Chaotische Systeme Der Weg ins Chaos Kontrollmethoden Probleme bei großen Systemen Zusammenfassung Quellen. Chaotische Systeme
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- Klaudia Kneller
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1 Der Weg ins Chaos und zurück Otto-von-Guericke- Fakultät für Informatik Institut für Simulation und Grafik Das virtuelle Labor
2 Wo treffen wir auf chaotische Systeme Herzschlag Populationsentwicklungen von Insekten Ausbreitung von Grippewellen tropfender Wasserhahn Verkehrstaubildung Wetter
3 Inhalt Der Weg ins Chaos Anwendungsbeispiel: Schwammspinnerpopulation Logistische Gleichungen Bifurkation Methoden zur Chaoskontrolle Ott-Grebogi-Yorke Methode Ansatz von Pecora und Carroll Probleme bei großen Systemen Zusammenfassung Quellen
4 Eigenschaften von chaotsichen Systemen nichtlinear dynamisch Chaos nicht Zustand sondern Dynamik des Systems Verhalten nicht langfristig vorhersagbar kleine Änderung an Eigangsvariablen großer Einfluss auf das System (Butterfly-Effect)
5 Der Weg ins Chaos Anwendungsbeispiel: Schwammspinnerpopulation Logistische Gleichungen Bifurkation Methoden zur Chaoskontrolle Ott-Grebogi-Yorke Methode Ansatz von Pecora und Carroll Probleme bei großen Systemen Zusammenfassung Quellen
6 Anwendungsbeispiel: Schwammspinnerpopulation Schwammspinner Schädling in warmen Gebieten Europas und Nordafrikas im 19.Jh nach Massachusetts veschleppt Ausbreitung bis Mitte des 20. Jahrhunderts über die gesamte USA
7 Logistische Gleichungen logistische Gleichung x n+1 = g r (x n ) = rx n (1 x n ) x n - relative Populationsgröße r - Wachstumsrate n - Periode
8 Bifurkation Das Feigenbaum-Diagramm
9 Bifurkation Auswertung des Feigenbaum-Diagramms r < 3: Population konvergiert gegen Grenzwert 3 < r < ( 3, 45): Population oszilliert zwischen 2 Punkten < r < 3, 54: Population oszilliert zwischen 4 Punkten r > 3, 54: Population oszillieren zwischen 2 n Punkten (Periodenverdopplung) r 3, 57: Chaos, keine Perioden mehr
10 Der Weg ins Chaos Anwendungsbeispiel: Schwammspinnerpopulation Logistische Gleichungen Bifurkation Methoden zur Chaoskontrolle Ott-Grebogi-Yorke Methode Ansatz von Pecora und Carroll Probleme bei großen Systemen Zusammenfassung Quellen
11 Ott-Grebogi-Yorke Methode OGY-Methode vorgestellt 1990 von Edward Ott, Celso Grebogi und James A. Yorke Idee: Kontrolle erlangen durch gezieltes Stören des Systems Vorteil: sehr flexibel einsetzbar Nachteil: schwer gute Parameter zu finden
12 Ansatz von Pecora und Carroll Ansatz von Pecora und Carroll vorgestellt 1990 von Louis M. Pecora und Thomas L. Carroll Idee: System aufteilen und Teilsysteme synchronisieren Nutzen: Basis für weitere Synchronisierungsverfahren Nachteil: begrenzten Anzahl möglicher Zerlegungen, davon führen meist nur wenige zur Synchronisation
13 Probleme bei großen Systemen Beispiel: Wetter sehr hohes Datenaufkommen viele relevante Informationen zu wenig bekannte Größen derzeit zu wenig Rechenkapazität
14 Zusammenfassung chaotische Systeme sind dynamische, nichtlineare Systeme sie beschreiben Systemen mit chaotischem Verhalten (Butterfly-Effekt, nicht langfristig vorhersehbar) es gibt Methoden um das Chaos zu kontrollieren (OGY-Methode, Synchronisationsansatz) Anwendung der Methoden nicht immer möglich
15 Quellen Baker/Gollub: Chaotic Dynamics, 1996 Kaithleen T.Alligood, Tim D. Sauer, James A. Yorke: Chaos An Introduction to dynamical Systems, 1996 Thomasz Kapitaniak: Controlling Chaos, 1996 J. Briggs and F. D. Peat: Die Entdeckung des Chaos,
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