Mathematische Modellierung in der Hämodynamik...
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- Monika Graf
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1 Mathematische Modellierung in der Hämodynamik... Ergänzunsgvorlesung SoSe 2014 Dienstag Dr. Anna Hundertmark Institut für Mathematik, AG Numerik
2 Themen Wir werden erarbeiten:
3 Themen Wir werden erarbeiten: Was ist Blut? Welche Eigenschaften hat ein Blutgefäß? Wie funktioniert das Kreislaufsystem? (Physiologie und Mechanik verstehen)
4 Themen Wir werden erarbeiten: Was ist Blut? Welche Eigenschaften hat ein Blutgefäß? Wie funktioniert das Kreislaufsystem? (Physiologie und Mechanik verstehen) Problemstellungen für numerische Simulation.
5 Themen Wir werden erarbeiten: Was ist Blut? Welche Eigenschaften hat ein Blutgefäß? Wie funktioniert das Kreislaufsystem? (Physiologie und Mechanik verstehen) Problemstellungen für numerische Simulation. Physikalisch-mathematische Modellierung von der Blutströmung und der Mechanik der Gefäßwände (Struktur)
6 Themen Wir werden erarbeiten: Was ist Blut? Welche Eigenschaften hat ein Blutgefäß? Wie funktioniert das Kreislaufsystem? (Physiologie und Mechanik verstehen) Problemstellungen für numerische Simulation. Physikalisch-mathematische Modellierung von der Blutströmung und der Mechanik der Gefäßwände (Struktur) Mathematisch korrekte Problemstellung und (verallgemeinerten) analytischen Lösungen
7 Themen Wir werden erarbeiten: Was ist Blut? Welche Eigenschaften hat ein Blutgefäß? Wie funktioniert das Kreislaufsystem? (Physiologie und Mechanik verstehen) Problemstellungen für numerische Simulation. Physikalisch-mathematische Modellierung von der Blutströmung und der Mechanik der Gefäßwände (Struktur) Mathematisch korrekte Problemstellung und (verallgemeinerten) analytischen Lösungen Methoden zur numerischen Lösung vollständig gekoppelter Fluid-Struktur Systemen
8 Inhalte I. Blut, Gefäß, Kreislaufsystem Physiologische Angaben II. Strömungsmodelle für Blut Poisseuille-Strömung Navier-Stoksches Gleichungssystem III. Mechanik des Gefäßes (Ausflug in die Mechanik der Festkörper) Mechanische Eigenschaften des Gefäßes Koiter-Shell Modell für dünne Wände (thin shell) Modelle für dicke Wände (thick structure) IV. Koppelung des Fluides und der Struktur Mathematische Formulierung (ALE), schwache Lösung Numerische Algoritmen V. Themen zum Abschlusskolloqium
![Literatur [1] L. Formaggia, A. Quarteroni, A.](/docs-images/88/115407395/images/9-0.jpg "Veneziani: Cardiovascular Mathematics, Springer, Milano 2009 [2] L.")
9 Literatur [1] L. Formaggia, A. Quarteroni, A. Veneziani: Cardiovascular Mathematics, Springer, Milano 2009 [2] L. Formaggia, A. Quarteroni: Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System, in Handbook of Numerical Analysis, in: P.G. Ciaret et a.l (Eds.), Computational Models for the Human Body, Vol XII, Elsevier 2004, pdf Datei [3] William R. Milnor: Hemodynamics, Wiliam & Wilkins 1982
10 Inhalte I. Blut, Gefäß, Kreislaufsystem Physiologische Angaben II. Strömungsmodelle für Blut Poisseuille-Strömung Navier-Stoksches Gleichungssystem III. Mechanik des Gefäßes (Ausflug in die Mechanik der Festkörper) Mechanische Eigenschaften des Gefäßes Koiter-Shell Modell für dünne Wände (thin shell) Modelle für dicke Wände (thick structure) IV. Koppelung des Fluides und der Struktur Mathematische Formulierung (ALE), schwache Lösung Numerische Algoritmen V. Themen zum Abschlusskolloqium Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
11 Zusammensetzung des Blutes, Blutkörperchen Erythrozythen, Quelle: D. Bartko, M. Drobny: Neurólogia, Osveta (1991)
12 Rheologie des Blutes Quelle: [3]
13 Rheologie des Blutes RE=60 viscosity NON LINEAR VISCOELASTICITY lower viscosity µ infty µ null higher viscosity SHEAR THINNING µ null µ infty Quelle: [3] shear rate
14 Blutgefäß Quelle: A.D.A.M., Inc.
15 Kreislaufsystem Quelle: de.wikipedia.org Quelle: static.ddmcdn.com
16 Kreislaufsystem Quelle: [2] Quelle: med.mui.ac.ir
17 Kreislaufsystem: Verzweigerung und Dimensionen Quelle: [3]
18 Kreislaufsystem: Verzweigerung und Dimensionen Quelle: [3]
19 Volumenfluß Charakterischtisches Volumenfluß in größer Arterie Quelle: [2]
20 Kreislaufsystem: Skalen und Phänomene Quelle:Q.,Ambrozzi, Rozza (Eds.): Modeling of Physiological flows, Vol.5
21 Inhalte I. Blut, Gefäß, Kreislaufsystem Physiologische Angaben II. Strömungsmodelle für Blut Poisseuille-Strömung Navier-Stoksches Gleichungssystem III. Mechanik des Gefäßes (Ausflug in die Mechanik der Festkörper) Mechanische Eigenschaften des Gefäßes Koiter-Shell Modell für dünne Wände (thin shell) Modelle für dicke Wände (thick structure) IV. Koppelung des Fluides und der Struktur Mathematische Formulierung (ALE), schwache Lösung Numerische Algoritmen V. Themen zum Abschlusskolloqium Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
22 Pulsierende Strömung Quelle: [3]
23 Pulsierende Strömung Quelle: [3]
24 Pulsierende Strömung Quelle: [3]
25 Cauchy Spannungstensor Quelle: wikipedia
26 Inhalte I. Blut, Gefäß, Kreislaufsystem Physiologische Angaben II. Strömungsmodelle für Blut Poisseuille-Strömung Navier-Stoksches Gleichungssystem III. Mechanik des Gefäßes (Ausflug in die Mechanik der Festkörper) Mechanische Eigenschaften des Gefäßes Koiter-Shell Modell für dünne Wände (thin shell) Modelle für dicke Wände (thick structure) IV. Koppelung des Fluides und der Struktur Mathematische Formulierung (ALE), schwache Lösung Numerische Algoritmen V. Themen zum Abschlusskolloqium Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
27 Struktur der Gefäßwand Quelle: [2]
28 Elastische Konstanten Quelle: [3]
29 Viskoelastizität Quelle: [3]
30 Modelle für die Mechanik der Gefäßwand Quelle: [2]
31 Koiter-Shell Model: Wandausschnitt Quelle: [2]
32 Koiter-Shell Model: Kräfte an die Oberflächen Quelle: [2]
33 Inhalte I. Blut, Gefäß, Kreislaufsystem Physiologische Angaben II. Strömungsmodelle für Blut Poisseuille-Strömung Navier-Stoksches Gleichungssystem III. Mechanik des Gefäßes (Ausflug in die Mechanik der Festkörper) Mechanische Eigenschaften des Gefäßes Koiter-Shell Modell für dünne Wände (thin shell) Modelle für dicke Wände (thick structure) IV. Koppelung des Fluides und der Struktur Mathematische Formulierung (ALE), schwache Lösung Numerische Algoritmen V. Themen zum Abschlusskolloqium Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
34 ALE Abbildung Quelle: [2]
35 Einfaches FSI-Problem Quelle: [2]
36 ALE Abbilidung des Gitters Quelle:[2]
37 I Bewegliches Gitter Harmonische Verlängerung der Randdeformation: Finde y h (Y i,j ) y(y i,j ), Y i,j τ f t,h y h = 0 auf Ω 0 y = η k+1 h auf Γ 0 w y = 0 auf Γ in Γ out Γ 0 Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
38 I Bewegliches Gitter Harmonische Verlängerung der Randdeformation: Finde y h (Y i,j ) y(y i,j ), Y i,j τ f t,h y h = 0 auf Ω 0 y = η k+1 h auf Γ 0 w y = 0 auf Γ in Γ out Γ 0 y h (Y i,j ) = A t k+1(y i,j ) bestimmt neue Position in Zeit t k+1 für jedes Gitterpunkt Y i,j τ f t k+1,h. Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
39 II Struktur ξ t a 2 η η t + bη c 2 ξ x1 2 x1 2 + Rand/Anfangsbedingungen = ξ auf Γ 0 w = H Zeitdiskretisierung: η k η(t k, ), ξ k ξ(t k, ): η k+1 η k t ξ k+1 ξ k a 2 (η k+1 + η k ) t 2 x1 2 + b 2 (ηk+1 + η k ) c 2 (ξ k+1 + ξ k ) 2 x1 2 = 1 2 ξk ξk+1 auf Γ 0 w = 1 2 (Hk+1 + H k ) Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
40 II Struktur ξ t a 2 η η t + bη c 2 ξ x1 2 x1 2 + Rand/Anfangsbedingungen = ξ auf Γ 0 w = H Zeitdiskretisierung: η k η(t k, ), ξ k ξ(t k, ): η k+1 η k t ξ k+1 ξ k a 2 (η k+1 + η k ) t 2 x1 2 + b 2 (ηk+1 + η k ) c 2 (ξ k+1 + ξ k ) 2 x1 2 = 1 2 ξk ξk+1 auf Γ 0 w = 1 2 (Hk+1 + H k ) Raumdiskretisierung η k h = n i=1 η in i (y), y Γ 0 w... Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
41 III Fluid Finde u k+1 h V h,t k+1 und p k+1 h P h,t k+1 : 1 u k+1 h ϕ (u grid )u k+1 h ϕ + (u k h )u k+1 h ϕ t Ω t k+1 Ω t k+1/2 Ω t k+1 div u grid u k+1 h ϕ + div ϕ p k+1 h + 2ν D(u k+1 h ) : D( ϕ) Ω t k+1/2 Ω t k+1 Ω t k+1 P out n ϕ + ν ( x1 u 2 + x2 u 1 ) ϕ 1 n 2 = f k+1 ϕ + 1 u k h ϕ Γ out Γ 0 Ω t t k+1 Ω t k div u k+1 h π = 0 ϕ = ϕ(a 1 (y)) Ṽ 0 t k+1 h, Ω t k+1 u k+1 h = g k+1 auf Γ in, u k+1 h = ξ k+1 h π = π(a 1 t k+1 (y)) P h, (A 1 t k+1 (y) )e r Ṽ 0 h = { ϕ Ṽh, ϕ = 0 auf Γ in Γ 0 w, ϕ 2 = 0 auf Γ 0 } auf Γ tk+1 w Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
42 III Fluid Falls ϕ Ṽ h ( ϕ 0 auf Γ 0 w ): zusätzliche Randterme (Residuum) R k+1 h := 2νD(u k+1 h ) ϕn. Γ tk+1 w Dann: H ρ w h ρ 1 ( ) R k+1 2 h + R k h Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
43 Inhalte I. Blut, Gefäß, Kreislaufsystem Physiologische Angaben II. Strömungsmodelle für Blut Poisseuille-Strömung Navier-Stoksches Gleichungssystem III. Mechanik des Gefäßes (Ausflug in die Mechanik der Festkörper) Mechanische Eigenschaften des Gefäßes Koiter-Shell Modell für dünne Wände (thin shell) Modelle für dicke Wände (thick structure) IV. Koppelung des Fluides und der Struktur Mathematische Formulierung (ALE), schwache Lösung Numerische Algoritmen V. Themen zum Abschlusskolloqium Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
44 Themen zum Abschlusskolloqium 1 Zusammenfassung der hämodynamischen Modellierung: typische medizinische Gegebenheiten und auftretende Schwierigkeiten bei der Modellierung. 2 Numerische Simulation der Fluidströmung: parabolisches Geschwindigkeitsprofil der Newtonschen Fluide versus Geschwindigkeitsprofil der nicht-newtonischen Fluide, stationäre versus pulsierende Strömung. 3 Num. Simulation der Fluid-Struktur Wechselwirkung Anwendung von 1D oder 2D thick-structure Modells für die (linear-) elastische Gefäßwände, physiologische Daten 4 Lagrange-Eulersche Ansatz (ALE Formulierung) bei der Modellierung der Strömung in beweglichen Gebieten. 5 Mathematische Formulierung des gekoppelten FSI Problems und die schwache Formulierung dieses Systems. 6 Iteratives Algoritmus zur numerischen Lösung des gekoppelten FSI Problems, auch Übersicht der Verfahren. Hundertmark () Hämodynamik, SoSe 2014
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