Spieltheorie und Systemarchetypen

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1 Spieltheorie und Systemarchetypen Peter Senge hat 1990 in The Fifth Discipline zehn sogenannte Systemarchetypen vorgestellt. (Deutsch: Peter Senge, Die fünfte Disziplin Kunst und Praxis der lernenden rganisation. Klett-Cotta Verlag. Stuttgart, 1996) Einer dieser Archetypen heisst «Grenzen des Wachstums», nach dem das gleichnamige Buch benannt ist, das bereits 1972 auf die Umweltproblematik hingewiesen hat. S Wachstumsgrenze wachsender Einfluss Resultat bremsender Einfluss S S Als Stock-and-Flow-Diagramm kann es so dargestellt werden: Wachstumsgrenze wachsender Einfluss S Resultat bremsender Einfluss S Resultat = Integral(wachsender Einfluss bremsender Einfluss, Anfangsbestand) wachsender Einfluss = Resultat bremsender Einfluss = Resultat/Wachstumsgrenze Das führt zu sog. logistischem Wachstum In der Spieltheorie gibt es auch archetypische Verhaltensmuster, vor allem in Konflikten. Drei der Senge Archetypen lassen sich als dynamische Fortsetzung von nicht-kooperativen Spielen verstehen. In einem nicht-kooperativen Spielen lassen sich keine Verträge abschliessen. Im Folgenden betrachten wir Zweipersonenspiele, in denen die beiden Spieler je zwei Handlungsalternativen haben. Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 1

2 Nicht-kooperative Spiele und ihre Beschreibung durch Systemarchetypen «Als Hermann Hesses Glasperlenspiel 1943 in der Schweiz erschien, wäre wohl jeder verlacht worden, der die Geschichte vom Spiel des Intellekts für mehr als nur eine literarische Fiktion gehalten hätte. Schon wenige Monate später hatte die Geburtsstunde der Spieltheorie die Koordinaten des Wissens verschoben und die eigenartigen Parallelen zwischen dichterischer und gelehrter Imagination waren bereits erkennbar.» Aus Alexander Mehlmann, Wer gewinnt das Spiel? Spieltheorie in Fabeln und Paradoxa. Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 1997 In der Spieltheorie wird angenommen, dass die Spieler ihren Gewinn individuell zu optimieren versuchen und rational entscheiden d.h. o keine nicht nachvollziehbare Rundumschläge o keinen Aufwand zur Schwächung des Gegners, wenn dies nicht klar den eigenen Nutzen vergrössert Beispiel eines Spiels: kann zwischen «oben» und «unten» wählen, zwischen «links» und «rechts». In den Kombinationszellen stehen die respektiven Auszahlungen in Franken, die der Spieler von der Bank erhält, bzw. an die Bank zahlen muss («Spaltenspieler») links rechts («Zeilenspieler») oben unten Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 2

3 Das Gefangenendilemma Zwei Verdächtige werden bei ihrer Festnahme sofort getrennt, so dass sie zu keinem Zeitpunkt die Möglichkeit haben, miteinander zu kommunizieren. Jedem von ihnen wird folgendes gesagt: Du bist eines schweren Verbrechens verdächtigt, es gibt aber keine Beweise gegen dich. Wenn dein Komplize und du das Delikt bis zum Schluss abstreitet, kommt ihr wegen unerlaubten Waffenbesitzes mit der geringen Gefängnisstrafe von 1 Jahr davon. Solltest Du das Delikt aber abstreiten, während dein Komplize es zugibt, dann wird er als Kronzeuge gegen dich auftreten und ist sofort nach der Verhandlung frei. Du aber wirst zu lebenslänglichem Zuchthaus verurteilt. Selbstverständlich kannst auch Du gegen deinen Komplizen als Kronzeuge auftreten. Wenn ihr beide aber zugebt, am Verbrechen beteiligt gewesen zu sein werdet ihr zu 20 Jahren Zuchthaus verurteilt. Morgen um 9 Uhr ist die Gerichtsverhandlung. Ihr könnt jetzt eine Nacht lang darüber nachdenken, wie ihr euch morgen verhalten wollt Hier die Auszahlungen in Jahren der beiden Gefangenen: Für lebenslänglich ist hier 50 Jahre eingesetzt. («Spaltenspieler») abstreiten zugeben («Zeilenspieler») abstreiten zugeben Anhand des Gefangenendilemmas können wir definieren, was ein Spiel ist. Ein Spiel besteht aus einer Anzahl Spieler, aus einer Anzahl Strategien, die den sogenannten Strategieraum ausmachen und Ausahlungen oder Nutzen pro Strategiekombination und Spieler. Man kann ein Spiel entweder in der strategischen Form als Matrix oder in der extensiven Form als Baum darstellen. Das Gefangenendilemma ist ein symmetrisches nicht-kooperatives Spiel für 2 Personen mit einem zweielementigen Strategieraum. Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 3

4 Wir können das Gefangenendilemma auch mit folgenden vereinfachten Auszahlungen betrachten: s 21 s 22 s 11 3, 3 1, 4 s 12 4, 1 2, 2 Dabei bezeichnen s 11 und s 21 die Strategie «nicht gestehen» und s 12 und s 22 die Strategie «gestehen» je für die, bzw. 2. Für bietet die untere Zeile die höhere Auszahlung als die obere, unabhängig davon, wie sich entscheidet. Ebenso bietet die rechte Spalte für die höhere Auszahlung, unabhängig vom Zug von. Man sagt, dass die Strategie «gestehen» eine dominante Strategie sei. Eine Strategiekombination, die die Eigenschaft hat, dass sich ein Spieler schlechter stellt, wenn er davon abrückt, währende der andere dabei bleibt, nennt man strategische oder Nash- Gleichgewicht. Das Nash-Gleichgewicht beruht auf folgenden Annahmen: Individuelle ptimierung Rationale Erwartungen Keine bindende Absprachen John Forbes Nash, 1928*. Amerikanischer Staatsbürger, doktorierte am Institut for Advance Studies in Princeton, wo er später auch Professor war veröffentlichte er seine 9seitige Dissertation unter dem Titel «Non-cooperative Games» und führte darin den Begriff des strategischen Gleichgewichts ein. Bereits 1959 brach bei Nash eine schwere Schizophrenie aus, die ihn bis Mitte der 80er Jahre in die Isolation zwang erhielt er für seine bahnbrechenden Arbeiten den Wirtschaftsnobelpreis. Im Gefangenendilemma bildet die Strategiekombination «gestehen, gestehen» ein Nash- Gleichgewicht, denn jeder Spieler, der davon abweicht, stellt sich schlechter. Die Strategiekombination «nicht gestehen; nicht gestehen» ist jedoch nicht stabil, da sich jeder einzelne besser stellen kann, wenn er gesteht. Ein wiederholtes Gefangenendilemma man nennt das ein dynamisches Spiel mit einer bekannten Anzahl Runden ist wie ein einmaliges Gefangenendilemma. Ist die Rundenzahl jedoch nicht bekannt oder wird es «unendlicht» oft gespielt, so kristallisiert sich die Strategie TIT-FR-TAT heraus untersuchte der amerikanische Politikwissenschaftler Robert Axelrod, unter welchen Bedingungen sich Kooperationen bilden. Er lud 14 mit dem Gefangenendilemma vertraute Fachleute aus Ökonomie, Soziologie, Politik, Psychologie und Mathematik ein, Computerprogramme einzureichen, die eine Strategie für ein wiederholtes Gefangenendilemma symbolisieren. Jedes Programm spielte 200 Runden gegen jedes andere Programm bei folgender Auszahlungsfunktion: Programm 2 Programm 1 s 21 s 22 s 11 4, 4 0, 5 s 12 5, 0 1, 1 Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 4

5 Die siegreiche Strategie TIT-FR-TAT («wie du mir, so ich dir») wurde vom kanadische Psychologieprofessor Anatol Rapoport eingereicht. TFT funktioniert ganz einfach: 1. Kooperiere in der ersten Runde. 2. Tue dann das, was der Spielpartner in der vorhergehenden Runde gemacht hat. Das ist eine freundliche Strategie. Eine freundliche Strategie beginnt immer mit «nicht gestehen» (also kooperativ) und spielt niemals als erste «gestehen» (also defektiv) hat Axelrod in einem zweiten Wettbewerb 62 Programme gegeneinander spielen lassen. TFT gewann auch diesmal. Axelrod überprüfte die «Persönlichkeitsmerkmale» aller Programme. Diejenigen, die auf den vorderen Plätzen abschnitten, wiesen 5 «Charakterzüge» aus: Freundlichkeit (defektiert nicht als erster) Nachsichtigkeit (nach einem Vergehen des Gegners ist es wieder zur Kooperation bereit, sobald der Gegner wieder kooperiert) Provozierbarkeit (reagiert gegenüber einem defektierenden Gegner mit Defektion * ) Reziprozität (Kopiert die Strategie des Gegners) Einfachheit und Transparenz der Strategie) R. Axelrod. DIE EVLUTIN DER KPERATIN. R. ldenbourg Verlag, München 1991 «Diese nicht sehr intellektuellen Merkmale scheinen in einer Welt voller Gefangenendilemmata wirksamer zu sein, als berechnender Verstand» (L. Mérö, Die Logik der Unvernunft Spieltheorie und die Psychologie des Handelns, S.65, Rowohlt Taschenbuchverlag, Reinbek b. Hamburg, 2000) Das Problem der Gemeindewiese Zehn Bauern, die je eine Kuh haben, lassen alle 10 Kühe auf der Allmend grasen. Die Kühe werden dabei fett. Die Bauern werden reich und können sich 2 Kühe leisten. Als der erste Bauer seine zweite Kuh auf die Wiese schickte, war fast kein Unterschied zu beobachten. Vielleicht werden die anderen Kühe etwas weniger fett, aber das ist kaum feststellbar. Auch wenn der zweite und der dritte Bauer seine zweite Kuh auf die Weide schickt, gibt es noch keine Probleme. Als jedoch auch der siebte und achte Bauer seine zweiten Kühe auf die Allmend schickt, leiden offensichtlich alle Kühe unter Hunger und ihr Totalwert erreicht nicht den der ursprünglichen zehn Kühe. Als schliesslich alle 10 Bauern je zwei Kühe auf der Weide haben, verhungern alle zwanzig Tiere. Die andern Bauern Bauer 1 kauft 2. Kuh kauft keine 2. Kuh kauft 2. Kuh 2, 2 Hat zwei sehr dünne Kühe 4, 1 Hat zwei ziemlich fette Kühe kauft keine 2. Kuh 1, 4 Hat eine sehr dünne Kuh 3, 3 Hat eine sehr fette Kuh Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 5

6 Aufgabe: Zwei wichtige Tätigkeiten im Urlaub sind: Am Morgen ausschlafen und während des Tages faul am Pool oder Strand herum liegen. Dabei existieren Liegestühle unterschiedlicher Bauart an schattigen oder sonnigen Plätzen und unterschiedlich weit von der Bar entfernt. Durch Auflegen eines Handtuches kann man morgens den bevorzugten Liegestuhl reservieren. Dazu muss man aber früh aufstehen, was ein Aufstehensleid von 2 verursacht. Den bevorzugten Liegestuhl und damit einen Nutzen von 7 erhält man nur, wenn man früh morgens vor den anderen Gästen am Pool/Strand ist. Kommt man gleichzeitig, so erhält man eine durchschnittliche Liege und einen Nutzen von 3. Sind schon alle guten Liegestühle reserviert, weil man zu spät kommt, so beträgt der Nutzen 0. Stellen Sie die Auszahlungsmatrix auf und erklären Sie das Verhalten eines durchschnittlichen Schweizertouristen... Das Gefangenendilemma als Senge-Archetyp Senge nannte sein Archetyp «Tragödie der Gemeingüter». Er geht davon aus, dass beide Spieler stets das Nash-Gleichgewicht spielen und fragt sich, wie die Dynamik dieses wiederholten Spiels aussehen wird. Nettogewinn von vorhandene Ressourcen Strategiekombination - Totale Aktivität maximal möglicher Gewinn pro Spieler Nettogewinn von Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 6

7 Das Chicken Spiel Zwei Personen in Autos rasen mit grosser Geschwindigkeit aufeinander zu. Wer zuerst ausweicht, ist das Chicken und hat verloren. «Kooperieren» bedeutet also «ausweichen», «defektieren» heisst «Kurs halten». Koop Defekt Koop 3, 3 2, 4 Defekt 4, 2 1, 1 Angenommen, kooperiere mit der Wahrscheinlichkeit q. Wenn immer kooperieren würde, hätte er also eine Auszahlung von 3*q + 2*(1-q). Wenn immer defektieren würde, hätte er hingegen eine Auszahlung von 4*q + (1-q) Mit welcher Wahrscheinlichkeit p für die Kooperation kann seinen Gewinn maximieren? 3*q + 2*(1-q) = 4*q + (1-q) q + 2 = 3q = 2q Bis q = ½ gibt Kooperation das bessere Resultat. Über q = ½ hat der mit Defektion die höhere Auszahlung. Bei q = ½ erhält die Auszahlung 2½, unabhängig davon, oder kooperiert oder defektiert. Nash-Gleichgewichte bei (Kooperation, Defektion) und (Defektion, Kooperation) sowie in gemischten Strategien bei p = ½ q p Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 7

8 Es gibt dazu zwei Senge-Archetypen. Je nachdem, wie man es anschaut, kommt Eskalation in Frage. Hier wird davon ausgegangen, dass ein Spieler umso aggressiver wird, je mehr er verliert, bzw. umso eher kooperiert, je mehr er gewinnt. Das führt automatisch zu abwechslungsweisem Spielen der beiden Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien. Bedrohung für Bedrohung für Auszahlung von Spieler1 relativ zur Auszahlung von Auszahlung für Auszahlung für Ein anderer Archetyp heisst Erfolg den Erfolgreichen. Während am Anfang eine indifferente Situation herrscht, entscheidet sie der Selbstbewusstere für sich, was zu einer einseitigen Festsetzung auf ein Nash-Gleichgewicht führt gewinnt Selbstbewusstsein von Gewinn an gewinnt Selbstbewusstsein von Peter Addor, lic. phil. nat

9 Kampf der Geschlechter geht gerne ins Kino, lieber zu einem Fussballspiel. Die beiden wollen am Abend ausgehen, können sich gegenseitig jedoch nicht verständigen. berste Priorität ist das gemeinsame Erlebnis. Koop (Fussball) Defekt (Kino) Koop (Kino) Defekt (Fussball) 1, 1 3, 4 4, 3 2, 2 p = ¼ Der zugehörige Senge Archetyp heisst Gegner wieder Willen: Kooperative Gewinn für Defektive Gleichzeitiges Defektieren schmälert den Gewinn von Gleichzeitiges Defektieren schmälert den Gewinn von Kooperative Defektive Gewinn für Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 9

10 Anführer Zwei übertrieben höfliche Personen wollen durch eine Tür, aber jeder lässt dem anderen den Vortritt. Kooperation heisst, den Vortritt annehmen und als erster durch die Türe gehen. Koop Defekt Koop 2, 2 3, 4 Defekt 4, 3 1, 1 p = 1 2 Hirschjagdparabel Eine Gruppe von Jägern hat einen Hirsch und einige Hasen eingekreist. Defektiert ein Jäger und bückt sich nach einem Hasen, wird er vom Hirsch übersprungen. Kooperation heisst, zusammen mit den anderen den Hirsch erlegen und die Hasen laufen lassen. Koop Defekt Koop 4, 4 1, 3 Defekt 3, 1 2, 2 p = 1 2 Aufgaben: 1. Kannst Du «Anführer» und die «Hirschjagdparabel» auch mit einem System Dynamics Diagramm beschreiben? 2. Finde zu jedem der oben vorgestellten Senge Archetyp je ein Beispiel aus Deinem privaten oder beruflichen Alltag (Familie, Schule, ) Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 10

11 Weitere Senge Archetypen Die restlichen Senge Archetypen haben kein Pendant in nicht-kooperativen Spielen. Ein sehr wichtiger, weil häufig auftretender Archetyp heisst Verschlimmbesserung. Beachte die Grenze zwischen bewusster und unbewusster Wahrnehmung. Diese Grenze gibt es bei jedem Archetyp. Problemsymptom Behebungsanstrengungen bewusst unbewusst Unbeabsichtigte Konsequenzen In eine ähnliche Kategorie von Verhaltensfallen gehört die Problemverschiebung: symptomatische Lösung bewusst Problemsymptom Seiteneffekt unbewusst Fundamentale Lösung Peter Addor, lic. phil. nat

12 Schliesslich sei noch Erodierende Ziele erwähnt, weil auch dieser Archetyp sehr häufig vorkommt: Anstrengungen, um das Ziel zu erreichen Druck, das Ziel anzupassen Fehlbetrag aktueller Zustand gesetztes Ziel Aufgaben: 1. Finde zu jedem der oben vorgestellten Senge Archetyp je ein Beispiel aus Deinem privaten oder beruflichen Alltag (Familie, Schule, ) 2. Vergleiche Eskalation, Erfolg den Erfolgreichen und Erodierende Ziele 3. Bilde jedes der folgenden Sprichwörter als Senge Archetyp ab (und als nicht-kooperatives Zweipersonenspiel, sofern möglich): Aufgeschoben ist nicht aufgehoben. Das Pferd von hinten aufzäumen. Den Letzten beissen die Hunde. Der Krug geht so lange zum Brunnen, bis er bricht. Der Gschiider git naa, der Esel bliibt stah. Gebrannt Kinder scheuen das Feuer. Jeder ist seines Glückes Schmied. Kleine Ursache, große Wirkung. Morgen, morgen, nur nicht heute, sagen alle faulen (od. klugen?) Leute. Schuster bleib bei deinen Leisten. Steter Tropfen höhlt den Stein. Wer zuerst kommt, mahlt zuerst. Wie du mir, so ich dir. Wo gehobelt wird, da fallen Späne. Peter Addor, lic. phil. nat addor@anchor.ch 12