Die fünfte Grundrechenart kein Aprilscherz!

Transkript

1 der fünften Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 1 April 2011

2 Vorlesung Analysis III, nach dem Skript von Urs Kirchgraber der fünften

3 Die fu nfte Mentor beim Wechsel von Zu rich Ju rg Kramer der fu nften Regelma ßige Fu nfte nach Berlin

4 Sommerschulen in Valbella Die fu nfte Ju rg Kramer der fu nften Regelma ßige Fu nfte und Blossin

5 Gemeinsames Projekt zur Didaktik der Algebra: Von der strukturierten Arithmetik zur Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades durch Radikale der fünften

6 Die vier en Anforderungen an eine fünfte? der fünften Analogie zum sechsten Sinn, als außer- bzw übersinnliche Wahrnehmung Es ergeben sich intuitiv die Anforderungen: Beinhaltet die vier bestehenden en Gehört einer übergeordneten Hierarchie an

7 Die vier en der fünften Wikipedia Eine ist eine der vier mathematischen Operatoren: Addition + Subtraktion Multiplikation Division : Zwischen ihnen gilt die Rangfolge Punktrechnung vor Strichrechnung

8 Die vier en der fünften Wikipedia, Fortsetzung Bedeutung der en Die Beherrschung der en gehört zu den während der Schulzeit von jedem Schüler zu erwerbenden Grundfertigkeiten Lesen, Schreiben und Rechnen Die en werden im Mathematik-Unterricht der Grundschule während der ersten vier Schuljahre behandelt und eingeübt, auch in Form von Textaufgaben (Sachaufgaben) Sie werden beim Übergang in eine weiterführende Schule (Hauptschule, Realschule, Gymnasium) vorausgesetzt und sind normalerweise Gegenstand von Aufnahmeprüfungen Die vier en werden in der Theorie vom mathematischen Körper auf eine formelle Grundlage gestellt Viele mathematische Probleme lassen sich auf die en zurückführen

9 Die vier en der fünften Natürliche Zahlen N (mit Hilfe der Peano-Axiome Ordinalzahlaspekt) Die Menge N ist nicht leer; es gibt ein ausgezeichnetes Element 0 N Zu jedem Element n N gibt es ein wohlbestimmtes Element n N mit n n Es gibt kein Element n N, für dessen Nachfolger n die Beziehung n = 0 gilt Besteht für zwei natürliche Zahlen n 1, n 2 die Gleichheit n 1 = n 2, so folgt daraus n 1 = n 2 Vollständige Induktion: Ist T eine Teilmenge von N mit der Eigenschaft, dass 0 T gilt und dass mit t T auch t T ist, so muss T = N gelten

10 Die vier en der fünften Induktive Definition der Addition auf N Für m, n N setzt man: n + 0 := n, n + m := (n + m) Induktive Definition der Multiplikation auf N Für m, n N setzt man: n 0 := 0, n m := (n m) + n

11 Die vier en der fünften Geometrische Interpretation z B Multiplikation: n m n 0 1 m

12 Die vier en der fünften Zahlbereichserweiterungen Erweiterung von N auf Z (ganze Zahlen) uneingeschränkte Ausführung der Subtraktion Erweiterung von Z auf Q (rationale Zahlen) uneingeschränkte Ausführung der Division (bis auf die 0) Erweiterung von Q auf R (reelle Zahlen) mit uneingeschränkter +,,, : Erweiterung von R auf C (komplexe Zahlen) mit uneingeschränkter +,,, :

13 Die vier en der fünften Abschließende Bemerkungen Addition + ist assoziativ und kommutativ Multiplikation ist assoziativ und kommutativ Es gelten die Distributivgesetze Zahlbereichserweiterung auf die nicht-kommutativen Hamiltonschen Quaternionen H Zahlbereichserweiterung auf die nicht-kommutativen und nicht-assoziativen Cayleyschen Octionen O

14 Auf der der fünften der fünften Abgeleitete strukturelle Begriffsbildungen Begriff der (kommutativen) Halbgruppe : Nicht-leere Menge H mit assoziativer Verknüpfung, zb (H, ) = (N, +) Begriff der (kommutativen) Gruppe : Halbgruppe (G, ) mit neutralem und inversen Elementen, zb (G, ) = (Z, +) Begriff des Körpers : Nicht-leere Menge K mit zwei assoziativen, kommutativen Verknüpfungen + und, so dass (K, +) und (K \ {0}, ) Gruppen sind, zb (K, +, ) = (Q, +, )

15 Auf der der fünften Geometrische Interpretation: Kreis Betrachte die Abbildung R R 2, Y der fünften gegeben durch z ( cos(z), sin(z) ) z cos(z) sin(z) X 1 Parametrisierung des Kreises: X 2 + Y 2 = 1

16 Auf der der fünften der fünften Kodierung der Addition von R durch die Additionstheoreme cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w), sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) Hilfsmittel: Periodische reelle Funktionen! 0 π 2π z

17 Auf der der fünften der fünften Geometrische Interpretation: Elliptische Kurve Betrachte die Abbildung gegeben durch C C 2, z ( (z), (z) ) mit der Weierstraß schen -Funktion (elliptische Funktion) (z) := m,n Z m,n 0 ( ) 1 (z (m ω 1 + n ω 2 )) 2 1 (m ω 1 + n ω 2 ) 2, wobei ω 1, ω 2 C reell linear unabhängig sind

18 Auf der der fünften der fünften Parametrisierung einer elliptischen Kurve: Y 2 = 4X 3 g 2 X g 3 mit g 2, g 3 C Y ( (z), (z) ) X

19 Auf der der fünften Kodierung der Addition von C durch das Additionstheorem (z + w) = 1 4 ( (z) ) (w) 2 (z) (w) (z) (w) Hilfsmittel: Doppelt-periodische komplexe Funktionen! der fünften ω 2 ω 1 Gitter: Λ = Zω 1 Zω 2

20 Auf der der fünften Geometrische Darstellung des Additionstheorems Y Y 2 = X 3 X + 1 der fünften P Q R X P + Q

21 Interludium: Euklidische der fünften Eine regelmäßige Pflasterung der euklidischen Ebene E ententsteht, indem man E mit Hilfe von Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen eines Pflastersteins lückenlos überdeckt

22 Regelma ßige Die fu nfte Ju rg Kramer der fu nften Regelma ßige Fu nfte Beispiele regelma ßiger aus der Alhambra

23 Klassifikation regelmäßiger (ohne Spiegelungen) der fünften

24 der fünften Beweisidee (im orientierungserhaltenden Fall) Betrachte die Kongruenzgruppe der orientierungserhaltenden, euklidischen Bewegungen, dh die Isometriegruppe Iso + (E) der euklidischen Ebene E: Iso + (E) = SO 2 (R) R 2 Klassifiziere die entsprechenden, diskreten Untergruppen Γ der Isometriegruppe Iso + (E) Es ergeben sich die oben gezeigten fünf Fälle

25 Sphärische der fünften Der sphärischen Geometrie liegt die 2-dimensionale Sphäre S zugrunde Die Geraden der sphärischen Geometrie sind die Großkreise auf S N P

26 der fünften Eine regelmäßige Pflasterung der Sphäre S = P 1 (C) entsteht, indem man S mit einem Pflasterstein und dessen Translaten, die mit Hilfe der Isometrien der sphärischen Geometrie gewonnen werden, lückenlos überdeckt Zur Klassifikation der regelmäßigen sphärischen gilt es die diskreten Untergruppen Γ der Isometriegruppe Iso(S) = PGL 2 (C) zu finden

27 Klassifikation regelmäßiger sphärischer der fünften

28 Zusammenhang mit platonischen Körpern der fünften

29 der fünften Invariante Funktionen Beispiel: Pflasterung gegeben durch das Ikosaeder Die Symmetriegruppe des Ikosaeders entspricht einer Gruppe Γ PGL 2 (C) der Ordnung 60; es ist Γ = A 5 Betrachte die Überlagerung vom Grad 60 q : P 1 (C) P 1 (C)/Γ = P 1 (C) u = q(z) = P(z 1, z 2 ) (z = (z 1 : z 2 )), Q(z 1, z 2 ) wobei P, Q Γ-invariante, homogene Polynome vom Grad 60 sind Kleinsche Ikosaedergleichung: ( (z ) 228(z 15 z 5 ) + 494z 10) uz 5 (z z 5 1) 5 = 0

30 der fünften Hyperbolische Der hyperbolischen Geometrie liegt die obere Halbebene H := {z = x + iy C y > 0} zugrunde Die Geraden der hyperbolischen Geometrie sind Halbkreise, die senkrecht auf der reellen Achse stehen H z w α + β + γ < 180

31 der fünften Eine regelmäßige Pflasterung der oberen Halbebene H entsteht, indem man H mit einem Pflasterstein und dessen Translaten, die mit Hilfe der Isometrien der hyperbolischen Geometrie gewonnen werden, lückenlos überdeckt Zur Klassifikation gilt es die entsprechenen diskreten Untergruppen Γ der Isometriegruppe Iso(H) = PSL 2 (R) zu finden Eine solche Isometrie ist gegeben durch eine gebrochenlineare Transformation z az + b cz + d ( ) a b SL c d 2 (R)

32 Beispiel einer regelmäßigen hyperbolischen Pflasterung: Γ = PSL 2 (Z) H der fünften

33 der fünften Invariante Funktionen f : H C mit der Eigenschaft ( ) ( ) az + b a b f = f (z) für alle Γ cz + d c d Variante: Betrachte die Ableitung von f ( ) az + b f (cz + d) 2 = f (z) für alle cz + d ( ) a b Γ c d

34 der fünften Was ist nun die fünfte???

35 der fünften Was ist nun die fünfte??? MODULFORMEN!!!

36 der fünften Was sind Modulformen? Eine Modulform vom Gewicht k zu Γ ist eine Funktion f : H C mit der Eigenschaft ( ) ( ) az + b f (cz + d) k a b = f (z) für alle Γ cz + d c d Ist insbesondere ( ) Γ, so ist f 1-periodisch, dh f (z + 1) = f (z), und es besteht die Fourierentwicklung f (z) = a n e 2πinz n=0

37 der fünften Beispiel: Eisensteinreihe E k (z) = mit = a n = c,d Z 1 (cz + d) k a n e 2πinz n=0 d teilt n d k 1 Dies ist eine Modulform vom Gewicht k zu PSL 2 (Z)

38 der fünften Beispiel: Thetareihe mit ( ϑ(z) = = m=0 ) 4 e 2πim2 z a n e 2πinz n=0 a n = { m 1, m 2, m 3, m 4 Z m m m m 2 4 = n } Dies ist eine Modulform vom Gewicht 2 zu Γ 0 (4) PSL 2 (Z)

39 der fünften Zitat von Simon Singh Modulformen gehören zu den fremdartigsten und wunderlichsten Gegenständen der Mathematik Diese höchst esoterische Beschäftigung zählte der Zahlentheoretiker Martin Eichler in diesem Jahrhundert dennoch zu den fünf Grundoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Modulformen Die meisten Mathematiker würden sich als Meister in den ersten vier Rechenarten betrachten, doch die fünfte finden sie immer noch etwas verwirrend Die wesentliche Eigenschaft der Modulformen ist ihre ungewöhnlich hohe Symmetrie

40 Martin Eichler ( ) der fünften

41 der fünften Warum sollen Modulformen die fünfte konstituieren?

42 der fünften Modulformen müssten dazu die einleitend genannten Anorderungen an eine fünfte erfüllen! Das heisst insbesondere: mit Hilfe von Modulformen können die invarianten Funktionen der euklidischen Geometrie, also die elliptischen Funktionen ( Weierstraß sche - Funktion), berechnet werden; die invarianten Funktionen der sphärischen Geometrie, also zb die Kleinsche Ikosaedergleichung, berechnet werden

43 der fünften Exemplarisch: Zusammenhang zwischen euklidischer und hyperbolischer Welt

44 der fünften Exemplarisch: Zusammenhang zwischen euklidischer und hyperbolischer Welt Geometrische Deutung des euklidischen Pflastersteins, dh des Gitters Λ = Zω 1 Zω 2, als Torus: C ω 2 ω 1 C/(Zω 1 Zω 2 )

45 der fünften Geometrische Deutung des hyperbolischen Pflastersteins, dh der diskreten Untergruppe Γ PSL 2 (R), als geschlossene, orientierte Fläche: H ϕ der fünften Γ\H C/(Zω1 Zω2)

46 der fünften C/(Zω 1 Zω 2 ) Γ\H Zusammenhang Abbildung ϕ

47 der fünften Ein solcher Zusammenhang zwischen euklidischer und hyperbolischer Welt besteht in der Tat Dies entspricht der Gültigkeit der Shimura-Taniyama-Vermutung Bewiesen im Jahr 1995 durch Andrew Wiles und Richard Taylor

48 der fünften mit dem Nebenergebnis eines Beweises der Fermat-Vermutung: Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c 0 mit a n + b n = c n (n > 2)

49 Alles Gute fu r Deinen neuen Lebensabschnitt, Urs! Die fu nfte Ju rg Kramer der fu nften Regelma ßige Fu nfte