MATEMATIKA NÉMET NYELVEN

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1 Matematika német nyelven középszint 1513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. október 13. MATEMATIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

2 Wichtige Hinweise Formvorschriften: 1. Die Arbeit ist mit einem andersfarbigen Stift, als der Abiturient ihn benutzt hat, lesbar zu korrigieren.. In den Kästchen neben den Aufgaben steht zuerst die maximale Punktzahl. Der Korrektor trägt die von ihm gegebene Punktzahl in das zweite Kästchen ein. 3. Bei einwandfreier Lösung markieren Sie neben der maximalen Punktzahl mit Haken, dass Sie die Gedankeneinheit gesehen haben, und sie als richtig beurteilt haben. 4. Bei fehlerhaften oder mangelhaften Lösungen markieren Sie den Fehler und geben Sie bitte auch die Teilpunkte für die richtigen Schritte an. Wenn die Korrektur besser nachvollziehbar ist, dann dürfen auch die verlorenen Punkte markiert werden. Kein Teil darf in der Arbeit bleiben, wo nach der Korrektur nicht eindeutig ist, ob er richtig, falsch oder überflüssig ist. 5. Während der Korrektur benutzen Sie die folgenden Bezeichnungen: richtiger Schritt: Haken theoretischer Fehler: zweimaliges Unterstreichen Rechenfehler oder sonstige, nicht theoretischer Fehler: einmaliges Unterstreichen mit falschen Ausgangsdaten durchgeführter richtiger Schritt: gestrichelter oder durchgestrichener Haken mangelhafte Begründung, mangelhaftes Aufzählen, andere Mängel: Mangelzeichen nicht verständlicher Teil: Fragezeichen und/oder Wellenlinie 6. Mit Bleistift geschriebenen Teile außer Abbildungen dürfen nicht bewertet werden. Inhaltliche Fragen: 1. Bei einigen Aufgaben sind verschiedene Lösungswege angegeben. Wenn eine von diesen unterschiedlichen Lösung vorkommt, suchen Sie die gleichwertigen Teile und verteilen die Punkte entsprechend.. Die vorgeschriebenen Punktzahlen lassen sich weiter zerlegen, es sei denn der Lösungsschlüssel das nicht erlaubt, dürfen aber nur als ganze Punkte vergeben werden. 3. Wenn der Schüler einen Rechenfehler macht oder ungenau wird, bekommt er nur für den Teil keinen Punkt, wo der Fehler lag. Wenn er mit falschem Teilergebnis, aber mit richtigem Gedankengang weiterrechnet, und dadurch das zu lösende Problem sich nicht wesentlich verändert, sind die weiteren Teilpunkte zu gewähren. 4. Begeht der Schüler einen theoretischen Fehler, so bekommt er innerhalb einer Gedankeneinheit (diese wird in der Anweisung mit Doppellinie markiert) auch für die formell richtigen mathematischen Schritte keinen Punkt. Wenn der Schüler in einer folgenden Teilaufgabe oder Gedankeneinheit mit diesem falschen Ergebnis als Ausgangswert richtig weiterrechnet, dadurch aber das zu lösende Problem sich nicht wesentlich verändert, bekommt er die maximale Punktzahl für diesen neuen Teil. 5. Wenn in der Anweisung eine Einheit oder eine Bemerkung in Klammern steht, dann kann die Lösung auch ohne diese mit voller Punktzahl bewertet werden. írásbeli vizsga 1513 / október 13.

3 6. Bei mehreren Lösungen für eine Aufgabe ist nur die eine zu bewerten, die der Schüler markiert hat. Während der Korrektur markieren Sie eindeutig, welche Version bewertet wurde, welche nicht. 7. Zusatzpunkte (mehr Punkte als die vorgeschriebene maximale Punktzahl für die Aufgabe) sind nicht zugelassen. 8. Die Gesamtpunktzahl einer Aufgabe oder Teilaufgabe darf nicht negativ sein. 9. Es gibt keinen Punktabzug für Berechnungen und Schritte, die zwar falsch sind, aber vom Schüler bei der Lösung der Aufgabe nicht weiterverwendet werden. 10. Wenn Abbildungen als Beweise verwendet werden (z.b. das Ablesen der Daten durch Messung), ist nicht akzeptabel. 11. Bei der Angabe von Wahrscheinlichkeiten (wenn der Text der Aufgabe nichts Anderes sagt) dürfen auch in Prozent angegebene richtige Lösungen akzeptiert werden. 1. Wenn der Text der Aufgabe keine Rundung vorschreibt, dann sind auch Teil- und Endergebnisse akzeptierbar, die vom Lösungsschlüssel abweichen aber sinnvoll und richtig gerundet wurden. 13. Im Teil II/B sind aus den 3 Aufgaben nur Lösungen von Aufgaben zu bewerten. Der Abiturient hat die Nummer der Aufgabe, die nicht bewertet werden soll, in das entsprechende Kästchen vermutlich eingetragen. Dementsprechend wird die eventuell vorhandene Lösung für diese Aufgabe nicht korrigiert. Wenn die abgewählte Aufgabe nicht eindeutig feststeht, und die Wahl der Aufgabe in der Arbeit nicht eindeutig zu sehen ist, dann ist die nicht zu bewertende Aufgabe automatisch die letzte Aufgabe der vorgegebenen Aufgabenreihe. írásbeli vizsga / október 13.

4 1. Achtung! Der Teil Wichtige Hinweise am Anfang des Lösungsschlüssels hat sich wesentlich verändert. Bitte, studieren Sie ihn gründlich vor der Korrektur! x 1 = 3 x = 7. erste Lösung Der Innenwinkel neben dem Außenwinkel von 104 ist 76. Der Innenwinkel in der Ecke C ist: 180 ( ) = 30, der Außenwinkel dazu ist zweite Lösung Der Innenwinkel neben dem Außenwinkel von 104 ist 76. Der Außenwinkel an der Ecke C ist gleich der Summe der zwei anderen Innenwinkel, also dritte Lösung Der Außenwinkel neben dem Innenwinkel von 74 ist 106. Summe der Außenwinkel im Dreieck ist 360, deshalb ist der Außenwinkel bei C ( = ) Andere Bezeichnungen [0; ] Punkte sind auch akzeptabel. Anmerkung: Wenn der Kandidat ein offenes oder halboffenes Intervall angibt, aber die zwei Endpunkte richtig sind, bekommt er. 4. h Punkte Nicht weiter zerlegbar. I. írásbeli vizsga / október 13.

5 5. A = {1; ; 4; 7; 14; 8} B = {1; 7; 49} A B = {1; 7} B \ A = {49} Punkte Anmerkung: Für das richtige Aufzählen der zweigliedrigen Teilmengen kann gegeben werden. 7. A) richtig B) falsch C) richtig Punkte Bei richtigen Antworten:, bei 1 richtigen Antwort: 0 Punkte 8. x = 4 1 x = 8 9. Spannweite: 6 Durchschnitt: 3 Streuung: Punkte Insgesamt: 4 Punkte Anmerkung: Für das richtige Einsetzten in die Formel der Streuung oder für Bestimmung der Varianz ist zu geben. 10. Anzahl aller Fälle 5. Unter ihnen gibt es 1 durch 4 teilbare Zahlen (günstige Fälle). Die Wahrscheinlichkeit ist 0, 48 5 írásbeli vizsga / október 13.

6 11. erste Lösung Der Bruttopreis ist das 1,7-fache des Nettopreises Der Nettopreis ist = 5000 (Ft), 1,7 die Mehrwertsteuer ist ( =) 1350 Ft. dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. 11. zweite Lösung 6350 die Mehrwertsteuer ist 7 = 17 Punkte = 1350 Ft. 1. Flóra hat bis jetzt Spiele gespielt. Punkte írásbeli vizsga / október 13.

7 II. A 13. a) erste Lösung 18 3 = d = 18 Die Differenz ist 7. a = a) zweite Lösung a = = = 5 Die Differenz ist b) 18 Sei der Quotient q: q =. 3 b = 3 18 = d.h. q 1 =, 4 und oder q =, 4 und b = 4. Insgesamt: 5 Punkte 13. c) Der Median der drei Zahlen ist c, Diese Punkte sind auch 3 + c +18 ihr Durchschnitt ist c + 18 d.h. = c, 3 d.h c = 3c 6, woraus c = 8 folgt (das ist wirklich der Median der drei Zahlen). Insgesamt: 5 Punkte 14. a) Péter hat von 30 Spielen 5 Siege. So hat er im Fechten die folgende Punktzahl erreicht: = = 78. dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. írásbeli vizsga / október 13.

8 14. b) = 35 Bence fehlen (35: 7 =) 5 Siege zu 1, so hatte er insgesamt 16 Siege. 14. c) C C 14. d) Die Anzahl der Reihenfolgen der Hindernisse Klasse A ist 5!, bei Klasse B 4!, bei Klasse C 3!. Die möglichen Reihenfolgen der 1 Hindernisse ist das Produkt der obigen, Punkte d.h Insgesamt: 4 Punkte 15. a) 8 Der Winkel in der Ecke A sei α: tg α =. 6 Woraus α 53,13 ist. (Der Winkel β in der Ecke B ergänzt α zu 90, so ist) β 36, b) Die Länge der Kathete DF sei (in cm) x, dann ist DE = x 7, EF = x +. Laut des Satzes von Pythagoras: x + ( x 7) = ( x + ). Die Klammern aufgelöst: x + x 14x + 49 = x + 4x + 4. Geordnet: x 18x + 45 = 0. Die eine Lösung ist x = 3, aber das ist keine Lösung der Aufgabe, weil so die andere Kathete negativ wäre. Die andere Lösung ist x = 15, Die Seitenlängen des Dreiecks sind: DE = 8 cm, DF = 15 cm, EF = 17 cm. Insgesamt: 8 Punkte dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. írásbeli vizsga / október 13.

9 II. B 16. a) Abbildung mit dem Vektor AB + AC. Die Vektoren AB + AC und AB bilden die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks, in dem ein Winkel 60 ist, das Dreieck ist so gleichseitig. Die Länge der Summenvektor ist 5 Einheiten. dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. 16. b) erste Lösung Abbildung mit dem Vektor AB AC. Die Länge der Differenzvektor ist das Doppelte der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 5 Einheiten, 3 d.h. 5 8,66 Einheiten. Insgesamt: 4 Punkte dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. írásbeli vizsga / október 13.

10 16. b) zweite Lösung Abbildung mit dem Vektor AB AC. Mit dem Kosinussatz: AB AC = cos 10 8,66 Einheiten. Insgesamt: 4 Punkte 16. c) (Die Diagonalen der Raute halbieren sich im Punkt K, so ist der Punkt K der Mittelpunkt der Diagonale TR.) Für die Koordinaten von R ( x ; y R R ) : 7 + x R 1+ y = 4, bzw. R = 3. woraus x = 1 und y = 7 folgen, d.h. R(1; 7). R R KT (3;4). * um 90 verdreht bekommt man den Vektor ( 4; 3). Punkte* Das Doppelte ist der Vektor KP ( 8; 6), * dessen Gegenvektor KS (8; 6) ist. * Wenn man die entsprechenden Koordinaten dieser Vektoren zu den Koordinaten des Punktes K addiert, bekommt man die Koordinaten der fehlenden Punkte. * d.h. P( 4; 3) und S(1; 9). Insgesamt: 10 Punkte dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. írásbeli vizsga / október 13.

11 Die mit * markierten 6 Punkte kann der Kandidat auch für den folgenden Gedankengang bekommen: Die Länge der Hälfte der kürzeren Diagonale der Raute ist d KT = = 5 Einheiten lang. Die Gleichung des Kreises k mit dem Mittelpunkt K und Radius 10 Einheiten ist: ( x 4) + ( y + 3) = 100. Die Gerade e der Diagonale PS geht durch den Punkt K, einer seiner Normalvektoren ist Vektor KT (3;4). Die Gleichung von e ist: 3 x + 4y = 0. Die Lösungen des Gleichungssystems aus den Gleichungen von k und e sind: x = 4 und = oder x = 1 und y 9 =. Anmerkung: Wenn der Kandidat die Koordinaten der gesuchten Punkte (ohne weitere Begründung) aus der Abbildung richtig abliest, kann höchstens 4 Punkte bekommen. 17. a) erste Lösung t (0) = 3600 t () , Die Anzahl der Tiger fiel um etwa 7% Prozent. Insgesamt: 4 Punkte 17. a) zweite Lösung Die Anzahl der Tiger fällt jedes Jahr auf das 0,854- fache des Vorjahres. 0,854 0,73 Die Anzahl der Tiger fiel um etwa 7% Prozent. Insgesamt: 4 Punkte dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. írásbeli vizsga / október 13.

12 17. b) x Zu lösen ist die Gleichung: ,854 = 900, (wo x die Anzahl der vergangenen Jahren bezeichnet seit 014) x 0,854 = 0,5 lg 0,5 x = x = log 0, 854 0, 5 lg 0,854 8,78 (in 9 Jahren, also) 03 kann man erwarten, dass die Zahl der Tiger unter 900 sinkt. Insgesamt: 5 Punkte Anmerkungen: 1. Wenn der Kandidat statt einer Gleichung mit einer Ungleichung arbeitet, kann er die entsprechenden Punkte bekommen.. Wenn der Kandidat die Anzahl der Tiger Jahr für Jahr richtig gerundet- aufschreibt und so richtig antwortet, bekommt die maximale Punktzahl. 17. c) Wegen (I) und (II) können in das kleinere Gehege drei oder vier Tiger kommen. Wenn in das kleinere Gehege drei Tiger kommen, dann wegen (III) und (IV) können nur zwei weibliche und ein männlicher hierher kommen. Zwei weibliche und einen männlichen Tiger kann 5 man auf 4 (= 40) Weisen auswählen (und eine solche Auswahl bestimmt eindeutig, dass in das größere Gehege die restlichen sechs Tiger kommen). Wenn in das kleinere Gehege vier Tiger kommen, dann wegen (III) und (IV) können nur zwei weibliche und zwei männliche hierher kommen (das andere Gehege auch betrachtet). Punkte Zwei weibliche und zwei männliche Tiger kann man 5 4 auf (= 60) Weisen auswählen (und eine Punkte solche Auswahl bestimmt eindeutig, dass in das größere Gehege die restlichen fünf Tiger kommen). So gibt es insgesamt = 100 Fälle. Insgesamt: 8 Punkte írásbeli vizsga / október 13.

13 18. a) Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge a kann man als Summe der Flächen von sechs regelmäßigen Dreiecken mit der Seite von a erhalten. Die Deckfläche des Pyramidenstumpfes ist: 7 sin60 t1 = 6 17,3 (cm ). Sei die Höhe einer Seitenfläche m: dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. Laut des Satzes von Pythagoras: 3 + m = 8. m 7,4 (cm) Fläche einer Seite: t = 7,4 = 74, (cm ). Oberfläche ist: F = t t = 57, 5 (cm ). 0,93 m = 9300 cm 9300 : 57,5 16,4 Aus 1 kg Rohstoff kann man 16 Töpfe herstellen. Insgesamt: b) Wenn mindestens 8 Zwiebeln sprossen, dann sprossen 10, 9 oder 8. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 sprossen, ist: 0,91 10 ( 0,3894). Die Wahrscheinlichkeit, dass 9 sprossen 1 aber nicht, ist 10 0,91 9 0, 09 9 ( 0,3851). Die Wahrscheinlichkeit, dass 8 sprossen aber 10 8 nicht, ist 0,91 0,09 ( 0,1714). 8 Die Antwort ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten, also etwa. 0,946. dann zu geben, wenn der Gedankengang nur aus der Lösung hervorkommt. Dieser Punkt ist nicht zu geben, wenn der Kandidat nicht oder falsch rundet. Insgesamt: 6 Punkte Anmerkung: Wenn der Kandidat während der Lösung mit den auf drei Nachkommastellen gerundeten Werten der Wahrscheinlichkeiten rechnet, ist auch 0,945 akzeptabel. írásbeli vizsga / október 13.