Berufsmaturität in technischer Richtung: Fachlehrplan Arithmetik

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1 Berufsmaturität in technischer Richtung: Fachlehrplan Arithmetik Semester Inhalte Grundlagen Lernziele Begriffe und Symbole der Mengenlehre und der Logik verstehen (A) Die Zahlenmengen N, Z, Q, R\Q, R, (evtl. C komplexe Zahlen) mit Ordnungsrelation kennen Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln und umgekehrt Bruchterme (inkl. Doppelbrüche) systematisch vereinfachen Einfache Polynome in p Faktoren zerlegen können Mit natürlichen Potenzen, Absolutbetrag und Quadratwurzel rechnen Mit Normalform und wissenschaftlicher Form einer Zahl umgehen Mit Näherungswerten rechnen Die Handhabung des Taschenrechners für die wichtigsten Rechenarten beherrschen Richtwert L Anregungen zur prozessorientierten Unterrichtsgestaltung 20 Konsequente Anwendung der einschlägigen Terminologie beim Formulieren und Lösen von mathematischen Problemen abverlangen Ordnungsrelationen mit Hilfe von Zahlenstrahlen darstellen Die wichtigsten Rechenarten einer elektronischen Rechenmaschine zur Routine werden Mehrere systematische Methoden zur Faktorisierung vorzeigen Defizite von Vorkenntnissen mit Unterstützung geeigneter Leitprogramme ausgleichen Hinweise (z.b. auf Unterrichtsmaterialien, -formen, Intra- bzw. Multidisziplinarität) Physik: Bedeutung von Termen in der Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft Rechts- und Wirtschaftskunde: Unterschied zwischen Zahlen und Grössen im naturwissenschaftlichen, technischen und wirtschaftlichen Bereich klären Potenzieren / Radizieren Das Potenzieren im Zusammenhang mit einfacheren Rechenoperationen sehen (A) Die Anwendung der Potenzgesetze beherrschen Terme mit Potenzen ganzzahliger Exponenten systematisch vereinfachen Binome mit Hilfe des pascalschen Dreiecks potenzieren Den Zusammenhang von Wurzeln beliebiger Wurzelexponenten mit anderen Rechenoperationen kennen (A) 20 Terme mit Potenzen sowohl von Hand als auch mit einer elektronischen Rechenmaschine bearbeiten Wurzelterme sowohl von Hand als auch mit einer elektronischen Rechenmaschine üben Physik: Bedeutung von Potenzen in Formeln der Kinematik Historische Aspekte: Zehnerpotenzen als Grundlage des dekadischen Systems Informatik: Bedeutung von Potenzen der Basis 2 GBM Arithmetik / Geometrie Seite 1 von 6 Juni 2002

2 Logarithmen Aussageformen Lineare Gleichungen und Ungleichungen Gleichungssysteme Wurzelterme in Potenzenform darstellen und umgekehrt Wurzel- und Potenzgesetze kennen Wurzelterme vereinfachen Die Logarithmengesetze kennen (A) Logarithmen mit beliebiger Basis verstehen und den Zusammenhang mit anderen Rechenoperationen sehen Terme mit Logarithmen systematisch vereinfachen Aussagen und Aussageformen unterscheiden und verknüpfen (Konjunktion, Disjunktion) Definitions- und Lösungsmenge von Aussageformen bestimmen Äquivalenz-, Gewinn- und Verlust- Umformungen von Aussageformen unterscheiden Die Kriterien der Linearität erkennen (A) Lineare Gleichungen und Bruchungleichungen lösen können Textaufgaben in Gleichungsform kleiden Lösungen von Ungleichungen und linearen Gleichungen mit Formparametern diskutieren Lineare von nichtlinearen Gleichungssystemen unterscheiden und lösen (A) Unter-, normal- und überbestimmte Gleichungssysteme unterscheiden und die Dimension der Lösungsmenge abschätzen Textgleichungen, die auf lineare Gleichungssysteme führen, lösen Lösung von linearen Gleichungssystemen mit Formparametern diskutieren Einfache nichtlineare Gleichungssysteme durch Substitution auf lineare Systeme zurückführen 10 Logarithmen mit beliebiger Basis mit einer elektronischen Rechenmaschine berechnen Einfache Logarithmen durch Exponentenvergleich bestimmen 10 Zahlen- und Textgleichungen als Aussageformen erkennen 10 Das Lösen von Hand sowie mit Solvern von elektronischen Rechenmaschinen zur Routine bringen Durch Abschätzung, Vernunftsüberlegungen oder Substitution Resultate kritisch überprüfen Fallunterscheidungen und graphische Darstellungen einsetzen 20 Standardlösungsverfahren trainieren : Substitutions-, Additions-, Gleichsetzungsverfahren, grafische Verfahren, Gauss-Verfahren, Determinantenverfahren sowie Lösungsverfahren mit elektronischen Hilfsmitteln (Solver und reduced row and echalon form) GBM Arithmetik / Geometrie Seite 2 von 6 Juni 2002

3 Quadratische Gleichungen Die verschiedenen Arten von quadratischen Gleichungen unterscheiden und das einfachste Lösungsverfahren anwenden Diskriminante D = b2 4ac für die Fallunterscheidung bezüglich Lösungsmenge anwenden können Satz von Vieta kennen/ anwenden Trinome des Typus ax2 + bx + c faktorisieren 10 Quadratische Gleichungen mit Hilfe quadratischer Ergänzung, mit der Lösungsformel, mit Hilfe von Faktorisierung und mit dem Solver eines elektronischen Hilfsmittels lösen ETH-Leitprogramm Quadratische Gleichungen als Unterstützung einsetzen Besondere Gleichungstypen Folgende Gleichungstypen benennen und lösen: Wurzelgleichungen, Gleichungen mit Absolutbeträgen, biquadratische Gleichungen, Bruchungleichungen, Exponentialgleichungen, logarithmische Gleichungen 10 Grundlagen der Funktionenlehre Den Funktionsbegriff als Beziehung zweier Grössen und damit als Abbildung verstehen (A) Graphen von Funktionen kennen und skizzieren Den Zusammenhang zwischen Nullstellen einer Funktion und dem Lösen einer Gleichung verstehen 10 Begriffe wie Argument, Funktionswert, Eindeutigkeit, Nullstelle, Definitions- und Wertebereich vermitteln Graphen mit Wertetabelle von Hand und auch mit elektronischer Rechenmaschine aufzeichnen Gleichungen 2. Grades mit Hilfe der grafischen Lösungsmethode auf einer elektronischen Rechenmaschine lösen Lineare Funktion Funktionsgleichungen bestimmen und Funktion graphisch darstellen Den Begriff Proportionalität mit Hilfe der linearen Funktion vertieft verstehen Den Begriff der Steigung im trigonometrischen Sinne verstehen Schnittpunkt zweier Geraden als Lösung eines linearen Gleichungssystems erkennen Umkehrfunktion bestimmen und skizzieren Entsprechende Textaufgaben auf lineare Funktionen abstrahieren können 10 Aufstellen von Funktionsgleichungen aus 2 Punkten oder unter Verwendung der Steigung Mit PC und TR Grafiken erzeugen und interpretieren Physik: Kinematische Abläufe aus der Physik visualisieren Gleichförmige Bewegung Ohmsches Gesetz Hooksches Gesetz GBM Arithmetik / Geometrie Seite 3 von 6 Juni 2002

4 Quadratische Funktion Die geeignete Funktionsform anwenden (Normalform, Scheitelform, faktorisierte Form) Funktion grafisch darstellen Extremwertprobleme, die auf eine quadratische Funktion führen, lösen können Die Bedeutung von Schnittpunkten zweier Funktionen erkennen Übergänge von Normalform zu Scheitelform oder zu faktorisierter Form und umgekehrt trainieren Den algebraischen Umformungen die geometrischen Abbildungen (verschieben, spiegeln, strecken) zuordnen und umgekehrt Übergänge von f(x) zu f(x)+q, zu f(x+p,) zu rf(x) und f(sx) aufzeichnen ) Mit Excel Grafiken des schiefen Wurfes in Abhängigkeit des Elevationswinkels erstellen und so den Winkel für die max. Wurfweite herausfinden. Mathematische Begründung kann im Nachgang gezeigt werden. Physik: Gleichmässig beschleunigte Bewegung Wurfbewegungen Potenzfunktion Die Grobformen der Graphen für gerade und ungerade Exponenten kennen Die Begriffe Asymptoten und Pol kennen 10 Exponential- und Logarithmusfunktion Den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion kennen Nullstellen und Funktionsvorschriften finden Einfache transzendente Gleichungen lösen 10 Die verschiedenen Funktionstypen mit geeignetem Papier (absz.-log., ord.-log., doppellog.) linearisieren Wachstumsprobleme ins Bewusstsein rufen Chemie und Physik: Radioaktiver Zerfall Wirtschaft: Zinseszins und Wachstum allgemein Umkehrzuordnungen Die Voraussetzung für die Umkehrbarkeit (Eineindeutigkeit) kennen und anwenden Umkehrfunktionen bestimmen und skizzieren Den algebraischen Umkehrumformungen die geometrische Abbildung (Spiegelung) folgen Spezielle Beachtung der Wurzel- und der Logarithmusfunktion zukommen GBM Arithmetik / Geometrie Seite 4 von 6 Juni 2002

5 Berufsmaturität in technischer Richtung: Fachlehrplan Geometrie Semester Inhalte Grundlagen Lernziele Modellcharakter der Geometrie begreifen Die Begriffe Punkt, Linienarten, Flächen, Körper, Vektor, Gradmass und Bogenmass vertiefend repetieren und/oder einführen und beherrschen Anhand der Kongruenzabbildung den Begriff der Abbildung vom Begriff der Funktion abgrenzen lernen Richtwert L Anregungen zur prozessorientierten Unterrichtsgestaltung 15 Konsequente Anwendung der einschlägigen Terminologie beim Formulieren und Lösen von mathematischen Problemen abverlangen Hinweise (z.b. auf Unterrichtsmaterialien, -formen, Intra- bzw. Multidisziplinarität) Biologie / Architektur: Symmetrieeigenschaften anhand von Beispielen erkennen Polygon- und Kreislehre Standardbezeichnungen auswendig kennen (A) Grundeigenschaften nennen (A) Berechnungsgleichungen entwickeln 20 Ein Repetitorium für Figuren aus dem Volksschulstoff wie Dreiecke, Vierecke, Kreisteile mit Berechnungsformeln entwickeln Entwicklung für Formeln auf trigonometrische Überlegungen abstützen Physik: Statik, Dynamik, Elektrik mit Hinweis auf Kräfte-, Geschwindigkeits- und Stromstärkenpolygone Satzgruppe des Pythagoras und Ähnlichkeit Satzgruppe des Pythagoras auswendig kennen und anwenden Ähnlichkeitssätze als Proportion verstehen und anwenden Eigenschaften ähnlicher ebener und räumlicher Figuren erklären 20 Bau-, Maschinen- und Elektrotechnik: Modellgesetze Physik: Geometrische Optik (Ähnlichkeit von Abbildungen, Linsengleichung), A- kustik (Harmonielehre) Stereometrie Klassische Körpertypen kennen und berechnen (A) Mit Hilfe ebener Schnitte Raumproblemlösungen entwickeln 20 Zur Schulung des 3D-Denkens klassische Körpertypen wie Prismen, Zylinder, Pyramide, Kegel und deren Stumpfe, Kugeln und deren Teile demonstrieren und Modelle davon bauen Oberflächen- und Volumengleichungen entwickeln und präsentieren Physik: Masse, Dichte, Gewichtskraft und Auftrieb GBM Arithmetik / Geometrie Seite 5 von 6 Juni 2002

6 Vektorgeometrie Begriffe und Schreibweisen kennen und korrekt anwenden (A) Rechengesetze auf anwendungsorientierte Problemstellungen übertragen und Lösungsstrategien entwickeln Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem kennen Zusatzstoff: Unterschied des Vektorproduktes im Vergleich zum Skalarprodukt anhand von Beispielen als sinnvolle Definition erkennen 15 Linearkombination, Einheitsvektor, Basisvektor, Komponenten als Begriffe auf der Grundlage einer Basistheorie im begleiteten Selbststudium lernen und beherrschen Addition und skalare Streckung von Vektoren konstruktiv und rechnerisch durchführen Skalarprodukt am Beispiel der physikalischen Arbeit plausibel machen Betrag eines Vektors (Norm) selbständig erarbeiten Exemplarische Erarbeitung und Anwendung von Gesetzmässigkeiten als eigenständige Projektarbeit Physik: Bedeutung vektorieller Grössen wie Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung etc. und im Gegensatz dazu Arbeit als skalare Grösse Trigonometrie Beherrschen der trigonometrischen Funktionen und ihrer Zusammenhänge im rechtwinkligen Dreieck und im Einheitskreis (im Grad- und Bogenmass) Sinus und Cosinus-Satz anwenden können Arcusfunktionen kennen und Definitionsbereich erklären Additionstheoreme in einfachen Beispielen anwenden können Trigonometrische Funktionen im Zeigerund Verlaufsdiagramm verstehen Nullstellen von trigonometrischen Funktionen exakt bestimmen 50 Bis Gleichungen vom Typus f(t) = a sin(bt+c) interpretieren Begriffe wie Schwingung, Frequenz, Amplitude und Phasenverschiebung einführen Arcusfunktionen graphisch darstellen Doppelwinkel und Halbwinkelgleichungen selbständig ableiten Goniometrische Gleichungen lösen und einfache transzendente Gleichungen mit elektronischer Rechenmaschine bewältigen Physik: Wechselstrom GBM Arithmetik / Geometrie Seite 6 von 6 Juni 2002