Brückenkurs Mathematik LV-Nr:

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1 Brückenkurs Mathematik LV-Nr: Jakob Hauser WS 2018 Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

2 Überblick 1 Ablauf und Beurteilung 2 Grundlagen und Rechenmethoden 3 Logik 4 Mengenlehre 5 Gleichungen 6 Ungleichungen 7 Funktionen 8 Folgen und Grenzwerte 9 Vektorrechnung im R n Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

3 Ablauf und Beurteilung Das Skript Dient als Orientierung, NICHT als LV-Mitschrift Enthält (vermutlich) Fehler Optimal digital (z.b. OneNote), sonst evtl. Print Wird nicht komplett behandelt Ergänzung durch empfohlene Literatur (e-book UGO) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

4 Ablauf und Beurteilung Ablauf 09:00-10:30 Erste Einheit des Tages, inklusive kurzer Wiederholung des bisherigen Stoffes. 10:30-11:00 Pause, Abgabe der Hausübungen 11:00-12:00 Zweite Einheit des Tages Do freiwilliger Abschlusstest Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

5 Ablauf und Beurteilung Hausübungen tägliches Übungsblatt Hauptteil der Beurteilung Pflichtaufgaben und Zusatzaufgaben Ganz gelöst [ ] oder halb gelöst [ ] Abgabe am nächsten Tag (bei Abwesenheit via Mail) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

6 Ablauf und Beurteilung Beurteilung LV mit 2 ECTS ( 50 Arbeitsstunden) Mit Erfolg (E) oder ohne Erfolg (oe) Kriterien: 80% Anwesenheit 50% der Hausübungspunkte Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

7 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Kapitel 1 Mathematische Grundlagen und elementare Rechenmethoden Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

8 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.1 (die natürlichen Zahlen) Die Menge der natürlichen Zahlen N enthält die Zahlen 1, 2, 3,..., ist die Null dabei bezeichnet man die Menge mit N 0. oder N = {1, 2, 3,... } N 0 = {0, 1, 2,... }. Definition 3.2 (kommutativ, assoziativ) Eine Rechenoperation auf einer Menge M heißt kommutativ, wenn für alle a und b aus M gilt: a b = b a und assoziativ, wenn für alle a, b und c aus M gilt: (a b) c = a (b c). Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

9 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.1 (die natürlichen Zahlen) Die Menge der natürlichen Zahlen N enthält die Zahlen 1, 2, 3,..., ist die Null dabei bezeichnet man die Menge mit N 0. oder N = {1, 2, 3,... } N 0 = {0, 1, 2,... }. Definition 3.2 (kommutativ, assoziativ) Eine Rechenoperation auf einer Menge M heißt kommutativ, wenn für alle a und b aus M gilt: a b = b a und assoziativ, wenn für alle a, b und c aus M gilt: (a b) c = a (b c). Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

10 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Rechenregel 3.3 Die Addition (+) und die Multiplikation ( ) sind auf den natürlichen Zahlen N sowohl assoziativ als auch kommutativ. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

11 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Beweisstrategie 1 (Beweis einer Allaussage) Eine Variante um eine Allaussage zu beweisen ist die Aussage für ein beliebiges (frei wählbares) Element der Menge zu zeigen. Die Alternative wäre sonst, die Aussage für jedes Element extra zu beweisen, und das kann bei großen Mengen unangenehm und bei unendlichen Mengen unmöglich sein. Sei nun die gegebene Menge M und es sei zu zeigen, dass eine Aussage A für jedes Element aus M gilt, dann wäre folgendes Vorgehen eine gute Möglichkeit: Sei a ein beliebiges Element aus M. Nun zeigt man, dass A für a richtig ist. Da a als Vertreter für jedes Element aus M gewählt wurde, muss A somit auf ganz M gültig sein. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

12 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.4 (Z und Q) Die ganzen Zahlen Z und die rationalen Zahlen Q sind wie folgt definiert: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Q = { p q p Z und q N}. Definition 3.5 (Gerade, Ungerade) Eine ganze Zahl n Z heißt gerade, wenn es eine ganze Zahl k Z gibt, sodass gilt n = 2 k. Eine ganze Zahl n Z heißt ungerade, wenn es eine ganze Zahl k Z gibt, sodass gilt n = 2 k + 1. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

13 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.4 (Z und Q) Die ganzen Zahlen Z und die rationalen Zahlen Q sind wie folgt definiert: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Q = { p q p Z und q N}. Definition 3.5 (Gerade, Ungerade) Eine ganze Zahl n Z heißt gerade, wenn es eine ganze Zahl k Z gibt, sodass gilt n = 2 k. Eine ganze Zahl n Z heißt ungerade, wenn es eine ganze Zahl k Z gibt, sodass gilt n = 2 k + 1. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

14 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.6 (Vorgänger und Nachfolger) Zu einer ganzen Zahl k Z werden die ganze Zahl k 1 der Vorgänger und k + 1 der Nachfolger von k genannt. Rechenregel 3.7 (Distributivgesetz) Die Menge Q erfüllt mit Multiplikation und Addition das Distributivgesetz, es gilt also für beliebige a, b, c Q: a (b + c) = a b + a c Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

15 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.6 (Vorgänger und Nachfolger) Zu einer ganzen Zahl k Z werden die ganze Zahl k 1 der Vorgänger und k + 1 der Nachfolger von k genannt. Rechenregel 3.7 (Distributivgesetz) Die Menge Q erfüllt mit Multiplikation und Addition das Distributivgesetz, es gilt also für beliebige a, b, c Q: a (b + c) = a b + a c Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

16 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Rechenregel 3.8 (Rechnen mit negativen Vorzeichen) Beim Rechnen mit negativen Vorzeichen gilt: Die Subtraktion ist weder kommutativ noch assoziativ. Für a aus Q gilt ( a) = a Für a, b aus Q gilt ( a)b = a( b) = ab und ( a)( b) = ab Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

17 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Rechenregel 3.9 (Rechnen in Q) Für Brüche p q und s t gilt: Vorzeichen: +p +q = p q = p q und Brüche kürzen: pa qa = p q Brüche erweitern: p q = pa qa Bruchmultiplikation: p q s t mit p, s aus Z und q, t aus N und a aus Z, a 0 = ps qt p q = p q = p q Bruchdivision: p q : s = p t q t s, für s 0 Bruchaddition: p q + s pt + sq = (wobei sinnvolles Kürzen natürlich t qt wichtig ist!) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

18 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Potenzen und Wurzeln Definition 3.10 (Potenzen mit natürlichen Exponenten) Für eine beliebige Zahl a (bis hier umfasst das also Q, es gilt aber natürlich auch in R und C) und eine natürliche Zahl n ist a n = a a a... a }{{} n mal definiert. a wird Basis, n der Exponent genannt. Für a 0 definiert man a 0 = 1. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

19 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Rechenregel 3.11 (Rechenregeln für Potenzen) Für beliebige Zahlen a und b und natürliche Zahlen m und n gelten folgende Rechenregeln: a m a n = a m+n a n b n = (ab) n (P1) (P2) (a m ) n = a mn (P3) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

20 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Rechenregel 3.12 (Erweiterung des Exponenten auf Z) Für eine beliebige Zahl a 0 und eine natürliche Zahl n gilt: a n = 1 a n (P4) Somit lassen sich (P1) bis (P3) auf ganzzahlige Exponenten ausweiten. Definition 3.13 (die n-te Wurzel) Für eine beliebige, nicht negative Zahl a (a R 0 ) und eine natürliche Zahl n ist a 1 n diejenige Zahl b 0 für die gilt, b n = a. b wird als die n-te Wurzel von a bezeichnet. a 1 n = n a Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

21 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Rechenregel 3.12 (Erweiterung des Exponenten auf Z) Für eine beliebige Zahl a 0 und eine natürliche Zahl n gilt: a n = 1 a n (P4) Somit lassen sich (P1) bis (P3) auf ganzzahlige Exponenten ausweiten. Definition 3.13 (die n-te Wurzel) Für eine beliebige, nicht negative Zahl a (a R 0 ) und eine natürliche Zahl n ist a 1 n diejenige Zahl b 0 für die gilt, b n = a. b wird als die n-te Wurzel von a bezeichnet. a 1 n = n a Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

22 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.14 (die Reellen Zahlen R) Die Zusammenfassung aller rationalen und irrationalen Zahlen bezeichnet man als die Menge der reellen Zahlen R. Satz 3.15 ( 2 / Q) Die Wurzel aus 2 ist irrational. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

23 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.14 (die Reellen Zahlen R) Die Zusammenfassung aller rationalen und irrationalen Zahlen bezeichnet man als die Menge der reellen Zahlen R. Satz 3.15 ( 2 / Q) Die Wurzel aus 2 ist irrational. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

24 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Beweisstrategie 2 (Beweis durch Widerspruch) In manchen Situationen bietet es sich an, eine Aussage zu beweisen indem man zeigt, dass das Gegenteil unmöglich ist. Die Idee ist, dass ich eine Annahme treffe und dann durch zulässige Schlussfolgerungen irgendwann eine Aussage folgere, die definitiv nicht wahr sein kann. Da nur eine Annahme getroffen wurde und alle restlichen Folgerungen zulässig waren, muss also die Annahme falsch gewesen sein und ihr Gegenteil somit wahr. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

25 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Terme Definition 3.16 (Term) Ein (in mathematischem Sinne) sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen und Variablen enthält heißt Term. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

26 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Rechenregel 3.17 Einige wichtige Regeln beim Rechnen mit Termen sind: Zusammenfassen von Termen Terme dürfen nur addiert(subtrahiert) werden, wenn sie sich in Basis und Exponent gleichen (gleichnamig sind). Ausklammern eines Faktors Gleiche Faktoren einer Summe (Differenz) können ausgeklammert werden. ax + ay = a(x + y) für a, x, y reelle Zahlen. Ausmultiplizieren von Klammern Für beliebige reelle Zahlen a, b, x, y gilt (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

27 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Spezielle Notationen Definition 3.18 (Summenschreibweise) Um eine lange Summe kürzer und übersichtlicher anschreiben zu können, bedient man sich des Summenzeichens (großes griechisches Sigma) n a i. i=0 i ist hier der sogenannte Laufindex, Null die untere Grenze und n die obere Grenze. Das Symbol bedeutet nun, dass der Teil, der rechts vom Summenzeichen steht, für jedes i von der unteren bis zur oberen Grenze addiert wird. dh: n a i = a 0 + a 1 + a a n i=0 Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

28 Kapitel 1- Grundlagen und Rechenmethoden Definition 3.19 Das Produktzeichen (großes griechisches Pi) funktioniert gleich wie das Summenzeichen, nur dass die Glieder multipliziert werden. dh: n a i = a 0 a 1 a 2 a n i=0 Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

29 Kapitel 2- Logik Kapitel 2 Logik Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

30 Kapitel 2- Logik Aussagen Definition 4.1 (Aussage) Eine Aussage in mathematischem Sinne zeichnet sich dadurch aus, dass sie einen eindeutig bestimmbaren Wahrheitswert, wahr (W ) oder falsch (F) hat. Aussagen werden meist mit Kleinbuchstaben (p, q) oder durch große Skript-Buchstaben (A, B) benannt. z.b: p: -5 ist eine ganze Zahl. ist eine Aussage und hat den Wahrheitswert wahr (W). ( p ist eine wahre Aussage oder es gilt p.) q: Es gibt eine größte natürliche Zahl ist eine falsche Aussage. A: Rot ist eine schöne Farbe ist keine mathematische Aussage, da der Wahrheitsgehalt subjektiv und nicht eindeutig ist. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

31 Kapitel 2- Logik Definition 4.2 (Negation) Sei p eine Aussage. Dann ist p (sprich non p ) das logische Gegenteil, also die Negation der Aussage. Wahrheitswerte werden in sogenannten Wahrheitstafeln übersichtlich dargestellt. p p W F F W Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

32 Kapitel 2- Logik Prädikatenlogik Definition 4.3 (All-Aussage) Gilt eine Aussage A(x) für alle Elemente einer Menge M, so schreibt man x M : A(x). ist der All-Quantor und bedeutet alle. Der Doppelpunkt hier steht für gilt. Lies also: Für alle x in der Menge M gilt A(x). Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

33 Kapitel 2- Logik Definition 4.4 (Existenz Aussage) Gilt eine Aussage A(x) für mindestens ein Element einer Menge M, so schreibt man x M : A(x). Gibt es genau ein Element in M, für das die Aussage gilt, dann schreibt man!x M : A(x). (alternativ zu! sieht man auch manchmal 1 ) (!) ist der Existenz-Quantor und bedeutet es gibt ( es gibt genau ein ). Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

34 Kapitel 2- Logik logische Verknüpfungen Definition 4.5 (UND und ODER) Zwei Aussagen p, q können mit einem logischen UND ( ) oder einem logischen ODER ( ) verknüpft werden. p q ist wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind, p q ist wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist. p q p q p q W W W W W F F W F W F W F F F F Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

35 Kapitel 2- Logik Definition 4.6 (Implikation) Folgt aus einer Aussage p eine Aussage q, so wird das mit einer Implikation angedeutet. p q Der Wahrheitswert einer Implikation ist wie folgt definiert. p q p q W W W W F F F W W F F W Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

36 Kapitel 2- Logik Somit ergeben sich für p q verschiedene Sprechweisen. Aus p folgt (zwingend) q. p impliziert q. p ist hinreichend für q. (Wenn also p gilt, dann muss q gelten). q ist notwendig für p. (p kann nur dann gelten, wenn q gilt, da p q gleichbedeutend ist mit q p. ) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

37 Kapitel 2- Logik Definition 4.7 (Äquivalenz) Sind zwei Aussagen p und q gleichbedeutend, so wird das mit einer Äquivalenz angedeutet. p q p q gilt dann, wenn gilt (p q) (q p). Satz 4.8 (Schlussregeln) Für drei Aussagen p, q und r gelten die folgenden Schlussregeln. (p (p q)) q (SR1) ( q (p q)) p) ((p q) (q r)) (p r) ( p (q p)) q (SR2) (SR3) (SR4) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

38 Kapitel 2- Logik Definition 4.7 (Äquivalenz) Sind zwei Aussagen p und q gleichbedeutend, so wird das mit einer Äquivalenz angedeutet. p q p q gilt dann, wenn gilt (p q) (q p). Satz 4.8 (Schlussregeln) Für drei Aussagen p, q und r gelten die folgenden Schlussregeln. (p (p q)) q (SR1) ( q (p q)) p) ((p q) (q r)) (p r) ( p (q p)) q (SR2) (SR3) (SR4) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

39 Kapitel 3- Mengenlehre Kapitel 3 Mengenlehre Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

40 Kapitel 3- Mengenlehre Mengen Definition 5.1 (Menge, nach Georg Cantor) Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung und unseres Denkens zu einem Ganzen. Mengen werden meist mit Großbuchstaben, Objekte (in Zukunft Elemente genannt) mit Kleinbuchstaben benannt. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

41 Kapitel 3- Mengenlehre Schreibweise 5.2 (Schreibweisen von Mengen) Es gibt verschiedene Arten, wie man Mengen darstellen kann. Mengen können durch Aufzählen der Elemente geschrieben werden. M = {1, 5, König,?} Ist es eindeutig, wie eine Abfolge weitergeht, können Auslassungspunkte verwendet werden. N = {1, 2, 3,... } oder Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Fasst man alle Elemente in einer Menge zusammen, die eine Aussage A(x) erfüllen, so schreibt man: M = {x A(x)} (lies: M ist die Menge aller x für die A(x) gilt.) Oft macht es auch Sinn, nur Elemente aus einer Grundgesamtheit G zuzulassen. M = {x G A(x)} (lies: M ist die Menge aller x aus G für die A(x) gilt.) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

42 Kapitel 3- Mengenlehre Schreibweise 5.3 (Venn-Diagramm) Ein Venn-Diagramm ist ein Kreis (oder eine Ellipse), die eine Menge symbolisiert. Elemente können dann, je nachdem ob sie Teil der Menge sind oder nicht, innerhalb oder außerhalb des Kreises gezeichnet werden. M Dame 5 König? 1 Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

43 Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.4 (Leere Menge) Eine Menge M, die keine Elemente enthält, bezeichnet man als die leere Menge. M = {} oder M = Schreibweise 5.5 (Intervalle) Intervalle sind eine besondere Form der Mengenschreibweise, wenn es um Teilmengen von R geht. Für a, b R gilt: [a, b] = {x R a x b} geschlossenes Intervall (a, b] = {x R a < x b} halboffenes Intervall [a, b) = {x R a x < b} halboffenes Intervall (a, b) = {x R a < x < b} offenes Intervall a oder b können auch durch ± ersetzt werden, um eine Unbeschränktheit nach oben (unten) auszudrücken. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

44 Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.4 (Leere Menge) Eine Menge M, die keine Elemente enthält, bezeichnet man als die leere Menge. M = {} oder M = Schreibweise 5.5 (Intervalle) Intervalle sind eine besondere Form der Mengenschreibweise, wenn es um Teilmengen von R geht. Für a, b R gilt: [a, b] = {x R a x b} geschlossenes Intervall (a, b] = {x R a < x b} halboffenes Intervall [a, b) = {x R a x < b} halboffenes Intervall (a, b) = {x R a < x < b} offenes Intervall a oder b können auch durch ± ersetzt werden, um eine Unbeschränktheit nach oben (unten) auszudrücken. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

45 Mengenrelationen Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.6 (Teilmenge) Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn ganz A in B enthalten ist. (schreibe A B) A B : x A : x B B A Eine Menge A ist eine echte Teilmenge einer Menge B, wenn ganz A in B enthalten ist, jedoch B nicht in A. (schreibe A B) A B : ( x A : x B) ( y B : y / A) Für alle Mengen M gilt M. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

46 Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.7 (Mengengleichheit) Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. A = B : (A B) (B A) Definition 5.8 (disjunkte Mengen) Zwei Mengen A, B sind disjunkt, wenn kein Element in beiden Mengen vorkommt. A B Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

47 Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.7 (Mengengleichheit) Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. A = B : (A B) (B A) Definition 5.8 (disjunkte Mengen) Zwei Mengen A, B sind disjunkt, wenn kein Element in beiden Mengen vorkommt. A B Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

48 Mengenoperationen Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.9 (Vereinigung und Durchschnitt) Seien A und B Mengen. Die Vereinigung von A und B (schreibe A B) ist die Menge aller Elemente die in A oder B vorkommen. A B = {x x A x B} A B A B Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

49 Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.9 (Vereinigung und Durchschnitt) Der Durchschnitt von A und B (schreibe A B) ist die Menge aller Elemente, die in A und B vorkommen. A B = {x x A x B} A B A B Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

50 Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.10 (Mengendifferenz) Die Differenz von A und B (schreibe A \ B, sprich A ohne B ) sind alle Elemente von A, die nicht in B vorkommen. A \ B = {x A x / B} A B A \ B Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

51 Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.11 (Kartesisches Produkt) Seien A und B zwei nichtleere Mengen. Das kartesische Produkt A B (sprich A kreuz B ) ist die Menge aller 2er Tupel, die aus jeweils einem Element von A und einem Element von B erzeugt werden. A B = {(x, y) x A, y B} Ein Spezialfall des kartesischen Produkts ist die Menge aller Koordinatenpunkte in der Ebene (das kartesische Koordinatensystem). A = R, B = R, R R =: R 2 Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

52 Kapitel 3- Mengenlehre Definition 5.12 (Komplement) Sei A eine Teilmenge einer Grundmenge M (A M). Dann ist die Komplementärmenge von A (Ā oder Ac ) der Rest von M, der nicht in A enthalten ist. Ā := {x M x / A} M Ā A Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

53 Kapitel 4- Gleichungen Kapitel 4 Gleichungen Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

54 Kapitel 4- Gleichungen Gleichungen Definition 6.1 (Gleichung) Unter einer Gleichung versteht man zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen (eine sogenannte Relation) miteinander verbunden sind. Sind in mindestens einem dieser Terme Variablen enthalten, so kann man nach Lösungen der Gleichung suchen. Als Lösung einer Gleichung versteht man Element einer Grundmenge (meist Zahlen), die, wenn man sie für die Variable(n) der Gleichung einsetzt, eine wahre Aussage ergeben. Die (nicht zwingend nichtleere) Menge aller Lösungen wird Lösungsmenge genannt und oft mit L bezeichnet. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

55 Kapitel 4- Gleichungen Definition 6.2 (Äquivalenzumformung) Unter einer Äquivalenzumformung versteht man die Veränderung einer Gleichung (G 1 ) zu einer äquivalenten Gleichung (G 2 ), das heißt einer Gleichung, die dieselbe Definitions- und Lösungsmenge besitzt. Solche Umformungen werden mit einem Äquivalenzpfeil ((G 1 ) (G 2 )) gekennzeichnet. Ist die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung (L 1 ) eine echte Teilmenge der neuen Gleichung (L 2 ) (L 1 L 2 ), so spricht man von einer Implikation ((G 1 ) (G 2 )). Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

56 Kapitel 4- Gleichungen Rechenregel 6.3 Durch den Erhalt der Lösungsmenge bei Äquivalenzumformungen kann eine Gleichung gelöst werden, indem sie in eine einfachere äquivalente Gleichung umgeformt wird (vorzugsweise x = [... ]). Kommen in einer Gleichung keine Variablen vor und beschreibt sie eine wahre Aussage, so ist die ganze Grundmenge die Lösung. Beschreibt sie eine falsche Aussage, ist die Lösungsmenge die leere Menge. Folgende (beidseitige) Veränderungen sind zulässige Äquivalenzumformungen: Addition oder Subtraktion einer reellen Zahl oder eines, im Definitionsbereich wohldefinierten, Terms. Multiplikation oder Division einer von Null verschiedenen reellen Zahl oder eines, im Definitionsbereich wohldefinierten, von Null verschiedenen, Terms. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

57 Kapitel 4- Gleichungen polynomielle Gleichungen Definition 6.4 (lineare Gleichung) Eine Gleichung wird als (reelle) lineare Gleichung bezeichnet, wenn sie zu einer Gleichung der Form äquivalent ist. ax = b a, b R, a 0 Definition 6.5 (Quadratische Gleichung) Eine Gleichung wird als (reelle) quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades bezeichnet, wenn sie zu einer Gleichung der Form ax 2 + bx = c a, b, c R, a 0 äquivalent ist. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

58 Kapitel 4- Gleichungen polynomielle Gleichungen Definition 6.4 (lineare Gleichung) Eine Gleichung wird als (reelle) lineare Gleichung bezeichnet, wenn sie zu einer Gleichung der Form äquivalent ist. ax = b a, b R, a 0 Definition 6.5 (Quadratische Gleichung) Eine Gleichung wird als (reelle) quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades bezeichnet, wenn sie zu einer Gleichung der Form ax 2 + bx = c a, b, c R, a 0 äquivalent ist. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

59 Kapitel 4- Gleichungen Rechenregel 6.6 (quadratische Lösungsformeln) Für p, q R, p 0 sind die folgenden Gleichungen äquivalent: x 2 + px + q = 0 x 1,2 = p 2 ± (p 2) 2 q Für a, b, c R, a 0 sind folgende Gleichungen äquivalent: ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

60 Kapitel 4- Gleichungen Satz 6.7 (Zerlegung von Polynomen zweiten Grades in Linearfaktoren) Es sei p(x) ein Polynom der Form p(x) = ax 2 + bx + c a 0 mit zwei reellen (nicht zwingend verschiedenen) Nullstellen x 1, x 2. Dann hat p(x) die Darstellung p(x) = a(x x 1 )(x x 2 ). Zur Erinnerung: eine quadratische Gleichung mit reellen Lösungen lässt sich auf eine solche Form zurückführen. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

61 Kapitel 4- Gleichungen Definition 6.8 (Gleichungen höheren Grades) Eine Gleichung wird als (reelle) Gleichung n-ten Grades bezeichnet, wenn sie zu einer Gleichung der Form äquivalent ist. a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 n N, a i R für i {0, 1,..., n} Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

62 Kapitel 4- Gleichungen Satz 6.9 Ist p(x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, so sind alle ganzzahligen Nullstellen Teiler des konstanten Koeffizienten a 0. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

63 Kapitel 4- Gleichungen Rechenregel 6.10 (Substitution) Ist eine Gleichung der Form ax 2m + bx m + c = 0, m N, so lässt sich durch die Substitution u := x m die Gleichung in die quadratische Form au 2 + bu + c = 0 bringen und lösen. Die Lösungen u 1,2 müssen dann rückeingesetzt werden. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

64 Kapitel 4- Gleichungen Satz 6.11 (Linearfaktorisierung von Polynomen) Ein reelles Polynom n-ten Grades p(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, a n 0 lässt sich in Linearfaktoren, in R nicht lösbare quadratische Faktoren und in konstante Faktoren zerlegen. p(x) = a n (x x m )(x x m 1 ) (x x 2 )(x x 1 )... }{{} lineare Faktoren... (x 2 + b 1,k x + b 0,k )(x 2 + b 1,k 1 x + b 0,k 1 ) (x 2 + b 1,2 x + b } {{ nicht reduzierbare quadratische Faktoren Hier sind x i, i {1,..., m} die Nullstellen des Polynoms. Außerdem muss gelten m + 2k = n Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

65 Kapitel 4- Gleichungen Satz 6.12 (Polynomdivision) Ist p(x) ein Polynom n-ten Grades und x 1 eine Nullstelle von p(x), so gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom q(x) von Grad (n-1), sodass gilt p(x) = (x x 1 )q(x). q(x) ist hier also der Rest der Linearfaktorisierung. Kennt man also eine Nullstelle (oder eine Lösung der Gleichung), lässt sich ein Linearfaktor herausdividieren und es bleibt ein Polynom (oder eine Gleichung) niederen Grades übrig. Rechenregel 6.13 (Polynomdivision) Zu wenig Platz auf der Folie ;) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

66 Kapitel 4- Gleichungen Satz 6.12 (Polynomdivision) Ist p(x) ein Polynom n-ten Grades und x 1 eine Nullstelle von p(x), so gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom q(x) von Grad (n-1), sodass gilt p(x) = (x x 1 )q(x). q(x) ist hier also der Rest der Linearfaktorisierung. Kennt man also eine Nullstelle (oder eine Lösung der Gleichung), lässt sich ein Linearfaktor herausdividieren und es bleibt ein Polynom (oder eine Gleichung) niederen Grades übrig. Rechenregel 6.13 (Polynomdivision) Zu wenig Platz auf der Folie ;) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

67 Bruchgleichungen Kapitel 4- Gleichungen Definition 6.14 (Bruchgleichung) Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, bei der eine Variable im Nenner eines Bruchs vorkommt. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

68 Kapitel 4- Gleichungen Rechenregel 6.15 (Lösen von Bruchgleichungen) Zu Beginn muss die Definitionsmenge der Gleichung, also jene Teilmenge der Grundmenge, auf der die Gleichung eindeutig definiert ist, ermittelt werden. Dafür müssen alle Nullstellen der Nennerpolynome ausgeschlossen werden. Anschließend werden alle Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner erhält man eine Gleichung höheren Grades. (Auf eine Multiplikation mit Null muss keine Rücksicht mehr genommen werden, da der Hauptnenner ein Produkt von Nennerpolynomen ist, deren Nullstellen bereits aus der Grundmenge entfernt wurden). Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

69 Wurzelgleichungen Kapitel 4- Gleichungen Definition 6.16 (Wurzelgleichung) Eine Gleichung, in der eine Variable als Argument einer Wurzel vorkommt, wird Wurzelgleichung genannt. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

70 Kapitel 4- Gleichungen Rechenregel 6.17 (Lösen von Wurzelgleichungen) Um Wurzelausdrücke aufzulösen muss man Quadrieren. Quadrieren ist jedoch eine Implikation und keine Äquivalenzumformung. Somit vergrößert man durch Potenzieren der Gleichung möglicherweise die Lösungsmenge. Demnach müssen erhaltene Lösungen durch Einsetzen überprüft werden. Ein typischer Fehler, ist beim Quadrieren einer Gleichung auf die Verwendung binomischer Formeln zu vergessen. Denk immer daran, dass die gesamte Seite von deinem Rechenschritt betroffen ist. Um binomische Formeln zu vermeiden, die erst recht Wurzelausdrücke liefern, ist es zielführend die Wurzel alleine auf eine Seite zu bringen, bevor potenziert wird. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

71 Betragsgleichungen Kapitel 4- Gleichungen Definition 6.18 (Betragsgleichung) Eine Gleichung, in der eine Variable als Argument eines Betrags vorkommt, wird Betragsgleichung genannt. Definition 6.19 (Betragsfunktion) Der Betrag (bzw. die Betragsfunktion) ist wie folgt definiert. x : R R 0 { x für x 0 x = x für x < 0 Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

72 Betragsgleichungen Kapitel 4- Gleichungen Definition 6.18 (Betragsgleichung) Eine Gleichung, in der eine Variable als Argument eines Betrags vorkommt, wird Betragsgleichung genannt. Definition 6.19 (Betragsfunktion) Der Betrag (bzw. die Betragsfunktion) ist wie folgt definiert. x : R R 0 { x für x 0 x = x für x < 0 Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

73 Kapitel 4- Gleichungen Beweisstrategie 3 (Fallunterscheidung) Kommt man in Rechnungen, Beweisen oä an einen Punkt, bei dem weitere Schritte oder Aussagen nur mehr auf einen Teil der ursprünglichen Grundgesamtheit zutreffen, kann man eine Fallunterscheidung durchführen. Dabei wird die Grundmenge in beliebig viele disjunkte Teilmengen aufgeteilt, für die das Beispiel oder der Beweis jeweils separat fertig gestellt wird. Jeder dieser separaten Wege wird als Fall bezeichnet. Wichtig ist, dass eine Fallunterscheidung wirklich jedes Element genau einmal berücksichtigt. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

74 Kapitel 4- Gleichungen Rechenregel 6.20 (Lösen einer Betragsgleichung) Um Beträge in deiner Gleichung aufzulösen, musst du deine Grundmenge (meist die reellen Zahlen) so in disjunkte Teilintervalle zerlegen, dass für jeden Fall klar ist, wie der Betrag aufgelöst wird. Berechne nun die Lösungsmenge jedes einzelnen Falles (achte darauf, dass eine Lösung im entsprechenden Teilintervall liegen muss). Die endgültige Lösungsmenge ist die Vereinigung aller Teillösungen. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

75 Kapitel 5- Ungleichungen Kapitel 5 Ungleichungen Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

76 Kapitel 5- Ungleichungen Ungleichungen Die Theorie von Gleichungen und Ungleichungen sind sehr ähnlich, die Definitionen für Äquivalenzumformung und Implikation bleiben dieselben. Auch die elementaren Äquivalenzumformungen (Addition und Multiplikation)sind ident. Bei Ungleichungen muss jedoch berücksichtigt werden, dass die Multiplikation mit einem negativen Ausdruck, das Ungleichheitszeichen umdreht. Dies führt bei Bruchungleichungen etwa zu zusätzlichen Fallunterscheidungen. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

77 Kapitel 6- Funktionen Kapitel 6 Funktionen Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

78 Kapitel 6- Funktionen Relation und Abbildung Definition 8.1 (Relation, Zuordnung) Seien G, W zwei nichtleere Mengen. Eine Relation (Zuordnung) R, ist eine Vorschrift, die jeweils Elemente aus G mit Elementen aus W in Verbindung bringt. Sie ist als Teilmenge des kartesischen Produkts von G und W definiert. R = {(a, b) a G steht in Relation zu b W} G W für x, y G : (xry) : (x, y) R Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

79 Kapitel 6- Funktionen Definition 8.2 (Funktion, Abbildung,Graph) Seien G, W zwei nichtleere Mengen. Eine Funktion (Abbildung) f ist eine Relation, die jedem Element aus G ein eindeutiges Element aus W zuordnet. Man schreibt: { D W f : x f (x) D nennt man die Definitionsmenge, W die Wertemenge. nennt man das Bild von f. nennt man den Graphen von f. f (D) = {f (x) x D} W G = {(x, f (x)) x D} D W Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

80 Kapitel 6- Funktionen Definition 8.3 (Bild, Urbild) Sei f eine Funktion: f : { D W x f (x) Seien weiters A D und B W zwei nichtleere Mengen. Die Menge f (A) := {f (x) x A} W nennt man das Bild von f auf A und die Menge nennt man das Urbild von f auf B. Achtung: f 1 1 f f 1 (B) := {x f (x) B} D Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

81 Kapitel 6- Funktionen Eigenschaften von Funktionen Definition 8.4 (Beschränktheit) Sei D R, f : D R eine reelle Funktion. f heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke M U R gibt, sodass gilt: x D : f (x) M U f heißt nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke M L R gibt, sodass gilt: x D : f (x) M L f heißt beschränkt, wenn es eine Schranke M R gibt, sodass gilt: x D : f (x) M Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

82 Kapitel 6- Funktionen Definition 8.5 (Monotonie) Sei D R, f : D R eine reelle Funktion und I D ein Intervall. f ist auf I monoton steigend (bzw. fallend) wenn gilt: x, y I : x < y f (x) f (y) (bzw. x < y f (x) f (y)) f ist auf I streng monoton steigend (bzw. fallend) wenn gilt: x, y I : x < y f (x) < f (y) (bzw. x < y f (x) > f (y)) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

83 Kapitel 6- Funktionen Definition 8.6 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) Sei f : D W eine Funktion. f heißt injektiv : x 1, x 2 D : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) f heißt surjektiv : ( y W )( x D) : f (x) = y f heißt bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

84 Kapitel 6- Funktionen Verknüpfung von Funktionen Definition 8.7 (Verknüpfung durch elementare Rechenoperationen) Sei D R und seien f, g : D R reelle Funktionen. Dann ist wie folgt definiert: { f + g : D R x f (x) + g(x) { f g : D R x f (x) g(x) { f g : D R x f (x)g(x) f D \ N R g : x f (x) g(x) wobei N := {x D g(x) = 0} Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

85 Kapitel 6- Funktionen Definition 8.8 (Hintereinanderausführung, Komposition) Seien U, V, W nichtleere Mengen. Seien { { U V V W g : f : x g(x) x f (x) dann ist die Komposition (Hintereinanderausführung) von f und g definiert als { U W f g : x f (g(x)) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

86 Arten von Funktionen Kapitel 6- Funktionen Definition 8.9 (Polynomfunktion) Eine Funktion f : R R der Form f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = n a k x k k=0 mit n N, a n 0 und a 0, a 1,..., a n R heißt Polynomfunktion n ten Grades. Man schreibt grad(f ) = n. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

87 Kapitel 6- Funktionen Definition 8.10 (spezielle Polynomfunktionen) Eine Polynomfunktion nullten Grades f (x) = c mit c R heißt konstante Funktion. Eine Polynomfunktion ersten Grades f (x) = a 1 x + a 0 mir a 1 0 heißt affine Funktion. Eine Polynomfunktion zweiten Grades f (x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 mit a 2 0 heißt quadratische Funktion. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

88 Kapitel 6- Funktionen Definition 8.11 (gebrochen rationale Funktionen) Seien p : R R und q : R R Polynomfunktionen. Die Funktion f : D R, D = {x R : q(x) 0} ( ) p f (x) = (x) = p(x) q q(x) heißt gebrochen rationale Funktion. Gilt grad(p) < grad(q), spricht man auch von einer echt gebrochenen rationalen Funktion, anderenfalls von einer unecht gebrochenen rationalen Funktion. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

89 Kapitel 6- Funktionen Definition 8.12 (Potenzfunktionen) Die Funktion f : D R f (x) = x r mit r Q und D R passend, heißt Potenzfunktion. Der Definitionsbereich muss entsprechend der Definition des Exponenten r angepasst werden. Für r N ist D = R. Für r Z \ N ist D = R \ {0}. Für r Q 0 \ Z ist D = R 0. Für r Q <0 \ Z ist D = R >0. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

90 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Kapitel 7 Folgen und Grenzwerte Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

91 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Folgen Definition 9.1 (reelle Folge) Eine reelle Folge (auch reellwertige Folge oder Folge reeller Zahlen) a ist eine Abbildung { N R a : n a n Schreibweise: a(n) = a n ist das n-te Folgeglied a = (a n ) n N = (a 1, a 2, a 3,... ) ist die Folge aller Folgeglieder. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

92 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Definition 9.2 (monotone und beschränkte Folgen) Eine reelle Folge (a n ) n N heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke M U R gibt, sodass a n M U, n N gilt. Analog heißt sie nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke M L R gibt, sodass a n M L, n N gilt und beschränkt, wenn es eine Schranke M R gibt, sodass a n M, n N gilt. Eine Folge heißt monoton steigend, wenn gilt: n N : a n a n+1 bzw. monoton fallend, wenn gilt: n N : a n a n+1. Analog zu Funktionen wird strenge Monotonie definiert. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

93 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Grenzwerte von Folgen Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

94 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Definition 9.3 (ε N-Definition zu Konvergenz und Divergenz) Eine reelle Folge (a n ) n N heißt konvergent, wenn es ein a R gibt, sodass gilt: ε > 0 N N, sodass n N : a n a < ε. In diesem Fall nennt man a den Grenzwert (oder Limes) der Folge. Man schreibt lim a n n = a oder a n a. n Sprich: Der Grenzwert der Folge a n, wenn n gegen Unendlich geht, ist a, oder die Folge a n konvergiert für n gegen Unendlich gegen a. Ist der Grenzwert der Folge Null, so spricht man von einer Nullfolge. Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

95 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Grenzwerte von Funktionen Definition 9.4 (Grenzwert von Funktionen mit Folgen) Sei D R und f : D R eine reellwertige Funktion. Sei x 0 D. Man sagt, die Funktion f konvergiert bei x 0 gegen c, wenn für alle Folgen (a n ) n N, die gegen x 0 konvergieren gilt: Man schreibt lim x x 0 f (x) = c. lim f (a n) = c n Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

96 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Definition 9.5 (Grenzwert von Funktionen mit ε δ Definition) Sei D R und f : D R eine Funktion. Sei x 0 D. Man sagt die Funktion f hat einen rechtsseitigen Grenzwert L R an der Stelle x 0, wenn sich zu jeder noch so kleinen, positiven Zahl ε eine ausreichend kleine Zahl δ finden lässt, sodass sich der Funktionswert aller Werte im Intervall (x 0, x 0 + δ) um weniger als ε von f (x 0 ) unterscheidet. lim x x + 0 f (x) = L : ( ε > 0)( δ > 0), sodass ( x (x 0, x 0 + δ) D) : f (x) L < ε Äquivalent lässt sich der linksseitige Grenzwert formulieren: lim x x 0 f (x) = L : ( ε > 0)( δ > 0), sodass ( x (x 0 δ, x 0 ) D) : f (x) L < ε Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

97 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Definition 9.5 (Grenzwert von Funktionen mit ε δ Definition) Man sagt, die Funktion f hat in x 0 den Grenzwert L, wenn gilt oder lim x x 0 f (x) = L = lim x x + 0 f (x) lim f (x) = L : ( ε > 0)( δ > 0), x x 0 sodass ( x D mit 0 < x x 0 < δ) : f (x) L < ε Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

98 Kapitel 7- Folgen und Grenzwerte Definition 9.6 (Stetigkeit) Sei D R und f : D R eine Funktion. Sei x 0 D. Die Funktion f heißt stetig in x 0, wenn gilt, dass lim f (x) = f (x 0 ) x x 0 Formuliert man die ε δ Definition für Stetigkeit, erhält man: Die Funktion f ist stetig in x 0, wenn gilt: ( ε > 0)( δ > 0), sodass ( x D) : x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) < ε Die Funktion f ist stetig auf ganz D, wenn sie für alle x 0 D stetig ist. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

99 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Kapitel 8 Vektorrechnung im R n Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

100 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n der reelle Standardvektorraum Definition 10.1 (R 2, R 3 und R n ) Der zweidimensionale, reelle Standardvektorraum ist {( ) } R 2 x1 = : x 1, x 2 R. x 2 Die Elemente des R 2 sind zweidimensionale Spaltenvektoren, die auch als (x 1, x 2 ) T geschrieben werden können (das T steht für transponiert). Der allgemeine n-dimensionale reelle Standradvektorraum ist x 1 R n =. x n : x 1,..., x n R. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

101 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Definition 10.2 (Nullvektor) Im R n definiert man den Nullvektor als 0 0 =.. 0 Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

102 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Rechenregeln im R n Definition 10.3 (Vektoraddition und -subtraktion) Seien a, b R n, dh. a = a 1. a n, a 1,..., a n R, b = b 1. b n, b 1,..., b n R, so definiert man die Vektoraddition, bzw. die Vektorsubtraktion a 1 b 1 a 1 ± b 1 a ± b =. ±. :=. a n b n a n ± b n komponentenweise. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

103 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Definition 10.4 (Multiplikation mit einem Skalar) Sei λ R und a R n. Dann definiert man die Skalarmultiplikation a 1 λ a 1 λ a = λ. :=.. a n λ a n Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

104 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Rechenregel 10.5 (Rechenregeln für die Skalarmultiplikation) Seien λ, µ R und x, y R n. Dann gelten folgende Rechenregeln: λ (µ x) = (λ µ) x (λ + µ) x = λ x + µ x λ ( x + y) = λ x + λ y Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

105 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Allgemeine Vektorräume und Unterräume Definition 10.6 (R-Vektorraum) Sei V eine beliebige Menge, a, b, c V beliebig und λ, µ R beliebig. Weiters seien zwei Rechenoperationen (Vektoraddition und Skalarmultiplikation) definiert: : V V V, : R V V Man nennt (V,, ) einen R-Vektorraum, wenn für die Vektoraddition (V1) ( a b) c = a ( b c) (Assoziativität) (V2) a b = b a (Kommutativität) (V3) 0 V : a 0 = a (Existenz eines neutralen Elements bzgl. der Addition) (V4) ( a) V : a ( a) = 0 (Existenz eines inversen Elements bzgl. der Addition) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

106 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Definition 10.6 (R-Vektorraum) und für die Skalarmultiplikation (S1) λ ( a b) = (λ a) (λ b) (S2) (λ + µ) a = (λ a) (µ a) (S3) (λ µ) a = λ (µ a) (S4) 1 a = a (Neutralität der Eins bzgl. der Multiplikation) gilt. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

107 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Definition 10.7 (Unterraum) Sei (V,, ) ein R-Vektorraum und U V eine nichtleere Teilmenge von V. Man nennt U einen Unterraum (auch Untervektorraum oder linearer Unterraum), wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind. (i) u, v U : u v U (ii) λ R, u U : λ u U Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

108 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Gerade und Ebene im R n Definition 10.8 (Gerade im R 3 ) Seien p, r R 3 Vektoren, wobei r 0 gelte. Dann nennt man g = { p + λ r : λ R} eine Gerade. r wird oft als Richtungsvektor bezeichnet. Man kann eine Gerade auch in der Parameterdarstellung g : x = p + λ r λ R angeben. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

109 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Satz 10.9 Sei g : x = p + λ r λ R eine Gerade im R 3. Dann ist g R 3 genau dann ein Unterraum, wenn es ein λ R gibt, sodass p + λ r = 0 gilt. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

110 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Definition (Ebene im R 3 ) Seien p, r, s R 3 Vektoren, wobei r 0, s 0 und r λ s für alle λ R gelte. Dann nennt man ɛ = { p + λ r + µ s : λ, µ R} eine Ebene. Man kann eine Ebene auch in der Parameterdarstellung ɛ : x = p + λ r + µ s λ, µ R angeben. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

111 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n lineare Unabhängigkeit Definition (lineare Unabhängigkeit) Seien v 1, v 2,..., v m R n mit m, n N. Die Vektoren v 1, v 2,..., heißen linear unabhängig, wenn m k=1 λ k v k = λ 1 v λ m v m = 0 genau dann gilt, wenn alle λ k gleich Null sind. λ 1 = = λ m = 0 v m Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

112 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Längen im R n : die Norm Definition (euklidische Norm, 2 ) Für ein x R n wird die euklidische Norm (aus 2-Norm genannt) als x 1 x 2 =. := 2 x x n 2 x n 2 definiert. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

113 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Rechenregel (Rechenregeln für die euklidische Norm) Seien λ R und x, y R n. Dann gilt (N1) x 2 0 und x 2 = 0 x = 0 (positive Definitheit) (N2) λ x 2 = λ x 2 (Linearität) (N3) x + y 2 x 2 + y 2 (Dreiecksungleichung) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

114 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Inneres Produkt und Winkelmessung Definition (euklidisches Inneres Produkt, 2 ) Das euklidische innere Produkt zweier Vektoren x, y R n wird definiert als x 1 y 1 n x, y 2 =.,. := x k y k = x 1 y x n y n. x n y k=1 n 2 Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

115 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Rechenregel (Rechenregeln für das euklidische Skalarprodukt) Seien λ R und x, y, z R n. Dann gilt: (S1) x, x 2 0 und x, x 2 = 0 x = 0 (positive Definitheit) (S2) x, y 2 = y, x 2 (Symmetrie) (S3) x, y + z 2 = x, y 2 + x, z 2 λ x, y 2 = λ x, y 2 (Linearität) Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105

116 Kapitel 8- Vektorrechnung im R n Definition (Orthogonalität) Zwei Vektoren x, y R n stehen aufeinander orthogonal (schreibe x y), wenn x, y 2 = 0 gilt. Jeder Vektor steht demnach orthogonal auf dem Nullvektor. Jakob Hauser Brückenkurs Mathematik LV-Nr: WS / 105