Aerodynamik bei Flugzeugen und welche Kräfte wirken

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1 Städtisches Albert-Schweitzer-Gymnasium Plettenberg Aerodynamik bei Flugzeugen und welche Kräfte wirken Facharbeit im Leistungskurs Physik Fachlehrer: Herr Schröder von Marc von Kozierowski Schuljahr 00/00

2 Inhaltsverzeichnis Einführung 4 Der Satz von Bernoulli 5. Aussage 5. Herleitung 5 3 Die vier wirkenden Kräfte Aerodynamischer Widerstand Entstehung der Beiwerte 9 3. Vortrieb (Schubkraft) Gewichtskraft 3.4 Auftriebskraft 3 4 Anwendung auf den A Rechenbeispiele (Daten) 3 Literatur- und Quellenverzeichnis 7

3 . Einleitung In unserer heutigen Zeit ist das Fliegen zwar nichts außergewöhnliches mehr, da es mittlerweile auch für den Normalbürger erschwinglich geworden ist, dennoch ist es für viele Menschen immer noch ein Rätsel, warum ein Flugzeug fliegen kann. Für viele bleibt es ein Leben lang unverständlich wie sich ein gigantisches Flugzeug mit einer Länge von Teils über 00m und einem Gewicht von mehreren zehn Tonnen, in die Luft erheben kann. Viele stellen sich die Frage, wieso ein Stein vom Himmel fällt, ein Flugzeug aber oben bleibt. Wer sich jedoch genauer mit dieser Thematik beschäftigt wird schnell feststellen, dass auch Flugzeuge keine Wunderwerke der Technik sind, sondern einfachen physikalischen Gesetzen unterworfen sind. Um einen kurzen Einblick geben zu können, warum es physikalisch möglich ist, dass etwas, was eine vielfach höhere Dichte als Luft hat, in ihr aufsteigen kann, beschäftigt man sich am besten mit den vier wichtigsten Kräften die auf ein Flugzeug wirken. Diese vier sind Aerodynamischer Widerstand, Vortrieb oder Schub sowie die Gewichts- und Auftriebskraft. Davon sind der Widerstand und der Vortrieb sowie die Gewichtsund Auftriebskraft jeweils Kräfte die gegeneinander wirken. So entsteht durch den Vortrieb Geschwindigkeit, welche durch den Luftwiderstand und dessen Reibung wieder vermindert wird. Die Auftriebskraft eines Flugzeuges wirkt der Gewichtskraft entgegen und muss größer als sie sein, damit das Flugzeug starten kann, gleich groß müssen sie sein, damit es seine Flughöhe beibehält. Wie diese Kräfte zusammenhängen und wie man sie erklären kann, wird in dieser Arbeit genauso erläutert wie die Umsetzung dieser Erkenntnisse in der heutigen Luftfahrt.

4 . Der Satz von Bernoulli. Aussage Das Gesetz von Bernoulli sagt aus: In einer stationären Strömung ist die Summe aus dem statischen Druck und dem dynamischen Druck konstant. Sie entspricht dem hydrostatischen Druck der ruhenden Flüssigkeit Die dazugehörige Formel lautet: p + ρ v² = konst Diese Formel ist von zentraler Bedeutung für die Luftfahrt geworden, da sie, auch aussagt, dass mit steigender Geschwindigkeit der Flüssigkeit oder des Gases dessen Druck abnimmt. Auf diesem Prinzip beruht der Auftrieb mehr dazu im Kapitel 3.4 Der Auftrieb.. Herleitung Um den Satz von Bernoulli jedoch richtig verstehen zu können, sollte man die oben genannte Formel herleiten. Hierzu sollte man wissen, dass Bernoulli sich für diese Formel mit dem Strömungs- und Druckverhalten in Rohrsystemen beschäftigt hat und hier besonders Abb. : Rohr mit Engstelle das Strömungsverhalten an Engstellen untersuchte. Er stellte fest, dass sich die Flüssigkeit oder das Gas an Engstellen solange nicht verdichtet, wie es weiterfließen kann. Dies heißt dann, dass über die unterschiedlichen Stecken sund s in der gleichen Zeit das selbe Volumen ( V = V ) fließen muss. Daraus folgt die Formel: Abb. : Die verschiedenen Flächen Horst Kuchling, Physik - Formeln und Gesetzte, (Mittweida: Buch- und Zeit- Verlagsgesellschaft mbh Köln, 969), Seite 9. Und Prof. Dr.-Ing. H. Gobrecht, Bergmann Schaefer Lehrbuch zu Experimentalpyhsik Band I, (Walter de Gruyter & Co. Berlin, 970) Seite 304 ff.

5 V V A s A s = = A v = A v da v t t t t Dies zeigt, dass mit Zunahme der Größe der Fläche A die Geschwindigkeit v der Flüssigkeit abnehmen muss, oder dass mit Abnahme des Durchmessers des Rohres die Geschwindigkeit v zu- nehmen muss. ( Durchflußgesetz ). Will man in so einem Rohr die Flüssigkeit bewegen, muss man die Arbeit W = F s bzw. W = F s verrichten. In diesem Fall ist F die Druckkraft p A daraus folgt: s = t W = p A s = p V bzw. W = p A s = p V Rechnen wir die Differenz zwischen diesen beiden Arbeiten aus, wird es möglich, mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Druck wieder ins Spiel zu bringen: W Druck = W W = ( p p) V und W Kin = m v² = ρ V v² Bei der kinetischen Energie wurde die Masse m durch dies für Flüssigkeiten und Gase besser zu verwenden ist. W Kin = WKin WKin = ρ V ( v ² v ²) ρ V ersetzt, da Wir setzen W Kin und W Druck wegen des Energieerhaltungssatzes gleich: W Druck = WKin p p ) V = ρ V ( v ² v ²) p + ρ v ² = p + ρ ( v ² Aufgrund dieser Beziehung ist der Satz p + ρ v² = konst bewiesen. Die Formel sagt aus, dass die Summe von statischem Druck p und dem dynamischen Druck ρ v² (Staudruck) gleich groß sind. Horst Kuchling, Physik - Formeln und Gesetzte, (Mittweida: Buch- und Zeit- Verlagsgesellschaft mbh Köln, 969), Seite 8-9.

6 3. Die vier wirkenden Kräfte 3.. Der Aerodynamische Widerstand Mit Aerodynamischem Widerstand wird die Kraft bezeichnet, die sich aus dem Reibungswiderstand der Luft an den einzelnen Komponenten des Flugzeugs, dem Druckwiderstand dieser Komponenten sowie dem induzierten Widerstand zusammensetzt. Der Reibungswiderstand der Luft entsteht durch die Zähigkeit der Luft, sowie der Oberflächenrauhigkeit der verschiedenen Bauteile eines Flugzeuges. Die Zähigkeit (Vikosität) ist eine Folge der Kraftwirkung der Moleküle 3 untereinander. Sie ist eine innere Reibung, die zu folge hat, dass Luftmoleküle, die an einer Fläche reiben gebremst werden und die umströmende Luft mit abbremsen. Wie gut sich die Luftmoleküle an der Oberfläche festsetzen können bzw. daran haften können, hängt von der Oberflächenrauhigkeit sowie der Luftdichte ab. Man spricht von einer großen Rauhigkeit, wenn die Oberfläche des Stoffes stark uneben ist, wenn sie also nicht glatt ist sondern Höhenunterschiede aufweist. Auf diesen Stoffen finden die Luftmoleküle aufgrund der größeren Fläche im Vergleich zu einer glatten Oberfläche mehr Halt, so dass die Reibung zunimmt. Da die Luftzähigkeit proportional zur Luftdichte abnimmt, hat auch diese einen Einfluss auf die Reibung an den verschiedenen Elementen. Der Druckwiderstand hängt im wesentlichen nicht von dem verwendeten Material sondern von der Form der Bauteile ab. So spielt der Staudruck der Luft, der auf die Bauteile wirkt, eine große Rolle. Wie stark jedoch der Staudruck auf ein Element des Flugzeugs wirkt hängt zum größten Teil von der Form des Gegenstandes ab. Nimmt man zum Beispiel eine Halbkugel und richtet diese mit der konkaven Seite einem Luftstrom entgegen, kann die Luft nur schwer ausweichen, daher kann der Staudruck gut auf die Halbkugel wirken. Auf diese Weise wirkt beispielsweise ein Fallschirm, da die Luft 3 Horst Kuchling, Physik - Formeln und Gesetzte, (Mittweida: Buch- und Zeit- Verlagsgesellschaft mbh Köln, 969), Seite 3.

7 nämlich zu den Seiten kaum ausweichen kann. Dreht man diese Halbkugel um, dass die konvexe Seite in Richtung des Windstroms gerichtet ist, ist es für die Luft relativ einfach über die abgeflachten Seiten auszuweichen, daher ist hier der Druckwiderstand relativ gering. Im Großen und Ganzen kann man daher sagen, dass der Druckwiderstand immer geringer wird, wenn die Form des Gegenstandes immer spitzer zuläuft, da es hier für die Luftströmungen einfacher wird sich anzupassen. Ebenso entstehen bei solchen Körpern weniger Verwirbelungen, die dem Körper Energie entziehen würden, diese Körper nennt man Stromlinienkörper. Die Formel für den Aerodynamischen Widerstand lautet: 4 F = ρ v² A wi C Wi In Worten bedeutet diese Formel, dass der Widerstand von dem Staudruck ρ v²,der auf die Fläche A wirkt und dessen Form abhängig ist, die durch den Widerstandsbeiwert C Wi einbezogen wird. Der Widerstandsbeiwert gibt also an, wie aerodynamisch ein Körper geformt ist. Desto kleiner sein Widerstandsbeiwert ist, desto weniger aerodynamischer Widerstand entsteht. Die konstante C wi wird nicht direkt errechnet sondern durch Experimente im Windkanal empirisch untersucht (siehe Kapitel 3..). Um den Widerstand für das gesamte Flugzeug zu erlangen, ist es jedoch nicht möglich, die einzelnen Beiwerte zu addieren und durch die Anzahl der Elemente zu dividieren sondern man muss deren Flächen berücksichtigen. Daraus ergibt sich die Formel: F wi = ρ v² ( A C + A C... A C Wi Wi n Win Jedoch ist auch diese Formel immer noch leicht fehlerhaft, da sich die einzelnen Strömungen an den verschiedenen Bauteilen gegenseitig beeinflussen und somit ein leicht anderes Verhalten zeigen als in den ) 4 F. und W. Hesse, Der Segelflugzeugführer 6. Überarbeitete Auflage, (Marburg: Hitzeroth, 988), Seite 0.

8 Windkanaltests. Die Widerstandsveränderung die hier auftritt, nennt man Interferenzwiderstand. Verbessern sich die aerodynamischen Eigenschaften des Flugzeuges, spricht man von einem negativen Interferenzwiderstand, verschlechtern sie sich, spricht man von einem positiven Interferenzwiderstand. Desweiteren treten an den Flügelaussenseiten, aufgrund des Druckunterschieds zwischen Ober- und Unterseite (siehe Kapitel 3.4), Verwirbelungen auf, die dem Flugzeug Energie entziehen und somit als Widerstand zählen. Sie entstehen dadurch, dass die Luftmassen an den Aussenseiten der Tragflächen den Druckunterschied ausgleichen. Daher strömt die Luft über die Ränder von unten nach oben, wodurch starke Wirbel entstehen, die dem Körper Energie entziehen. Auch dieser sogenannte induzierte Widerstand läßt sich mit der Oben genannten Formel berechnen lediglich ein anderer Beiwert CI ist notwendig: 5 F = ρ v² A I C I 3.. Messen der Beiwerte Oben häufig angesprochen waren die Widerstandsbeiwerte, die mehr oder weniger nicht zu errechnen sondern im Windkanal zu erproben sind. Wie jedoch diese Beiwerte gemessen werden, soll hier kurz beschrieben werden. Für die Messung der Widerstands- sowie auch Auftriebsbeiwerte wird vor allem ein spezieller Kraftmesser benötigt, bzw. eine Zweikomponentenwaage (siehe Abb. 3). Mit dem Abb. 3: Das Bild zeigt eine Zweikomponentenwaage zur Bestimmung von Auftrieb und Widerstand 5 F. und W. Hesse, Der Segelflugzeugführer 6. Überarbeitete Auflage, (Marburg: Hitzeroth, 988), Seite.

9 verschiebbaren Gewicht G wird das Bauteil, bzw. ein Modell des Bauteils, ins Gleichgewicht gebracht. Danach läßt man Luft von vorne über das Bauteil strömen und liest die nach oben wirkenden Kräfte (Auftrieb) sowie die nach hinten gerichteten Kräfte (Widerstand) ab, mit denen es dann möglich ist die individuellen Beiwerte für verschiedene Anstellwinkel α zu errechnen. Der Auftriebsbeiwert wächst bis zu einem Anstellwinkel von 5 kontinuierlich an, dies liegt daran, dass der Weg über den Flügel bei steigendem Anstellwinkel immer weiter zunimmt, dies hat einen höheren Auftrieb zur Folge (siehe 3.4). Da jedoch auch der Widerstand kontinuierlich zunimmt, wird bei ca. 5 der Anstellwinkel mit dem besten Auftriebsbeiwert erreicht, da bei einem höheren Winkel der Widerstand größer als der Auftrieb wird. Die Zunahme des Widerstandsbeiwertes läßt sich dadurch erklären, dass bei 5 nicht mehr der Flügel (Stromlinienkörper) von vorne sondern schräg von oben angeblasen wird, es entstehen also wieder verstärkt Verwierbelungen. Abb. 4: Auftriebsziffer C a als Funktion des Anstellwinkels α Abb. 5: Widerstandsziffer Cw als Funktion des Anstellwinkels α 3. Der Vortrieb oder die Schubkraft Die Schubkraft ist die Kraft, die dem oben kennengelerntem Widerstand entgegenwirkt. Die beiden Kräfte wirken gegeneinander. Um ein Flugzeug in Bewegung zu versetzen benötigt man die Schubkraft, die es beschleunigt und den Widerstand überwindet. Eine Möglichkeit ist es mit einem Propeller, der die Luftmassen nach hinten schaufelt, Schub zu erzeugen. Der Schub entsteht dadurch,

10 dass durch die Propellerblätter die Luftmassen nach hinten beschleunigt und transportiert werden. So entsteht eine Beschleunigungskraft, der eine gleich große Gegenreaktion folgen muss. Diese Gegenreaktion überträgt sich auf das Flugzeug und schiebt es als Schubkraft nach vorne. Abb. 6: Zeigt das Schema einer Strahlturbine Ein anderes und moderneres Prinzip Schub zu erzeugen, ist das eines Strahltriebwerkes (Abb. 6): Die Luft wird angesaugt, verdichtet und gezündet. Die sehr stark expandierenden Verbrennungsgase treten mit hoher Geschwindigkeit nach hinten aus und treiben das Flugzeug an 6. kann man dem Laien die Schubkraft die bei dieser Art von Triebwerken entsteht mit der eines Wasserschlauchs. Bei diesem steht das Wasser, welches mit einer relativ geringen Geschwindigkeit unter geringem Druck aus dem Schlauch spritzt, für die Verbrennungsgase des Flugzeuges. Dennoch merkt man schon hierbei einen relativ starken Rückstoß. Dies liegt vor allem an der großen Dichte des Wassers, es wird also trotz der geringen Geschwindigkeit eine große Masse transportiert. Die Formel für die Schubkraft lautet: 7 F Schub m = v t Die Formel kommt aufgrund der Impulsänderung zustande so entsteht aufgrund der ausströmenden Gase ein Impuls m v, der einen genaus o großen Gegenimpuls m v erzeugt, durch diese gegengerichte Kraft entsteht der Rückstoß, der das Flugzeug antreibt. Mit Hilfe der oben genannten Formel kann man auch die Beschleunigung eines Flugzeuges annähernd errechnen. Rechenbeispiele finden Sie im Kapitel 4. 6 Eberhard Anger M.A., Der Taschenbrockhaus - Luftfahrt, (Leipzig: F.A. Brockhaus GmbH, 999), Seite Rudolf Göbel, Wissensspeicher Physik, (Berlin: Cornelsen, 996), Seite 00.

11 3.3 Die Gewichtskraft Die Gewichtskraft des Flugzeuges ist wohl die einfachste Kraft, die auf das Flugzeug wirkt. Die Formel kann als Allgemeinbildung vorausgesetzt werden sie lautet: F G = m g Sie bedeutet kurz gesagt Masse x Erdbeschleunigung (ca. 9.8 N/kg). Dies heißt für die Luftfahrt, dass möglichst stabile aber gleichzeitig leichte Materialien für den Flugzeugbau verwendet werden sollten, da die Gewichtskraft der Auftriebskraft entgegenwirkt. 3.4 Die Auftriebskraft Dies ist wohl die bedeutendste Kraft für die Fliegerei, denn sie macht das Fliegen erst möglich, mit ihrer Hilfe ist es möglich, die Gewichtskraft des Flugzeuges zu überwinden. Die Auftriebskraft kommt durch das Flügelprofil (Abb. 7) zustande, so ist der Flügel so konstruiert, dass die Oberseite länger als die Unterseite der Tragfläche ist. Auf diese Weise wird die Luft oberhalb des Flügels schneller beschleunigt Abb. 7: Zeigt die typische Druckverteilung an einem Flügel als darunter. So entsteht durch die höhere Geschwindigkeit ein höherer dynamischer Druck oberhalb der Tragfläche, was zur Folge hat, dass der statische Druck oberhalb abnehmen muss. Dies besagt die Bernoulli-Gleichung, die wir im Kapitel kennen gelernt haben. Aufgrund der Abnahme des statischen Drucks entsteht oberhalb des Flügels ein Sog / Unterdruck, der das Flugzeug nach oben zieht. Wie

12 stark diese Kraft ist, hängt abermals von einem Beiwert Staudruck sowie der Flügelfläche ab: 8 C A dem F = ρ v² A A C A Für ein Flugzeug ist in diesem Fall, anders als bei den Reibungskoeffizienten, ein höherer Auftriebsbeiwert besser als ein niedriger. Die Flügelfläche wird bei einem Flugzeug bei Starts und Landungen mit Hilfe von Klappen (Flaps) so verändert, dass erstens der Beiwert C A verbessert wird und zweitens die Flügelfläche A zunimmt. Somit ist es möglich, auch bei relativ geringen Geschwindigkeiten zu starten oder zu landen, was die Mindestlänge für die Start- und Landebahnen für ein Flugzeug deutlich herabsetzt. 8 F. und W. Hesse, Der Segelflugzeugführer 6. Überarbeitete Auflage, (Marburg: Hitzeroth, 988), Seite 07.

13 4. Anwendung auf den A Beispielrechnungen An dieser Stelle wollen wir mit den oben kennengelernten Formeln ein paar Beispielrechnungen anhand der A-340s durchführen. Hierzu steht uns ein Datenblatt (Anhang ) mit den wichtigsten technischen Daten zur Verfügung, lediglich ein fehlender Widerstandskoeffizient ist zu bedauern. Mit Hilfe der Formeln über den Aufrieb, den Schub sowie das Gewicht des Flugzeugs lassen sich jedoch schon einige interessante Werte ausrechnen. So ist es möglich die minimale Start- und Landegeschwindigkeit, die Beschleunigung des Flugzeuges und einiges mehr auszurechnen. Stellen wir hier eine Tabelle auf mit gegebenen Werten aus denen wir andere Werte errechnen und diese mit den gegebenen Vergleichen: A Symbol Datenblatt Errechnet Differenz F Schub Schubkraft 5000 N - - A Flügelfläche 363,0 m² - - Max. Startgewicht m 790 kg - - m Land Max. Landegewicht kg - - v Start Min. Stargeschwindigkeit 80 m/s 67, m/s 6% v Land Min. Landegeschwindigkeit 70 m/s 53,3 m/s 4% s Start Beschleunigung -, m/s² - CA Start CA Land Ca beim Start,6 - - Ca bei der Landung, Tabelle : Daten des Airbus A von einem Datenblatt (siehe Anhang) Als erstes wollen wir die minimale Startgeschwindigkeit errechnen, hierfür müssen wir zuerst die Gewichtskraft des Flugzeuges ausrechnen und dann die Formel für die Aufriebskraft zu v umstellen. Dann setzten wir für F A die Gewichtskraft ein sobald diese von der Auftriebskraft überschritten wird kann das Flugzeug starten. Die Luftdichte wählen wir bei 5 C auf Meereshöhe (,5 kg/m³): F G = m g FA = ρ v² AFlügel CA Start

14 Wir setzen F A und F G gleich und stellen die Formel zu v um: v Start m g = ρ A C Flügel A Start Nun brauchen wir nur noch die Werte, die wir aus der Tabelle entnehmen können einzusetzen: N 7900kg 9,8 kg m m v Start = = kg,5 363, 0m²,6 s s m³ Wir erhalten mit ca. 70 m/s einen um ca. 5% abweichenden Wert von den Airbusangaben, dies können wir vor allem darauf zurückführen, das wir die Gewichtskraft nur gleich der Auftriebskraft gesetzt haben, dies würde bedeuten, dass das Flugzeug nur schweben würde, es ist also tatsächlich ein Wert nötig der oberhalb unseres Ergebnisses liegt. Ebenso ist nicht bekannt mit welcher Luftdichte bei den Airbusangaben gerechnet wurde auch diese Ungenauigkeit verfälscht unser Ergebnis. Sollte zum Beispiel eine Luftdichte von ca. kg/m³ verwendet worden sein, wie sie bei Flughäfen auf ca. 000m Höhe vorhanden ist erhalten wir 75 m/s als Ergebnis, ein Wert der nur sehr gering von den Werksangaben der Airbus-Werke abweicht. Mit der selben Formel wie für v Start läßt sich mit Hilfe anderer Variablen auch die minimale Landegeschwindigkeit errechnen hierfür müssen wir CA Land und Land m verwenden: v Land m = ρ A Flügel g C Land A Land Wir setzten wieder die gegebenen Werte ein: N 90000kg 9,8 kg m m v Land = = 53,3 55 kg,5 363, 0m²,89 s s m³ Auch dieser Wert weicht nicht unerheblich von den Airbusangaben ab, das Ergebnis wird wieder aufgrund der selben Faktoren ungenau.

15 Der höhere Wert C ist auf die Landeklappen zurückzuführen, die A Land die Flügelform zu Gunsten eines höheren Auftriebs verbessert. An dieser Stelle wollen wir ausrechnen wie schnell der Airbus beschleunigen kann, hierfür benötigen wir die Schubkraft und das Gewicht des Flugzeugs. Die Berechnung lautet wie folgt: Nach dem Newtonschen Gesetz ist Kraft = Masse * Beschleunigung ( F = m a ). So können wir für die Beschleunigung des Flugzeugs die folgende Formel aufstellen: F a = m Schub Start Setzen wir nun die gegebenen Werte ein erhalten wir: N m a = =, 790kg s²

16 Literatur- und Quellenverzeichnis. F. und W. Hesse, Der Segelflugzeugführer 6. Überarbeitete Auflage, (Marburg: Hitzeroth, 988). Prof. Dr.-Ing. H. Gobrecht, Bergmann Schaefer Lehrbuch zu Experimentalpyhsik Band I, (Berlin: Walter de Gruyter & Co., 970) 3. Prof. Dr. Franz Bader, Physik Oberstufe MS, (Hannover: Schroedel Schulbuchverlag GmbH, 983) 4. Horst Kuchling, Physik - Formeln und Gesetzte, (Mittweida: Buch- und Zeit- Verlagsgesellschaft mbh Köln, 969) 5. Eberhard Anger M.A., Der Taschenbrockhaus - Luftfahrt, (Leipzig: F.A. Brockhaus GmbH, 999) 6. Rudolf Göbel, Wissensspeicher Physik, (Berlin: Cornelsen, 996) 7. Jürgen Heermann, Warum sie oben bleiben, (Leipzig: Insel Verlag, 000) 8. (siehe Anhang) Bilderverzeichnis Abb. : Eigenanfertigung Abb. : Eigenanfertigung Abb. 3: Prof. Dr.-Ing. H. Gobrecht, Bergmann Schaefer Lehrbuch zu Experimentalpyhsik, (Berlin: Walter de Gruyter & Co., 970), S. 340 Abb. 4: F. und W. Hesse, Der Segelflugzeugführer 6. Überarbeitete Auflage, (Marburg: Hitzeroth, 988), S.07 Abb. 5: F. und W. Hesse, Der Segelflugzeugführer 6. Überarbeitete Auflage, (Marburg: Hitzeroth, 988), S. 07 Abb. 6: Eberhard Anger M.A., Der Taschenbrockhaus - Luftfahrt, (Leipzig: F.A. Brockhaus GmbH, 999), S. 30 Abb. 7: F. und W. Hesse, Der Segelflugzeugführer 6. Überarbeitete Auflage, (Marburg: Hitzeroth, 988), S. 04

17 Selbstständigkeitserklärung Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen verwendet habe. Marc von Kozierowski