Kernphysik I. Kernmodelle: Fermigas-Modell Neutronenstern

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1 Kernhysik I Kernmodelle: ermigas-modell Neutronenstern

2 ermigas-modell Kerne im Grundzustand können als entartetes ermigassysteme aus Nukleonen, mit hoher Dichte (,1 Nukleonen/fm ) betrachtet werden. Die Kerndichte ist bestimmt durch den reulsiven Anteil der Wechselwirkung ("hardcore ) und die eichweite der N-N Wechselwirkung. Analog zum ermigas-modell für Leitungselektronen wird angenommen, daß die Nukleonen (J 1/, ermion) im Kern unter dem Einfluß eines Potentials sich frei bewegen. Das Potential ergibt sich aus der Suerosition der Potentiale aller Nukleonen, die als unktförmig angenommen werden. Als Potential wird ein Tof angenommen mit konstantem Wert im Kerninneren und scharf begrenzt am and. Große Beweglichkeit der Nukleonen im Kern war schon Ergebnis der schwachen Bindung zwischen Nukleonen im alle des Deuterons.

3 ermigas-modell Zustände im ermigas-modell Kern stellt für Konstituenten einen Potentialtof dar, mit relativ leichter Bindung Entartetes ermigas mit zwei unabhängigen Teilchensorten (, n) Sin-1/ Teilchen: ermi-dirac-statistik, Pauli-Prinzi Nukleonen bewegen sich frei in einer Kugel mit adius A 1/ Wegen Unabhängigkeit der Protonen und Neutronen zwei getrennte Potentialtöfe Töfe unterscheiden sich in der Coulombenergie für Protonen Potential ist im Kernvolumen konstant und besitzt scharfe änder ür große Abstände gleichen sich beide Töfe an, besitzen gleiche Nulllinie.

4 ( π h) ermigas-modell Zustandsdichte für freies Teilchen Zahl der Zustände in Imulsintervall [, d] π d dn V mit V von Nukleonen besetztem Volumen Gesamtzahl der Zustände (T ) von bis V n 6π h ( ) mit ermi Imuls ermi Imuls und ermi Energie Zahl der Protonen (Z)- und Neutronen (N), Annahme: Z N A / Mit J 1/ ist jeder ermigaszustand mit /n besetzt. ( ) n V V Z und N π h π h / n mit ermiimuls für Proton bzw. Neutron π π mit, 1.1 fm 1/ V A A ( ) n π h A π h A 9π h n h 9π V 8 π 8 A 1/

5 ermigas-modell 1/ h 9π A ermiimuls: 5 /c für Z N 8 ermienergie: E M mit Bindungsenergie: B -8 Potentialtiefe: V E B Quasi-elastische Elektronenstreuung an gebundenen Protonen im Kern e A e (A-1) eaktionen Sektrum der gestreuten Elektronen als unktion der übertragenen Energie Beobachtete Imulse entsrechen Abschätzung aus ermigasmodell

6 ermigas-modell ermi - Imuls : n h 9π 8 1/ 5 /c für Z N A ermi - Energie : Potentialtof : V E M E B Die kinetische Energie des Nukleonengases ist wegen der geringen Bindungsenergie B etwa gleich der Potientialtiefe analog zum freien Elektronengas in Metall. Kern Kufer N (fest) Neutronenüberschuß stabiler Kerne : E n und E liegen auf gleichem Niveau, wegen Coulombotential werden mehr Neutronen N > Z in schweren stabilen Kernen gebunden. V < V n V c (Z-1)α hc/

7 ermigas-modell Kinetische Energie im ermigas-modell Mittlere kinetische Energie ro Nukleon E kin kin E d d 5 M d M d Gesamte kinetische Energie eines Kerns A (N,Z) n Ekin( N, Z) N En Z E N ( ) Z ( ) 1M / 5/ 5/ h 9π N Z Ekin( N, Z) / 1M A ( ) Bs kurze Nebenrechnung für Neutronen V π A π A (9 π) N 5/ / 5 π h 9π h 9π h 8 / / 5/ / 5/ h 9π A h 9π A h 9π N A A 5/ / 5/ / h

8 ermigas-modell Gesamte kinetische Energie eines Kerns A (N,Z) E kin z / 5/ 5/ h 9π N ( N, Z) 1M / ( Z N) Mit Isosin: T 1/ Z A A N N N Z Z ( N Z) ( Z N) T A Z Z Z N N ( N Z) ( N Z) Tz 5 5 / 9π E h 1M 1 A A T / z T z A Entwickelt man diesen Ausdruck wie ( ) ( 1) x! 1± x 1 ± ±... Konvergenz: x 1 x A A T z A 5 Tz 1 Tz z T 1 1. A A 18 A A A T z A 5 Tz 1 Tz z T A A 18 A z

9 ermigas-modell so erhält man: ( N Z) / h 9π 5 Ekin( N, Z) A... 1M 8 9 A Vergleich mit Weizsäcker Massenformel oder Tröfchenmodell: Erste Term ~A trägt zum Volumenterm in der Massenformel bei. ( N Z) Zweiter Term ~ ist für den Asymmetrieterm verantwortlich. Bemerkung : A ( ) ( ) 1 A A A N-Z Z N T T Z z z

10 ermigas-modell und Neutronenstern Der Druck eines ermionen-gases beruht auf dem Pauli-Prinzi, das die Besetzung desselben Zustands mit mehr als einem Teilchen verbietet, also auch das zwei Teilchen sich am selben Ort aufhalten. Es kommt zu einer effektiven Abstoßung der Teilchen im aum. Diese ist umgekehrt roortional zur Masse m der Teilchen: je leichter die Teilchen eines ermionen-gases sind, desto größer ist ihr Druck. Den größten Druck würden also Neutrinos erzeugen, allerdings ist deren Wechselwirkung mit anderer Materie infolge ihrer elektrischen Neutralität unter thermischen Bedingungen sehr gering. Gegenüber einem Gas aus Protonen oder aus Neutronen besitzt ein Elektronengas einen deutlich höheren Druck. Erinnerung Thermodynamik Energie des ermigases: Druck als unktion der Dichte: U P P 8π V h U / V d m Druck des entarteten ermigases du / dv h m π / ρ 5 / :

11 Anwendung: ermigas-modell und Neutronenstern Sternentwicklung. Sterne mit hinreichend großer Masse entwickeln unter der Wirkung ihrer Gravitation in ihrem Inneren so hohe Drucke, daß dort ein Plasma aus Elektronen und ionisierten Kernen bzw. Protonen entsteht. Wo gibt es diese Umgebung? Einschub: Sonne Der Gegendruck gegen die Gravitation wird dann überwiegend von den Teilchen mit der kleinsten Masse, also von den Elektronen geliefert. Ausgebranntes Zentrum der Sterne besteht vorwiegend aus Eisen. Masse tyischerweise von 1- Sonnenmassen. durch die hohe Dichte steigt die ermi-energie der Elektronen Bei weiter zunehmendem Gravitationsdruck kann nun das System ausweichen, indem es im inversen β-zerfall: e - n ν e aus je einem Elektron und einem Proton ein Neutron erzeugt und dabei seinen Gegendruck auf 1/18 erniedrigt. Es entsteht ein Neutronenstern. Die Umkehrreaktion der Beta-Zerfall n e - ν e anti wird durch das Pauli-Prinzi für die Elektronen verboten (keine freien Elektronenniveaus wg hoher Dichte).

12 Sonne adius S 6, km 19 E Masse M S 1, kg,. 1 5 m E Mittlere Dichte r S 1,1 g. cm -,6 r E usion von Wasserstoff zu Helium, zwei Mechanismen: - Proton-Proton-Zyklus - CNO-Zyklus Nettoreaktion: > He e ν e 6,

13 -Zyklus s He d a e d e 1 5,9 1 1,19 1 γ ν a He He He 6 1 1,86 6, e He e ν Bilanzgleichung: Zwischensiel-Astrohysik

14 Proton-Proton-Zyklus > He ν e (99%) e - > H ν e (1%) H > Heγ He He > He (86%) He He> Beγ (1%) He > Heν e e (<<1%) Be > 8 B γ 8 B > 8 Be e ν e 8 Be > He (1%) Be e - > Li ν e Li > He (99%)

15 Zwischensiel-Astrohysik Generelle Asekte: nukleare eaktionen in der Astrohysik Energie: eaktion 1 Q 1 -value > eaktions-ate: <σv> 1 σ(e) E ex(-e/kt) de Maxwell-Boltzmann Verteilung der elativgeschwindigkeit Energie ist gegeben durch Temeratur T Energieabhängige Wirkungsquerschnitte Astrohysikalische Umgebungen T ~ 15x1 6 K z.b. unsere Sonne kt ~ 1 kev T ~ 1 1 K Big Bang kt ~

16 Zwischensiel-Astrohysik Geladene Teilchen induzieren eaktionen klassisch verboten wegen Coulombotential E c ~! Nukleare eaktionen in Sternen werden durch den quantenmechanischen TUNNEL-EEKT bestimmt! Maxwell-Boltzmann Verteilung ex(-e/kt) Tunneleffekt durch Coulombbarriere ex(- E / E) relative robability Gamow eak Gamow eak: kt E energy entscheidender Energiebereich für thermonukleare eaktionen kt << E << E coul 1-18 barn < σ < 1 - barn z.t. extrem kleine Wirkungsquerschnitte

17 Wasserstoffbrennen II-/III-Prozeß II-eaktion III-eaktion Be He He 59 1, γ He He Li Li e Be e 1,5,86 ν He He Be e Be B B Be e, * 1, *, ν γ Zwischensiel-Astrohysik

18 Katalytische Erzeugung von zu He Solange C,N oder O vorhanden ist - und CNO Zyklus möglich. eaktionen sind T abhängig, Verhältnis ändert sich damit In Sonne 98.5% -Ketten, Säter CNO (oter iese) In massereichen Sternen CNO C N C N O N N C e N N e 1 6 O γ,9 C γ 1,9 ν 1,51 e γ,5 e Zwischensiel-Astrohysik He,96 ν 1,6 CNO-Zyklus

19 Nachfolgende nukleare Phasen zunehmend komliziertere nukleare Prozesse Zwischensiel-Astrohysik Photodesintegration beginnt Phasen werden nur noch von immer höheren Massen erreicht (Zündtemeratur) Brennende Kerne stets im Inneren des Kerns der vorangegangenen Phase -> Zwiebelschalenstruktur diese olge endet mit Kernen in e egion

20 Zurück zu ermigas-modell und Neutronenstern Sternentwicklung. Sterne mit hinreichend großer Masse entwickeln unter der Wirkung ihrer Gravitation in ihrem Inneren so hohe Drucke, daß dort ein Plasma aus Elektronen und ionisierten Kernen bzw. Protonen entsteht. Der Gegendruck gegen die Gravitation wird dann überwiegend von den Teilchen mit der kleinsten Masse, also von den Elektronen geliefert. Ausgebranntes Zentrum der Sterne besteht vorwiegend aus Eisen. Masse tyischerweise von 1- Sonnenmassen. durch die hohe Dichte steigt die ermi-energie der Elektronen Bei weiter zunehmendem Gravitationsdruck kann nun das System ausweichen, indem es im inversen β-zerfall: e - n ν e aus je einem Elektron und einem Proton ein Neutron erzeugt und dabei seinen Gegendruck um 1/18 erniedrigt. Es entsteht ein Neutronenstern. Die Umkehrreaktion der Beta-Zerfall n e - ν e anti wird durch das Pauli-Prinzi für die Elektronen verboten (keine freien Elektronenniveaus wg hoher Dichte).

21 ermigas-modell und Neutronenstern In Kernen werden alle Protonen in Neutronen umgewandelt, Coulombbarriere verschwindet. Kerne verlieren ihre Identität. Das Innere der Sterne besteht nur noch aus Neutronen: 56 e 6e - 56n 6ν e Die Imlosion wird dann erst bei einer Dichte von 1 18 kg/m durch ermidruck der Neutronen-Gases gestot. Wenn Masse des zentralen Kerns größer als zwei Sonnenmassen ist, dann ist Gravitation größer als ermidruck der Neutronen Schwarzes Loch. Neutronensterne haben tyischerweise Massen von Sonnenmassen. Abschätzung der Größe der Neutronensterne: Annahmen: - konstante Dichte Sonnenmassen: Masse: M 1 kg Neutronenzahl: N Behandle Neutronenstern als kaltes Neutronengas

22 E kin / N ermigas-modell und Neutronenstern ermi - Imuls des kalten Neutronengases V() π () 9πN N π h π h mittlere kinetische Energie ro Neutron: 5 M n 9πN / h 1M n 1 1/ C h ist adius des Neutronensterns Gravitationsenergie eines Sternes konstanter Dichte hat mittlere otentielle Energie ro Neutron: E ot / N 5 GNM n D mit Gravitationskonstante G Minimale Gesamtenergie ro Neutron: d E / N d d C d C D [ E / N E / N ] d kin d D C h D ( 9π ) GM n N ot / 1/ Zahlen: adius des Neutronensternes: ~1 km!!!!

23 Zusammenfassung Kerne im Grundzustand sind entartete ermigassysteme aus Nukleonen, mit hoher Dichte (,1 Nukleonen/fm ). Die Kerndichte ist bestimmt durch den "hardcore" und die eichweite der N-N Wechselwirkung. Im Zusammenhang mit der hohen Dichte steht ein hoher ermi-imuls (5 /c), der Ausdruck hoher Beweglichkeit und schwacher Bindung ist. ermi - Imuls : n h π 8 9 1/ 5 / c für Z N A ermi - Energie Potentialt of : : V E E M B Die kinetische Energie des Nukleoneng ases ist wegen der geringen Bindungsen ergie B etwa gleich der Potiential tiefe analog zum freien Elektronen gas in Metall.