Visualisierung hyperbolischer Kachelungen

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1 Visualisierung hyperbolischer Kachelungen Jakob von Raumer November 12, 2015 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory of the Helmholtz Association

2 Eschers Kunst Figure : Circle Limit III und Circle Limit IV von M. C. Escher, 1959 und 1960 Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

3 Eschers Kunst Eschers Werke waren inspiriert von Illustrationen in einem Buch von Coxeter Verwendete Holzschnitte zur Vervielfältigung der Kacheln Escher an seinen Sohn George: I had an enthusiastic letter from Coxeter about my colored fish, which I sent him. Three pages of explanation of what I actually did.... It s a pity that I understand nothing, absolutely nothing of it. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

4 Ziele Theoretische Grundlagen von hyperbolischen Kachelungen dokumentieren Geeignete Kacheln erstellen Algorithmen zum Replizieren von Kacheln implementieren Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

5 Vergleich: Euklidische und hyperbolische Geometrie Euklidisch Für eine Gerade g gibt es genau eine zu g parallele Gerade durch einen Punkt p / g. Ein Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von π. Hyperbolisch Für eine Gerade g gibt es mehr als eine zu g parallele Gerade durch einen Punkt p / g. Ein Dreieck hat eine Innenwinkelsumme < π. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

6 Vergleich: Euklidische und hyperbolische Geometrie Länge eines Weges γ : [0, 1] H := {z C I(z) > 0}: L(γ) = Euklidisch 1 0 γ (t) dt L(γ) = Hyperbolisch 1 0 γ (t) I(γ(t)) dt Abstand zweier Punkte a, b H ist die Länge des kürzeste Weges zwischen ihnen. Euklidisch d(a, b) = b a Hyperbolisch d(a, b) = ln a b + a b a b a b Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

7 Geodätische auf der oberen Halbebene I g a b R 1 Figure : Geodätische und Strecken auf der oberen Halbebene. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

8 Von der oberen Halbebene zur Poincaré-Kreisscheibe Die stetige Abb. f : H U : z zi+1 z+i gibt uns eine beschränkte Darstellung von H. I I f R R 1 Figure : Geodätische auf der oberen Halbene und ihre Entsprechung auf der Poincaré-Kreisscheibe. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

9 Das Klein-Beltrami-Modell g Figure : Ein Polygon, dargestellt in der Poincaré-Kreisscheibe und im Klein-Beltrami-Modell Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

10 Isometrien auf H Satz Die Isometrien von H sind als Gruppe isomorph zu PS L(2, R) := S L(2, R)/ {±I 2 }. Die orientierungserhaltenden Isometrien auf H sind als Gruppe isomorph zu PSL(2, R) := SL(2, R)/ {±I 2 }. ( a b c d ) PSL(2, R) entspricht der Möbiustransformation z az+b cz+d Beispiele: Verschiebung z z + 1 Streckung z 2z Drehung z 1 z Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

11 3 Typen von Transformationen ( a b ) c d ist Spur Fixpunkte Grafik elliptisch a + d < 2 Einer in H parabolisch a + d = 2 hyperbolisch a + d > 2 Einer im unendlichen Zwei im unendlichen Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

12 3 Typen von Transformationen ( a b c d ) ist Spur Fixpunkte Grafik elliptisch a + d < 2 Einer in H parabolisch a + d = 2 Einer im unendlichen hyperbolisch a + d > 2 Zwei im unendlichen Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

13 3 Typen von Transformationen ( a b c d ) ist Spur Fixpunkte Grafik elliptisch a + d < 2 Einer in H parabolisch a + d = 2 Einer im unendlichen hyperbolisch a + d > 2 Zwei im unendlichen Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

14 Fuchssche und Kleinsche Gruppen Eine diskrete Untergruppe Γ von PS L(2, R), heißt Kleinsche Gruppe. Ist zusätzlich Γ PSL(2, R), so heißt Γ Fuchssche Gruppe. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

15 Fundamentalbereiche Definition Eine abgeschlossene Teilmenge F H heißt Fundamentalbereich von Γ, falls gilt: Γ F := T Γ T (F) = H. Für alle T Γ schneiden sich F und T (F ) höchstens im Rand. Ist F ein Fundamentalbereich von Γ, dann heißt {T (F) T Γ} Kachelung. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

16 Fuchssche Gruppen: Elliptische und parabolische Untergruppen Elliptische Untergruppe: T Γ mit T elliptisch Parabolische Untergruppe: T Γ mit T parabolisch Zueinander konjugierte, maximale elliptische oder parabolische Untergruppen haben die selbe Ordnung. Diese heißt Periode von Γ Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

17 Der Bahnenraum einer Fuchsschen Gruppe Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

18 Die Signatur einer Fuchsschen Gruppe Definition Sei Γ eine Fuchssche Gruppe mit Perioden m 1,..., m n N 0 { }, m 1... m n und Geschlecht g N 0. Dann heißt der Vektor (g, m 1,..., m n ) die Signatur von Γ. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

19 Funktionsumfang des Programms Das Programm soll Kachelungen erzeugen, die von einer Fuchsschen Gruppe mit gegebener Signatur induziert werden oder aus Polygonen mit einer gegebenen Folge von Innenwinkeln 2π m i besteht. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

20 Polygone zur Kachelung durch Spiegelungen I b β i = 2π m i lim r 0 θ i = π 0.2 r b lim r 1 θ i = 0 Finde r 0 (0, 1) sodass n i+0 θ i = 2π. c θi a βi R d 0.4 Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

21 Polygone zur Kachelung durch Fuchssche Gruppen β 1 v9 α2 v8 v10 α 1 β2 v11 v7 t β1 α 2 v6 v12 α1 β 2 v5 s4 s3 s1 v1 ξ 4 w4 s2 ξ1 ξ4 v4 v3 v2 ξ 1 w1 ξ 3 w3 ξ3 ξ 2 ξ2 w2 Figure : Konstruktion des Polygons für g = 2 und n = 4 Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

22 Replizierungs-Algorithmus von Dunham Basiert auf einer Tiefensuche. Ein kombinatorischer Algorithmus: Vorgehen hängt nur von den Eckenvalenzen des Polygons ab. Der Algorithmus kann beliebige Polygone replizieren, außer: Wenn der zu vervielfältigende Fundamentalbereich dreieckig ist, oder wenn eine Ecke eine Valenz von 3 hat. Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

23 Suchbäume des Dunham-Algorithmus Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

24 Aufteilung der Kachelung in Ebenen Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

25 Suchbäume des Dunham-Algorithmus Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

26 Kachelung mittels Priority Queue Grundsätzliches Vorgehen: Transformiere jede Kachel mit den Transformationen, die auf kantenadjazente Kacheln abbilden Verwerfe schon getroffene Kacheln Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

27 Kachelung mittels Priority Queue Drei Datenstrukturen: Liste inactivepolys: Schon expandierte Polygone Prioritätsliste activepolys: Zu expandierende Polygone Hash-Menge midpoints: Schon getroffene Mittelpunkte Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

28 Kachelung mittels Priority Queue Drei Datenstrukturen: Liste inactivepolys: Schon expandierte Polygone Prioritätsliste activepolys: Zu expandierende Polygone Hash-Menge midpoints: Schon getroffene Mittelpunkte Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

29 Kachelung mittels Priority Queue Drei Datenstrukturen: Liste inactivepolys: Schon expandierte Polygone Prioritätsliste activepolys: Zu expandierende Polygone Hash-Menge midpoints: Schon getroffene Mittelpunkte Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

30 Laufzeitvergleich Laufzeit in Millisekunden Dunham-Algorithmus Priority-Queue-Algorithmus x 3 50 x Anzahl der erzeugten Polygone Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

31 Laufzeitvergleich 10 4 Dunham-Algorithmus Priority-Queue-Algorithmus Laufzeit in Millisekunden Anzahl der Kanten Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1

32 Ausblick Offene Fragen und Aufgaben sind: Auflösung der Einschränkungen des Dunham-Algorithmus Optimierung der Approximationsverfahren beim Erstellen der Basispolygone Auf das Basispolygon gelegte Vektorgrafik replizieren Jakob von Raumer Visualisierung hyperbolischer Kachelungen November 12, /1