Felder und Wellen Übung 14 WS 2018/2019

Transkript

1 Christoph Füllner Felder und Wellen Übung 14 WS 2018/2019 Institute of Photonics (IPQ), Department of Electrical Engineering and Information Technology (ETIT) KIT The Research University in the Helmholtz Association

2 Anmerkungen zu Übung 13 Die Lösungen sind hochgeladen, enthalten allerdings minimale Fehler. Aufschrieb von Übung 13: In Aufgabenteil d) habe ich bei der Berechnung des Poynting-Vektors vergessen den Nenner (k x 2 ) zu quadrieren. Orientieren Sie sich daher an der Musterlösung Institute of Photonics

3 Agenda der Wellen -Übungen Übung Aufgabe Thematik Übung 11 (14.01.) Übung 12 (21.01.) Übung 13 (28.01.) Übung 14 (04.02.) Aufgabe 26 Aufgabe 27 Aufgabe 28 Aufgabe 29 Aufgabe 30 Aufgabe 31 Aufgabe 32 Aufgabe 33 Wellengleichung im Vakuum Grenzflächenübergang: Dielektrikum Dielektrikum, senkrechter Einfall Wellenbeschreibung in Kugelkoordinaten Grenzflächenübergang: Dielektrikum Leiter, senkrechter Einfall Grenzflächenübergang: Dielektrikum Dielektrikum, Einfall mit α 90 Idealer Hohlleiter (Wellenleiter) auch hier spielen Grenzflächenbetrachtungen eine Rolle Grenzflächenübergang: Dielektrikum Dielektrikum, Einfall mit α 90 Hertzscher Dipol M. Sc. Christoph Füllner Felder und Wellen (FuW) Institute of Photonics

4 Fresnelsche Formeln Reflexionsfaktor und Transmissionsfaktor (für μ r = 1, κ = 0) und TE-Polarisation R = Γ 2 cos φ e Γ 1 cos φ d = ε 1 cos φ e ε 2 cos φ d Γ 2 cos φ e + Γ 1 cos φ d ε 1 cos φ e + ε 2 cos φ d T = 2Γ 2 cos φ e Γ 2 cos φ e + Γ 1 cos φ d = 2 ε 1 cos φ e ε 1 cos φ e + ε 2 cos φ d E-Feld Einfallsebene senkrecht polarisiert (siehe Aufgabe 30) Reflexionsfaktor und Transmissionsfaktor (für μ r = 1, κ = 0) und TM-Polarisation R = Γ 1 cos φ e Γ 2 cos φ d = ε 2 cos φ e ε 1 cos φ d Γ 1 cos φ e + Γ 2 cos φ d ε 2 cos φ e + ε 1 cos φ d T = 2Γ 2 cos φ e Γ 1 cos φ e + Γ 2 cos φ d = 2 ε 1 cos φ e ε 2 cos φ e + ε 1 cos φ d E-Feld Einfallsebene parallel polarisiert (siehe Aufgabe 32) Bemerkungen: Diese Formeln gelten für das elektrische Feld. Für das magnetische Feld muss zusätzlich der Wellenwiderstand miteinbezogen werden. R kann negativ sein Für den Speziallfall φ e = 0 ergeben sich die Formeln aus den Übungen 11 und Institute of Photonics

5 TM-Polarisation ( ) TE-Polarisation ( ) Fresnelsche Formeln optisch dünner optisch dichter optisch dichter optisch dünner In diesem Fall tritt ab einem Winkel von φ e 30 Totalreflexion auf. Dies wird in dielektrischen Wellenleitern (z.b. Glasfaserkabeln) ausgenutzt. Brewster-Winkel: nur senkrecht polarisierte Feldanteile werden reflektiert In diesem Fall tritt ab einem Winkel von φ e 30 Totalreflexion auf. Dies wird in dielektrischen Wellenleitern (z.b. Glasfaserkabeln) ausgenutzt Institute of Photonics

6 Fresnelsche Formeln optisch dünner optisch dichter (Ergebnis aus Aufgabe 32d)) r s = R s 2 = r 30 r p = R p 2 = r32 Fazit: bei schrägem Einfall auf die Grenzfläche wird unpolarisiertes Licht (sowohl Anteile mit paralleler als auch senkrechter Polarisation sind vorhanden) polarisiert, d.h. eine Komponente wird stärker reflektiert. Brewster-Winkel: nur senkrecht polarisiertes Licht wird reflektiert. Kein Unterschied von senkrecht und parallel polarisiertem Licht bei senkrechtem Einfall Institute of Photonics

7 Fresnelsche Formeln optisch dünner optisch dichter (Ergebnis aus Aufgabe 32d)) optisch dichter optisch dünner r s = R s 2 = r 30 r p = R p 2 = r32 r s = R s 2 = r 30 r p = R p 2 = r Institute of Photonics

8 Grundprinzip der Antenne Eine Antenne ist ein offener elektromagnetischer Schwingkreis, der leitungsgebundene elektro-magnetische Wellen in Freiraumwellen umwandelt. Der Antennendraht hat kapazitive und induktive Wirkung. Wichtig: Nah- und Fernfeld co-existieren in jedem Punkt im Raum, aber aufgrund der unterschiedlichen Ortsabhängigkeiten dominiert in der direkten Umgebung der Antenne das Nahfeld, während in großer Entfernung das Fernfeld dominiert. Quelle: Uni Kassel ExpPh II Institute of Photonics

9 Grundprinzip der Antenne Nahfeld (elektromagnetisches Feld / Blindfeld) Anlegen einer elektrischen Spannung in Plusrichtung: Stromfluss bewirkt ein elektr. und magnet. Feld 1 Separation elektrischer Ladungen (elektr. Dipol) elektrisches Quellenfeld das mit Entfernung zum Leiter abnimmt); ~ 1 bzw. ~ 1 r² r 3 2 Stromdurchflossener Leiter magnetisches Wirbelfeld, das mit Entfernung zum Leiter abnimmt (magnet. Dipol); ~ 1 bzw. ~ 1 r² r 3 Umpolung der Wechselspannung, d.h. Spannung in Minusrichtung: Umorientierung des Stromflusses kehrt die Orientierungen von E- und H-Feld um Angelegte Spannung führt Energie zu und hält die Oszillation der Felder aufrecht Keine Abstrahlung, es pendelt nur Blindleistung zwischen der Antenne und Umgebung hin & her (unter bestimmten Bedingungen kann ein Empfänger der Antenne aber Wirkleistung entziehen) Quelle: Uni Kassel ExpPh II Institute of Photonics

10 Grundprinzip der Antenne Fernfeld (elektromagnetische Welle) Anregung / Umpolung mit der Resonanzfrequenz: gemäß der Maxwellgleichungen ist ein räumlich variierendes E-Feld mit einem zeitlich veränderlichen H-Feld assoziiert / verknüpft und umgekehrt Entstehung von gekoppelten Wirbelfeldern In ausreichender Entfernung zur Quelle (Leiter) ist das elektromagnetische Feld (mit geschlossenen Feldlinien) unabhängig von einer Rückkopplung / Feedback mit den Ladungen und Strömen. Räumliche Abhängigkeit: ~ 1 r Anschauung: sich ausbreitendes Feld verliert am Randbereich die Kopplung an die Antenne, wenn sich die Richtung der Feldvektoren umkehrt. Die Felder werden durch die Umkehr abgestoßen. Unabhängig von Sender und Empfänger, d.h. es wird immer Wirkleistung verbraucht Quelle: Uni Kassel ExpPh II Institute of Photonics

11 Hertzscher Dipol Strom entlang der Antennendrähte nimmt nach außen hin ab: I z, t = I o e jt f(z), mit : I z = h, t = 0 Hertzscher Dipol: für einen infinitesimal kleinen Ausschnitt der Antenne kann der Stromfluss als konstant angesehen werden. Dieser Ausschnitt stellt aufgrund der räumlichen Ladungsverschiebungen im Draht ebenfalls einen Dipol dar. Jeder Hertzsche Dipol liefert einen Beitrag zum Nahund Fernfeld, sodass sich das Gesamtfeld als Überlagerung aller Teil-Felder der einzelnen Hertzschen Dipole ergibt: E Ԧr, t = E i Ԧr, t = න E i Ԧr, t dz i Institute of Photonics l

12 Aufgabe 33 Ausgangssituation Gegeben sei eine lineare Dipolantenne Länge: 2h Stromverteilung: I = I 0 sin 2π (h z ) λ Fernfeld des Hertzschen Dipols: de θ = 1 I sin θ 4πε c 2 0 r ej t kr dl l Gesucht: elektrisches Feld für jeden beliebigen Punkt im Raum in großer Entfernung r zur Antenne (Fernfeld) In jedem Punkt im Raum überlagert sich die Wirkung aller Hertzschen Dipole. r r' Untersuchter Punkt Institute of Photonics

13 Aufgabe 33 Fernfeld Gesucht: elektrisches Feld für jeden beliebigen Punkt im Raum in großer Entfernung r zur Antenne (Fernfeld) In jedem Punkt im Raum überlagert sich die Wirkung aller Hertzschen Dipole. r r' Untersuchter Punkt Aufgrund der großen Distanz zum untersuchten Punkt ( ) sind die betrachteten blauen Linien (-) näherungsweise parallel zueinander und ihre Längenunterschiede sind vernachlässigbar, r r Institute of Photonics

14 Aufgabe 33 Fernfeld Fernfeld des Hertzschen Dipols: de θ = 1 I sin θ 4πε = 1 4πε I 0 sin 2π λ c 0 2 r ej t kr dl (h z ) sin θ c 0 2 r ej t kr dl Integration über alle Hertzschen Dipole, d.h. in z-richtung: E θ = න 4πε I 0 sin k(h z ) sin θ h h 1 c 0 2 r ej t kr dz Wir integrieren dazu über das retardierende Element r, welches die Entfernung jedes einzelnen Dipols zum untersuchten Punkt angibt. Bezogen auf unseren Koordinatenursprung (Spannungsquelle) hat der Punkt die Koordinate r, wobei sich für den Wegunterschied folgender Zusammenhang ergibt: r = r Δr = r z cos θ, der im Phasenterm zu berücksichtigen ist. E θ = න 4πε I 0 sin k(h z ) sin θ h h Institute of Photonics c 0 2 r ej t k r z cos θ dz

15 Aufgabe 33 Fernfeld z cos θ = Ankathete Hypothenuse = Δr z Institute of Photonics

16 Aufgabe 33 Fernfeld Umformen des Integrals E θ = න 4πε I 0 sin k(h z ) sin θ h h 1 = I 0 4πε c 2 sin θ ej t kr න 0 r h h c 0 2 r ej t k r z cos θ dz sin k(h z ) e jkz cos θ dz Wir drücken die komplexe Exponentialfunktion durch Sinus und Kosinus aus, um die Stammfunktion aus dem gegebenen Hinweis nutzen zu können. = I 0 4πε = I 0 4πε +j I 0 4πε c 2 sin θ ej t kr න 0 r c 2 sin θ ej t kr න 0 r h h h h c 2 sin θ ej t kr න 0 r sin k(h z ) cos kz cos θ + j sin kz cos θ dz Institute of Photonics sin k(h z ) cos k cos θ z dz h h sin k(h z ) sin kz cos θ dz

17 Aufgabe 33 Fernfeld E θ = I 0 4πε +j I 0 4πε c 2 t kr sin θ ej න 0 r h h c 2 t kr sin θ ej න 0 r sin k(h z ) cos k cos θ z dz h h sin k(h z ) sin kz cos θ Gerade Fkt. (wegen z ) Ungerade Fkt. Hinweis in Aufgabenstellung d0z E θ = I 0 4πε = I 0 4πε cos kh cos θ c 2 sin θ ej t kr 0 r k sin θ 2 cos kh cos θ cos kh c 2 0 r k sin θ Ungerade Fkt. Integration ungerader Funktionen über symmetrische Grenzen ergibt 0! j t kr e cos kh Institute of Photonics

18 Aufgabe 33 Richtcharakteristik Gesucht: Richtcharakteristik der Antenne beschreibt die Winkelabhängigkeit (φ, θ) der Stärke empfangener oder gesendeter elektromagnetischer Wellen abhängig von der Geometrie (z.b. Form und Länge) der Antenne meist normiert auf den Maximalwert in Hauptstrahlrichtung Poynting-Vektor ԦS r, θ = E θ H θ Ԧe r S r, θ ~E θ ² S r, θ = I 2 0 cos kh cos θ cos kh 4πε c 2 0 r k sin θ 2 θ-abhängigkeit* ej2 t kr Institute of Photonics *Quelle: TU Ilmenau Vorlesung Antennen

19 Aufgabe 33 Polardarstellung (θ) h = λ 4 h = λ 2 h = 3λ 4 h = λ Hauptkeule Nebenzipfel Institute of Photonics

20 Aufgabe 33 3D-Darstellung (θ, φ) h = λ 4 h = λ 2 h = 3λ 4 h = λ Institute of Photonics

21 Anmerkung zur Richtcharakteristik Die Übungsaufgabe diente lediglich dem Grundverständnis. Aus der Formel für S r, θ ließ sich nicht direkt die Gestalt der Richtcharakteristik ablesen, sodass Software zu Hilfe genommen wurde. Für die Klausur relevant sind nur diese Richtcharakteristiken typischer Dipolantennen, die man sich einprägen kann Richtcharakteristiken, bei denen sich die Gestalt unmittelbar der Formel entnehmen lässt, vgl. z.b. Aufgabe 5e) in der Klausur WS1718. Im ersten Fall ergibt sich ein Verlauf wie bei der sin²-funktion. Es ist schnell ersichtlich, dass sin 0 2 = sin π 2 = 0 sin π/2 2 = sin 3π/2 2 = 1 sin π/4 2 = sin 3π/4 2 = 0.5 sin 5π/4 2 = sin 7π/4 2 = 0.5 Dies lässt sich leicht einzeichnen. Im zweiten Fall ergibt sich eine Konstante Institute of Photonics

22 Klausur Institute of Photonics

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