Theorie der Kondensierten Materie I WS 2017/2018

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Klemens Flater
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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theorie der Kondensierten Materie I WS 207/208 Prof. Dr. A. Mirlin, PD Dr. I. Gornyi Blatt 3 Dr. N. Kainaris, Dr. S. Rex, J. Klier Besprechung Radius des Cooper-Paars 8 Punte Berechnen Sie den mittleren Radius r 2 des Cooper-Paars mit Gesamtimpuls K = 0. Die Wellenfuntion des Cooperpaares ist ψ = C ξ +. Damit definieren wir den mittleren quadratischen Abstand der Eletronen eines Cooper- Paares r l 2 = r 2 = ψ2 rr 2 = ψ 2. 2 r ψ2 r ψ2 Mit dem Ausdruc für ψ folgt Also erhalten wir mit ξ = v F ê l 2 = v 2 F ψ = C ξ ξ ξ + 4 = v2 F 2 ξ + 2 : 0<ξ <ω D ξ / + 4 : 0<ξ <ω D ξ / Also erhalten wir als grobe Abschätzung für den mittleren Abstand der Cooper-Paare l v F /. Man ann auch die -Integration im Zähler und Nenner ausführen, wobei ω D, µ. Damit erhält man als etwas genauere Abschätzung l = v F 3 [ / + x 3 ] [ / + x] v F 5 für typische Werte von x = ω D /. Das Verhältnis v F von mehreren hundert Nanometern. liegt dabei in der Größenordnung 2. BCS-Grundzustand = 30 Punte Aus der Vorlesung ist beannt, dass die BCS-Wellenfuntion lautet: u + v c c 0. 6 Φ BCS =

2 a Zeigen Sie, dass Φ BCS normiert ist, wenn u 2 + v 2 = für alle. Berechnen Sie den Erwartungswert N der Teilchenzahl ˆN = σ c σ c σ und δn = ˆN 2 ˆN 2 im BCS-Grundzustand 6. Der Zustand 0 bezeichnet den Vauumszustand der c,σ und somit c,σ 0 = 0 c,σ = 0,, σ. 7 Unter Verwendung dieser Eigenschaft berechnen wir Φ BCS Φ BCS = 0, u + v c c u + v c c 0 = [ u u + v v 0 c c c c 0 ] 8 = u 2 + v 2. Im ersten Schritt haben wir verwendet dass im Produt nur die Terme einen endlichen Vauumserwartungswert haben, die eine gleiche Anzahl von Erzeugern und Vernichtern haben. Zudem haben wir verwendet, dass u u = u u 2 u N u u 2 u N = u 2. 9, Die gleiche Umordnung [ ann man] auch im Produt der Erzeuger und Vernichter durchführen, da c c, c c = 0 für. Zur Berechnung von N und δn bemeren wir zunächst, dass der BCS-Grundzustand das Vauum der Bogliubov Operatoren b,σ darstellt und somit gilt: b,σ Φ BCS = Φ BCS b,σ = 0,, σ. 0 Diese Operatoren erhält man aus den c,σ über eine unitäre Transformation, c, c, u = v b,, v u b, wobei u = u und v = v gilt. Wir definieren die Anzahloperatoren pro Spinorientierung, ˆN = c, c, und ˆN = c, c,. Ihre Erwartungswerte im BCS-Grundzustand sind Φ BCS ˆN Φ BCS = Φ BCS u b, + v b, u b, + v b, Φ BCS = v 2 Φ BCS b, b, Φ BCS = 2 v 2, Φ BCS ˆN Φ BCS = Φ BCS u b, v b, u b, v b, Φ BCS = v 2 Φ BCS b, b, Φ BCS = 3 v 2.

3 Der Erwartungswert des Teilchenzahloperators ˆN = ˆN + ˆN ist somit Φ BCS ˆN Φ BCS = 2 v 2. 4 Zur Bestimmung der Standardabweichung im BCS-Grundzustand benötigen wir den Erwartungswert von ˆN 2 = ˆN 2 + ˆN ˆN ˆN. Dazu bestimmen wir Φ BCS N 2 Φ BCS =, {v u u v Φ BCS b, b, b, b, Φ BCS } + v 2 v 2 Φ BCS b, b, b, b Φ, BCS 5 = u 2 v 2 +, v 2 v 2 = Φ BCS N 2 Φ BCS, Φ BCS N N Φ BCS =, { v u u v Φ BCS b, b, b, b, Φ BCS } + v 2 v 2 Φ BCS b, b, b, b Φ, BCS 6 = u 2 v 2 +, v 2 v 2. Somit erhalten wir Φ BCS ˆN 2 Φ BCS = 4, v 2 v u 2 v 2. 7 Die Standardabweichung im BCS-Grundzustand ist somit δn 2 = 4 u 2 v 2. b Berechnen Sie die Größe Φ BCS c c Φ BCS und zeichnen Sie diese Funtion in Abhängigeit von. Führen Sie dieselbe Rechnung für den Normalzustand Φ FS durch. Finden Sie eine äquivalente Darstellung des Grundzustandes, in der Cooper- Paare im Fermi-See Φ FS vernichtet, statt aus dem Vauum 0 erzeugt werden. Lösung Zunächst bestimmen wir den Erwartungswert im BCS-Grundzustand Φ BCS c c Φ BCS = Φ BCS u b, + v b, u b, v b, Φ BCS 8 =u v. 9 Aus der Vorlesung ist die folgende Darstellung beannt: u = ξ +, v 2 ξ = ξ, 20 2 ξ wobei ξ = ɛ µ die fermionische Einteilchenenergie und die supraleitende Bandlüce ist. Die Funtion u v ist in Abbildung dargestellt. Betrachten wir nun den Erwartungswert im gefüllten Fermisee, Φ FS = c,σ 0. 2 F,σ

4 Abbildung : Die Größe u v als Funtion von, wobei u 0 v 0 = 2 µ2 /µ In dieser Abbildung wurde = const. und ξ isotrop angenommen. Für diesen Zustand gilt und somit c,σ Φ FS = Θξ und c,σ Φ FS = Θ ξ 22 Φ FS c c Φ FS =Θ ξ Θξ = 0 23 Im letzten Schritt haben wir die Symmetrie des Spetrums verwendet, ξ = ξ. Nun wollen wir den BCS-Grundzustzand ausgehend vom Fermisee darstellen. Wir önnen den BCS-Grundzustand definieren als: Φ BCS = b b Φ F S 24 Wegen b,σ 2 = 0 ist lar, dass dies der Vauumszustand der b-algebra ist. Wir drücen die Operatoren nun durch die Eletronoperatoren c aus: Φ BCS = b b Φ F S = u c v c u c + v c Φ F S = Φ F S < F A > F A Im letzten Schritt haben wir den Operator A = u c v c u c + v c = u 2 c c v u c c + u v c c v2 c c 25 26

5 eingeführt. Da die A für unterschiedliche vertauschen önnen wir das Produt umordnen und die Wirung von A auf den Fermisee für festes betrachten. Dazu führen wir Operatoren a,σ ein, deren Vauumszustand der gefüllte Fermisee ist: { a,σ, für > F c,σ = a,σ, für < 27 F Somit A <F = u 2 a a v u a a + u v a a v 2 a a, 28 A >F = u 2 a a v u a a + u v a a v2 a a. 29 Wenden wir diese Operatoren auf den Vauumszustand an, erhalten wir A <F Φ F S = u 2a a v u Φ F S, 30 A >F Φ F S = u v va 2 a Φ F S. 3 Somit lautet der BCS-Grundzustand Φ BCS = C u a a v < F > F > F u v a a Φ F S = C u c c v u v c c Φ F S. < F wobei C = < F u > F v eine Normierungsonstante bezeichnet. c Berechnen Sie Φ BCS b b Φ BCS, wobei die Operatoren b σ = u c σ σv c, σ, über die Bogoliubov-Transformation mit den gewöhnlichen Erzeugern- und Vernichternoperatoren der Quasiteilchen zusammenhängen. Da Φ BCS der Vauumszustand der b σ ist folgt sofort d Berechnen Sie Φ BCS ĤBCS Φ BCS mit 32 Φ BCS b b Φ BCS = 0 33 Ĥ BCS = σ ξ c σ c σ λ c c c c. 34 Wir bestimmen zunächst den Erwartungswert: Φ BCS c c c c Φ BCS = v 2 v 2 Φ BCS b b b b Φ BCS Somit finden wir Φ BCS ĤBCS Φ BCS = + v u u v Φ BCS b b b b Φ BCS = v 2 v 2 δ, + v u u v = u 2 v 2 δ, + v u u v. 35 ξ v 2 λ v u u v. 36 wobei ξ = 2ξ λ,. In Aufgabe 3 werden wir die Tilde der Einfachheit wegen weglassen.

6 3. BCS-Variationsmethode 7+5=2 Punte Wir möchten nun mit Hilfe der Variationsmethode die Grundgleichungen der BCS- Theorie herleiten. Dazu minimieren wir den Erwartungswert des Hamiltonoperators 34 aus der Aufgabe 2d bezüglich des BCS-Grundzustandes: δ Φ BCS ĤBCS Φ BCS = 0. a Setzen Sie u = sinθ und v = cosθ an. Variieren Sie den obigen Erwartungswert, indem Sie θ Φ BCS ĤBCS Φ BCS = 0 setzen, und zeigen Sie, dass dann folgt tan2θ = λ 2ξ sin2θ =, ξ wobei = λ u v. Mit dieser Parametrisierung folgt aus Gleichung 36 Φ BCS ĤBCS Φ BCS = ξ [ + cos2θ ] 4 λ sin2θ sin2θ. 37 wobei wir die trigonometrischen Identitäten sin2x = 2 sinx cosx und cos 2 x = + cos2x/2 verwendet haben. Nun variieren wir den Erwartungswert nach θ : δ ĤBCS δθ = 2ξ sin2θ λ sin2θ cos2θ! = 0 tan2θ = λ 2ξ sin2θ = ξ 38 b Zeigen Sie, dass Sie hieraus folgende Selbstonsistenz-Gleichung für erhalten: = 2 λ ξ Unter Verwendung der Identität sin[arctanx] = x/ + x 2 und Gleichung 38 folgt sofort: = λ u v = 2 λ sinθ = 2 λ ξ Bonusaufgabe: Spielzeugmodell des Supraleiters 0 Bonuspunte Wir betrachten ein Eletron, das nur drei Zustände, 2 und 3 annehmen ann und dessen Partner nur die Zustände, 2 und 3. Wir definieren die Erzeugungs-

7 und Vernichtungsoperatoren, b = c c, b = c c, und onstruieren mit diesen Operatoren den Hamiltonian: Ĥ = 2E 0 =, 2, 3 b b λ, b b. Lösen Sie die stationäre Schrödingergleichung mit diesem Hamiltonian. Wir verwenden als Basis die Zustände φ i = b i 0, i =, 2, 3 40 und schreiben damit den Hamiltonian in Matrixform Ĥ = i,j φ i Ĥ φ j φ i φ j, 4 Ĥij 2E 0 λ λ λ = λ 2E 0 λ λ. 42 λ λ 2E 0 λ Die stationäre Schrödingergleichung wird durch Diagonalisieren der Matrix gelöst. Die Eigenwerte sind ɛ = 2E 0 und ɛ 2 = 2E 0 3λ, wobei ɛ zweifach entartet ist. Der Eigenraum zu ɛ wird durch φ φ 3 / 2 und φ 2 φ 3 / 2 aufgespannt. Der Eigenvetor zu ɛ 2 lautet φ + φ 2 + φ 3 / 3. Einschalten des λ-terms im Hamiltonian führt also auf einen neuen supraleitenden Grundzustand im Vergleich zum System ohne Cooper-Paarbildung.

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