Mechanik II Dynamik. Vorlesungsbegleitende Unterlagen. Bernd Binninger. Aachen im Frühjahr Institut für Technische Verbrennung RWTH Aachen

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1 Mechanik II Dynamik Vorlesungsbegleitende Unterlagen Bernd Binninger Aachen im Frühjahr 2018 Institut für Technische Verbrennung RWTH Aachen

2 Inhaltsverzeichnis 1 Dynamik des Massenpunktes Kinematik des Punktes oder Massenpunktes Ort eines Punktes P Geschwindigkeit eines Punktes P Kreisbewegung Zusammenfassung zur Geschwindigkeit v von Massenpunkten Beschleunigung eines Punktes P Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag Allgemeine Kreisbewegung Zusammenfassung zur Beschleunigung a von Massenpunkten Geschwindigkeit und Ort eines Punktes bei gegebener Beschleunigung Wechsel unabhängiger Variablen Kinematik der Relativbewegung Reine Translation der Bezugssysteme Translatorisch und rotatorisch bewegte Bezugssysteme Zusammenfassung zur Darstellung der Kinematik bei relativ bewegten Koordinatensystemen Kinetik des Massenpunktes - die Newtonschen Gesetze Newtonsche Bewegungsgesetze: Zusammenfassung und Folgerungen Zweites Newtonsches Gesetz: Zusammenfassung und Folgerungen Maßsysteme Grundaufgaben der Dynamik Lösbarkeit der Newtonschen Bewegungsgleichungen Integrale der Newtonschen Bewegungsgleichung und Erhaltungssätze Arbeitssatz und Energiesatz Arbeit spezieller Kräfte Konservative Kräfte und Potential Zusammenfassung für konservative Kräfte Die Gewichtskraft, eine konservative Kraft Die Arbeit einer ideal-elastischen Feder, Potential der Federkraft Die Reibkraft, eine nichtkonservative Kraft Zwangs- oder Führungskräfte Energieerhaltungssatz Beispiele zum Arbeits- und Energiesatz sowie zum Energieerhaltungssatz Leistung einer Kraft Der Impulssatz und der Impulserhaltungssatz Drehimpuls, Drehimpulssatz und Drehimpulserhaltungssatz Stoß- und Streuprobleme Anwendungen des plastischen Stoßes: Schmieden und Nageln Zusammenfassung zu Stoßprozessen Ideal-elastische Streuung und ideal-elastischer Stoß Impuls- und Energieerhaltung bei Zerfallsprozessen Zusammenfassung zur Newtonschen Mechanik Kinetik des Massenpunktes - die Lagrangeschen Gleichungen Herleitung der Lagrangeschen Gleichungen mit dem Prinzip von d Alembert Herleitung der Lagrangeschen Gleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip Abschließende Bemerkungen zur Lagrangeschen Mechanik

3 2 Dynamik des starren Körpers Kinematik des starren Körpers Geschwindigkeit und Beschleunigung von Punkten eines starren Körpers Zusammenfassung der Lösungsschritte zur Kinematik starrer Körper für zweidimensionale Probleme Kinetik des starren Körpers Schwerpunktsatz Potentielle und kinetische Energie des Körpers Potentielle Energie in konstantem Schwerefeld Kinetische Energie des starren Körpers Rotation des starren Körpers um eine im Raum konstant ausgerichtete, körperfeste Achse Zusammenfassung zur kinetischen Energie des starren Körpers Massenträgheitsmomente einfacher ebener Körper Drehimpuls und Drehimpulssatz des starren Körpers Drehimpuls des starren Körpers Drehimpulssatz des starren Körpers Zusammenfassung zum Drehimpuls oder Drall Zusammenfassung zum Drehimpuls- oder Drallsatz Schwingungsvorgänge Freie Schwingungen mit einem Freiheitsgrad Das mathematische Pendel Feder-Masse-Schwinger Freie gedämpfte Schwingung mit einem Freiheitsgrad Erzwungene gedämpfte Schwingung mit einem Freiheitsgrad Freie ungedämpfte Schwingung mit zwei Freiheitsgraden A Anhang: Vektoren, Vektorrechnung, Vektoranalysis i A.1 Symbolische und grafische Darstellung von Vektoren i A.2 Darstellung von Vektoren in kartesischen Koordinatensystemen iii A.3 Addition von Vektoren v A.4 Subtraktion von Vektoren vi A.5 Produkte von Vektoren vi A.5.1 Skalares oder inneres Produkt von Vektoren vi A.5.2 Vektor-, Kreuz- oder äußeres Produkt dreidimensionaler Vektoren.... vii A.5.3 Spatprodukt viii A.5.4 Dyadisches oder tensorielles Produkt viii A.5.5 Indexschreibweise und Tensorkalkül in kartesischen Koordinaten..... ix A.6 Analysis und Vektoranalysis xiv A.6.1 Partielle Ableitung xiv A.6.2 Der Gradient xv A.6.3 Die Divergenz xvii A.6.4 Die Rotation xviii A.6.5 Vollständiges, exaktes oder totales Differential xix B Literaturempfehlungen xx B.1 Statik xx B.2 Festigkeitslehre xx B.3 Dynamik xxi

4 1 Dynamik des Massenpunktes 1.1 Kinematik des Punktes oder Massenpunktes Die Kinematik ist die Lehre von der Beschreibung des Ortes (Lage) und der zeitlichen Ortsveränderung (Bewegung) von Körpern. Sie ist demnach die Geometrie der Bewegung in Raum und Zeit, wobei die Ursache der Bewegung nicht betrachtet wird. Wir wollen uns zunächst auf die Kinematik eines als punktförmig idealisierten Körpers P beschränken. Bewegt sich dieser Punkt, so beschreibt er eine sogenannte Bahnkurve. Bezüglich der Zeit t setzen wir voraus, dass sie unabhängig von allen anderen Größen gleichmäßig fortschreiten soll 1). Dies erlaubt die nachfolgenden, weitergehenden Betrachtungen und Definitionen Ort eines Punktes P Zur Beschreibung des Ortes des Punktes P zum Zeitpunkt t wird der Ortsvektor r(t) herangezogen, wie in der Abbildung dargestellt. In kartesischer Darstellung lässt sich dieser durch (1.1.1) z oder alternativ mit den Einheitsvektoren (1.1.2) x y darstellen. Der Ortsvektor besitzt die Dimension einer Länge: 1) Es macht die Größe und die Schönheit der Physik aus, dass solche, vermeintlich auf der Hand liegenden Ansichten wegen realen, das heißt experimentell überprüfbaren Gegebenheiten über den Haufen geworfen werden müssen. In der speziellen Relativitätstheorie haben Ort und Zeit keine unabhängige Existenzberechtigung, beide sind eng miteinander verwoben Einstein, Minkowski. In der Quantenmechanik lassen sich Positronen, die Anti- Teilchen zu Elektronen, auffassen als Elektronen, die sich rückwärts in der Zeit bewegen Feynman-Diagramme. 1

5 Statt der Zeit als Parameter kann der Ortsvektor auch in Abhängigkeit von der Position auf der Bahnkurve angegeben werden. Zur Festlegung der Position eignet sich dann zum Beispiel die Bogenlänge s. (1.1.3) Geschwindigkeit eines Punktes P Die Geschwindigkeit v soll die Änderung des Ortes des Punktes P auf der Bahnkurve beschreiben. Nach dieser Vorgabe lässt sich der Geschwindigkeitsvektor v(t) bei fortschreitender Zeit aus dem Ortsvektor durch folgenden Grenzübergang berechnen: (1.1.4) Der Grenzwert ist definiert, solange die Bahnkurve keine Knicke oder Sprünge aufweist 2). Wir erkennen in dieser Definition für die Geschwindigkeit die aus der Mathematik bekannte Differentiation oder Ableitung. Daher dürfen wir auch (1.1.5) schreiben. z P Bahnkurve In der Mathematik ist für das Differential die Schreibweise dy dx = y gebräuchlich. In der Dynamik wird üblicherweise für die Ableitung nach der Zeit ein hochgestellter Punkt benutzt x y (1.1.6) Die Geschwindigkeit ist wie der Ortsvektor ein Vektor, seine Dimension ist Länge/Zeit also (1.1.7) 2) Diese Annahme ist berechtigt, denn abrupte Sprünge und Knicke sind bei realen Körpern wegen der stets vorhandenen Massenträgheit nicht zu erwarten. Diese Eigenschaft realer Körper bleibt beim Übergang zum Massenpunkt erhalten. 2

6 In einem kartesischen Koordinatensystem lässt sich der Geschwindigkeitsvektor für Bewegungen im dreidimensionalen Raum durch drei Geschwindigkeitskomponenten darstellen (1.1.8) oder (1.1.9) wobei die Geschwindigkeitskomponenten durch die zeitlichen Ableitungen der kartesischen Koordinaten des Ortsvektors (1.1.10) berechnet werden können. Da durch einen solchen Differentiationsprozess auch die Tangente an eine Kurve bestimmt wird, so ist auch der Geschwindigkeitsvektor ein an die Bahnkurve r(t) tangentialer Vektor. Der Richtungssinn des Vektors stimmt dabei mit dem Durchlaufsinn der Bahnkurve überein. Will man insbesondere bei vorgegebener Bahnkurve nur etwas über den Betrag der Geschwindigkeit aussagen, so kann ein beliebiger Parameter, der den Ort auf der Bahnkurve eindeutig beschreibt, genutzt werden. Üblicherweise ist dieser Parameter die Bogenlänge s, wodurch die Verhältnisse besonders einfach werden. In diesem Fall ist nämlich r = s. Für den Betrag der Geschwindigkeit als Funktion der Bogenlänge s gilt dann (1.1.11) 3

7 Kreisbewegung Zum Zeitpunk t befindet sich der Körper am Punkt P. Die Position kann angegeben werden entweder durch den Ortsvektor r(t) zu diesem Zeitpunkt oder durch die Position auf der Kreisbahn durch Angabe der Bogenlänge s(t) oder des Winkels φ(t). Falls φ in Radiant angegeben wird, gilt: s = r φ Ortsplan y r (t) P s(t) Vektorplan Der Geschwindigkeitsvektor errechnet sich aus ϕ(t) 0 s x (1.1.12) Für die Geschwindigkeit ist, da der Radius der Bahn konstant ist, die Richtungsänderung des Ortsvektors r entscheidend. Wir erkennen am Vektorplan (1.1.13) Um der Kreisbahn zu folgen, muss der Vektor d r in tangentialer Richtung zur Bahn orientiert sein. Entsprechend liegt der Geschwindigkeitsvektor v auch tangential an die Bahn an. Richtung und Richtungssinn des Geschwindigkeitsvektors sind aus dieser Überlegung und dem Durchlaufsinn der Kreisbahn bekannt, weshalb uns erstmal die Beschreibung des Betrages der Geschwindigkeit (1.1.14) zu jedem Zeitpunkt interessiert. Mit der Bogenlänge s oder dem Winkel φ gilt: (1.1.15) und es ist auch (1.1.16) Der Betrag der Geschwindigkeit kann demnach durch (1.1.17) ausgedrückt werden. 4

8 Die Größe dφ = φ wird Winkelgeschwindigkeit genannt. Die Dimension der Winkelgeschwindigkeit ist [ φ] = rad = s 1. dt s Es ist üblich einen neuen Buchstaben für die Winkelgeschwindigkeit zu nutzen: φ = ω. Die hier gefundenen Ergebnisse können unmittelbar auf jede krummlinige Bahn in der Ebene angewendet werden, wenn statt des Radius r der Krümmungsradius ρ des Schmiegekreises in die gefundenen Beziehungen eingesetzt wird 3) : (1.1.18) Ortsplan v P s(t) O s Vektorplan dρ ρ (t+dt) ρ (t) dϕ Wir können auf diese Weise an jedem Punkt der Bahn den Betrag der Geschwindigkeit bestimmen. Wir widmen uns nun noch dem Richtungssinn. Ortsplan Die Tatsache, dass der Geschwindigkeitsvektor tangential an der Bahnkurve anliegt, bedeutet auch, dass er stets senkrecht auf dem Ortsvektor r bzw. dem Radiusvektor ρ des Schmiegekreises steht. Man kann sich die Vektornotation zu Nutze machen, um den Richtungssinn zusammen mit dem Betrag kompakt darzustellen. y v P x s(t) O s Wir definieren dazu noch einen passenden axialen Vektor, den Winkelgeschwindigkeitsvektor φ. Dieser soll in Richtung der Achse der Kreisbewegung, also senkrecht auf die Ebene der Bahnkurve stehen, sein Richtungssinn soll der Rechte-Hand-Regel folgen (siehe dazu im Anhang Abschnitt??, S.??). z Wir interpretieren die ebene Darstellung der vorigen Abbildung dreidimensional, wobei der Krümmungsvektor des Schmiegekreises und der Geschwindigkeitsvektor die x, y-ebenen eines kartesischen Koordinatensystems aufspannen. Dann weist der Winkelgeschwindigkeitsvektor nach Vereinbarung in Richtung der z-achse. Wir können daher den Geschwindigkeitsvektor durch das Vektorprodukt (1.1.19) ausdrücken. Für die einfachere Kreisbahn entsprechend (1.1.20) 3) Da der Vektor ρ zu einem Schmiegekreis gehört, ist sein Betrag konstant: ρ(t + dt) = ρ(t) Daher unterscheiden sich ρ(t) und ρ(t + dt) nur durch ihre Richtung. 5

9 1.1.3 Zusammenfassung zur Geschwindigkeit v von Massenpunkten Die Geschwindigkeit von Massenpunkten ist definiert als die zeitliche Ableitung des Ortes r nach der Zeit laut Gl. (1.1.5): v = d r dt Die Geschwindigkeit eines Massenpunkten an einem Punkt einer Bahnkurve zeigt damit in Richtung der Tangente an diese Bahnkurve. Mit der Winkelgeschwindigkeit dφ dt = φ = ω bei Kreisbahnen erhalten wir den Betrag der Geschwindigkeit aus der Beziehung Gl. (1.1.17) v = r dφ dt = r φ = r ω. Richtung und Betrag der Geschwindigkeit lassen sich mit dem axialen Winkelgeschwindigkeitsvektor d φ dt = φ = ω laut Gl. (1.1.20) mathematisch elegant durch das Vektorprodukt v = φ r = ω r. darstellen (siehe dazu im Anhang Abschnitt??, S.??). Für nichtkreisförmige gekrümmte Bahnen tritt an die Stelle des Radiusvektors r der lokale Radiusvektor ρ des Schmiegekreises Beschleunigung eines Punktes P Im Allgemeinen ist auch die Geschwindigkeit von der Zeit abhängig. Die zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors wird als Beschleunigung a bezeichnet. Die Beschleunigung a(t) des Punktes P zum Zeitpunkt t ist durch die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit definiert: (1.1.21) Setzen wir darin die Definition der Geschwindigkeit ein, so sieht man sofort, dass 6

10 (1.1.22) ist. Die Beschleunigung lässt sich also als erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit und als zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit darstellen. Die Dimension der Beschleunigung ist Länge/Zeit 2 : Natürlich ist auch die Beschleunigung ein Vektor. Der Beschleunigungsvektor a hat anders als der Geschwindigkeitsvektor neben einer Tangentialkomponente a t an die Bahnkurve auch eine Normalkomponente a n : (1.1.23) i x z a(t) Bahnkurve 0 s k r(t) j a n (t) P a t (t) v(t) y Die Tangentialkomponente sorgt für die Änderung des Geschwindigkeitsbetrages die Normalkomponente für die Änderung der Bewegungsrichtung. Anders als die Geschwindigkeit ist die Tangentialkomponente der Beschleunigung auch nicht an den Durchlaufsinn der Bahnkurve gekoppelt. Nimmt nämlich der Betrag der Geschwindigkeit in Richtung des Durchlaufsinns der Bahnkurve bei gebremster Bewegung ab, so zeigt die Tangentialbeschleunigung gegen den Durchlaufsinn der Bahnkurve. Übungen 1.a Skizzieren Sie einen Vektorplan, in dem der Vektor der Ortsänderung r die Ortsvektoren r(t) und r(t + t) miteinander verknüpft! 1.b Skizzieren Sie einen analogen Vektorplan, in dem die Geschwindigkeitsänderung v die Geschwindigkeitsvektoren v(t) und v(t + t) miteinander verknüpft! Zerlegen Sie zusätzlich den Vektor v in eine Normal-, und eine Tangentialkomponente zum Vektor v(t)! 2. Zeichnen sie an eine gekrümmte, ebene Bahnkurve in der x, y-ebene Ortsvektor, Geschwindigkeitsvektor und Tangential- sowie Normalbechleunigung sorgfältig ein! 3. Der Geschwindigkeitsvektor ist in Richtung der Tangente an die Bahnkurve und sein Richtungssinn stimmt mit dem Durchlaufsinn der Bahnkurve überein. Letztere Aussage stimmt für die Tangentialkomponente der Beschleunigung nicht. In welchen Fällen stimmt der Richtungssinn der Tangentialbeschleunigung mit dem Durchlaufsinn der Bahnkurve überein, in welchen Fällen nicht? Ist es auch möglich, dass die Tangentialbeschleunigung zu Null wird? Wenn ja, wann ist dies der Fall? 7

11 Beispiel Ein Punkt bewegt sich entlang einer Geraden im Raum. Zu verschiedenen Zeiten t i, i = 0,..., 6 befindet er sich an verschiedenen Stellen s i, i = 0,..., 6, die durch den Abstand zum Ursprung bei 0 bezeichnet werden sollen. Bestimmen Sie anhand der Tabelle die mittleren Geschwindigkeiten und mittleren Beschleunigungen in den entsprechenden Abschnitten! Zeichnen Sie die Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm s(t), ein Geschwindigkeits-Zeit- Diagramm v(t) und ein Beschleunigungs-Zeit-Diagramm a(t) ein! Approximieren Sie für die Punkte 0, 1, 2, 3 den Weg-Zeit-Verlauf durch ein Polynom und berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung aus diesem Polynom! Bestimmen Sie die Geschwindigkeit mittels des Polynomansatzes dritten Grades als Funktion der Beschleunigung a! Geg.: z i s t i /[s] 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 s i /[m] 0 0,3 0,5 0,75 0,8 0,85 1,0 x y Lösung: i v i /[m/s] a i /[m/s] Es fällt ins Auge, siehe dazu auch die nachfolgende grafische Auswertung der Daten der Tabelle, dass mit zunehmender Ordnung der Ableitung die errechneten Werte immer stärker oszillieren. Ein glatterer Verlauf erfordert offensichtlich zusätzliche Messpunkte. Ansatz für das Polynom: s(t) = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + c 3 t 3 8

12 0 c 0 = 0 m (B1.1.1) 1 [m] = 0 [m] + [s] c 1 + [s 2 ] c 2 + [s 3 ] c 3 2 [m] = 0 [m] + [s] c 1 + [s 2 ] c 2 + [s 3 ] c 3 3 [m] = 0 [m] + [s] c 1 + [s 2 ] c 2 + [s 3 ] c 3 Ergebnis: c 0 = 0 m, c 1 = 4 5 m/s, c 2 = 1 2 m/s2, c 3 = 1 5 m/s3 Bestimmung der Geschwindigkeit und der Beschleunigung aus dem Polynom als Funktion der Zeit t: (B1.1.2) Bestimmung der Geschwindigkeit als Funktion der Beschleunigung a: Wegen s [m] 1,0 v [m/s] a [m/s 2 ] 0,5 (B1.1.3) 0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 t [s] - 0,5 folgt - 1,0 (B1.1.4) 9

13 Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag Zum Zeitpunk t befindet sich der Körper am Punkt P. Die Position kann entweder durch den Ortsvektor r(t) zu diesem Zeitpunkt oder durch Angabe der Bogenlänge s(t) oder des Winkels φ(t) angegeben werden. Ortsplan y Vektorplan Zum Zeitpunk t befindet sich der Körper am Punkt P. Seine Position kann entweder durch den Ortsvektor r(t) oder durch die Angabe von Bogenlänge s(t) oder Winkel φ(t) beschrieben werden. P s(t) Zum späteren Zeitpunkt t + dt befindet sich der Punkt immer noch auf der Kreisbahn, so dass der Radiusvektor eine reine Drehung erfährt 0 s x (1.1.24) die im unteren Vektorplan dargestellt ist. Obwohl der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, erfordert die Richtungsänderung der Geschwindigkeit eine Geschwindigkeitsänderung d v. Diese ist im oberen Vektorplan dargestellt, der die Geschwindigkeitsvektoren zu den beiden Zeitpunkten zueinander in Beziehung setzt: (1.1.25) Die Vektoren d r und d v stehen senkrecht auf dem Radiusvektor r(t) bzw. dem Geschwindigkeitsvektor v(t). Da auch der Geschwindigkeitsvektor v(t) senkrecht auf dem Radiusvektor r(t) steht, weist die Geschwindigkeitsänderung d v in den entgegengesetzten Richtungssinn des Vektors r. Wie die Spitze des Ortsvektors r im Ortsraum dreht sich die Spitze des Geschwindigkeitsvektors auf einer Kreisbahn in der Zeit dt um denselben Winkel dφ. Im Geschwindigkeitsraum besitzt dieser Kreis den Radius v, dessen Maß unabhängig vom Radius r der Bahnkurve ist. Für die Beschleunigung gilt die Definition: (1.1.26) Die für die Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit notwendige Beschleunigung weist also in Richtung des Vektors d v und steht damit notwendigerweise senkrecht oder normal zur Kreisbahn und zwar stets mit dem Richtungssinn zum Mittelpunkt des Kreises hin. Sie wird Normalbeschleunigung a n genannt. Verwenden wir wieder alternativ die Bogenlänge s(t) oder den Winkel φ(t) zur Angabe der Position des Punktes P, dann können wir den Betrag der Normalbeschleunigung errechnen. Falls wie vorausgesetzt v = const gilt: = 10

14 (1.1.27) Wir können in dieser Beziehung die Geschwindigkeit durch v = r φ = rω ersetzen und erhalten (1.1.28) oder wir ersetzen die Winkelgeschwindigkeit ω durch die Geschwindigkeit v, was auf (1.1.29) führt. Da auch hier wieder rechte Winkel im Spiel sind, lassen sich die Aussagen über Betrag und Richtungssinn der Normalbeschleunigung mittels des Kreuzproduktes zusammenfassen (siehe Anhang, Kapitel??, S.??). Es ist (1.1.30) oder mit v = φ r (1.1.31) Man erhält das gleiche Ergebnis auch, wenn man die zeitliche Differentiation auf die Formel für die Geschwindigkeit anwendet und dabei beachtet, dass mit dem konstanten Geschwindigkeitsbetrag v = const für die ebene Kreisbewegung auch der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω nach Betrag und Richtung konstant sein muss. Es ist (1.1.32) Mit liefert das wieder die Beziehung (1.1.33) 11

15 Allgemeine Kreisbewegung Wir haben gesehen, dass die Normalbeschleunigung, die die Richtungsänderung der Geschwindigkeit beschreibt, vom momentanen Betrag der Geschwindigkeit abhängt. Dies bleibt auch so, wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit zeitlich ändert, da für die momentane Änderung des Betrages der Geschwindigkeit eine Beschleunigungskomponente a t tangential zur Bahn notwendig sein muss, die, da sie auf der Normalbeschleunigung senkrecht steht, von dieser vollkommen unabhängig ist. Wir definieren also mit v t v (1.1.34) Hier taucht die bisher noch nicht eingeführte Änderung der Winkelgeschwindigkeit auf, die als Winkelbeschleunigung φ oder ω bezeichnet wird. Wie die Winkelgeschwindigkeit ist auch die Winkelbeschleunigung ein axialer Vektor, der der Rechte-Hand-Regel genügt. Eine Vergrößerung der Winkelgeschwindigkeit geht mit einer positiven Winkelbeschleunigung einher. Betrag und Richtung der Tangentialbeschleunigung können wieder durch das Vektorprodukt (siehe Anhang, Kapitel??, S.??) dargestellt werden: (1.1.35) Wir dürfen diese Ergebnisse auch wieder auf beliebige krummlinige Bahnen in der Ebene übertragen, wenn wir statt des Radius den lokalen Krümmungsradius ρ des Schmiegekreises einsetzen. Zusammenfassend ergibt sich für die Beschleunigung einer allgemeinen räumlichen Bewegung entlang deiner krummlinigen Bahhnkurve (1.1.36) wenn ρ der Radius des Schmiegekreises an die Bahn ist. 12

16 Zahlenbeispiel Ein Rad vom Radius R drehe sich mit konstanter Drehzahl n gegen der Uhrzeigersinn um eine feste Achse. Geg.: R, n Zahlenwerte: R = 30 cm, n = min Ges.: a) die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung! b) die Geschwindigkeit eines Punktes am Umfang! n ϕ R P c) die Beschleunigung eines Punktes am Umfang! Lösung Wir definieren die unbekannten Vektoren an Hand eines Ortsplans. a) Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich mit der Umdrehungszeit Lageplan P (B1.1.5) ϕ R zu (B1.1.6) b) Die Tangentialgeschwindigkeit v folgt aus (B1.1.7) c) Tangential- und Normalbeschleunigung ergibt sich aus (B1.1.8) Im Vergleich zur Erdbeschleunigung g = 9, 81 m ergibt sich ein erhebliches Vielfaches: s2 (B1.1.9) a n g 335! 13

17 1.1.5 Zusammenfassung zur Beschleunigung a von Massenpunkten Die Beschleunigung von Massenpunkten ist definiert als die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit v bzw. als die zweite Ableitung des Ortes r nach der Zeit laut Gl. (1.1.26): a = d v dt = d2 r dt 2 Die Beschleunigung an einer Bahnkurve setzt sich nach Gl. (1.1.36) zusammen aus zwei Komponenten a = a t + a n. Dabei bezeichnet a t die Tangentialbeschleunigung an die Bahn und a n die Normalbeschleunigung, deren Richtungssinn immer zum Mittelpunkt des Schmiegekeises an die Bahnkurve gerichtet ist. Anders als die Geschwindigkeit kann damit der Vektor der Beschleunigung beliebig zur Bahnkurve orientiert sein. Mit der Winkelgeschwindigkeit φ = ω und der Winkelbeschleunigung φ = ω erhalten wir die Beträge der Beschleunigungskomponenten aus den Beziehungen Gl. Gl. (1.1.28) und (1.1.34) a n = rω 2 und a t = r ω. Richtung und Betrag der Beschleunigungskomponenten lassen sich mit dem axialen Winkelgeschwindigkeitsvektor φ = ω und dem axialen Winkelbeschleunigungsvektor φ = ω laut Gl. (1.1.36) mathematisch elegant durch die Vektorprodukte darstellen. a n = ω ( ω r ) und a t = ω r Für nichtkreisförmige gekrümmte Bahnen tritt an die Stelle des Radiusvektors r der lokale Radiusvektor ρ des Schmiegekreises. 14

18 1.1.6 Geschwindigkeit und Ort eines Punktes bei gegebener Beschleunigung In den meisten Fällen ist nicht von vornherein der funktionale Zusammenhang r(t) gegeben, aus dem durch die Definitionen (1.1.37) Geschwindigkeit und Beschleunigung ausgerechnet werden können. Oft sind Geschwindigkeit und Ort unter der Vorgabe der Beschleunigung a(t) zu ermitteln. Das klassische Beispiel hierfür ist die freie Bewegung im Schwerefeld nahe der Erdoberfläche. Sind im Vergleich zum Erdradius die betrachteten Strecken r(t) klein, so wirkt an jedem Ort und zu jeder Zeit die konstante Erdbeschleunigung g. Die Ausrechnung von Geschwindigkeit und Ort erfordert dann eine Integration (Umkehrung der Differentiation). Wir erhalten allgemein aus den Definitionen durch bestimmte Integration (1.1.38) darin sind v 0 = v(t = t 0 ) und r 0 = r(t = t 0 ) Geschwindigkeit und Ort zum Zeitpunkt t = t 0, die bekannt sein müssen. In vielen Fällen kann der Zeitpunkt t 0 zu Null gesetzt werden: t 0 0 Alternativ zu diesem Vorgehen kann auch eine unbestimmte Integration erfolgen. Die Beziehungen lauten dann (1.1.39) Die Integrationskonstanten c v und c r werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Zum Beispiel (1.1.40) so dass wir dasselbe Ergebnis wie bei der bestimmten Integration erhalten. Wir wollen dies am Beispiel des Freien Falles und des Schiefen Wurfes demonstrieren. 15

19 Beispiel: Freier Fall Eine Bungeespringer hängt an einem Seil der Länge l. Er lässt sich im Schwerefeld der Erde aus der Ruhelage von einer Brücke fallen, die in einer Höhe h über dem Grund der Schlucht führt. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden, und die Höhe ist klein im Verhältnis zum Erdradius. l Geg.: g, l, Richtungssinn von Erdbeschleunigung und Koordinate nach Abbildung Zahlenwerte: g = 9, 81 m, h = 100 m, l = 20 m s2 Ges.: a) die Geschwindigkeit und die Beschleunigung als Funktion der Zeit, solange das Seil noch ungespannt ist! b) die Flugzeit t l, bis sich das Seil zu spannen beginnt, und die Geschwindigkeit v l in diesem Moment! g z h Lösung: Die Beschleunigung, die der Körper erfährt, ist an jedem Punkt der Bahn und jeder Zeit durch g gegeben. Wir wählen den Ortsvektor r = (0, 0, z) wobei z vom Boden aus in die Höhe gemessen werden soll. Wir definieren Beschleunigung und Geschwindigkeit wegen d r = (0, 0, dz) dazu passend: l (B1.1.10) g Die entsprechenden Darstellung der Erdbeschleunigung und der Geschwindigkeit in diesem Koordinatensystem sollen lauten: h (B1.1.11) z Mit dieser Festlegung des Richtungssinnes von v erwarten wir, dass wir eine negatives Ergebnis für den Wert von v erhalten. Die Bewegung ist eindimensional, so dass wir auf die Vektordarstellung in den obigen Formeln verzichten können. Die unbestimmte Integration liefert (B1.1.12) 16

20 Da der Körper seine Bewegung in der Ruhelage zum Zeitpunkt t = 0 beginnt, folgt mit c v = 0 (B1.1.13) Die Geschwindigkeit weist also in negative z-richtung, und der Betrag der Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu. Der Ort berechnet sich aus (B1.1.14) Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich der Körper bei z = h, so dass c z = h wird. Die Lösung ist demnach (B1.1.15) Die Flugzeit t l, bis sich das Seil erstmalig spannt, erhalten wir, wenn der Körper bei z = h l angelangt ist, zu (B1.1.16) und die Geschwindigkeit in diesem Moment ist (B1.1.17) Kontrolle der Dimensionen: m (B1.1.18) [t l ] = m/s 2 = s, Zahlenwerte: 2 20 m (B1.1.19) t l = 9, 81 m/s 2 2 s, Übung Führen Sie die Integrationsschritte des vorstehenden Beispiels mittels bestimmter Integration aus! 17

21 Beispiel: Schiefer Wurf Aus der Anfangslage bei x 0, y 0 wird ein punktförmiger Körper mit der Geschwindigkeit v 0 unter dem Winkel α 0. abgeworfen. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden, und die Bewegung soll klein sein im Verhältnis zum Erdradius. y g Geg.: g, x 0, y 0, v 0, y 0 v 0 α 0 Richtungssinn der Vektoren nach Skizze; Zahlenwerte: g = 9, 81 m s 2, x 0 = 1 m, y 0 = 1, 5 m, v 0 = 20 m s, α 0 = x 0 x Ges.: a) die Bahnkurve y(x), b) den Auftreffpunkt r A = (x A, 0) und die Auftreffgeschwindigkeit v A, c) die Stelle x E und die Zeit t E bis die maximale Höhe der Flugbahn erreicht wird und die maximale Höhe y max! Lösung: Durch das vorgegebene ebene Koordinatensystem sind die Vektoren wie folgt festgelegt: (B1.1.20) y g An jedem Punkt seiner Bahn erfährt der Körper die Beschleunigung a = g = (0, g). Nach Definition berechnet sich der Ortsvektor aus y 0 v 0 α 0 (B1.1.21) 0 0 x 0 x Zweimalige unbestimmte Integration liefert (B1.1.22) 18

22 Aus den Anfangsbedingungen ergeben sich die vier Konstanten: (B1.1.23) Die Lösung ist demnach (B1.1.24) Durch Elimination der Zeit mit t = x x 0 v 0 cos α 0 erhält man die Bahnkurve y(x) zu (B1.1.25) Die Flugbahn ist eine Parabel. Der Auftreffpunkt y(x A ) = 0 ergibt sich aus der quadratischen Gleichung (B1.1.26) zu (B1.1.27) x A1,2 = x 0 + v2 0 sin2 α 0 g ( g ) 1 ± 1 + v0 2 y 0, sin2 α 0 wobei unter den getroffenen Anfangsbedingungen nur das positive Vorzeichen physikalisch sinnvoll ist. Die maximale Höhe folgt aus der Bedingung (B1.1.28) dy dx = 0 = tan α 0 g x E x 0 v 0 sin α 0 v0 2 x E = x 0 + v 0 cos α 0. cos2 α 0 g Der Wert x E wird nach der Zeit t E = v 0 sin α 0 g erreicht, und die maximale Flughöhe ist (B1.1.29) h max = y v0 2 sin2 α 0. g 19

23 Zahlenwerte: (B1.1.30) y g v 0 y x 0 x Übung: Freistoß Bei einem Freistoß soll der hochspringende Torwart überspielt werden, indem der Ball am Standort des Torwarts im Abstand l 1 die Höhe h 2 erreicht und bei l 1 + l 2 in der Höhe h 1 die Torlinie passiert (siehe Abbildung). Geg.: g, h 1, h 2, l 1, l 2 ; Zahlenwerte: g = 9, 81 m s 2, h 1 = 2, 6 m, h 2 = 2, 2 m, l 1 = 12 m, l 2 = 3 m g h v 0 h 2 1 α 0 l 1 l 2 Ges.: a) notwendige Abschussgeschwindigkeit v 0 und notwendiger Abschusswinkel α 0, b) die Zeit bis der Ball die Torlinie passiert! 20

24 Beispiel: Kurbeltrieb Eine Kurbelschleife wird zum Zeitpunkt t = 0 in der Lage α = 0 aus dem Stillstand mit einer Winkelbeschleunigung α(t) = d2 α dt 2 = α 0 t/τ in Bewegung gesetzt. Geg.: R, α 0, τ Ges.: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Endpunktes E als Funktion der Zeit! R α s Lösung A Wir definieren zunächst im Lageplan den Richtungssinn von Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren an den Punkten A und E. Durch Integration erhalten wir mit den genannten Anfangsbedingungen Winkelgeschwindigkeit und Winkellage der Kurbelstange als Funktion der Zeit: (B1.1.31) E Damit folgt für die Tangentialbeschleunigung a A,t, die Normalbeschleunigung a A,n, Geschwindigkeit v A des Punktes A der Kurbelstange und dessen Verschiebung s A in vertikaler Richtung (B1.1.32) Lageplan Die Verschiebung überträgt sich auf die vertikale Schubstange, dessen Geschwindigkeit und Beschleunigung durch Differentiation nach der Zeit ausgerechnet werden können: α s (B1.1.33) Wir sehen, dass sich wie die Verschiebung s auch die vertikalen Komponenten der Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes A direkt auf die Schubstange unverändert übertragen. E 21

25 1.1.7 Wechsel unabhängiger Variablen In vielen Fällen sind Geschwindigkeit oder Beschleunigung nicht als Funktion der Zeit t sondern als Funktion anderer unabhängiger Variablen gegeben. So kann beispielsweise die Geschwindigkeit an jeder Stelle einer Bahn vorgeschrieben sein, v = v(s), oder die Beschleunigung eines Fahrzeugs hängt von der bereits erreichten Geschwindigkeit ab, a = a(v). In solchen Fällen wird die Zeit als unabhängige Variable in den Definitionsgleichungen durch Substitution passend ersetzt. Für die räumliche Bahnkurve der Abbildung bereitet die Normalbeschleunigung keine besonderen Schwierigkeiten, da diese über den Krümmungsradius und den Betrag der Geschwindigkeit ohne Differentiation ausgerechnet werden kann. Für die Tangentialbeschleunigung als Änderung des Betrages der Geschwindigkeit v mit der Zeit gilt (1.1.41) x z P y Statt v(t) stellen wir uns die neue Funktion v(s(t)) vor und wenden die zeitliche Ableitung in der Definitionsgleichung unter Verwendung der Kettenregel der Differentialrechnung auf diese neue Funktion an (1.1.42) Im zweiten Faktor erkennen wir die Definition der Geschwindigkeit wieder ds dt = v. Die Tangentialbeschleunigung errechnet sich also aus (1.1.43) Bei gegebenem v(s) kann dieser Ausdruck unmittelbar ausgewertet werden, um die Tangentialbeschleunigung a t (s) zu berechnen. Ist umgekehrt die Tangentialbeschleunigung a t (s) bekannt, so kann auch die zur Berechnung der Geschwindigkeit notwendige Integration ausgeführt werden. Dazu verwenden wir das Verfahren der Trennung der Variablen: (1.1.44) Dabei wird der Integrationsvariablen ds auf der linken Seiten die als gegeben betrachtete Funktion a t (s) zugeordnet, der Integrationsvariablen dv die lineare Funktion f(v) = v. Der rechts stehende Ausdruck kann integriert werden, da vorausgesetzt war, dass die Funktion a t (s) gegeben ist: (1.1.45) Das Geschwindigkeitsintegral ist hier unmittelbar ausgewertet worden. 22

26 Im einfachsten Fall ist die Tangentialbeschleunigung konstant, wie etwa beim Freien Fall a t = g. Wir erhalten dann (1.1.46) Beginnt der Freie Fall bei s = 0 mit der Geschwindigkeit v(s = 0) = v 0, so ergibt sich die Konstante zu: c v = 1 2 v2 0. Für die Geschwindigkeit an beliebiger Stelle s erhalten wir den Ausdruck (1.1.47) in Übereinstimmung mit dem Ergebnis des früheren Beispiels zum Freien Fall (Bungeespringen) Gl. B auf S. 17, bei dem v 0 = 0 und ein anderer Richtngssinn der Geschwindigkeit vorgegeben war. Übungen 1. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a = a 0 = const a) Bestimmen Sie das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v(t) und das Weg-Zeit-Gesetz s(t), falls die Bewegung zum Zeitpunkt t = t 0 an der Stelle s = s 0 mit der Geschwindigkeit v = v 0 beginnt! b) Skizzieren Sie die Funktionen v(t) und s(t) sowie die Funktion v(s)! 2. Bremsweg a) Bestimmen Sie den Bremsweg eines Fahrzeugs, das von der Geschwindigkeit v = v 0 mit einer konstanten Beschleunigung a = a 0 = const bis zum Stillstand abgebremst werden soll! b) Welche Zeit vergeht während des Bremsvorganges? c) Um wieviel verlängert sich der Bremsweg, wenn eine Schrecksekunde t s den Beginn des Bremsvorgangs verspätet? 3. Der Motor eines Fahrzeugs liefert eine geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung a(v), die als Parabelfunktion angenähert werden kann. Im Stand, v = 0, soll die Beschleunigung den Wert a 0 haben, für v = 2/3 v max sei die Beschleunigung maximal, sie verschwindet bei Erreichen der maximalen Geschwindigkeit v max. a) die Funktion a(v) und die maximale Beschleunigung a max = a(2/3 v max ), b) die Zeit τ, nach welcher das Fahrzeug die halbe Maximalgeschwindigkeit 1/2 v max erreicht hat! 23

27 Beispiel: Fluchtgeschwindigkeit a) Bestimmen Sie die Beschleunigung a(s) als Funktion des Erdradius R E, der Erdbeschleunigung a(0) = g an der Erdoberfläche und des Abstands s von der Erdoberfläche! s b) Bestimmen Sie die Fluchtgeschwindigkeit v 0 = v(s = 0), für die ein Körper gerade nicht mehr auf die Erde zurückfällt (Bedingung: v(s ) = 0) Geg.: R E = 6360 km, g = 9, 81 m/s 2 2R E Lösung Die Gravitationsbeschleunigung nimmt außerhalb der Erdkugel quadratisch mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt ab und stimmt an der Erdoberfläche mit der bekannten Konstanten g an der Erdoberfläche überein. Wenn wir den Richtungssinn des Beschleunigungsvektors a(s) von der Erde weg zeigend positiv annehmen, gilt 4) (B1.1.34) Lageplan s Für einen Körper, der sich frei in Richtung s bewegt, ergibt sich für die Geschwindigkeit (B1.1.35) Mit v 0 = v(s = 0) folgt für die Konstante c v = 1 2 v2 0 g R E und für die Geschwindigkeit (B1.1.36) 4) Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass das hier aufgestellte Gesetz (??) nicht für s < 0, also innerhalb der Erdkugel, gilt. 24

28 Damit der Körper antriebslos dem Schwerefeld der Erde entrinnen kann, ergibt sich aus der Bedingung v(s ) = 0 für die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit v 0 = v(s = 0) der Wert (B1.1.37) v 0 = 2 g R E. Mit den Zahlenwerten R E = 6360 km und g = 9, 81 m/s 2 ergibt sich für die Fluchtgeschwindigkeit (B1.1.38) v 0 11 km/s 25

29 1.1.8 Kinematik der Relativbewegung Reine Translation der Bezugssysteme Die Bewegung eines Punktes kann aus verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden. Das x, y, z-koordinatensystem und das ξ, η, ζ-koordinatensystem der Abbildung sollen relativ zueinander bewegt sein. Ohne Einschränkung hinsichtlich der kinematischen Zusammenhänge soll das x, y, z-koordinatensystem ruhen, die Verschiebung des ξ, η, ζ-koordinatensystem soll gegen das x, y, z-koordinatensystem zunächst rein translatorisch ablaufen. Relativ zum x, y, z-koordinatensystem soll also keine Rotation auftreten. x z ξ ζ O η y P Den Ortsvektor r zum Punkt P können wir durch den Ortvektor r O zum Ursprung O des ξ, η, ζ- Koordinatensystem und den Ortsvektor r O,P von O nach P ausdrücken: (1.1.48) Um die Bedeutung des x, y, z-koordinatensystems hervorzuheben, wollen wir den Ortsvektor als Absolutvektor mit r = r abs bezeichnen und das x, y, z-koordinatensystem als Absolutsystem. 5) Durch zeitliche Differentiation erhalten wir die Geschwindigkeit v = d r, die wir als absolute dt Geschwindigkeit bezeichnen wollen, zu (1.1.49) Dabei ist v O = d r O die Geschwindigkeit des Bezugspunktes des ξ, η, ζ-koordinatensystem, sie dt wird als Fahrzeug- oder Führungsgeschwindigkeit v f bezeichnet. v O,P = d r O,P heißt Relativgeschwindigkeit v rel. Dies ist also diejenige Geschwindigkeit des Punktes P, die ein mit dem dt ξ, η, ζ-fahrzeugsystem fest verbundender Beobachter als einzige wahrnimmt. Mit diesen Bezeichnungen gilt also (1.1.50) Analog werden durch nochmalige Differentiation nach der Zeit Absolutbeschleunigung, Fahrzeugoder Führungsbeschleunigung und Relativbeschleunigung definiert. Es gilt der Zusammenhang (1.1.51) 5) Diese Einordnung spielt für die kinetischen Betrachtungen des folgenden Kapitels eine entscheidende Rolle. 26

30 Der Spezialfall des Übergangs von einem Koordinatensystem in ein anderes, bei dem nicht nur wie bisher eine reine Translation, sondern noch zusätzlich eine verschwindende Fahrzeugbeschleunigung a f f = 0 also v f = const gefordert wird, wird Galilei-Transformation genannt. Hier gilt also (1.1.52) Dieser Transformation kommt, wie wir im Rahmen der Kinetik sehen werden, eine besondere Bedeutung zu, da, wenn an das Absolutsystem besondere Bedingungen geknüpft sind, in beiden Koordinatensystemen wegen a abs a rel das Zweite Newtonsche Bewegungsgesetz uneingeschränkt gilt. Solche mit konstanter Geschwindigkeit gegen ein solches Absolutsystem bewegte Koordinatensysteme werden Inertialsysteme genannt. Die besondere Schwierigkeit besteht in der Kinetik darin ein geeignetes Absolutsystem festzulegen. Nach unseren heutigen Kenntnissen ist eine solche Festlegung nicht möglich 6). Übung: Schallausbreitung in bewegter Luft Eine Druckwelle breitet sich mit einer charakteristischen Geschwindigkeit v d relativ zu ruhender Luft mit konstanter Temperatur und Dichte ρ aus. Einhergehend mit der Verdichtung ρ > 0 durch die Druckwelle kommt es zu eine Geschwindigkeitsänderung v im Luftstrom. Im Falle sehr kleiner Druckänderungen p 0 geht die Druckwelle in eine Schallwelle über. Geg.: v, v, v d Ges.: a) Breitet sich die Druckwelle relativ zur Luft nach links oder rechts aus? b) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v w der Druckwelle, die der ruhende Beobachter wahrnimmt! v mitbewegtes Kontrollvolumen ρ ρ+ ρ v w v e v a v + v c) Die Geschwindigkeit v e, mit der der Luftstrom in das mit der Druckwelle mitbewegte Kontrollvolumen eintritt! d) Die Geschwindigkeit v a, mit der der Luftstrom aus dem mitbewegten Kontrollvolumen austritt! 6) In seinen beiden Relativitätstheorien hat Einstein die Tatsache, dass kein Absolutsystem festgelegt werden kann, zum Prinzip erhoben und mit zusätzlichen Forderungen, in der Speziellen Realtivitätstherie ist dies die Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit und in der Allgemeinen Relativitätstheorie außerdem die Bedingung der Gleichheit von schwerer und träger Masse, weitreichende Rückschlüse auf die Struktur von Raum und Zeit und die Bewegungsgesetze bis hin zur Äquivalenz von Masse und Energie und zur Erklärung der Gravitationskraft gezogen. 27

31 Translatorisch und rotatorisch bewegte Bezugssysteme Der Ortsvektor setzt sich wie bei der reinen Translation zusammen (1.1.53) ζ Bei der zeitlichen Differentiation muss nun berücksichtigt werden, dass die Einheitsvektoren i, j und k des ξ, η, ζ-koordinatensystem rotieren, also nicht mehr zeitlich konstant sind wie bei der reinen Translation: x z ξ r f r rel r abs y η P (1.1.54) Es ist deshalb mit der Produktregel (1.1.55) Der Beitrag der ersten drei Terme in Gl. (1.1.55) berücksichtigt die Rotation des ξ, η, ζ-koordinatensystems, die die zeitlichen Änderung der Einheitsvektoren bewirkt. Sie lassen sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω = d φ/dt des ξ, η, ζ-koordinatensystems durch (1.1.56) di i (t) dϕ i (t+dt) ausdrücken (vergl. S. 5, Gl. (1.1.20). Insgesamt ergibt sich mit Gl. (1.1.53) nach Ausklammern von ω (1.1.57) Dieser Beitrag ist als Anteil an der Fahrzeuggeschwindigkeit zu interpretieren, denn er stellt die Geschwindigkeit des Punktes P dar, falls dieser fest mit dem ξ, η, ζ-koordinatensystems verbunden wäre, also falls dξ dt = dη dt = dζ dt = 0 und damit v rel verschwinden würde. Mit der zusätzlich möglichen Translation v O des Ursprung ist die Fahrzeuggeschwindigkeit insgesamt durch (1.1.58) 28

32 vollständig erfasst. Die zweiten drei Terme ξ i + η j + ζ k in Gl. (1.1.55) berücksichtigen die zeitliche Änderung der Lage des Punktes P relativ zum ξ, η, ζ-koordinatensystem. Diese interpretieren wir deshalb als Geschwindigkeit v rel (1.1.59) die ein mit dem Ursprung des ξ, η, ζ-koordinatensystem mitbewegter Beobachter wahrnimmt. Wir wollen dafür die Schreibweise (1.1.60) einführen. Für die spätere Verwendung halten wir noch folgende Rechenregel fest, die nach Gl. (1.1.55) für einen beliebigen Ortsvektor c im ξ, η, ζ-koordinatensystems gilt. Die zeitliche Änderung dieses Vektors c können wir für ein in Bezug auf ein festes Koordinatensystem mit ω rotierendes Koordinatensystem durch (1.1.61) ausdrücken. d c dt = ω c + d c dt Insgesamt folgt also für die Absolutgeschwindigkeit die Zerlegung (1.1.62) Wir wollen uns nun der Beschleunigung zuwenden. Dazu ist nochmalige zeitliche Differentiation (1.1.63) notwendig. Dies liefert mit v f = v O + ω r rel (1.1.64) Der erste Summand d v O dt dar. stellt einfach die translatorische Beschleunigung des Fahrzeugsystems Der zweite Summand d dt( ω rrel ) berücksichtigt Beiträge, die von der Rotation des Fahrzeugsystem und von der Relativbewegung herrühren. Ausdifferenziert lautet dieser Term (1.1.65) 29

33 Bei der Rechnung haben wir in der zweiten Zeile die Rechenregel (1.1.61) und in der dritten Zeile die Definition der Relativgeschwindigkeit benutzt. Bei eingefrorener Relativbewegung, v rel = 0, führt die Rotation des ξ, η, ζ-koordinatensystem zu einer Kreisbewegung des Punktes um den Koordinatenursprung des ξ, η, zeta-systems mit Radiusvektor r rel. Die damit verbundenen Beschleunigungen sind die Tangentialbeschleunigung bei beschleunigt rotierendem Koordinatensystem (vergl. S. 12, Gl. (1.1.36)) (1.1.66) und die Normalbeschleunigung bei der Bewegung auf der Kreisbahn (1.1.67) Mit der durch a O = d v O /dt erfassten translatorischen Beschleunigung des Fahrzeugsystems erhalten wir für die Fahrzeugbeschleunigung also insgesamt die drei Anteile (1.1.68) Hinzu tritt noch der weitere Term ω v rel, der nur bei einer Relativbewegung des Punktes, v rel 0, auftritt und deshalb nicht der Fahrzeugbewegung zugeordnet wird. Für den dritten Summanden d v rel in Gl. (1.1.64) erhalten wir wieder wegen der Drehung der dt Einheitsvektoren mit unserer Rechenregel nach Gl. (1.1.61) (1.1.69) Darin taucht nochmals das Produkt ω v rel = v ξ i + v η j + v ζ k auf. Wir erhalten also insgesamt für die Beschleunigung die Darstellung (1.1.70) oder abkürzend (1.1.71) 30

34 mit (1.1.72) Die Fahrzeugbeschleunigung setzt sich zusammen aus der mit der Translation verbundenen Beschleunigung des Ursprungs O des bewegten Systems und mit der durch die Rotation bedingten Tangential- und Normalbeschleunigung des Punktes P, so als sei der Punkt P fest mit dem translatorisch und rotatorisch beschleunigten Relativsystem verbunden. Die restlichen Terme sind durch die Bewegung relativ zum bewegten Bezugssystem bestimmt, wie sie ein mitbewegter Beobachter wegen v rel 0 wahrnimmt. Die verbliebenen beiden Beschleunigungsanteile werden aufgeteilt in die Relativbeschleunigung, wie sie ein mitbeweger Beobachter natürlicherweise anhand der Änderung der Relativgeschwindigkeit definieren würde, (1.1.73) a rel = d v rel dt und einem weiteren Anteil (1.1.74) a cor = 2 ω v rel, der auch bei konstanter Relativgeschwindigkeit auftritt und Coriolisbeschleunigung a cor genannt wird. Die Coriolisbeschleunigung verschwindet in Spezialfällen auch wenn v rel 0, nämlich wenn die Relativgeschwindigkeit gerade parallel zur Rotationsachse gerichtet ist. In allen anderen Fällen entsteht durch die Relativgeschwindigkeit eine Beschleunigung, die senkrecht zur Rotationsachse und senkrecht zur Relativgeschwindigkeit orientiert ist. 31

35 Übungen 1. Werten Sie die erhaltenen Ausdrücke für Führungsgeschwindigkeit und Führungsbeschleunigung sowie Coriolisbeschleunigung für den Sonderfall eines ebenen Problems aus, wobei Winkelbeschleunigung und -geschwindigkeit der Führung sowie die Relativgeschwindigkeit nach Skizze gegeben sein sollen. y ω, ω r f η r rel r abs P ξ v rel x 2.1 Vom Zentrum M einer mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Scheibe des Durchmessers d wird ein Ball mit einer Geschwindigkeit v B Luftlinie radial nach außen geworfen. ω Z a) Skizzieren Sie qualitativ die Bahnkurven des Balls im Absolutsystem und in einem Koordinatensystem, das im Mittelpunkt der Scheibe mitrotiert! v B α M b) Welcher Vorhaltewinkel muss eingestellt werden, damit der Ball die Zielscheibe Z, die am Scheibenrand mitrotiert, trifft? c) Unter welchem Winkel und mit welcher Relativgeschwindigkeit trifft der Ball die Zielscheibe? d 2.2 Der Ball soll alternativ mit der Geschwindigkeit v B Luftlinie vom Scheibenrand zum Zentrum der Scheibe geworfen werden. a) Skizzieren Sie qualitativ die Bahnkurven des Balls im Absolutsystem und in einem Koordinatensystem, das im Mittelpunkt der Scheibe mitrotiert! b) Welcher Vorhaltewinkel muss nun eingestellt werden, damit der Ball das Zentrum M der Drehscheibe passiert? c) Wie groß muss die Geschwindigkeit des Balls mindestens sein, damit es eine Lösung des Problems gibt? Wie groß ist in diesem Grenzfall der Vorhaltewinkel und wie lange braucht dann der Ball, um die Zielscheibe zu erreichen? d) Wie ändern sich die Bedingungen, wenn zusätzlich die Schwerkraft senkrecht in Richtung zur Scheibenebene auf den Ball einwirkt? Diskutieren Sie den Fall, dass der Ball stets waagerecht geworfen wird γ = 0 und den Fall, dass zum Ausgleich der Ball unter einem Winkel γ 0 zur Horizontalen geworfen wird! 3. a) In welcher Richtung drehen Hoch- und Tiefdruckwirbel auf der nördlichen bzw. auf der südlichen Hemisphäre der Erde? b) Was halten Sie von dem Experiment, welches von Einheimischen am Äquator den Touristen vorgeführt wird? (Movie auf der Mechanik-Seite der Homepage des Insituts. Selbstversuch in der Badewanne!) 4. In der Gartenpflege ist bekannt, dass Rasenmäher mit Viertaktmotoren beim Mähen in schräger Hanglage nach kurzer Zeit immer wieder ausgehen. Zweitaktmotoren zeigen dieses Problem nicht und sind für solche Arbeiten deshalb besser geeignet. Diskutieren Sie, ob dieses Verhalten auch bei Motorrädern im Falle der Schräglage in Kurvenfahrten eine Rolle spielt! 32

36 Beispiel: Coriolisbeschleunigung Durch die stärkere Erwärmung der Erde am Äquator strömen bodennahe Luftmassen vorherrschend vom Nord- bzw. Südpol in Richtung Äquator. Die wärmeren Luftmassen am Äquator erzeugen nämlich bodennah einen geringeren Luftdruck als die kalten an den Polen. Die mit der Druckdifferenz verbundenen Kräfte F p in Richtung Äquator veranlassen bodennahe Luftschichten dorthin zu strömen. Sieht man vom Mitnahmeeffekt der Luftmassen durch Reibung an der Erdoberfläche ab, so werden vom Weltraum aus betrachtet (Absolutsystem) durch die genannten Druckunterschiede Luftmassen lediglich geradlinig von den Polen zum Äquator hin verschoben (rechtes Bild). Erdgebundene Beobachter, die sich auf der Erdoberfläche nach Süden bewegen, beobachten, da die Umfangsgeschwindigkeit der Erdoberfläche am Äquator größer als an den Polen ist, nordöstliche Winde auf der Nordhalbkugel, die bekannten Nord-Ost-Passatwinde, entsprechend Süd- Ost-Passatwinde auf der Südhalbkugel. Von Standpunkt erdgebundener Beobachter aus werden also die Luftmassen relativ zur Erdoberfläche nach Westen verschoben 7). Üblicherweise wird vom erdgebundenen Beobachter zur allerdings falschen, zumindest mit Vorsicht zu genießenden Erklärung 8) der scheinbar gekrümmten Bahnkurven eine zusätzliche Hilfskraft oder Scheinkraft eingeführt, die in westliche Richtung weist, also genau in entgegengesetzte Richtung zur Coriolisbeschleunigung (siehe geführte Bewegung weiter unten). Die notwendige Coriolisbeschleunigung, um der Bewegung der Erdoberfläche zu folgen, würde Kräfe in östlicher Richtung erfordern! Die Reibung der Luftteilchen mit dem Erdboden reicht dazu aber bei weitem nicht aus. ϕ N N ϕ W Äquator O W O S Wahrnehmung der Bahnkurven der Luftströmung für einen erdgebundenen Beobachter S Wahrnehmung der Bahnkurve Quelle: sealevel.jpl.nasa.gov für einen Beobachter in einem erdfernen Inertialsystem (grob vereinfacht) Anders verhält es sich, wenn ein Fahrzeug auf einer Fahrt in Richtung der Längengrade etwa durch Schienen mit der Erdbewegung mitgeführt wird. Erfolgt die Bewegung auf der Nordhalbkugel mit v rel nach Süden, so ergibt sich wegen (B1.1.38) a cor = 2 φ v rel eine Coriolisbeschleunigung nach Westen. Um diese von der Bahnkurve der Passatwinde abwei- 7) Entsprechend verhalten sich Hoch- und Tiefdruckgebiete. Auf der Nordhalbkugel drehen Hochdruckwirbel im Uhrzeigersinn, Tiefdruckwirbel im Gegenuhrzeigersinn. 8) Die in dieser Art auch in anderen ähnlichen Fällen eingeführten Hilfskräfte keine Kräfte im Newtonschen Sinne, denn sie verletzen das Wechselwirkungsprinzip! Im Rahmen der hier vorgestellten Theorie zur Dynamik bringen sie keinen Vorteil und sollten konsequent vermieden werden. 33