Thermodynamische Grundlagen

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1 Kapitel 1 Thermodynamische Grundlagen 1.1 Einige thermodynamische Relationen Die statistische Mechanik beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten physikalischer Systeme, die aus einer großen Anzahl von Teilchen bestehen. Aus der statistischen Mechanik klassischer Systeme im Gleichgewicht läßt sich die makroskopische Thermodynamik ableiten. Eine knappe Rekapitulation dieser Vorgehensweise findet man etwa im Kapitel 5 des Buchs Theoretical Astrophysics, Vol I von T. Padmanabhan (siehe Literaturangaben). Eine ausführlichere Darstellung geben entsprechende Lehrbücher. Im Folgenden werden lediglich die wichtigsten Ergebnisse zusammengefaßt. Wir betrachten ein abgeschlossenes System mit einer großen Anzahl von Teilchen, dessen äußere makroskopischen Parameter sich zeitlich nicht ändern sollen. Dann gilt, daß die Mittelwerte von Observablen des Systems nach genügend langer Zeit zeitunabhängige Werte annehmen. Solche physikalischen Systeme besitzen eine charakteristische Zeitskala (ihre Relaxationszeitskala) τ R, sodaß für Zeiten t τ R die folgenden Aussagen mit großer Genauigkeit gelten: Die Mittelwerte f(t) makroskopischer Variablen werden für t τ R zeitunabhängig. Diese näherungsweise Konstanz von f(t) beruht unter anderem darauf, daß eine große Anzahl von Teilchen den Wert der Observable f(t) bestimmen. Die Fluktuationen der Mittelwerte makroskopischer Variablen sind klein für Zeiten t τ R. Je größer die Teilchenzahl, um so kleiner die Fluktuationen der Mittelwerte. Unter Verwendung der Ergodenhypothese (zeitliche Mittelwerte und Ensemble- Mittelwerte sind äquivalent) und für ein relaxiertes System (t τ R ) ist der Mittel- 8

2 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 9 wert einer makroskopischen Variablen f(q, p) zur Zeit t durch f = dp dq f(q, p) ρ(q, p) (1.1) gegeben, wobei ρ(q, p) dpdq der Anteil aller möglichen Anfangszustände des Systems ist (d.h. ρ(q, p) ist die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung), bei dem die dynamischen Variablen und Impulse des System zur Zeit t im Bereich (q, q +dq; p, p+ dp) liegen. Mit Hilfe der Hamiltonschen Gleichungen und des Liouville-Theorems kann man zeigen, daß ρ(q, p) durch ρ(q, p) = C(E) δ D [E H(p, q)] (1.2) gegeben ist, wobei E die (konstante) Energie des Systems, H(q, p) die Hamiltonfunktion des Systems und δ D die Dirac sche Deltafunktion sind. Die Konstante C(E) ist durch die Normierungsbedingung C 1 g(e) = dp dq δ D [E H(p, q)] (1.3) bestimmt. Für den Mittelwert einer beliebigen Observablen des Systems gilt dann nach (1.1) f = 1 dp dq δ D [E H(p, q)] f(q, p). (1.4) g(e) Diese Beziehung besitzt eine einfache physikalische Interpretation. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (1.2) zeigt, daß (1) die Bewegung des Systems im Phasenraum auf eine Hyperfläche konstanter Energie E beschränkt ist und daß (2) das System sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem infinitesimalen Phasenraumvolumen dp dq innerhalb der Energiehyperfläche aufhält. Da nach (1.3) die Größe g(e) das Volumen der Energiehyperfläche ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit das System in einem kleinen Teilvolumen V der Energiehyperfläche zu finden V/g(E). Demnach kann man jedes Teilvolumen V der Energiehyperfläche als ein Mikrozustand betrachten, der mit den makroskopischen Parametern des Systems konsistent ist. Gleichung (1.2) besagt demnach, daß alle Mikrozustände gleich wahrscheinlich sind. Daher heißt die Wahrscheinlichkeitsverteilung (1.2) mikrokanonische Verteilung. Die Größe g(e) kann man auch als Zustandsdichte im Phasenraum interpretieren. Sie steht in unmittelbarem Zusammenhang mit der Entropie S(E) des Systems über S(E) ln g(e).

3 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 1 Historisch bezeichnete man bereits vor der Entwicklung der statistischen Mechanik mit der Kombination T ds die Änderung δq des Wärmeinhalts eines Systems. T bedeutete dabei seine Temperatur und S seine Entropie. Identifiziert man T d ln g = T ds, so erhalten wir daraus folgende Zuordnungen, wie in der Statistischen Mechanik gezeigt wird: T = T = ( ) 1 ln g E V ds = ds = d ln g = dg g. (1.5) Mit Hilfe dieser Identifikation von Entropie und Temperatur ist es auch möglich, eine einfache Einheitenänderung vorzunehmen, z.b. T = k B T und S = k B ln g mit der Konstanten k B. Da diese Skalenänderung aber keine fundamentale Bedeutung hat, setzt man oft k B = 1. Wählt man aber die historische Einheit Kelvin für die Temperatur, hat die Konstante k B die Dimension [erg/kelvin] und ihr Wert beträgt k B erg/k. Ist die mikroskopische Hamiltonfunktion für ein System mit der Gesamtenergie E, dem Volumen V und der Teilchenzahl N gegeben, erlaubt es die statistische Mechanik, die Funktion S(E, V, N) zu konstruieren. Daraus können dann sämtliche makroskopischen Variablen des Systems bestimmt werden. Nach Invertierung der Funktion S(E, V, N) kann die Energie als Funktion der übrigen Variablen geschrieben werden: E = E(N, V, S) = N f 1 (V/N, S/N). Die 2. Relation folgt, weil Energie, Volumen und die als k B ln g definierte (Gibbs-Boltzmann) Entropie extensive Größen sind. Daher ist die Energiedichte ε E/V offensichtlich nur eine Funktion der Anzahldichte der Teilchen n N/V und der Entropie pro Teilchen s S/N, d.h. ε = ε(n, s). Es gibt also nur zwei unabhängige Variablen in der thermodynamischen Beschreibung. Betrachten wir dazu das vollständige Differential von E(N, V, S), für das de = E S E E ds + dv + dn T ds P dv + µdn (1.6) V N gilt, wobei µ ( E/ N) S,V das chemische Potential und P ( E/ V ) S,N der Druck ist. Daß die so definierte Größe P mit der üblichen makroskopischen Definition als Kraft, die ein Gas auf die Wände eines Behälters pro Flächeneinheit ausübt, übereinstimmt, kann direkt aus der Statistischen Mechanik hergeleitet werden (siehe z.b. die oben angegebene Referenz). Da es nur zwei unabhängige Variablen gibt, können nicht alle drei partielle Ableitungen in (1.6) unabhängig sein. Die entsprechende Beziehung zwischen den Differentialen folgt aus dem vollständigen Differential von ε(n, s), indem man die Größen ε, n, s

4 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 11 durch die Größen E, N, V, S ausdrückt : de = V N ( ) [ ε E ds + s n V N V ( ) ] ε dv + n s [( ) ε n s ( ) ε s n ] V S dn. (1.7) N 2 Ein Vergleich von (1.6) und (1.7) ergibt T = 1 n ( ) ε, P = n s n ( ) ε ε, µ = n s ( ) ε n s ( ) ε s s n n (1.8) und damit für das chemische Potential µ = P + ε n T s = 1 (E + P V T S), (1.9) N welches daher nicht als thermodynamisch unabhängige Größe behandelt werden muß. Dies ist eine direkte Konsequenz der extensiven Eigenschaft der Energie. Zwei makroskopische Größen, die häufig in der Thermodynamik Verwendung finden, sind die spezifische Wärme bei konstantem Volumen C V T ( ) S T V = ( ) E T V = C V (T, V ) (1.1) und bei konstantem Druck ( ) S C P T = C P (T, P ) (1.11) T P Zur Beschreibung der Thermodynamik von Sternen werden weiters mehrere dimensionslose Exponenten recht häufig verwendet. Die ersten beiden dieser Exponenten, χ ρ und χ T, sind durch die Zustandsgleichung gegeben (Beziehung zwischen Druck P, Dichte ρ und Temperatur T, basierend darauf, daß lediglich zwei unabhängige thermodynamische Variable existieren) P = P ρ χρ T χ T (1.12) und wie folgt definiert: ( ) ( ) ln P ln P χ T =, χ ρ =. (1.13) ln T ρ ln ρ T Aus dε = ( ) ε n dn + ( ) ε s s ds folgt d ( ) ( E n V = ε ) n d ( ) ( N s V + ε ) s d ( ) S n N und damit 1 V de E V dv = ) ( 2 1 V dn N V dv ) + ( ) ( ε 1 2 N ds S N dn ) woraus nach Multiplikation mit V und Zusammenfassung 2 ( ε n s s der Terme die Behauptung folgt. n

5 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 12 Zwischen den spezifischen Wärmen C V, C P und den Exponenten χ ρ, χ T gilt die Relation C P C V = P ρt χ 2 T χ ρ. (1.14) Wir betrachten nun adiabatische Prozesse, für die ds = gilt, d.h. für die sich die Zustandsdichte T ds (im Phasenraum) nicht ändert. Daher sind adiabatische Prozesse reversibel (umkehrbar) und beinhalten, konventionell gesprochen, keinen Wärmeaustausch mit der Umgebung des Systems. Um adiabtische Prozesse zu studieren, ist es üblich, logarithmische Ableitungen physikalischer Variablen bei konstanter Entropie zu definieren. Diese adiabatischen Exponenten Γ 1, Γ 2 und Γ 3 sind durch die Relationen Γ 1 = ( ln P ln ρ ) S, Γ 2 Γ 2 1 = ( ln P ln T gegeben, wobei die Größe ad durch Γ 2 definiert ist. ) S 1 ad, Γ 3 1 = Zwischen den adiabatischen Exponenten bestehen die Relationen ( ) ln T (1.15) ln ρ S Γ 3 1 Γ 1 = Γ 2 1 Γ 2 = ad. (1.16) Jeder der Exponenten enthält nützliche Informationen über die Thermodynamik des Systems, besonders wenn es sich nicht um ein ideales Gas handelt: Γ 3 beschreibt, wie sich der Wärmeinhalt des Gases bei Kompression verhält. Γ 1 ist von Bedeutung für die dynamischen Eigenschaften eines Gases, wie z.b. für die Schallgeschwindigkeit, die gemäß (dp ) P c s = Γ 1 (1.17) dρ ρ definiert ist. S Γ 2 schließlich spielt eine entscheidende Rolle bei der Frage, ob Konvektion auftritt oder nicht. Zwischen den spezifischen Wärmen und den adiabatischen Exponenten gelten die Beziehungen γ C P = Γ 1 = 1 + χ T (Γ 3 1) = Γ 3 1 Γ 2 C V χ ρ χ ρ χ ρ Γ 2 1. (1.18) Man beachte, daß im allgemeinen Fall keiner der adiabatischen Exponenten gleich dem Verhältnis der spezifischen Wärmen γ ist.

6 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 13 Betrachten wir nun ein ideales Gas mit der Zustandsgleichung P = nk B T = ( ) ( ) Nmu kb ρt = V ρ m u R µ ρt (1.19) wobei µ das mittlere Molekulargewicht (nicht verwechseln mit dem chemischen Potential!) und R k B /m u N A k B die allgemeine Gaskonstante sind. N A = ist die Avogadrozahl, die gleich der inversen atomaren Masseneinheit ist. m 1 u Das inverse mittlere Molekulargewicht ist die effektive Anzahl der Teilchen pro Masseneinheit im Gas. Der Wert von µ hängt davon ab, wieviel Teilchen jedes Gasatom beiträgt, d.h. ob das Atom nicht, teilweise oder vollständig ionisiert ist (sowohl freie Elektronen als auch Ionen tragen zum Druck bei, aber die Masse und damit die Dichte wird von den Ionen dominiert). Daraus folgt mit (1.19): 1 Gesamtzahl aller Teilchen = µm u Gesamtmasse = ( ) Anzahl der Teilchen der Spezies j Masse der Teilchen der Spezies j Masse der Teilchen der Spezies j Gesamtmasse j ( ) Nj (1 + Z j ) X j = 1 ( ) 1 + Zj X j, (1.2) N j A j m u m u A j j wobei A j und X j das Atomgewicht bzw. der Massenanteil der Teilchen der Spezies j sind. Z j ist die effektive Anzahl der Elektronen, die ein Atom der Spezies j beiträgt (für ein nicht-ionisiertes Atom gilt Z j = und für ein vollionisiertes Atom ist Z j die Ladungszahl des Atoms). Für ein ideales Gas gilt γ = Γ 1 = Γ 2 = Γ 3 = (1 ad ) 1 (1.21) und damit ad γ = 5/3. j = (γ 1)/γ. Für ein ideales einatomiges Gas gilt außerdem Für die Entropie eines idealen Gases findet man S = C V ln[t V γ 1 ] ln[p V γ ] ln[p 1 γ T γ ], (1.22) d.h. für adiabatische Prozesse sind die Ausdrücke in den eckigen Klammer konstant und daher gilt in diesem Fall z.b. P ρ γ.

7 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN Ideales Fermigas, Maxwell-Boltzmann Grenzfall Die Impulsverteilung (Fermi Dirac Verteilung) von N idealen Fermionen der Masse m, Spin s und Energie ( p ) ] 2 1/2 E = (m 2 c 4 + p 2 c 2 ) 1/2 = mc [1 2 + (1.23) mc in einem Volumen V bei einer Temperatur T ist gegeben durch dn dp = g h 3 V 4πp2 f F D (E) g h 3 V 4πp2 1 exp[(e µ)/k B T ] + 1 (1.24) mit g : statistisches Gewicht; für Teilchen g = 2s + 1, für Neutrinos: g = 1 V/h 3 4πp 2 : f F D (E): Zahl der Phasenraumzellen vom Volumen h 3 im Impulsintervall p,..., p + dp (Isotropieannahme!) Auffüllfaktor ɛ[, 1], d.h. Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Phasenraumzelle bei der Energie E besetzt ist Statt des chemischen Potentials µ verwendet man oft auch die Größe η µ k B T, die Entartungsparameter genannt wird. Aus der Fermi Verteilung ergeben sich (1.25) Anzahldichte: n = g h 3 4π p 2 dp exp[(e µ)/k B T ] + 1, (1.26) Energiedichte (inkl. Ruhemassenergie!) ε = g h 4π p 2 dp E 3 exp[(e µ)/k B T ] + 1, (1.27) isotroper Druck (Impulsfluss) P = 1 3 g h 3 4π pv p 2 dp exp[(e µ)/k B T ] + 1, (1.28)

8 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 15 wobei der Faktor 1/3 von der Integration über den Ortsraum herrührt und v = pc 2 /E die Geschwindigkeit der Fermionen ist. Für hinreichend niedrige Teilchendichten und hohe Temperaturen gilt lim f F D(E) = f MB (E) = exp η ( ) µ E, (1.29) k B T d.h. die Fermi Dirac Verteilung f F D (E) geht in die Maxwell Boltzmann Verteilung f MB (E) über. In diesem nicht entarteten Fall gilt f MB (E) 1 ( dünnes Gas) und man findet µ k B T = ln [ h 3 n (2πmk B T ) 3/2 g ] [ n ] ln, (1.3) n d.h. η = µ/k B T <, falls die Teilchendichte n kleiner als die kritische Teilchendichte n g h 3 (2πmk BT ) 3/2 (1.31) ist. Mit m = Am u und n = ϱ/am u folgt aus (1.3) [ ] µ k B T = ln h ϱ, (2πAm u k B ) 3/2 g Am u T 3/2 bzw. [ µ k B T = ln ga 5/2 ] ϱ. (1.32) T 3/2 Für Luft (A = 3, ρ = g/cm 3 ) bei T = 273 K ergibt sich µ/k B T 16. Im Grenzfall T (mit n > n ) strebt η µ/k B T und der Auffüllfaktor gegen { 1 falls E EF = µ f F D (E) = falls E > E F = µ, (1.33) d.h. die Fermi Verteilung entartet vollständig (zu einer Kastenfunktion). (i) Nicht relativistischer Grenzfall (NR) Im nicht relativistischen Grenzfall (p/mc 1) gilt für die Teilchenenergie (1.23) [ E mc ( ] p mc) bzw. für die nicht relativistische Teilchenenergie (ohne Ruhemasse!) E NR = E mc 2 p2 2m

9 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 16 Die Teilchenanzahldichte ergibt sich zu n NR = g h 4π p 2 dp [ ], 3 p exp 2 η 2m k B + 1 T bzw. nach Einführung der Hilfsgröße x p 2 2m k B T mit mk B T dx = pdp zu n NR = g h 3 2π (2mk BT ) 3/2 Definiert man als Fermi-Integral x exp(x η) + 1 dx. F n (η) x n dx exp(x η) + 1 (1.34) so erhält man n NR = g h 3 2π (2mk BT ) 3/2 F 1/2 (η) (1.35) Dies ist eine implizite Definitionsgleichung für den Entartungsparameter η bei gegebener Temperatur T und Teilchenanzahldichte n NR. Die Gleichung zeigt, daß die Entartung mit zunehmender Dichte und sinkender Temperatur wächst. Weiter gilt mit (1.27) ε NR = g h 3 4π bzw. p 2 2m ε NR = g h 3 2π (2mk BT ) 3/2 k B T F 3/2 (η). p 2 dp [ ], (1.36) p exp 2 η 2m k B + 1 T

10 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 17 Unter Verwendung von (1.35) gilt daher ε NR = n NR k B T F 3/2(η) F 1/2 (η) (1.37) Für den Druck erhält man aus (1.28) den Ausdruck P NR = 1 g 3 h 4π 3 p 2 m p 2 dp [ ]. p exp 2 η 2m k B + 1 T Ein Vergleich dieses Ausdrucks mit dem für ε NR (1.36) ergibt P NR = 2 3 ε NR (1.38) (a) Im Grenzfall vollständiger Entartung (D; η + ) gilt η lim F n(η) = x n dx = 1 η o n + 1 ηn+1 (1.39) und damit n D NR = g h 3 2π (2mk BT ) 3/2 2 3 η3/2 (1.4) und ε D NR = g h 3 2π (2mk BT ) 3/2 k B T 2 5 η5/2. (1.41) Löst man (1.4) nach η auf und setzt den Ausdruck in (1.41) ein, folgt ( ) 2/3 ε D NR = 3h2 3 ( n D 5/3 1m 4πg NR) (1.42) und daher P D NR ( n D NR) 5/3 (YF ρ) 5/3, wobei Y F die Anzahl der Fermionen pro Barion ist.

11 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 18 (b) Im Grenzfall nicht entarteter Fermionen (ND; η ) gilt lim F n(η) = e η x n e x dx = e η Γ(n + 1), (1.43) η o wobei Γ(n+1) die Gammafunktion ist. Für positive ganzzahlige n gilt Γ(n+1) = n! (Fakultät). Weiterhin gilt Γ(3/2) = π/2 und Γ(5/2) = 3 π/4. Für die Teilchenanzahldichte folgt damit aus (1.35) n ND NR = g h 3 (2πmk BT ) 3/2 e η (1.44) und für die Energiedichte (1.37) ε ND NR = 3 2 nnd NR k B T (1.45) (ii) Extrem relativistischer Grenzfall (ER) Im extrem relativistischen Grenzfall gilt p/mc 1 und damit wegen (1.23) E pc, d.h. die Teilchenanzahldichte ist durch n ER = g h 4π 3 p 2 dp [ ] exp + 1 pc µ k B T gegeben. Mit x pc/k B T folgt n ER = 4πg ( kb T hc ) 3 x 2 exp(x η) + 1 dx, bzw. n ER = 4πg ( kb T hc ) 3 F 2 (η) (1.46) Analog folgt aus (1.27) ε ER = g h 4π 3 p 2 dp pc [ ] exp + 1 pc µ k B T (1.47)

12 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 19 und damit unter Verwendung von (1.34) und (1.46) ε ER = n ER k B T F 3(η) F 2 (η) (1.48) Für den Druck ergibt sich P ER = 1 3 g h 3 4π p 2 dp pc [ ] exp + 1 pc µ k B T und durch Vergleich mit (1.47) P ER = 1 3 ε ER (1.49) (a) Im Grenzfall vollständiger Entartung (η + ) gilt n D ER = 4πg und ε D ER = 4πg bzw. ε D ER = 3 4 und ( kb T hc ( kb T hc ) η3 ) 3 k B T 1 4 η4 ( ) 1/3 3 hc ( ) n D 4/3 ER 4πg P D ER ( n D ER) 4/3 (YF ρ) 4/3. (b) Im Grenzfall nicht entarteter Fermionen (η ) gilt ( ) 3 n ND kb T ER = 8πg e η hc und ε ND ER = 24πg bzw. ( kb T hc ε ND ER = 3 n ND ER k B T ) 3 k B T e η

13 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 2 (iii) Zusammenfassung Grenzfall Zustandsgleichung ND D NR P = 2 3 ε P = nk BT P (Y F ρ) 5/3 ER P = 1 3 ε P = nk BT P (Y F ρ) 4/3 (Jüttner 1915) Für nicht entartete (ND) Fermionen gilt die ideale Gas Zustandsgleichung sowohl im nicht relativistischen (NR) als auch im extrem relativistischen (ER) Fall. Im Falle vollständiger Entartung (D) hängt der Druck nicht von der Temperatur ab. Im nicht entarteten, nicht relativistischen Fall ist der Gasdruck unter Umständen kleiner als der Strahlungsdruck (siehe nächstes Unterkapitel).

14 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN Bosegas, Strahlungsdruck und Planck-Verteilung Die statistische Mechanik und Thermodynamik von Fermionen spielt in der Astrophysik eine wichtige Rolle, z.b. für das Verständnis von Weißen Zwergen und der Spätstadien der Sternentwicklung (siehe Kap. 2 und 4). Für Bosonen gilt dies nur im Falle von Photonen (Strahlung). Die Impulsverteilung (Bose Einstein Verteilung) von N idealen Bosonen der Masse m, Spin s und Energie E (1.23) in einem Volumen V bei einer Temperatur T ist durch dn dp = g h 3 V 4πp2 f BE g h 3 V 4πp2 1 exp[(e µ)/k B T ] 1 (1.5) gegeben. Vergleicht man die Bose Einstein Verteilung mit der Fermi Dirac Verteilung (1.24), so besteht der einzige Unterschied darin, daß der Auffüllfaktor (Wahrscheinlichkeit daß eine Phasenraumzelle bei der Energie E besetzt) f BE (E) im Nenner ein Minuszeichen anstelle des Pluszeichens in f F D (E) aufweist. Daher kann f BE (E) beliebig groß werden, während (wegen des Pauli-Prinzips) f F D (E) 1 gilt. Im Falle von Photonen, d.h. masselosen Bosonen mit Spin s = 1 und statistischem Gewicht g = 2 (nur zwei transversale Freiheitsgrade) im thermischen Gleichgewicht, ist das chemische Potential µ = (Teilchenzahl nicht konstant), und die Bose Einstein Verteilung f BE (E) geht in die Planck Verteilung f P lanck (E) = 1 exp(e/k B T ) 1 (1.51) über. Die Energiedichte der Photonen der Frequenz ω = E/ bei der Temperatur T ist dann mit x ( ω)/(k B T ) durch ε(ω, T ) = π 2 c 3 ( ) 4 kb T x 3 exp(x) 1 (1.52) gegeben. Die Energiedichteverteilung besitzt ein Maximum (der Emission), das sich mit wachsender Temperatur zu höheren (kürzeren) Frequenzen (Wellenlängen) verschiebt

15 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 22 (Abb. 1.1). Bezeichnet man die Wellenlänge, die zum Maximum gehört mit λ max, so gilt das Wien sche Verschiebungsgesetz λ max T = konst. =.2898 [cm Grad]. (1.53) Bei T = 6 K liegt das Maximum damit bei λ max = 48 nm (im Grünen). Für die Gesamt Energiedichte der Photonen folgt (analog zu (1.27); extrem relativistischer Grenzfall mit E = pc = ω, da m γ = ) ε γ = 8π ( kb T hc ) 3 k B T x 3 dx e x 1 (1.54) Das Integral hat den Wert π 4 /15. Damit folgt ε γ = at 4 (1.55) bzw. P γ = 1 3 ε γ = 1 3 at 4 (1.56) mit der Strahlungskonstanten a 8π5 kb 4 [ erg ] 15 (hc) = (1.57) cm 3 K 4 Für T = 1 1 K ist P γ [erg/cm 3 ] und P Gas 1 6 n [erg/cm 3 ], wobei n die Anzahldichte der Boltzmann-Gasteilchen ist. Demnach ist P γ P falls n [cm 3 ].

16 KAPITEL 1. THERMODYNAMISCHE GRUNDLAGEN 23 Abbildung 1.1: Energiedichteverteilung von Photonen gemäß der Planck Verteilung bei verschiedenen Temperaturen.