritz Diehl, Ilknur Uslu, Rolf Findeisen: Real-Time Optimization for Large Scale Processes: Nonlinear Model Predictive Control of a High Purity Distillation Column