Der Goldene Schnitt 1

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1 Der Goldene Schnitt 1

2 Der Goldene Schnitt Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea) ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen oder Größen: Definition Wenn eine Strecke durch einen Punkt so geteilt wird, dass sich die ganze Strecke zum größeren Teil a verhält wie der größere Teil a zum kleineren Teil b, so sagt man: Der Punkt teilt die Strecke im Goldenen Schnitt. Der größere Teil wird Major, der kleinere Teil Minor genannt. a verhält sich zu b wie a+b zu a: a/b = (a+b)/a Daraus ergibt sich für das Verhältnis a zu b a/b = (1 + Wurzel 5 )/2 = 1, Aufgabe Schreibe dieses Verhältnis für eine Gesamtstrecke der Länger 1 und Major x. Was kann man dann über x 2 sagen? Multipliziere beide Seiten der Gleichung für x 2 mit x, wiederhole diese Multiplikation und folgere daraus die folgende Eigenschaft: x n+2 + x n+1 = x n, wobei x=a/b-1. Das Verhältnis wird meist mit dem griechischen Buchstaben Φ (Phi) bezeichnet und Goldene Zahl genannt. Die Zahl Φ ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen. 2

3 Den Goldenen Schnitt bei den Proportionen des menschlichen Körpers Der Mediziner Adolf Zeising beschäftigte sich vor 150 Jahren mit den Massen des menschlichen Körpers, um eine Gesetzmässigkeit im Bezug auf den Körperbau zu finden. Er verglich die Masse untereinander und mit klassischen Statuen aus der Antike, von denen man sagt, dass sie das perfekte Bild des menschlichen Körpers zeigen. Seine Kenntnisse veröffentlichte er 1854 in seinem Lebenswerk Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Im Folgenden zeigen wir einige dieser Proportionen auf: Der ganze Körper von der Fusssohle bis zum Scheitel kann im Goldenen Schnitt geteilt werden. Die Teilungslinie ist dann beim Bauch- nabel, bzw. in der Bauchfalte, die auf der Höhe des Bauchnabels ist. Der Körper wird also in Ober- und Unterkörper unterteilt. Ober- und Unterkörper können auch wieder im Goldenen Schnitt unterteilt werden. Die Abbildung rechts zeigt dies an einer Statue aus der Antike. Eine weitere goldene Proportion findet man, wenn man den Abstand zwischen Fingerspitzen Ellbogen mit dem Abstand zwischen Handgelenk und Ellbogen vergleicht. Auch unsere Hand hat Goldene Proportionen. Wenn wir unsere Finger betrachten, sehen wir Abschnitte. Die beiden ersten Abschnitte zum ganzen Finger sind im Goldenen Schnitt. Eine Ausnahme ist der Daumen. Auch das Größenverhältnis von Mittelfinger zu kleinem Finger ist im Goldenen Schnitt. Im Gesicht gibt es ebenfalls Goldene Proportionen. Sogar bei den Zähnen findet man solche Verhältnisse. Zum Beispiel ist die Breite der beiden vorderen Schneidezähne des Oberkiefers zu Länge dieser Zähne im Goldenen Schnitt. Auch die Zahnbreiten sind im Goldenen Schnitt. Weitere Proportionen im Gesicht sind: 1. Länge des Gesichts zur Breite des Gesichts 2. Abstand zwischen den Lippen und dem Punkt zwischen den Augenbrauen zur Nasenlänge 3

4 3. Länge des Gesichts zu Länge von Kinn bis zum Punkt zwischen den Augenbrauen 4. Breites des Mundes zur Breite der Nase 5. Breite der Nase zum Abstand zwischen den Nasenlöchern 6. Abstand zwischen den Pupillen zum Abstand zwischen den Augenbrauen Aufgabe Nehmt auch das Maßband und versucht den goldenen Schnitt an euch selbst zu finden und tragt eure Messwerte in die Tabelle ein. Messt zu zweit folgende Längen an euch selber. Welche dieser Längen sind ungefähr im Goldenen Schnitt? (Immer zwei zusammen können im Verhältnis des Goldenen Schnittes sein.) - Körpergröße - Boden bis Knie - Boden bis Bauchnabel - Bauchnabel bis Scheitel - Knie bis Bauchnabel - Bauchnabel bis Schulterlinie - Schulterlinie bis Scheitel Macht euch eine eigene Tabelle und tragt in die ausliegende nur die Teilverhältnisse ein (max. 20 Min). 4

5 Konstruktion des Goldenen Schnittes Aufgabe Gegeben ist die Strecke AB. Gesucht ist der Punkt S, so dass S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnitts teilt. Konstruiere der Goldene Schnitt nach der folgenden Anleitung: a) Eine Strecke AB wird halbiert. b) Auf AB durch den Punkt B wird ein Lot gefällt. c) Der Punkt C auf der Lotgerade hat von B den Abstand AB/2. d) Man verbindet die Punkte A und C. e) Um C wird ein Kreis mit AB/2 geschlagen. f) Der Schnittpunkt T auf AC wird mit einem Kreis um A mit dem Radius AT auf AB übertragen. g) Der dabei entstandene Schnittpunkt ist S. S teilt die Strecke AB im Goldenen Schnitt 5

6 Aufgabe Gegeben ist die Strecke AS. Gesucht ist der Punkt B, so dass S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnitts teilt. Schreibe eine Anleitung zur folgenden Konstruktion: 6

7 Aufgabe a) Zeichne die Punkte A(-3-6), B(2-1), C(-2 3) und D(-7-2) in ein Koordinatensystem. b) Beweise rechnerisch, dass das Rechteck ABCD kein goldenes Rechteck ist! c) Konstruiere den Punkt T, der die Strecke AB im Goldenen Schnitt teilt! d) Konstruiere nun die Punkte E und F auf AD bzw. BC, so dass das Viereck ABEF ein goldenes Rechteck mit der längeren Seite AB ist! 7

8 Die Stetige Teilung Subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine noch kürzere Strecke, zu der die mittlere der drei Strecken wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. Das folgt unmittelbar aus der obigen Definition, wenn man ausgehend von der Strecke a+b die Strecke b abzieht. Die Bezeichnung stetige Teilung bezieht sich auf den Umstand, dass dieser Vorgang beliebig oft wiederholbar ist und dabei stets das selbe Verhältnis liefert Aufgabe Wiederhole die untere Abbildung auf der nächsten Seite des Skriptes und ergänze sie anschließend um ein Element oberhalb der blauen Strecke. Mit anderen Worten: Führe die ersten vier Schritte der stetigen Teilung durch 8

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10 Das Goldene Rechteck Faltet man ein Blatt unseres handelsüblichen Papiers in der Mitte der längeren Kante, so erhält man ein kleineres, welches allerdings genau das gleiche Seitenverhältnis aufweist wie das ursprüngliche Blatt. DIN-Formate kann man also durch Halbieren in das nächstkleinere DIN-Format überführen. Aufgabe Als das Goldene Rechteck bezeichnet man ein Rechteck, dessen Seiten im Verhältnis Φ zueinander stehen. Wie muss man ein solches falten, um (ohne Messung) ein kleineres goldenes Rechteck zu erhalten? Aufgabe Konstruiere das Goldene Rechteck auf der nächsten Seite des Skriptes. Bekomme daraus ein kleineres Goldenen Rechteck. Führe die selbe Handlung an deinem Goldenen Rechteck und an einem beliebigen Rechteck mehrmals fort. Was fällt dir dabei auf? Was kann man über die Diagonalen der entstandenen kleineren Goldenen Rechtecke sagen? Durch die inneren Eckpunkte der Quadrate lassen sich Kreisbögen legen, die eine Spirale ergeben. Dies ist eine Annäherung an die Goldene Spirale: 10

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12 Der Goldene Schnitt in der Architektur Schon die alten Griechen kannten das Verhältnis des Goldenen Schnittes und verwendeten ihn in ihrer Architektur. Betrachten wir den Parthenon. Der Tempel wurde nach dem letzten Perserkrieg um v.chr. von Perikles als Dank für die Rettung für die Stadt-Göttin Pallas Athena Parthenons errichtet. Der Parthenon passt genau in ein Goldenes Rechteck Die Breite des Tempels zur Höhe steht im Goldenen Schnitt Die Säulenhöhe zur Giebelhöhe ebenfalls. am Parthenon in Athen: - bei den Größenverhältnissen der Räume des Tempels mit den Säulengängen - der Raumaufteilung untereinander Aufgabe Auch der Grundriss des Parthenon ist aus mehreren Goldenen Rechtecken zusammengesetzt. Finde sie. 5 12

13 Aus dem Mittelalter ist vor allem der Dom in Florenz ein gutes Beispiel. Dort teilt der Kuppelansatz die Gesamthöhe im Goldenen Schnitt. In der Renaissance wird dann dem Goldenen Schnitt grosse Bedeutung zugemessen. Der Goldene Schnitt wird von den damaligen Baumeistern immer wieder eingesetzt. Uns ist jedoch nichts überliefert, ob absichtlich in diesem Verhältnis gebaut wurde oder ob man es erst nachträglich gefunden hat. Einzig von Le Corbusier ( ) weiss man, dass er immer nach dem Verhältnis des Goldenen Schnittes gesucht hat. Er verwendete den Goldenen Schnitt bewusst in seinen Werken. 13

14 Tempel Aufgabe Material 4. Schreibutensilien 5. Heft 6. Lineal Beantworte die Fragen: 1. Welcher dieser Tempel gefällt dir am besten? 1, Beantworte die Fragen Abb.23 Griechische Tempel 2. Miss bei jedem Tempel die Höhe und die Länge ab und berechne das Verhältnis. Fällt dir etwas auf? 1. Welcher dieser Tempel gefällt dir am besten? Warum? Tempel 1: Tempel 2: 2. Miss bei jedem Tempel die Höhe und die Länge ab und berechne das Verhältnis. Tempel 3: Fällt dir etwas auf? Tempel1: Tempel 4: Tempel2: Tempel3: Tempel4: 36 14

15 Der Goldene Schnitt in der Kunst In vielen Gemälden, v.a. aus der Antiken und der Renaissance lässt sich der Goldene Schnitt finden. Der Goldene Schnitt wurde und wird verwendet, um eine harmonische Bildkomposition zu erhalten. Im Bild von Raffael Triumph der Galatea lässt sich ganz einfach der Goldene Schnitt finden. Wird die Höhe des Bildes im Goldenen Schnitt geteilt, erfolgt die Teilung gerade über dem Kopf der Galatea. Das Bild wird dadurch in ein himmlisches und ein irdisches Reich aufgeteilt. In einem anderen Bild von Raffael, der Sixtinische Madonna lässt sich der Goldene Schnitt ebenfalls finden. Ausgangspunkt ist die Madonna. Wenn bei ihr der Goldene Schnitt eingezeichnet wird, ist erkennbar, dass die Köpfe vom Hl. Papst Sixtus und von der Hl. Barbara genau auf der Höhe der Teilung liegen. Im unteren Bildteil lässt sich wieder der Goldene Schnitt einzeichnen. Hier fällt die Teilung genau auf die Kopfhöhe eines der beiden Putten. 15

16 Ein weiteres spannendes Bild ist Die Geburt der Venus von Botticelli: Hier findet sich der Goldene Schnitt in mehrerer Hinsicht. Schon im Format. Mit den Bildmassen von172x278cm ist das Format ein goldenes Rechteck. Weiter teilt die Horizontlinie, die durch den Nabel der Venus verläuft, das Bild im Goldenen Schnitt. Dasselbe tut die Oberkante der Muschel. Die Hand der Göttin der Jahreszeiten teilt das Bild auch im Goldenen Schnitt. 16

17 Die Fibonacci-Zahlen Leonardo von Pisa (Abbildung 1): Leonardo von Pisa wurde um das Jahr 1180 geboren und starb ca Er hatte viele Namen, unter anderem auch Leonardus filius Bonacij, was so viel heisst wie Sohn des Bonacci. Daraus wurde schliesslich die Kurzform Fibonacci. Mit diesem Name wurde er dann auch berühmt. Fibonaccis bekanntestes Werk ist wahrscheinlich die Fibonacci-Folge. Der Aufbau dieser Folge ist eigentlich recht einfach. Man beginnt mit den Zahlen 0 und 1. Wenn man diese beiden Zahlen summiert, erhält man wieder eine 1. Jede weitere Zahl dieser Folge erhält man, wenn man die bei- den vorhergehenden Zahlen summiert. Also 1+1 ergibt 2, 1+2 ergibt 3, 2+3 ergibt 5, usw Diese Zahlenfolge kann man bis ins unendliche weiterziehen, sie ist also eine nicht endende Zahlenfolge. In seinem Hauptwerk, dem Buch Liber Abacci (Buch vom Abacus) taucht folgende Aufgabe auf: Jemand setzt ein Paar Kaninchen in einen Garten, der auf allen Seiten von einer Mauer umgeben ist, um herauszufinden, wie viele Kaninchen innerhalb eines Jahres geboren werden. Wenn angenommen wird, dass jeden Monat jedes Paar ein weiteres Paar erzeugt und dass Kaninchen einen Monat nach ihrer Geburt geschlechtsreif sind und somit nach zwei Monaten ein weiteres Kaninchenpaar auf die Welt bringen, wie viele Kaninchenpaare werden dann jedes Jahr geboren? Zusätzlich nimmt man an, dass nie ein Kaninchen stirbt. Zu Beginn des ersten Monats ist ein Kaninchenpaar im Garten. Da die Kaninchen einen Monat brauchen, um geschlechtsreif zu werden, kommt erst im dritten Monat ein weiteres Paar dazu. Im vierten Monat bekommt das ursprüngliche Kaninchenpaar ein weiteres Paar, das zweite Paar wird aber erst geschlechtsreif. Nun sind es drei Paare. Im fünften Monat bekommen das erste und das zweite Paar je ein Paar, sodass es nun insgesamt fünf Paare sind. Und so weiter. F n ist die Anzahl der Hasenpaare, die sich zu Beginn des Monats im Garten befinden. Im ersten Monat ist es genau ein Paar, davor waren es null Paare: F 0 =0, F 1 =1. Die Zahl der Paare F n ist die Summe aus der Hasenpopulation des Vormonates und der neugeborenen Paare. Da es zwei Monate geht, bis ein Hasenpaar ein weiteres Paar bekommt, muss dieses Hasenpaar bereits im Monat am Leben gewesen sein. Es gibt demnach auch neue Paare. Damit ergibt sich folgende Gleichung: F n = F n-2 + F n-1 für n 2. Aufgabe!! Bestimme die Summe aller Fibonacci-Zahlen!!! F! sowie!!! F!!!! 17

18 Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt stehen in einem engen Zusammenhang zueinander. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen strebt gegen den Goldenen Schnitt. Die Die folgende folgende Tabelle Tabelle zeigt zeigt diesen diesen Sachverhalt: Je Je grösser grösser die die Zahlen Zahlen in der in Reihe der Reihe werden, werden, je näher je näher ist das ist Verhältnis das Verhältnis beim Goldenen beim Schnitt. Goldenen Schnitt. d. Der Goldene Winkel Den Goldenen Winkel ψ erhält man, wenn man einen Vollwinkel (360 ) im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt. 18

19 Fibonacci-Zahlen und Blüten Die Fibonacci-Zahlen tauchen bei den Blütenblättern von Pflanzen sehr häufig auf. Zum Beispiel haben Lilien 3 Blütenblätter, Butterblumen haben 5, Rittersporne 8, Ringelblumen 13, Astern 21, Gänseblümchen oder Sonnenblumen haben 34, 55 oder 89. Grössere Sonnen- blumenarten haben sogar 144 Blü- tenblätter. Es gibt natürlich auch Pflanzen die eine Anzahl von Blütenblättern haben, die keine Fibonacci-Zahl ist, dies ist aber seltener. Es kann auch eine doppelte Fibonacci-Zahl vor- kommen, also 2, 6, 10, 16 etc. Meistens sind das Züchtungen, bei denen man versucht hat, die Anzahl der Blütenblätter zu verdoppeln. Fibonacci-Zahlen treten auch bei Spiralstrukturen bei Pflanzen auf. Zum Beispiel bei Kakteen oder auch bei Fichtenzapfen oder anderen Zapfen. Auch die Ananas zeigt in ihrer Schale Fibonacci- Zahlen. Zum Beispiel bei den Fichtenzapfen sind die Schuppen in Spiralen angeordnet. Die Anzahl der jeweiligen Spiralen ist eine Fibonacci-Zahl. Schöne Spiralstrukturen sieht man auch bei verschiedenen Pflanzenköpfen. Ein gutes Beispiel dafür ist die Sonnen- blume, die in ihrem Bauplan des Blütenstandes Spiralen aufweist. Wie man sieht, gibt es Spiralen, die nach rechts laufen und solche, die nach links laufen. Zählt man nun die Anzahl der rechtsdrehenden Spiralen, kommt man auf eine Zahl aus der Fibonacci-Folge. Die Anzahl der linksdrehenden Spiralen liegt ebenfalls in der Fibonacci-Folge und zwar entweder eine Position höher oder tiefer wie die Anzahl der rechtsdrehenden. Die Frage ist nun, warum das so ist. Wenn man das Bild der Sonnenblume betrachtet, macht es den Anschein, dass es sich um die optimale Anordnung handelt, welche am meisten Platz spart. Wie weiter vorne erklärt, nähert sich das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen der Zahl des Goldenen Schnittes an. Das heisst also, dass auch bei den Blütenköpfen, hier beim Beispiel der Sonnenblume, der Goldene Schnitt eine Rolle spielt. 19

20 Aufgabe Das pascalsche Dreieck ist eine geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten. Sie sind im Dreieck AUFGABE derart angeordnet, 13 dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist.. Wo finden sich die Fibonacci-Zahlen im pascalschen Dreieck?. Die Fibonacci-Zahlen im Pascalschen Dreieck Das Wo pascalsche finden sich Dreieck die Fibonacci-Zahlen ist eine geometrische im Pascalschen Darstellung Dreieck? der Binomialkoeffizienten. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge is AUFGABE 14 Code knacken Löse folgenden Code:

21 INTERESSANTES: Fibonacci und der goldene Schnitt in der Musik Fibonacci in der Musik Da die Fibonacci-Folge überall in der Natur vorkommt, liegt die Vermutung nahe, dass dies auch in der Musik so ist, denn dem Menschen erscheinen offenbar Dinge, die nach der Fibonacci-Folge oder dem Goldenen Schnitt funktionieren als harmonisch und schön. Wieso sollte dies nun in der Musik, die die meisten Menschen als harmonisch empfinden, anders sein. Die Vermutung ist richtig. Diese Zahlenfolge ist auch in der Musik allgegenwärtig. Beispielsweise sind Musikinstrumente teilweise mit Fibonacci-Zahlen beschreibbar und auch die Tonfrequenzen haben etwas damit zu tun. Fibonacci in Musikinstrumenten Klavier Die Tasten einer Oktave lassen sich komplett mit Fibonacci-Zahlen einteilen: Fig.34 Oktave im Goldenen Schnitt Eine Oktave hat 13 Tasten (wenn man die Töne, die eine Oktave auseinander liegen, dazuzählt). 8 weisse Tasten. 5 schwarze Tasten die schwarzen Tasten sind aufgeteilt in 2er- und 3er-Gruppen Da dies eine Einteilung ist, die von Menschen gemacht wurde, kann man darin aber schwer eine Harmonie der Natur sehen. Möglicherweise wurde der Mensch, als er diese Einteilung entwickelte, von seinem natürlichen Harmoniebedürfnis geleitet.

22 Violine Beim Geigenbau spielen die Fibonacci-Zahlen in Form des Goldenen Schnitts eine wesentliche Rolle bei der Gestaltung des Resonanzkörpers. In Fig.34 stehen jeweils die Strecken d1 und d2, e1 und e2 sowie f1 und f2 zueinander im Goldenen Schnitt. Diese Bauform hat sich über die Jahrhunderte als günstig erwiesen, was sich auch physikalisch erklären lässt: Ein normaler Resonanzkörper wird meist einige Tonfrequenzen in grösserem Ausmasse verstärken als andere. Dadurch entsteht ein nicht linearer Klangbereich. Dieses Phänomen lässt sich durch die oben besprochene Bauform vermindern. Auch der Geigenbauer Antonio Stradivari ( ), der für seine klanglich vollendeten Instrumente bekannt ist, soll den goldenen Schnitt verwendet haben, um die Position der F- Löcher in seinen Violinen zu berechnen. Dies sind die beiden Löcher auf der Oberseite der Geige, seitlich des Stegs (Fig.34 rot markiert). Dies ist allerdings nicht gesichert, da nur wenige Aufzeichnungen und Dokumente Stradivaris erhalten sind. Fig.35 Einteilung der Geige im Goldenen Schnitt von Johann Goldfuss Der goldene Schnitt in den Werken grosser Komponisten Es gibt zwei Arten, wie der Goldene Schnitt in der Musik auftreten kann. Einerseits können die Frequenzen zweier Töne zusammen im Goldenen Schnitt stehen. Andererseits kann ein Stück aus mehreren Teilen bestehen, deren Dauer ebenfalls die Bedingungen des Goldnen Schnitts einhalten. Ein Künstler, der den Goldenen Schnitt häufig anwendete, war Béla Bartók. Ein Beispiel dafür ist seine Sonate für zwei Klaviere und Schlagzeug. Das gesamte Stück, bestehend aus 2 Sätzen (Teilen), ist 6432 Achtelnoten lang, wobei der zweite Satz 3975 Achtel dauert. Diese beiden Zahlen stehen zusammen recht genau im goldenen Schnitt. Obwohl Bartók selbst sich nie zu diesem Thema geäussert hat, deutet vieles darauf hin, dass er den Goldenen Schnitt kannte und mochte. Es heisst, seine Lieblingsblume sei die Sonnenblume gewesen, und er habe immer einen Tannenzapfen auf dem Schreibtisch liegen gehabt. Beides sind bekannte Symbole für die Fibonacci-Folge und den Goldenen Schnitt in der Natur. Auch von Wolfgang Amadeus Mozart, einem der grössten und genialsten Musiker aller Zeiten, weiss man, dass er eine Faszination für Mathematik und Zahlenspiele besass. Oft findet man an den Rändern von Mozarts Kompositionen mathematische Gleichungen. Es erstaunt daher nicht, dass sich auch in seinen Werken der Goldene Schnitt finden lässt. Ein Beispiel ist seine Sonate Nr. 1 in C-Dur. Diese besteht wie alle Sonaten aus verschiedenen Sätzen, wobei zu Mozarts Zeit jeder Satz in 2 Teile gegliedert war. Bei der erwähnten Sonate verhalten sich die Längen der Teile des ersten Satzes ziemlich genau im Goldenen Schnitt. Auch andere Sonaten Mozarts scheinen den Goldenen Schnitt nachzubilden. Ähnliche Beobachtungen kann man auch bei anderen Komponisten wie z. B. Bach und Debussy machen.

23 Daraus lässt sich natürlich nicht ableiten, dass die erwähnten Musiker den Goldenen Schnitt bewusst anwendeten oder dass dies gar die Genialität ihrer Werke ausmacht. Viel wahrscheinlicher ist es, dass dieses Prinzip sozusagen in uns Menschen verwurzelt ist und automatisch zum Vorschein kommt. Wie man aus der Fibonacci-Folge Musik macht Um auf Grundlage der Fibonacci-Folge ein Musikstück zu komponieren, gibt es verschiedene Wege. Einer davon ist, den Fibonacci-Zahlen passende Noten zuzuweisen, z. B. könnte die Zahl 1 der 1. weissen Taste des Klaviers (Fig.35) zugewiesen werden, dann entsprechend die 2 der 2. Taste, die 3 der 3. usw. Fig.35 Tastatur eines Klaviers So erhält man aber eine Tonfolge, die sehr schnell über die Klaviatur hinauswächst. Deshalb lässt man die Skala immer bei Überschreiten einer Oktave von vorne beginnen. Dadurch erhält man folgende Tonfolge: C D E G C A B A A G F D A C B C C D E G C A B A A G F D A C B C C D E G C A B A A Nun entdeckt man etwas Interessantes: Die Tonfolge wiederholt sich alle 16 Töne: C D E G C A B A A G F D A C B C Und noch eine Überraschung stellt sich ein: Die entstandene Melodie tönt sogar gut! Natürlich kann man diese Melodie noch variieren. Anstatt der weissen Tasten könnte man auch die schwarzen oder alle zusammen verwenden. Auch der Startton kann verändert werden.

24 INTERESSANTES: Fibonacci an der Börse Auch in unserer heutigen Wirtschaftswelt mischt Fibonacci mit : Ebbe und Flut Für Ralph Nelson Elliott war dieses Phänomen wichtig. Elliott, im Übrigen einer der wenigen Aktienmarkttheoretiker, die durch ihre Theorien reich geworden sind, geht davon aus, dass das gesamte Universum und damit auch die Menschen von den Gesetzen der Natur beeinflusst werden. Nach Elliott folgen die menschlichen Euro Aktivitäten diesen Gesetzen - und zwar in ganz bestimmten Rhythmen. Als Vorbild für diesen Rhythmus dient ihm die Bewegung der Gezeiten. Der Welle folgt das Wellental, auf die Ebbe folgt die Flut - auf Aktion folgt Reaktion. Da die Aktienkurse menschliche Produkte, sozusagen die kollektiven Emotionen der Marktteilnehmer sind, müssen auch für sie diese Regeln gelten, folgert Elliott. Seine hochkomplexe Theorie hat er 1938 in dem Buch "The Wave Principle" veröffentlicht. Fibonacci für Aktien Wie gesagt, für Elliott bewegen sich die Aktienmärkte in Wellen. Eine Aktienrally oder Hausse entspricht vereinfacht gesagt der Flut, und diese wird, den natürlichen Gesetzen folgend, von der Ebbe abgelöst. An diesem Punkt kommt Fibonacci ins Spiel. Elliott benutzt die Relationen von Fibonaccis "natürlicher" Zahlenreihe, um das Ausmass der Ebbe - der Kurskorrektur - zu prognostizieren. Dazu zerteilt er die Strecke zwischen dem Anfangs- und Endpunkt einer Preiskurve entsprechend den Regeln des Goldenen Schnitts. Neben 61,8 Prozent sind 50, 38,2 (das Verhältnis einer Fibonacci-Zahl zu ihrer übernächsten Zahl) und 100 Prozent die wichtigsten Marken der Fibonacci-Retracements (zu Deutsch Rückgänge). Die Zielmarken für Kursausdehnungen, z. B. über einen früheren Hochstand hinaus, werden ermittelt, indem man die Retracemet-Marken jeweils um 100 auf 138,2 Prozent, 150, 161,8 Prozent usw. erweitert. Diese Ziele werden als Projektionsmarken bezeichnet. "Und genau diese Marken sind sehr oft wichtige Unterstützungs- oder Widerstandsmarken", erläutert Robert Schittler, Charttechniker der Raiffeisengruppe. "Manchmal ist es fast unheimlich, wie exakt sich die Kursverläufe an die Fibonacci-Marken halten", meint Schittler und verweist auf den DAX-Chart (siehe unten links). Ästhetischer Kursverlauf "Charttechnik ist im Grunde die Antizipation künftiger Kurse aus historischen Kursverläufen. Bei der Betrachtung von Charts orientieren wir uns bewusst oder unbewusst an ästhetischen Gesichtspunkten - Preislinien werden sozusagen ästhetisch weitergedacht. Und da Ästhetik eine kollektive Wahrnehmung ist, kommen fast alle, die ein und denselben Chart betrachten, zu identen oder zumindest ähnlichen Antizipationen. Ein gewisses Element einer selbsterfüllenden Prophezeiung ist bei der Fibonacci-Technik nicht von der Hand zu weisen", ergänzt der Charttechniker. Schittler selbst ist wegen der seiner Ansicht nach viel zu vage formulierten Regeln zur Identifikation der 13 unterschiedlichen Wellentypen kein Fan der Elliott-Wellentheorie.

25 "Die Rosinen, sprich die Fibonacci-Verhältnisse, sollte sich aber jeder engagierte Privatanleger herauspicken", so sein Rat. Die Verwendung ist einfach und die Fibonacci-Relationen sind in jedem modernen Chart-Programm enthalten. Die Stärke der Fibonacci-Technik ist, dass sich mit ihrer Hilfe Prognosen auf allen Zeitebenen treffen lassen, und sie ist optimal zur Platzierung von Kauf- oder Stop-Loss-Orders geeignet, da bei Über- oder Unterschreiten einer Linie die nächste Linie mit hoher Wahrscheinlichkeit erreicht wird. Auszug von Grundlagen der Elliot-Theorie: Elliot erkannte die genauere Struktur von Kursverläufen. Er teilte dazu Preiskurven in Impulswellen (übergeordneter Trend) und Korrekturwellen (gegenläufig) ein. Jede Impulswelle kann selbst wieder in 5 Wellen unterteilt werden, jede Korrekturwelle in 3 (Achtung, dabei ändert sich natürlich der übergeordnete Trend, sodass aufsteigende Linien innerhalb einer abwärtsführenden Korrekturwelle als Korrekturwelle zu sehen sind, absteigende als Impulswelle). Führt man diese Einteilung fort, erhält man immer eine Fibonaccianzahl von Wellen (siehe Grafik). Außerdem kann man in einen Kursverlauf sogenannte Fibonacci-Retracement-Marken einzeichnen. Dazu nimmt man sich einen lokalen Hoch- und eine lokalen Tiefpunkt und teilt den Verlauf durch drei waagrechte Linien bei 38.2% (entspricht / ), 50% (1/2) und 61,8% (entspricht /, also dem goldenen Schnitt). Entlang dieser Horizontalen beobachtet man besonders häufig Trendwenden im Kursverlauf. Diese Linien sind als häufiges Tool in Börsencomputerprogrammen zu finden.