Kurze Einführung in den TI 92

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1 MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools Kurze Einführung in den TI 92 Markus Buchtele 1 Univ.Prof. Dipl.Ing. Dr. Franz Rendl 2 1 Projektassistent am Institut für Mathematik der Universität in Klagenfurt 2 Institut für Mathematik der Universität in Klagenfurt

2 Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG RECHENMODUS Kurze Erläuterung der Befehlsstruktur Erläuterung der Funktionstastenbelegungen Häufig verwendete Algebraoperationen Allgemeine Operatoren Speichern und Aufrufen von Variablen Symbole beim Programmieren ZEICHENMODUS Einstellungen zum Thema Graph Function Parametric Polar Sequence D Diff Equations Bildschirmteilung Menüerklärung # $ % & ' ABBILDUNGSVERZEICHNIS QUELLENVERZEICHNIS... 30

3 1. Einleitung Mit dem TI 92 steht einem eine Fülle von Anwendungen offen. Seine großen Stärken in der Schule sind sicherlich in Analysis und Geometrie zu finden. Es gibt aber auch viele Anwendungsmöglichkeiten in der Linearen Algebra. Am Anfang ist der Rechner durch die vielen Möglichkeiten die er bietet zwar etwas abschreckend, aber nach wenigen Einführungsbeispielen fällt einem der Überblick schon leichter und man hat sich mit der Funktionsweise vertraut gemacht. Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Arbeitsebenen. Die erste Ebene ist der Rechenmodus, die mit " zu finden ist. ( und Q). Die andere ist der Zeichenmodus, die dann weiters wieder unterteilt ist Rechenmodus 2.1. Kurze Erläuterung der Befehlsstruktur Alle Befehle findet man unter ½ (2 ). Sie sind alphabetisch angeführt. Mit Drücken eines Buchstaben kann man direkt die Befehle mit diesem Anfangsbuchstaben anschauen. Abbildung 1: Katalogübersicht mit dem Anfangsbuchstaben d 3 siehe Kapitel

4 Mit der Bestätigung eines Befehls ( ) landet man wieder im " Verzeichnis mit dem ausgewählten Befehl. Abbildung 2: Befehlsübernahme aus dem Katalog Mit I (2 z) sind alle Befehle in Themengebiete unterteilt, wie z. B. Nummer, Winkel, Liste, u.v.m. Abbildung 3: Befehlsübersicht in I - 4 -

5 2.2. Erläuterung der Funktionstastenbelegungen Mit Hilfe der Funktionstasten ƒ bis Š 4 findet man schnell die am häufigsten verwendeten Befehle: ƒ: Hier findet man Befehle zum Speichern, Öffnen, Kopieren und Löschen von Dateien. Abbildung 4: Übersicht über die Funktionen in ƒ : (Algebra), Hier befinden sich die für uns vorrangigen Befehle: Abbildung 5: Übersicht über die Funktionen in 4 In diesem Fall sind nur die Tasten von ƒ bis ˆ belegt - 5 -

6 Solve: Löst Gleichungen, solve(gleichung,var) Der Rechner zeigt nur das Endergebnis an und das in seiner einfachsten Form. Man erhält nur reelle Ergebnisse. Abbildung 6: Solve löst eine Gleichung Factor: Berechnet die Primfaktorzerlegung, bzw. faktorisiert Terme, z.b. factor( ) ² Abbildung 7: Factor vereinfacht den Term Expand: Entwickelt einen Term, expand(term) Abbildung 8: Expand zerlegt den Term - 6 -

7 Zeros: Bestimmt die Nullstellen eines Terms bezüglich einer spezifizierten Variablen. zeros(term,var) Approx: Löst einen Term näherungsweise unter Verwendung von Gleitkomma - Arithmetik auf. approx(term) Man kann aber auch nachdem man einen Term aufgelöst hat die Diamanttaste drücken. Die hat dieselbe Wirkung. ComDenom: Berechnet einen gemeinsamen Nenner eines Ausdrucks und stellt einen gekürzten Bruch dar. comdenom(term,var) PropFrac: Gibt einen Term als echten Bruch wider. propfrac(term,var) nsolve: Berechnet näherungsweise eine einzige Gleitkomma - Lösung einer Gleichung. nsolve(gleichung,var) Trig: Öffnet ein Untermenü mit texpand und tcollect: texpand: Entwickelt trigonometrische Terme. texpand(term) tcollect: Ist die Umkehrfunktion zu texpand. Collect(Term) Complex: Öffnet ein Untermenü mit csolve, cfactor, czeros: Dies sind die gleichen Befehle wie oben bei solve, factor und zeros, nur diesmal werden auch komplexe Ergebnisse errechnet

8 Extract: Öffnet ein Untermenü mit getnum, getdenom, left und right: getnum: Transformiert einen Term mit gekürztem gemeinsamen Nenner und gibt dann den Zähler zurück. getnum(term) getdenom: Wie comdenom, gibt den Nenner zurück. left: Gibt die linke Seite einer Gleichung oder Ungleichung zurück. left(vergleich) right: Analog zu left : (Calc), hier findet man Befehle zum Differenzieren =, Integrieren <, zur Summen- >, zur Produkt- [π], zur Grenzwertberechnung, zur Berechnung von Minima und Maxima und andere. Abbildung 9: Übersicht über den Funktionen in - 8 -

9 <: Ermittelt das unbestimmte, bzw. bestimmte (mit konkreten Grenzen und einer reellen Zahl als Lösung) Integral bezogen auf die definierte Variable (var). <(expression1,var[,lower][,upper]) Abbildung 10: Bestimmtes und unbestimmtes Integral =: Ermittelt die 1. Ableitung des Ausdrucks nach der definierten Variablen (var). =(expression1,var) Es ist auch möglich eine höhere Ableitung (order) direkt zu berechnen: =(expression1,var [,order]) Abbildung 11: Ableitung und 2. Ableitung >: Ermittelt die Summe dieses Ausdruckes über alle Werte der Variablen (var): >(expression1, var, low, high) - 9 -

10 [π]: (Diesen Befehl findet man unter I- Calculus.) Ermittelt das Produkt dieses Ausdruckes über alle Werte der Variablen (var): [π](expression1, var, low, high) Abbildung 12: Summe und Produkt der Funktion limit: Hier gibt es mehrere Möglichkeiten, diesen Befehl anzuwenden: Um den beidseitigen Grenzwert zu bekommen gibt man folgendes ein: limit(expression1, var, point) Um einen einseitigen Grenzwert zu bekommen gibt man folgendes ein: limit(expression1, var, point, direction) Selbstverständlich kann man auch den Grenzwert des Ausdrucks berechnen, wenn die Variable nach Unendlich strebt. limit(expression1, var, *) Abbildung 13: Grenzwerte einer Funktion

11 Auf die anderen Funktionstasten soll nur kurz eingegangen werden, da dies den Rahmen einer Einführung sprengen würde. : (Other), diese Befehle werden verwendet, um eine Tabelle oder einen Funktionsgraphen auf der Basis von einer oder mehreren Funktionen oder Gleichungen zu erstellen. Abbildung 14: Übersicht über die Funktionen in : (Prgm IO), Hier kann man die Ausführungen der Programme beobachten, die selbst geschrieben wurden. ˆ: (Clean up), Hier findet man unter anderem den Befehl zum Löschen der Variablendeklarationen. Abbildung 15: Übersicht über die Funktionen in ˆ Falls sich der interessierte Leser dennoch über die weiteren Anwendungen informieren möchte, besteht die Möglichkeit im Handbuch nachzulesen, oder man schaut unter der folgenden Internetadresse nach: ramesets/techfeat89.html 5 5 Die Erklärungen sind zwar für den TI 89 bestimmt, die Erklärungen treffen aber zum Großteil auch für den TI 92 zu

12 2.3. Häufig verwendete Algebraoperationen Polynome addieren oder dividieren: Hierfür benötigt man keine eigenen Befehle Polynome faktorisieren und multiplizieren: Hier bieten sich folgende die Befehle an: factor(term.var) : Vereinfachen, bzw. kürzen des Terms 6 Expand(Term,var) : Entwickelt, bzw. zerlegt einen Term 7 Primfaktoren einer Zahl ermitteln: factor(term,var) Partialbruchzerlegung ermitteln: expand(term,var) Eine Gleichung lösen: solve(term,var) Lösen einer Gleichung 8 Ein System linearer Gleichungen lösen: 1. Hier wird simult mit einer Matrix verwendet. Man gibt die Koeffizienten als Matrix und die rechte Seite als Spaltenvektor ein. 6 siehe auch Abbildung 7 7 siehe auch Abbildung 8 8 siehe auch Abbildung

13 Abbildung 16: simult löst Gleichungssyteme 2. Hier wird rref verwendet. Man gibt die Koeffizienten und die rechte Seite als erweiterte Matrix ein und bekommt die Ergebnisse der Unbekannten. In unserem Fall haben wir eine 3x3 Matrix als Ausgangspunkt Abbildung 17: rref gibt die Treppennormalform zurück

14 Die Nullstellen eines Terms ermitteln: Entweder setzt man die Funktion gleich 0 und löst sie mit solve 9, oder direkt mit der Funktion zeros (Term.var) Abbildung 18: zeros berechnet die Nullstellen Polynomdivisionen durchführen: Man verwendet propfrac für echte Brüche und ComDenom für gemeinsame Nenner, die ähnliche Potenzen dieser Variablen zusammenfassen 9 siehe auch Abbildung

15 2.4. Allgemeine Operatoren Betrag: abs(term) Bogenmaß: ( r ) Transponieren: ( T ) Exponenten, Potenzoperator: ( ^ ) Negation 10 : ( - ) Zeichenfolgenverkettung 11 : ( & ) Multiplikation: ( * ) Division: ( / ) Größer gleich: ( oder >= ) Kleiner gleich: ( oder <= ) Speichern und Aufrufen von Variablen Um (Zwischen-) Ergebnisse zu speichern und wieder aufzurufen gibt es die Funktion: STO! Nachdem die Zahl, die man speichern möchte, als Zahl oder als Ergebnis einer Rechnung am Display vorhanden ist drückt man die Taste STO! und anschließend den Variablennamen. Um die Zahl nun wieder verwenden zu können, kann man direkt mit dem Variablennamen arbeiten. Abbildung 19: Mit kann man Ergebnisse speichern 10 Bezieht sich nur auf Zahlen und Variablen. Siehe auch Kapitel Konkateniert zwei Strings zu einem

16 2.5. Symbole beim Programmieren Grundsätzlich ist es mit dem TI 92 möglich Programme zu schreiben. Dadurch besteht die Möglichkeit, mehrere Arbeitsschritte zu einem zusammenzufassen, so genannte Module. Hierfür sollen einige TI 92-spezifische Symbole erläutert werden Logisches Nicht: not() Logisches Und: and() Logisches / Exklusives Oder: or / xor Beschränkungsoperator mit : ( ) Ungleich: ( = ) Winkel: ( 2 F ) Kommentar: ( 2 X)

17 3. Zeichenmodus Um Funktionen nicht nur algebraisch zu untersuchen, kann man beim TI 92 auch graphisch sehr viele Informationen bekommen. Dafür gibt es verschiedene Menüpunkte, die hier etwas genauer erläutert werden sollen: Einstellungen zum Thema Graph Um in den MODE Modus zu kommen, muss man die 3 Taste rechts oben am TI 92 drücken. Das Menü ist in drei Seiten unterteilt. Der erste Menüpunkt nennt sich: Graph. Das 3 Menü bietet die Möglichkeit, verschiedenste Grundeinstellungen des Taschenrechners einzustellen (zu definieren). Selbstverständlich sind diese stets wieder änderbar. Durch die Änderungen können die gleichen Angaben zu verschiedenen Lösungen führen 12, deswegen sollte man immer die Menüeinstellungen im Auge behalten und die Ergebnisse nach ihrer möglichen Richtigkeit überdenken. Grundsätzlich ist zu sagen, dass es in den 3 Einstellungen zum Thema Graph sechs verschiedene Einstellungen gibt, die nun anschließend erläutert werden: 3 12 Z.B.: cos (30), führt unter 3 ANGLE Degree zu der Lösung:, das entspricht dem Wert 2 vom Cosinus von 30 Grad in Altgrad. Bei der Einstellung: 3 ANGLE Radian bekommt man jedoch: ~0,154, weil der Cosinus von 30 Grad im Radiantenmodus bedeutet: cos (30 Modulo (2p))

18 Function 13 Dies ist die Grundeinstellung und mit der Nummer 1 referenziert. Die Funktion wird so dargestellt, dass gefragt wird: #. Vom Benutzer ist die Funktion in der Unabhängigen (x) einzugeben. z.b.: Y= 3x+2 (Lineare Funktion) Abbildung 20: Hier wird die Funktion x!y eingegeben Parametric Bei der Parameterform, bzw. Parametereingabe gibt man die Funktion wie folgt ein: xt1=; yt1= Die Funktion hat nun zwei abhängige Variable (x, y) und eine unabhängige (t). Abbildung 21: Hier wird die Funktion nach den Parametern eingegeben 13 Siehe auch Kapitel

19 Polar Die Polarkoordinaten bestehen aus dem Radius (r) und dem Winkel Ï. Wenn wir uns ein Radar vorstellen, welches für die Luftraumüberwachung verwendet wird, so benötigt man nur die Entfernung des Flugzeuges und den Winkel q. Dabei gibt es folgende Umrechnungsmöglichkeiten um auf die Kartesische Koordinatenschreibweise zu gelangen: X = r*sin Ï Y = r*sin Ï oder r 2 = x 2 + y 2 Ï = tan 1 x + y sign( y) * π 2 Somit sind auch Funktionen 14 wie der Kreis zeichenbar. In Kartesischen Koordinaten wird der Kreis mit x 2 + y 2 = r beschrieben, wobei hier immer nur der Halbkreis betrachtet wird, damit eine eindeutige Zuordnung gegeben ist. Bei der Polarkoordinaten Schreibweise wäre der Kreis: r(ï)=1, denn unabhänig vom Winkel Ï ist der Radius konstant (in unserem Fall 1). 15 Abbildung 22: r(ï)=1 ergibt einen Kreis mit Radius 1 14 Definition: Wird jeder Zahl x M genau eine Zahl y zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine Funktion. Bei den Polarkoordinaten ist die unabhängige Variable der Winkel Ï und die abhängige der Radius r, mit der Einschränkung, das r nur sinnvoller Weise positiv sein kann, d.h. r Ñ

20 Sequence Dieser Menüpunkt ist konzipiert um rekursive Funktionen darzustellen. Einzugeben ist die Funktion nach u1 16. und der Startwert ui1 17 Zu beachten ist hier, das es sich nur um diskrete Definitionswerte ui für i Í handelt. Bei Eingabe von u1=u1(n-1)+0.3*(10-u1(n-1)) erhält man: 18 Abbildung 23: Darstellung einer rekursiven Funktion 15 Das Einstellen und Verändern des Sichtfensters wird in Kapitel genauer erläutert 16 Für die rekursive Darstellung der ersten Funktion. 17 Für den Startwert der ersten Funktion 18 Das Einstellen und Verändern des Sichtfensters wird in Kapitel genauer erläutert

21 D Hiermit kann man dreidimensionale Funktionen darstellen. Die unabhängigen Variablen sind hier x und y und die abhängige ist z. Bei Eingabe von z = 3 x *3 y * x erhält man 19 Abbildung 24: Darstellung einer 3 dimensionalen Funktion Diff Equations Hiermit kann man Differentialgleichungen darstellen. 19 Das Einstellen und Verändern des Sichtfensters wird in Kapitel genauer erläutert

22 3.2. Bildschirmteilung Speziell bei Berechnungen, bei denen man zwischen " und Zeichenmodus mehrmals wechseln muss, gibt es eine Möglichkeit beide Bildebenen miteinander zu koppeln: Hierfür geht man ins 3 Menü und unter dem Punkt Split Screen gibt es die Wahlmöglichkeiten: Full: Das bedeutet, dass nur eine Bildebene am Bildschirm erscheint TOP BOTTOM: Hier wird der Bildschirm in einen oberen und einen unteren Teil gesplittet. LEFT RIGHT: Hier wird der Bildschirm in einen linken und einen rechten Teil gesplittet. Abbildung 25: LEFT RIGHT Bildschrimteilung Um zwischen den beiden Bildebenen zu wechseln drückt man: 2O

23 3.3. Menüerklärung In diesem Kapitel werden die Zeichenmenüs exemplarisch an der Kartesischen Koordinatenschreibweise erklärt # Eingabe der Funktion 20 : Vom Benutzer ist die Funktion in der Unabhängigen (x) einzugeben. z.b.: Y= 3x+2 (Lineare Funktion) $ Bildschirmgröße und Einheiten Bei diesem Menü kann man die Bildschirmränder einstellen, d.h. in welchem Bereich die Funktion(en) am Bildschirm erscheinen soll. xmin und xmax: Unter- und Obergrenze des Bereichs der x- Achse ymin und ymax: Unter- und Obergrenze des Bereichs der y- Achse xscl und yscl: Abstand der (angezeigten) Teilstriche auf der x- und y-achse Xres: Pixelauflösung (möglich von 1 bis 10) für die Graphen der Funktion. Standard ist 2 Mit und { bekommt man immer die Standardeinstellungen: Abbildung 26: Standardeinstellungen im Menü $ 20 siehe auch Abbildung

24 % Graph am Bildschirm Funktionsauswahl mit : Mit der Taste kann man (ab-)wählen welche Funktionen im Menü % gezeichnet werden sollen Abbildung 27: Nur y1 und y3 werden gezeichnet Zoom Bildschirmsicht verändern: Wenn bereits eine Funktion am Bildschirm aufscheint, so kann man nun mit Zoom in die Funktion hineinzoomen, d.h. man kann den Bildschirmausschnitt verkleinern (natürlich auch vergrößern Zoom out). Man braucht nur das neue Zentrum des Bildschirms mit den Cursor - Tasten definieren und schon entsteht das neue Fenster. Abbildung 28: Sichtfenster mit den Standardeinstellungen Abbildung 29: Sichtfenster nun vierfach vergrößert

25 Bei dem Menüpunkt ZoomBox ist man in der Lage die diagonalen Grenzen des neuen gewünschten Bildschirms mit den Cursor-Tasten zu definieren, um so den gewünschten Teil der Funktion genau betrachten zu können. Bei der unten gezeigten ZoomBox ist man auf der Suche nach dem x-wert der Nullstelle. Abbildung 30: ZoomBox um die Nullstelle genauer eingrenzen zu können Anschließend sieht man den neuen Ausschnitt mit einer Nullstellenbestimmung hier auf zwei Kommastellen genau. Abbildung 31: ZoomBox Sichtfenster zur Nullstellenbestimmung Wie man hier an diesem Beispiel sieht, können diese Menüoptionen dazu verwendet werden, gewisse Fragestellungen leichter (genauer) beantworten zu können, z.b.: Nullstellen, Extremwerte, Schnittpunkte,

26 Trace Funktionswerte am Graphen bestimmen: Mit den Cursortasten ist es hier möglich am Funktionsgraphen auf und ab zu spazieren und so konkrete Funktionswerte zu bekommen (bestimmen). Abbildung 32: Trace Funktion um am Graphen der Funktion spazieren zu fahren ReGraph Neuzeichnen: Wenn die Bildschirmansicht nicht mehr übersichtlich erscheint, so kann man mit ReGraph die Funktionen neu zeichnen lassen und bekommt so alle eingestellten Funktionen neu gezeichnet. Math : In diesem Modus kann man bestimmte, ausgezeichnete Werte, Punkte, Eigenschaften von (einer) Funktion(en) berechnen lassen, indem man einen Bereich angibt indem man diese Eigenschaft sucht. z.b.: Zero, Min, Max, Integral,... Abbildung 33: Mit Value kann man y-werte bestimmen, indem man x-werte eingibt

27 & Tabelleneigenschaften des Graphen tblstart: Hier gibt man den Startwert ein, von dem man die Werte angezeigt haben möchte. ýtbl: Hier wird die Schrittweite der Werte eingestellt (Intervallsprünge) Abbildung 34: tblstart Einstellungen der angesprochenen Funktion(en) Graph ï ': Wenn man möchte, dass die Tabelle genau den Bereich des Funktionsgraphen (GRAPH) übernimmt, stellt man hier den Wert auf, wenn man den Startwert und die Schrittweite selber definieren möchte, dann auf Independent: Wenn man nur ausgesuchte Funktionswerte ermitteln möchte, so stellt man hier auf ASK und kann dann unter TABLE 21 die genauen Definitionswerte eingeben um die Funktionswerte zu bekommen. 21 siehe auch Kapitel

28 ' Tabellenansicht (x- und y Werte aller ausgewählten Kurven): Die Werte, die man im & 22 eingestellt hat, kann man nun hier ablesen. Mit den Cursortasten kann man in der Wertetabelle nach oben und unten wandern, aber immer nur in der definierten Schrittweite. Abbildung 35: Tabellenwerte aller markierten Funktionen 23 der bei tblstart definierten Einstellungen 22 siehe Kapitel Funktionsgleichungen übernommen von Abbildung

29 4. Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Katalogübersicht mit dem Anfangsbuchstaben d... 3 Abbildung 2: Befehlsübernahme aus dem Katalog... 4 Abbildung 3: Befehlsübersicht in I... 4 Abbildung 4: Übersicht über die Funktionen in ƒ... 5 Abbildung 5: Übersicht über die Funktionen in... 5 Abbildung 6: Solve löst eine Gleichung... 6 Abbildung 7: Factor vereinfacht den Term... 6 Abbildung 8: Expand zerlegt den Term... 6 Abbildung 9: Übersicht über den Funktionen in... 8 Abbildung 10: Bestimmtes und unbestimmtes Integral... 9 Abbildung 11: Ableitung und 2. Ableitung... 9 Abbildung 12: Summe und Produkt der Funktion Abbildung 13: Grenzwerte einer Funktion Abbildung 14: Übersicht über die Funktionen in Abbildung 15: Übersicht über die Funktionen in ˆ Abbildung 16: simult löst Gleichungssyteme Abbildung 17: rref gibt die Treppennormalform zurück Abbildung 18: zeros berechnet die Nullstellen Abbildung 19: Mit kann man Ergebnisse speichern Abbildung 20: Hier wird die Funktion x!y eingegeben Abbildung 21: Hier wird die Funktion nach den Parametern eingegeben Abbildung 22: r(ï)=1 ergibt einen Kreis mit Radius Abbildung 23: Darstellung einer rekursiven Funktion Abbildung 24: Darstellung einer 3 dimensionalen Funktion Abbildung 25: LEFT RIGHT Bildschrimteilung Abbildung 26: Standardeinstellungen im Menü $ Abbildung 27: Nur y1 und y3 werden gezeichnet Abbildung 28: Sichtfenster mit den Standardeinstellungen Abbildung 29: Sichtfenster nun vierfach vergrößert Abbildung 30: ZoomBox um die Nullstelle genauer eingrenzen zu können Abbildung 31: ZoomBox Sichtfenster zur Nullstellenbestimmung Abbildung 32: Trace Funktion um am Graphen der Funktion spazieren zu fahren Abbildung 33: Mit Value kann man y-werte bestimmen, indem man x-werte eingibt Abbildung 34: tblstart Einstellungen der angesprochenen Funktion(en) Abbildung 35: Tabellenwerte aller markierten Funktionen der bei tblstart definierten Einstellungen

30 5. Quellenverzeichnis rencecenter/framesets/techfeat89.html TI-92 Guidbook. (1995) Texas Instruments, printed in Netherlands Arbeiten mit dem TI-92 SchülerInnenarbeitsbuch (Eine Einführung in den TI-92 anhand von mathematischen Inhalten der 8. und 9. Schulstufe). E. Schneider (1999). Klagenfurt: bk teachware