Experimentalphysik 4 - Kern- und Teilchenphysik (Uwer)

Transkript

1 Experimentalphysik 4 - Kern- und Teilchenphysik (Uwer) Robin Heinemann 6. Mai 018 Inhaltsverzeichnis 1 Mehrelektronensysteme Wasserstoff - kurze Wiederholung Heliumatom in a nutshell Wechselwirkung der Elektronen Ununterscheidbarkeit der Elektronen Term-Schema von Helium Mehreektronensysteme (Z > ) Numerische Näherungsverfahren Drehimpulskopplung und Gesamtdrehimpuls Struktur der Elektronenhülle Grundzustand des Mehrelektronensystem und Hund sche Regel Ordnung der Elemente Aufbau in der Atomhülle Ionisationsenergie und Atomradien Periodensystem Angeregte Zustände und Spektren Lebensdauer angeregter Zustände Natürliche Linienbreite Spektren Innerschalen Anregung und Auger-Elekrtonen Röntgenstrahlung Mehrelektronensysteme 1.1 Wasserstoff - kurze Wiederholung Stationäre 3d Schrödinger-Gleichung für kugelsymmetrisches Potential ħ m ψ( r) + V ( r)ψ( r) = Eψ( r) V ( r) = Ze 4πε 0 1 r 1

2 1 Mehrelektronensysteme r = Relativkoordinate. Lösung: ψ nlm ( r) mit Radialanteil R(r) und Winkelanteil Y lm (φ, θ). Lösungen werden durch die 3 Quantenzahlen {n, l, m} vollständig bestimmt. ψ k mit k = {n, l, m}, ψ k oder k. Energieeigenwerte E n hängen nur von n ab. ( Entartung: n Niveaus) µ = reduzierte Masse, mit E n = 1 n µ Z e 8ε = 0 h R y Z n R y = µe4 8ε 0 h = R yhc = R y µ m e hc Ry = evry E n = 1 m e c n α Spektrallinien für Übergang ψ m µ n (m, n Hauptquantenzahlen) ( 1 1 λφ = R y n 1 ) m = c 0 m 1 Auswahlregel für elektronischen Dipolübergang: l = ±1 Elektronenspin: s = 1/, s z = ±1/ Gesamtwellenfunktion: ψ nlmms = ψ nlm χ ms Feinstrukturaufspaltung: Magnetischer Moment des Spins koppelt mit magnetischem Moment des Bahndrehimpulses l, s, Ersatzdrehimpuls J = l + l Für Einelektronensystem (s = 1/) = j = l + 1/ oder j = l 1/ Berücksichtigung der relativistischen Massenzunahme Energieniveaus hängen nur noch von n und j ab (E nj ) sind in l entartet: s 1 ) ( n =, l = 0, j = 1 p 1 ) ( n =, l = 1, j = 1 Lamb-Shift QED-Korrekturen = Austaush Photon / Elektronen. Die Korrekturen sind umso stärker, ja näher die Elektronen am Kern sind, das heißt sie hängen von n und l ab = Aufhebung der l-entartung. ( Hyperfeinstrukutur Kopplung der Mangnetische Momnete des Elektrons j = ) l + s und des magnetischen Moments deskernts/protons I energiaufspaltung ji Kopplung der Drehimpulse zur Ortskomponente 1. Heliumatom in a nutshell Komplikationen gegenüber H: 1. Elektronen-Coulomb-Abstoßung. Ununterscheidbarkeit der e 1..1 Wechselwirkung der Elektronen = gegenseitige Abstohung der beiden Elektronen = Hamilton-Operator Ĥ = ( p m Ze 4πε 0 r i i=i ) + i,j i<j e ( 4πε 0 r i r j + Ô l1, Î) l, s 1 s,

3 1 Mehrelektronensysteme 3 Näherungen: Zentralfeldnäherung. Elektron i sieht ein effektives Zentralpotential V eff (r i ) Produktansatz: Extrem-Betrachtung ψ( r 1, r ) = ψ( r 1 )ψ( r ) 1. Vernachlässige Abschirmung des Kerns durch Elektron j Wasserstoff-Lösung mit beiden Elektronen im Grundzustand n = 1. Bindungsenergi: E He = Z ( 13.6 ev) = 108 ev. Zweites Elektron schirmt Potential ab, sodass e i nur noch Z = 1 sieht E He = Z 13.6 ev (Z 1) 13.6 ev = 67.5 ev Experimententell findet man für Grundzustand E He = ev. Zweites Elektron schirmt Potential teilweise ab: E He = Z 13.6 ev (Z Σ) 13.6 ev = Abschirmungsparameter Σ = Einteilchen-Lösung: ψ nlm ( r i ) werden wie beim Wasserstoff klassifiziert. Effektives Potential ist zwar Kugelsymmetrisch aber kein 1/r-Potential Aufhebung der l-entartung (größere l schächer gebunden) 1.. Ununterscheidbarkeit der Elektronen Elektronen = Spin 1 - Fermion. Sind ununterscheidbar: Ich weiß nicht, welches Elektron im Zustand a{n 1, l 1, m 1 } oder im Zustand b = {n, l, m } ist! ψ I ab ( r 1, r ) = ψ a ( r 1 )ψ B ( r ) ψ I ab ( r 1, r ) = ψ a ( r )ψ B ( r 1 ) für ununterscheidbare Teilchen sin Zustände äquivalent und müssen die gleiche Aufentaltswahrscheinlichkeit ergeben. = ψab II = ψab I = ±ψii ab ψ I ab Verallgemeinertes Pauli-Prinzip Gesamtwellenfunkion eines Systems aus mehreren Fermionen ist antisymmetrisch gegenüber der Vertauschung zweier Fermionen. = In einem System können deshalb keine zwei Fermionen die gleiche Quantenzahl haben. Bei Anwendung auf Helium muss berücksichtigt werdes, dass Gesamtwellenfuktion Ortsanteil ψ nlm und einen Spinanteil χ ms hat. Elektronenspins im Helium können zu zwei verschiedenen Gesamtspins S koppeln. 1. Symmetrisches Triplett (S = 1, s s = 0, ±1) χ 1 S = χ 1( )χ ( ) χ 0 S = {χ ( )χ ( ) + χ 1 ( )χ ( )} 1 χ 1 S = χ 1 ( )χ ( )

4 1 Mehrelektronensysteme 4. Antisymmetirsches Singlett (S = 0, m s = 0) χ 0 a = {χ 1 ( )χ ( ) χ 1 ( )χ ( )} 1 Befinden sich die beiden Elektronen in einem symmetrischen (antisymmetischen) Spinzustand, so muss die Ortswellenfunktion entsprechend antisymmetrisch (symmetrisch) sein. Antisymmetrisierung von ψ( r 1,..., r n ) = ψ 1 ( r 1 )... ψ n ( r n ). Für Mehrelektronensysteme erhält man die antisymmetrische Wellenfunktion mittels der Slater-Determinante 1..3 Term-Schema von Helium ψ( r 1,..., r n ) = 1 n! ψ k1 ( r 1 )... ψ k1 ( r n ).. ψ kn ( r 1 ) ψ kn ( r n ) Im Grundzustand des Helium sind beide Elektronen im tiefstmöglischenzustand: n 1 = n = 1, l 1 = l = 0 (symmetrisch). Die Spins müssen dann antiparallel beziehungsweise im antisymmetrischen Singlett Zustand sein. Für angeregtes Helium existieren dann zwei Term-Systeme: Zustände mit S = 0: Para-Helium Zustände mit S = 1: Ortho-Helium Die angeregten Singlett-Zustände liegen jeweils höher als die entsprechenden Triplett Zustände: Coulomb-Abstoß ist im Falle antisymmetrischer Spinwellenfunktion (= symmetrische Ortswellenfunktion) größer weniger stark gebunden = höhere Niveaus. Spektroskopische Notation: S+1 L J 1.3 Mehreektronensysteme (Z > ) Numerische Näherungsverfahren nicht Kugelsymmetrische Wechselwirkung zwischen Elektronen keine analytsiche Lösung = iterativep Näherungsverfahren. Modell unabhängiger Elektronen: Kernladung Z e und die zeitlich gemittelte Verteilung der anderen (Z 1) Elektronen resultieren für ein Elektron i in ein effektives kugelsymmetrisches Potential V eff (r i ) Einteilchenproblem mit Energiezuständen E i (n i, l i, m i ) und mit Einteilchenlösungen ψ ni l i m i. Da V eff (r i ) zwar kugelsymmetrisch aber kein 1/r-Potential Aufhebung der (n, l)-entartung. = nach Pauli-Prinzip werden E n,l sukzessive besetzt. Gesamtwellenfunktion = Produkt der Einteilchenlösungen ψ( r 1,..., r Z ) = ψ 1 ( r 1 )ψ ( r )... ψ Z ( r Z ) Antisymmetrisierung mittels Slater-Determinante. Mit dieser gesamtwellenfunktion kann das zeitliche gemittelte effektive Potential V eff neu berechnet werden: V eff (r i ) e Z 1 r i r i r j ψ i(r i ) d 3 r j i j Mit diesem verbesserten Potential startet die nächste Iteration zur Berechnung der Einteilchenzustände E i (n i, l i, m i ) Hartree-Verfahren. Bemerkung 1.1 Neben der Coulomb Wechselwirkung müssen auch die magnetische Wechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten der Elektronen (Bahndrehimpuls + Spin) berücksichtigt werden Feinstruktur. Relativ zu Wasserstoff sind komplexere Drehimpulskopplungen möglich.

5 1 Mehrelektronensysteme Drehimpulskopplung und Gesamtdrehimpuls Gesamtdrehimpuls eines Mehrelektronensystems hängt davon ab, wie Drehimpulse und Spins koppeln. L, S, J = Gesamt Bahn-, Spin-, totaler Drehimplus L, S, J = zugehörige Quantenzahlen li, s i, j i = Bahn-, Spin, totaler Drehimpuls des Elektron i l i, s i, j i = zughörige Quantenzahlen 1. L-S-Kopplung (Russel-Sanders-Kopplung) falls Kopplungsenergie zwischen Bahdrehimpulsen und zwischen Spins groh L = li L = L(L + 1) i S = s i S = S(S + 1) i J = j i J = J(J + 1) i Beispiel 1. Kopplung zweiter p-elektronen ( p ) (l 1 = l = 1, s 1 = s = 1/) L: l 1 l L l 1 + l = L = 0, 1, S: s 1 s S s 1 + s = S = 0, 1 = bereits 10 verschiedene Drehimpulskopplungen S L J S + L mit J = 0, 1,, 3 a) JJ-Kopplung Falls Energiegewinn der Kopplung der einzelnen Spins beziehungsweise Bahndrehimpulse klein gegenüber der Kopplung von l i und s i ist ( l i s i groß gegenüber der Coulomb): j i = l i + s i J = i j i JJ tritt vor allem bei schweren Atomen auf. Im Folgenden nur Diskussion von LS-Kopplung. b) Termschemata (LS) Elektronekonfiguration mit Gesamtdrehimpuls L und Gesamtspin S führen je nach Kopplung von L und S zu verschiedenen Feinstrukturkompensationen mit verschiedenen J: L S J L + S Multiplizität: S + 1 für S < L, L + 1 für L S Beispiel 1.3 () Mögliche Feistruktur für p -Konfiguration. Aufspaltung von 3 P aufgrund der Feinstruktur durch L S : c L S c L S = c(j(j + 1) L(L + 1) S(S + 1)) J = 6 = + L S für 3 P (L = 1, S = 1) : J = 1 = J = 0 0 = 4

6 1 Mehrelektronensysteme Struktur der Elektronenhülle Aufgrund des Pauli-Prinzips darf Zustand mit {n, l, m} nur mit maximal Elektronen (m s = ±1/) besetzt werden. Für Hauptquantenzahl n: n 1 k = (l + 1) = n l=0 Zustände die mit insgesamt n Elektronen besetzt werden können. Die energetische Reihenfolge der Energiezustände E nl : 1s, s, p, 3s, 3p, [4s, 3d], 4p, [5s, 4d], 5p, [6s, 5d, 4f], 6p, [7s, 6d, 5f] Elektron / Ladungsdichte (sehr kurz) ρ n e r R nl (r) n e Dar Hauptteil der Ladungsverteilung bei gegebener Hauptquatenzahl n ist in einer Kugelschale konzentriert. n = 1 K-Schale n = L-Schale n = 3 M-Schale n = 4 N-Schale n = 5 O-Schale n = 6 P-Schale n = 7 Q-Schale Der mittlere Radius der Elektronenverteilung nimmt mit steigendem n zu. Die intrinsische Längenskala a 0 /Z kompensiert (durch größere Coulomb-Anziehung). Die radiale Wellenfunktion, R ln hängt von l ab verschiedene l-werte bilden Unterschalen (s, p, d, f) zur Hauptschale. Frage: Was ist die energetisch günstigte Konfiguration, bei nicht völlig besetzten Unterschalen? Grundzustand des Mehrelektronensystem und Hund sche Regel Aus Beispiel der verschiedenen Drehimpulskopplung für die p Elektronenkonfiguration wurde gezeigt, das für eine feste Elektronenkonfiguration eine Vielzahl von Termen gibt. Eine dieser Zustände sollte das energetisch tiefste Zustand sein, den das Atom im Grundzustnad einnimmt. Aus spektroskopischen Daten vieler Atome wurden von F. Hund die folgenden empirischen Regeln aufgestellt. 1. Für alle abgeschlossenen Schalen und Unterschalen gilt L = 0, S = 0 J = 0. Die Überlagerung der Wellenfunktionen abgeschlossener Schalen führt auf eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Spektroskopische Notation: ( S+1 L J ) : 1 S 0 (Singlett ohne Feinstruktur). = Es genügt, für die spektroskopischen Eigenschaften sich auf die Elektronen außerhalb der abgeschlossenen Schalen zu beschränken. Beispiel: Natrium (Z = 11): 1s s p 6 3s 1, Neon: 3s 1. In einer nicht-abgeschlossenen s, p, d, f Unterschale liegen die Zustände mit maximalen Spin energetisch am tiefsten. (symmetrische Spinwellenfunktion maximaler Abstand minimale Coulombenergie.) 3. Für Terme mit maximalem Spin liegen die Terme mit maximalem L am tiefsten. Die zu einer Unterschale gehörenden m-zustände werden so gefüllt, dass die Spin erst m = l, m = l 1,... Orbitale besezten. Beispiel: C(Z = 6)[1s s ]p ; p = {m = 1 :, m = 0 : } = L = 1, S = 1

7 1 Mehrelektronensysteme 7 4. Ist die s, p, d, f Unterschale Weniger als halb gefüllt: Term J = L S ist Grundzustand mehr als halb gefüllt: Term mit J = L + S ist Grundzustand Beispiel C: Spin S = 1 mit L = 1 kopplen zu J =, 1, 0 = entspricht Triplett 3 P, 3 P 1, 3 P 0 = Zustand 3 P 0 ist Grundzustand. Entspricht Antiparallelzustand von l und s im Wasserstoff-Atom. Bei mehr als halbgefüllten Schalen: Fehlende Elektronen können als Löcher mit positiver Ladung angesehen werden parallele Ausrichtung von L und S minimiert Energie. 1.4 Ordnung der Elemente Aufbau in der Atomhülle Durch sukzessives Aufüllen der Schalen und Unterschalen erhält man die Elektronen-Konfiguration der Elemente für Z >. Nach Z = 18 wird mit dem nächsten Element nicht die 3d-Unterschale gefüllt (siehe Merkregel, Abbildung), sondern es wird erst die 4s Unterschale gefüllt. Da die 3d Unterschale innerhalb der 4s Unterschale liegt werden die chemischen Eigenschaften dieser Elemente vor allem durch die 4s Elektronen bestimmt ( Übergangselemente ). Die nächste Unregelmäßigkeit findet nach Krypton (Z = 36) statt. Mit Rubidium (Z = 37) wird erst die 5s Schale gefüllt. Die 4d Unterschale wir zwischen Z = 39 (Yttrium) und Z = 48 (Cadmium) gefüllt. Nach Xeon (Z = 54): $4f$-Unterschale, 5d Unterschale und nach Radon (Z = 86) 5f Unterschale, 6d Unterschale. Da der Radius der Unterschalen mit n anwächst, wird mit dem Einbau in die d, f Unterschalen Z besetzt, die einen geringeren mittleren Abstand zum Kern aufweisen, als die bereits besetztne, s, p Orbitale bei größeren n ( innere Schalen ) 3d, 4d, 5d, 4f, 5f 1.4. Ionisationsenergie und Atomradien Gemessenen Atomradien belegen die Schalenstruktur. Radien weisen eine Periodizität auf: Immer wen ein Elektron in neue Schale eingebaut wird (n n + 1) Steigt der Radius stark an. Gleiche Periodizität auch bei Ionsiierungsenergie = Energie um das am schwächsten gebundene Elektron mit mittlerem Radius r = r n ins Unendliche zu bringen: E ION = Z eff : effektive Kernladung für das äußerste Elektron. r n Z eff e 4πε 0 r dr = Z eff e 4πε 0 r n = R y Edelgase besitzen die kleinsten Werte von r n und sehen damit die größte effektive Ladung maximale Ionisationsenergie. Alkali-Atome besitzen die kleinste Ionsiationsenergie (das einzelne Elektron befindet sich weit außen) Periodensystem Die Elemente werden nach steigendem Z geordnet (ursprünglich Masse) geordnet und in eine Tabelle mit 7 Zeilen (Perioden) und 18 (ursprünglich 8) Spalten = 8 Hauptgruppen + 10 Nebengruppen eingetragen, wobei die Ordnung in Spalten aus den chemischen Eigenschaften rührt. Schwerstes bekannte Element: Og (Oganesson). Chemische Eigenschaften werden durch die äußeren Elektronen in nicht-vollständig besetzten Schalen bestimmt: Valenz-Elektronen 1. Gruppe: Alkali-Metalle - einzelnes Elektron, leicht ionisierbar. Gruppe: Erdalkali-Metalle - s Elektronen 7. Gruppe: Halogene: ein freiter Platz in äußerster Schale verbinden sich gerne mit Alkali-Metallen Z eff n

8 1 Mehrelektronensysteme 8 8. Gruppe: Edelgase: volle s + p Unterschale hohe Ionisationsenergie chemisch inert. Nebengruppe: Überlagerung der s- und d-zustände Teilnahme der d-elektronen an den Bindungen unterschiedliche chemische Eigenschaften f-übergangselemente: f-unterschale liegt weit innerhalb der äußeren s-elektronen = chemische Eigenschaften sind ähnlich. Lanthanide (seltene Erden) und Actiniden werden im Periodensystem als ein Element behandelt. 1.5 Angeregte Zustände und Spektren Lebensdauer angeregter Zustände Durch Absorption von Photonen oder durch inelastische Stöße kann Elektron in ein höheres Niveau angeregt werden. Angeregte Zustände sind in der Regel instabl und zerfallen mit Lebensdauer τ. Zerfallsgesetz: ( N(t) = N 0 exp t ) τ N(t) = Zahl der noch angeregten Atome, N 0 = der ursprünglich t = 0 angeregten Atome. Für einen spezifischen Übergang i und k mit Energien E i und E k bestimmt das Übergangsmatrixelement M ki beziehungsweise dessen Betragsquadrat M ki der Wahrscheinlichkeit / Stärke des Übergangs: elektrische Dipolnäherung M ki = k ĤW W i e ψ kˆrψ idv Wechselwirkung mit elektromagnetischem Potential Aus den Bedingungen, dass das Integral nicht verschwindet ergeben sich die Auswahlregeln für Mehrelektronensysteme bezüglich elektrischer Dipol Strahlung. Auswahlregeln: l = ±1, m L = 0, ±1, S = 0, J = 0, ±1 ( J = 0 möglich für L = ±1 und m l = 1 aber kein J = 0 J = 0!!) Bemerkung 1.4 emmitiertes Photon besitzt Drehimpuls ±ħ zum gleichen Schluss kommt man mit anderer Überlegung Parität - Verhalten eines Zustandes unter Operation r r Man unterschiedet Zustände mit gerader und ungerader Partät ψ( r) = ψ( r) = ±ψ( r) + = gerade Parität = ungerade Parität für Wasserstoff-Lösung P(ψ) = ( 1) l 1. Damit der Integrand für M ki nicht verschwindet muss Integrand insgemat symmetrisch in r sein, das heißt positive Parität besitzen. Da r eine ungerade Funktion ist, muss Produkt aus ψ i und ψk ebenfalls ungerade sein. Das ist aber nur der Fall für ungerade-gerade Produktkombinationen, und zusammen mit P (ψ j ) = ( 1) l j folgt, dass der Drehimpuls L sich um ±1 ändert. Betrachßtet man den Ausgangszustand ψ i und dem Endzustand (ψ k + γ), dann muss (Paritätserhaltung): P (ψ i ) = P (ψ k )P (γ) = P (γ) = 1 Typische Lebensdauren für elektrische Dipolübergänge: O ( s ) H ( P 1/ ) : τ = s

9 1 Mehrelektronensysteme Natürliche Linienbreite Mit endlicher Lebensdauer τ ist eine natürlich Energiebreite der Zustände verbungen: E τ ħ. Damit verbunden ist eine endliche Frequenzbreite ω = 1 τ für den Überganz zwischen Niveaus. Im Frequenzraum wird die natürlich Linienbreite durch Lorentzprofil beschrieben. Leistungsdichte P (ω): γ/(π) P (ω) = P 0 (ω ω 0 ) + (γ/) wobei γ für einen Übergang i k gegeben ist durch γ = 1 τ i + 1 τ k (τ j ist dabei die Lebensdauer für Zustand j ). Für kurzlebige Zustände (τ 0) ist die natürlich Linienbreite sehr groß. Neben der natürlichen Linienbreite führt die Bewegung der Atome (Doppler-Effekt) sowie die Stöße zwischen Atomen (Druck) zu einer weiteren Verbreitung Spektren Aufgrund der komplexen Multiplettstruktur sind die Spektren der Mehrelektronen-Systeme kompliziert. Beispiel 1.5 (Natrium) Aufhebung der l-entartung bewirkt, dass die Energiedifferenz E für zwei benachbarte n in der gleichen Größenordnungwie das l-splitting ist. Abei Alkali-Atomen mit einzelnem Valenzelektron (S = 1/) findet man Dupletts: J = L ± 1/, P 1/, P 3/, D 3/, D 5/. Übergang von 3P (Duplett) nach 3S (Singlett) Doppellinie Innerschalen Anregung und Auger-Elekrtonen Anregung eines inneren Elektrons dbedarf hoher Energie (Effektive Kernladung Z eff e groß) Anregung nur mittels Röntgenstrahl (UV-LIcht) oder durch direkt Elektronen Stöße möglich. In das entsprechende Loch kann ein äußeres Elektron nachfallen Photon ħν typischer Weise im kev Bereich. charakteristisches Röntgen-Photon Energie kann auf äußeres Elektron übertragen werden 1.6 Röntgenstrahlung Prinzip einer Röntgenröhre: Elektronen werde durch einen Heizwedel auf eine Annode geschossen. Kinetische Energie E kin = eu B. Beim Auftreffen auf Anode verlieren die Elekrtonen einen Teil ihrer Energie durch Abstrahlung. Zwei verschiedene Mechanismen zur Erzeugung von Röntgen-Strahlung 1. Abbremsen der Elektronen im Feld des Kerne der Anoden-Atome Bremsstrahllung (aufgrund der Beschleunigung): kontinuierliches Spektrum mit E max = eu B. Ionisation beziehungsweise Stoßanregung von Elektronen der inneren Schalen k hinterlassen freie Plätze die von äußeren Elektronen i besetzt werden. ( E = E k E i = hν ki = (Z Σ) 1 R y hc 1 ) n i = i, k sind diskrete Übergänge charakteristisches Spektrum. n k

10 1 Mehrelektronensysteme 10 Bei den beiden Strahlungsanteilen handelt es sich tatsächlich um elektromagnetische Strahlung (Messung der Polarisation, Beugungs + Interferenzeffekte (Laue, W. H + W.L Bragg)). E max = eu B hν G = eu B λ λ G = hc eu B nm λ G = λ G U[V] = 0.1 nm[10 kv] Absorption: = Dicke d: µ = Absorptionskoeffizient di = µi 0 dx I(d) = I 0 e µd µ = µ s + α µ s : Streuung, α: Absorption. Für Röntgenstrahlen ist die Absorption bestimmt durch das Anregungs- und Ionisationsspekturm des Absorbermaterial. Absorptionskanten entspricht gerade der Energie um Elektron aus K, L, M Schale zu ionisiren. U(K Kante) = R y hc(z Σ) ( ) Absorptionskante ν k,l,m (Z Σ)