Versuchsprotokoll E208: Fourriertransformation und nichtlinearer Oszillator Fortgeschrittenenpraktikum Physik Universität Bonn

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1 Versuchsprotokoll E208: Fourriertransformation und nichtlinearer Oszillator Fortgeschrittenenpraktikum Physik Universität Bonn Alexander Rothkegel, Frank Fremerey unter Anleitung von Ursula Meyer 1. Juni 2003 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Theorie Die Fouriertransformation Die diskrete Fouriertransformation Simulation idealer Meßwerte Anzahl der Abtastpunkte Ganzzahliges Abtastverhältnis Aliasing Fenster Simulation realer Abtastung Rauschen Digitalisierungsrauschen Nichtlineare Dynamik Die logistische Gleichung Der Toda-Oszillator

2 1 VORWORT 2 1 Vorwort Im Versuch zur Fouriertransformation werden Probleme, die bei der Digitalisierung von Analogen Signalen auftreten, mit einer Simulation untersucht. Anschließend wir das Verhalten des nichtlinearen Toda-Oszillators untersucht. 2 Theorie 2.1 Die Fouriertransformation Die Fouriertransformation einer Funktion f ist folgendermaßen definiert: F(f)(w) = f(t)e iωt dt Dabei wird nicht notwendigerweise vorausgesetzt, daß das Integral existiert. So erhält man Beispielsweise also Fouriertransformation einer sinus-funktion eine singuläre Delta-Distribution. Die Faltung zweier Funktionen f und g, wird mit f g bezeichnet und ist durch das folgende Integral definiert: f g(t) = f(x) g(t x)dx Durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge erhält man das Faltungstheorem: F(f) F(g) = F(f g) 2.2 Die diskrete Fouriertransformation Die diskrete Fouriertransformation ist eine an Rechnerbedürfnisse angepaßte Näherung der Fouriertransformation. Man erhält sie durch die folgenden zwei Schritte: 1. Ersetzen des Integrals durch eine unendliche Summe. T bezeichnet hierbei die Zeitdifferenz zwischen zwei Abtastpunkten: F(f) f(n m)e nhwt n= 2. Nur endlich viele Summanden verwenden: F(f) = N 1 n=0 f(m n)e inwt Anstelle der gesamten Funktion f benötigt man in F(f) nur noch einen Satz von äquidistanten Stützstellen, die in endlicher Zeit von einem A-D-Wandler gemessen werden können. Die diskrete Fouriertransformierte unterscheidet sich in ihrem Verhalten signifikant von der kontinirlichen. Viele der im folgenden beprochenen Digitalisierungsfehler sind auf diese Unterschiede zurückzuführen. Die diskrete FT ist im Gegensatz zur kontinuirlichen periodisch in ω F(f)(ω) = F(f)(ω + 2π/T ) Die im Versuch verwendete Software stellt lediglich den Betrag der Transformierten dar. So werden negative Frequenzen auf die Positive Achse gespiegelt. Aus diesem Grund wird in der graphischen Darstellung der Frequenzbereich auf eine halb Periode also auf π/t eingeschränkt. Außerdem werden in der graphischen Darstellung jeweils nur so viele unterschiedliche Frequenzen dargestellt, wie es Abtastpunkte gibt.

3 3 SIMULATION IDEALER MESSWERTE 3 3 Simulation idealer Meßwerte In den folgenden Unterkapiteln werden verschiedene Aspekte der diskreten Fouriertransformation bei idealer Abtastung untersucht. 3.1 Anzahl der Abtastpunkte Wir lassen von der Software eine Sinusfunktion aufnehmen. Wir stellen die Anzahl der Abtastungen pro Periode (APP) auf 4,2 und wählen 16 und 1024 Abtastungen. Das Ergebnis ist als Ausdruck in Abbildung 1 und 2 zu sehen. Die x-achse ist in Vielfachen der Abtastfrequenz angegeben. In dieser Skalierung würde die kontinuriliche Fouriertransformation also einen Delta-Peak bei 1/4, 2 = 0, 24 ergeben. Bei der endlichen Näherung beobachten wir, einen breiten Peak, dessen Hochpunkt nicht exakt bei der erwarteten Frequenz liegt. Die Verfälschungen scheinen jedoch bei der größeren Anzahl von Abtastungen deutlich geringer auszufallen. 3.2 Ganzzahliges Abtastverhältnis Die diskrete Fouriertransformation kann in einigen Spezialfällen besonders gute Ergebnise liefern. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn die Anzahl der abgetasteten Perioden eine Natürliche Zahl ist. Wir beobachten dies an einer Sinusschwingung mit 4 Abtastungen pro Periode und insgesamt 1024 Abtastungen. Der Ausdruch ist in Abbildung 3 zu sehen. Im Gegensatz übrigen Ausdrücken kommt es zu keiner Linienverbreiterung und der Peak befindet sich bei exakt der erwarteten Frequenz. In der Praxis wird man von diesen Effekt jedoch nicht profitieren können, da man von der zu analysierenden Schwingung wohl kaum vorher die Frequenz wissen wird. Falls doch, so erübrigt sich die Analyse. 3.3 Aliasing Aufgrund der Periodizität der DFT, ist es nicht möglich, daß gesamte Frequenzspektrum eines Impulses zu untersuchen, sondern nur einen durch die Abtastfrequenz bestimmtes Fenster. Das spiegelt sich in dem sogenannten Abtasttheorem wieder, das besagt, daß nur Frequenzen die kleiner, als die halbe Abtastfrequenz sind, korrekt dargestellt werden. Demzufolge geht der Darstellungsbereich der Software auch nur bis zu 0,5 also der Hälfte der Abtastfrequenz. Wer sich mit Audiodateien auskennt, weiß, daß eine Abtastfrequenz von 44KHZ notwenidig ist, um Frequenzen von 22KHZ darzustellen. Wie beobachten das Aliasing, also die fehlerhafte Bestimmung von zu hohen Frequenzen anhand einer Sinusschwingung mit 1,5 und 3 Abtastungen pro Periode. Die beiden Graphen unterscheiden sich nur im Wert von APP. Aus diesem Grund haben wir auf einen doppelten Ausdruck verzichtet. Einer der beiden Graphen ist in Abbildung 4 zu sehen. 3.4 Fenster Man hat die Möglichkeit, das Eingangssignal vor der Abtastung mit einer von drei Fensterfunktionen zu gewichten, um den abrupten Anfang und das Ende der Meßwerte langsam ausklingen zu lassen. Es stehen drei verschieden Fensterfunktionen zur Verfügung. Mathematisch läßt sich die gewichtete Funktion als Produkt des Eingangssignals f und der Fensterfunktion g darstellen. Die Fouriertransformierte ergibt sich nach dem Faltungstheorem aus der Faltung der Transformierten von f und g. Rechteckfunktion. Die Funktion nimmt auf einem abgeschloßenen Intervall den Wert 1 an. Außerhalb ist sie 0. An den Grenzen des Intervalls ist die Funktion unstetig Die Fouriertransformierte diese Funktion ergibt eine sinc-funktion. Erwartungsgemäß wird auf jeden Peak des Eingangssignal also eine sinc-funktion gefaltet.

4 3 SIMULATION IDEALER MESSWERTE 4 Dreieckfunktion. Die Funktion fällt vom Hochpunkt aus nach beiden Seiten linear ab und ist stetig, jedoch nicht differenzierbar. Die Fouriertransformierte ist etwas breiter als die Rechteckfunktion. Dafür gibt es weniger Nebenmaxima. Hanningfunktion. Die Funktion läßt den Wert am Hochpunkt über eine Cosinusfunktion auf 0 absinken. Dabei ist sie überall stetig differenzierbar. Die Fouriertransformierte ist noch breiter als die Dreieckfunktion, bildet jedoch fast keine Nebenmaxima. Wir beobachten die Auswirkung der drei Fensterfunktionen anhand einer Sinusschwingung mit 4 Abtastungen pro Periode. Die Ausdrucke sind in Abbildung 5, 6 und 7 zu sehen. 3.5 Simulation realer Abtastung Für die folgenden Abschnitte verwenden wir einen anderen Teil der Software, der für die simulation von weißen Rauschen, Digitalisierungsrauschen und realer Abtastungen vorgesehen ist. Um die Auswirkungen einzeln beobachten zu können,regeln wir je 2 der 3 Fehlerquellen über die Parameter nach unten und beobachten die Summe von der Sinusschwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen. Die bisher gemachte Annahme von Spannungen, die nadelförmig aus dem zu analysierenden Signal abgenommen werden, ist nicht realistisch. Das liegt vor allem daran, daß der AC-Konverter eine endliche Zeit benötigt, um eine angelegte Spannung zu digitalisieren. Man unterscheidet verschiedene Verfahren, die zur Spannungsbestimmung führen. Die Grad der Verfälschung des Spektrums hängt wesentlich von der Digitalisierungszeit ab. : Maximalwertabtastung Hierbei wird der betragsmäßig größte Spannungswert eines Zeitfensters von einem Haltegliedgespeichert und zwar so lange, wie der ACD braucht, um den Wert zu digitalisieren. Auf diese Art handelt man sich unerwünschte Nebenfrequenzen ein. Mittelwertabtastung Bei dieser Art der Abtastung wird der Mittelwert eines Zeitfensters digitalisiert. Das führt zu einer Verbreiterung der einzelnen Peaks, jedoch zu keiner qualitativen Verfälschung. Die Ergebnisse der Simulation von Maximalwerterfassung und Mittelwerterfassung sind in Abbildung 8 und 9 zu sehen. Die Größe des Zeitfensters ist auf einen großen Wert eingestellt, um die Verfälschung gut beobachten zu können. Trotzdem unterscheidet sich die Mittelwertabtastung kaum von der idealen. 3.6 Rauschen Allen Arten von Elektronik, ist ein Untergrundrauschen gemein. Falls dieses keine bevorzugte Frequenzen, wie zum Beispiel ein 50Hz-Brummen, enthält, spricht man von einem weißen Rauschen. Die Fouriertransformierte eines solchen muß für große Frequenzen verschwinden, damit die Energien endlich bleiben. Wir beobachten im Bereich bis zur halben Abtastfrequenz ein weißes Rauschen. Der kleinste der drei Sinusschwingungen wird davon komplett überdeckt, wie in Abbildung 10 zu sehen ist. 3.7 Digitalisierungsrauschen Neben der Abtastfrequenz ist ein weiterer Faktor für die Qualität der Fouriertransformierten entscheidend. Nämlich die Anzahl der Bit-stellen mit denen die einzelnen Stützstellenspannungen vom AD-Converter digitalisert werden. Anders als beim weißen Elektronikrauschen ist der Fehler, den

5 4 NICHTLINEARE DYNAMIK 5 man bei geringen Bitzahlen macht farbig; man erhält fehlerhafte Amplituden bei einzelnen Frequenzen. Die Simulation einer Abtastung mit 4 Bit ist in Abbildung 11 zu sehen. Bei Einstellung auf 8 Bit, 12 Bit und höher sind kaum noch unterschiede festzustellen. 4 Nichtlineare Dynamik Als zweiter Teil in diesem Versuch, soll das Verhalten des sogenannten Toda-Oszillators beobachtet werden. Dieser ist durch die folgende Differentialgleichung charakterisiert. L d2 dt 2 Q + R d dt Q + U 0(e Q/C 0U 0 1) = Acos(ωt) Im Versuch wird ein modifizierter Schwingkreis beobachtet, dessen Kapazitätes Element durch eine Diode ersetzt wird. Es handelt sich also um eine Reihenschaltung von Spule, Widerstand und Diode, der über einen Funktionsgenerator eine Sinusschwingung aufgezwungen wird. Die Exponentielle Kennlinie der Diode führt dann auf ebendiese Differentialgleichung des Toda-Oszillators. Viele qualitative Eigenschaften lassen sich am einfacheren Beispiel der logistischen Gleichung beobachten, auf die im Folgenden eingegangen wird. 4.1 Die logistische Gleichung Die Iterationsvorschrift x 0 = a x n+1 = rx n (1 x n ) bezeichnet man als logistische Gleichung. Sie entstammt der Biologie und beschreibt in Näherung die Größe von bestimmten Populationen in einem Jahr n. Dabei sind die Werte für a und r vorzugeben, wobei das interessante Verhalten für Werte von r>1 beobachtet werden kann. Für kleine Werte in von x n wir der Wert von x n+1 durch den zweiten Faktor in der Rekursionsvorschrift bestimmt; x n+1 wird also größer werden. Für Werte in der und unterhalb von 1 dominiert der 3.Faktor; x n+1 wird kleiner. Das Wechselspiel dieser beiden Extreme führt dazu, daß die Werte von x n bei richtiger Initialisierung ohne Regelmäßigkeit schwanken. Eine graphische Darstellung bietet das sogenannte Feigenbaum-Diagramm. In ihm ist auf der X-Achse der Parameter r der logistischen Gleichung aufgetragen. Auf der y-achse kann man nun sehen, wir sich die Werte nach den ersten Hundert Iterationen verhalten. Für kleine Werte von r stabilieren sich die Werte von x n. Bei größerer werdenen r beobachtet man eine regelmäßiges Wechseln zwischen zwei Werten. Beide Werte sind auf der y-achse aufgetragen; der Graph teilt sich auf. Der Punkt oder Wert von r an dem dies geschieht nennt man Bifurkationspunkt. Dieses Verhalten wiederholt sich in immer kleiner werdenen Abständen, so daß man nach und nach zu 4, 8, 16 usw. stabilen Punkten gelangt. Ab einem bestimmten Punkt geht diese Struktur verloren und die Werte schwanken unvorhersagbar. Es gibt zwei Konstanten, die für eine große Zahl von Differentialgleichung gelten: Die Abstände der Bifurkationspunkte a n lassen sich darstellen als: a n+1 a n = const δ n Der Wert von δ liegt bei 4, Die Konstante hängt von der betrachteten Differentialgleichung ab. Die Abstände der Punktpaare in Bidurkationsgablen, von denen der eine Wert genau auf 1/2 liegt, haben ein konstantes Verhältnis: α hat einen Wert von 2, d n d n+1 = α

6 4 NICHTLINEARE DYNAMIK 6 Abbildung 1: Aus dem Feigenbaumdiagramm lassen sich die Bifurkationspunkte ablesen.

7 4 NICHTLINEARE DYNAMIK Der Toda-Oszillator Der Toda-Oszillator wird nun bei Auftragung der internen Schwingungen gegen die Amplitude der erzwungenen Schwingung ein änhliches Verhalten zeigen, wie die logistische Gleichung. Das heißt, daß bei niedriger Amplitude zunächst nur eine einzige Schwinung ausgeführt wird. Bei Erhöhung der Amplitude kommt es zur Bifurkation uns somit zur Verdopplung der Anzahl der Schwingungen. Bei Auftragung der Stromstärke gegen Spannung des Schwingkreises auf einem Oszilloskop beobachtet man zunächst einen Kreis, der mit dem Hochdrehen der Amplitude in eine Spirale aus zwei Kreisesn übergeht. Leider war der AD-Wandler zum Zeitpunnkt der Versuchsdurchführung nicht einsetzbar. Deshalb können wir nur die Daten der Softwaresimulation Fouriertransformieren. Die Parameter der einzelnen Bauteile sind bei dieser Simulation fest vorgegeben. Lediglich die Anregungsamplitude läßt sich einstellen. Bei einem Wert von 1,513 V beobachten wir die erste Bifurkation; neben dem schon vorher vorhandenen Peak bei der Anregungsfrequenz taucht ein weiterer mit geringerer Frequenz im Spektrum auf. Das ist in Abbildung 13 zu sehen. Bei einer Amplitude von 1,8 V haben beide Frequenzen etwa diesselbe Amplitude (Abbildung 12). Bei einer Amplitude von 2,1 V beobachten wir Chaos; neben einem deutlich hervortretenen Peak bei der Anregungsfrequenz sind in einem breiten Band weitere Frequenzen vertreten ( Abbildung 14). Die Feigenbaumkonstanten α und δ lassen sich mit dieser Simulation nicht bestimmen.