Analytische Geometrie

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1 Analytische Geometrie Gerade, Dreieck F1 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 Funktion y Steigung = mx + b Gerade m = y 2 y 1 = tan α 1) x 2 x 1 Achsenform für a 0; b 0 x a + y b 1=0 Steigung m l des Lotes AB m l = 1 m 2-Punkte-Form aus 2 Punkten P 1 (x 1, y 1 ) und P 2 (x 2, y 2 ) y y 1 = y 2 y 1 x x 1 x 2 x 1 Punktrichtungs-Form aus Punkt P 1 (x 1, y 1 ) und Steigung m y y 1 = m(x x 1 ) Entfernung zweier Punkte d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 1) Mittelpunkt einer Strecke x m = x 1 + x 2 ; y m = y 1 + y Schnittpunkt zweier Geraden (siehe Abb. Dreieck) x 3 = b 2 b 1 ; y m 1 3 = m 1 x 3 + b 1 = m 2 x 3 + b 2 m 2 Schnittwinkel ϕ zweier Geraden tan ϕ = m 2 m 1 1) (siehe Abb. Dreieck) 1+m 2 m 1 Schwerpunkt S x S = x 1 + x 2 + x 3 3 y S = y 1 + y 2 + y 3 3 Flächeninhalt Dreieck A = (x 1y 2 x 2 y 1 )+(x 2 y 3 x 3 y 2 )+(x 3 y 1 x 1 y 3 ) 2 1) Voraussetzung: x und y von gleicher Dimension und maßstabsgleich dargestellt (siehe auch h1).

2 Analytische Geometrie Kreis, Parabel F2 Kreis Kreis-Gleichung Mittelpunkt im Ursprung in anderen Lagen f14 x 2 + y 2 = r 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 f15 f16 f17 Grund-Gleichung x 2 + y 2 + ax + by+ c=0 Radius des Kreises r= x0 2 + y2 0 c Koordinaten des Mittelpunktes M x 0 = a 2 ; y 0= b 2 f18 Tangente T durch P 1 (x 1, y 1 ) y= r2 (x x 0 )(x 1 x 0 ) y 1 y 0 + y 0 Parabel Parabel-Gleichung (Umformung in diese Gleichungsform ermöglicht Entnahme von Scheitellage und Parameter p) Scheitel Parabelim Ursprung in anderen Lagen Öffnung f19 x 2 = 2py (x x 0 ) 2 = 2p(y y 0 ) oben f20 x 2 = 2py (x x 0 ) 2 = 2p(y y 0 ) unten f21 f22 f23 f24 Grund-Gleichung y= ax 2 + bx + c Scheitelradius r=p Grundeigenschaft PF= PQ Tangente T durch P 1 (x 1 ; y 1 ) y= 2(y 1 y 0 )(x x 1 ) x 1 x 0 + y 1 F: Brennpunkt L: Leitlinie S: Scheitel- Tangente

3 Analytische Geometrie Hyperbel F3 Hyperbel Hyperbel-Gleichung Asymptotenschnittpunkt im Ursprung in anderen Lagen x 2 f25 a 2 y2 b 2 1=0 (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 1=0 f26 f27 f28 f29 f30 f31 Grund-Gleichung Ax 2 + By 2 + Cx+ Dy+ E= 0 Grund-Eigenschaft F 2 P F 1 P=2a Brennpunkt-Abstand e= a 2 + b 2 1) Steigung der Asymptoten tan α = m=± b a Scheitel-Radius Tangente T durch P 1 (x 1, y 1 ) 1) p= b2 a y= b2 a 2 (x 1 x 0 )(x x 1 ) y 1 y 0 +y 1 Gleichseitige Hyperbel Erklärung: Bei gleichseitiger Hyperbel ist a=b, daher Steigung der Asymptoten tan α 1) = m=±1 (α = 45 ) Gleichung (Wenn Asymptoten parallel zu x- und y-achse) Asymptotenschnittpunkt im Ursprung in anderen Lagen f32 x y= c 2 (x x 0 )(y y 0 )=c 2 f33 Scheitel-Radius p=a (Parameter) 1) Voraussetzungen entsprechend Fußnote auf F1

4 Analytische Geometrie Ellipse, Exponentialfunktion F4 Ellipse Ellipsen-Gleichung Achsenschnittpunkt im Ursprung in anderen Lagen x 2 f34 a 2 + y2 b 2 1=0 (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 1=0 f35 f36 f37 f38 Scheitel-Radien r N = b2 a ; r H= a2 b Brennpunkt-Abstand e= a 2 b 2 Grund-Eigenschaft F 1 P+F 2 P=2a Tangente T durch P 1 (x 1 ; y 1 ) y= b 2 a 2 (x 1 x 0 )(x x 1 ) + y 1 y 1 y 0 Anmerkung: F 1 und F 2 sind Brennpunkte. f39 Grund-Gleichung y= a x Exponential-Funktion Hierbei ist a eine positive Konstante 1 und x eine Zahl. Anmerkung: Sämtliche Exponentialkurven gehen durch den Punkt x= 0; y= 1. Diejenige dieser Kurven, welche in diesem Punkt die Steigung 45 (tan α 1) = 1) hat, gibt abgeleitet dieselbe Kurve. Die Konstante a wird in diesem Falle e (Euler sche Zahl) genannt und ist die Basis der natürlichen Logarithmen. e=2, ) Voraussetzungen entsprechend Fußnote auf F1

5 Hydraulik Allgemeine Begriffe Hydrostatik N1 Allgemeines Die Hydraulik behandelt das Verhalten tropfbarer Stoffe, also Flüssigkeiten. Flüssigkeiten sind näherungsweise als inkompressibel zu betrachten, d. h. ihre Dichten ändern sich infolge einer Druckänderung nur vernachlässigbar wenig. Druck p siehe O1 Größen Dichte siehe O1 (Werte siehe Z5) n1 n2 n3 Dynamische Viskosität η BE: Pa s= kg m s = N s = (10 P) m2 Die dynamische Viskosität ist ein Stoffwert, wofür gilt: η = f(p, t) Oft kann die Druckabhängigkeit vernachlässigt werden, dann gilt Kinematische Viskosität ν η = f(t) (Werte siehe Z14) BE: m2 s = (104 St)=(10 6 cst) Die kinematische Viskosität ist das Verhältnis der dynamischen Viskosität η zur Dichte : ν = η Druckverteilung in einer Flüssigkeit Hydrostatik n4 n5 p 1 = p 0 + g h 1 p 2 = p 1 + g (h 2 h 1 ) = p 1 + g h Fortsetzung siehe N2

6 Hydraulik Hydrostatik N2 Flüssigkeitsdruckkraft auf ebene Flächen Unter der Flüssigkeitsdruckkraft F wird die Kraft verstanden, die allein die Flüssigkeit also ohne Berücksichtigung des Druckes p 0 auf die Wand ausübt. n6 F= g y S A cos α = g h S A n7 y D = I x y S A = y S + I S y S A ; x D = I xy y S A m, mm Flüssigkeitsdruckkraft auf gekrümmte Flächen Die Flüssigkeitsdruckkraft auf die gekrümmte Fläche 1, 2 wird in horizontale Komponente F H und vertikale Komponente F V zerlegt. n8 F V ist gleich der Gewichtskraft der über der Fläche 1, 2 befindlichen (a) oder befindlich zu denkenden (b) Flüssigkeit mit dem Volumen V. Die Wirkungslinie verläuft durch den Volumenschwerpunkt. F V = g V N, kn F H ist gleich der Flüssigkeitsdruckkraft auf die Projektion der betrachteten Fläche 1, 2 auf die zu F H senkrechte Ebene. Berechnung erfolgt nach n6 und n7. S Schwerpunkt der Fläche A D Druckmittelpunkt=Angriffspunkt der Kraft F I x Trägheitsmoment der Fläche A in Bezug auf Achse x I S Trägheitsmoment der Fläche A in Bezug auf eine durch den Schwerpunkt parallel zur x-achse verlaufende Achse (siehe I17 und P10) I xy Zentrifugalmoment der Fläche A bezogen auf die x-achse und y-achse (siehe I17)

7 Hydraulik Hydrostatik N3 n9 n10 n11 n12 n13 Auftrieb Die Auftriebskraft F A ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeiten mit den Dichten und. F A = g V + g V N, kn Handelt es sich bei dem Fluid mit der Dichte um ein Gas, dann gilt: F A g V N, kn Mit k Dichte des Körpers gilt: } > k der Körper schwimmt in der schwereren = k " " schwebt Flüssigkeit. < k " " sinkt Bestimmung der Dichte für feste und flüssige Körper Fester Körper mit größerer kleinerer Dichte als die benutzte Flüssigkeit Bei Flüssigkeiten zuerst F 1 und m eines beliebigen Körpers in einer Flüssigkeit mit bekannter Dichte b bestimmen, dann ist: n14 n15 n16 = F 1 1 F mg = F 1 1+ F H F mg = b 1 F mg 1 F 1 mg m F F H F Masse des in der Flüssigkeit schwebenden Körpers aufzubringende Gleichgewichtskraft im Vorversuch aufzubringende Gleichgewichtskraft, und zwar nur für den Hilfskörper Dichte der Flüssigkeit, in der die Wägung erfolgt

8 Regelungstechnik Größen und Funktionen T8 Größen und Funktionen zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Regelkreisen t9 Kreisübertragungsfunktion G 0 Die Kreisübertragungsfunktion G 0 ist das Produkt der Übertragungsfunktionen aller in Reihenschaltung liegenden Glieder eines Regelkreises oder einer Schleife. Beispiel: t10 Kreisverstärkung K o Die Kreisverstärkung K o ist der Wert der Kreisübertragungsfunktion G 0 im Wert null der Laplace-Variablen s. Dieser Begriff ist nur auf Regelkreise und Schleifen ohne I-Verhalten anwendbar. Je größer die Kreisverstärkung, um so genauer ist die Regelung. Regelfaktor R Der Regelfaktor R ist der Kehrwert der um eins vergrößerten Kreisverstärkung K o. Durchtrittskreisfrequenz ω c Die Durchtrittsfrequenz ω c ist diejenige Kreisfrequenz, bei der der Betragsgang (Amplitudengang) des aufgeschnittenen Regelkreises den Wert Eins annimmt. R=1/(1+K o ) Phasenschnittkreisfrequenz ω π Die Phasenschnittkreisfrequenz ω π ist diejenige Kreisfrequenz, bei der der Phasengang des aufgeschnittenen Regelkreises den Wert 180 annimmt. Bild 5 Phasenreserve ϕ m Die Phasenreserve ϕ m ist die Differenz des Phasengangs des aufgeschnittenen Regelkreises zu 180 bei der Durchtrittskreisfrequenz ω c. Die im Regelkreis erforderliche Vorzeichenumkehr bleibt unberücksichtigt.

9 T9 Regelungstechnik Größen und Funktionen Betragsreserve G m Die Betragsreserve G m ist der reziproke Wert des Betragsgangs (Amplitudengangs) des aufgeschnittenen Regelkreises bei der Phasenschnittkreisfrequenz ω π. Anregelzeit T cr Die Anregelzeit T cr ist die Zeitspanne, die beginnt, wenn der Wert der Regelgröße x nach einem Sprung der Führungsgröße w oder einer Störgröße z einen vorgegebenen Toleranzbereich der Regelgröße verlässt, und die endet, wenn er in diesen Bereich erstmals wieder eintritt (siehe Bilder 6 + 7). Bild 6 Zeitliche Änderung der Regelgröße nach einem Sprung der Führungsgröße w Beim Sprung der Führungsgröße verlagert sich der Toleranzbereich der Regelgröße sprungartig. Überschwingweite x m der Regelgröße Die Überschwingweite x m der Regelgröße x ist die größte vorübergehende Sollwertabweichung während des Übergangs von einem Beharrungszustand in einen neuen nach einer sprungförmigen Änderung der Führungsgröße w oder einer Störgröße z (siehe Bild 7). Bild 7 Zeitliche Änderung der Regelgröße nach einem Sprung der Störgröße z Ausregelzeit T cs Die Ausregelzeit T cs ist die Zeitspanne, die beginnt, wenn der Wert der Regelgröße x nach einem Sprung der Führungsgröße w oder einer Störgröße z einen vorgegebenen Toleranzbereich der Regelgröße verlässt, und die endet, wenn er in diesen Bereich zum dauernden Verbleib wieder eintritt (siehe Bilder 6 + 7).

10 Regelungstechnik Regeln T10 Regeln zur Ermittlung der Übertragungsfunktion für den gesamten Regelkreis Die Gesamtübertragungsfunktion wird aus den Übertragungsfunktionen der einzelnen Übertragungsglieder gebildet. t11 Serienschaltung G=G 1 G 2 Parallelschaltung t12 G=G 1 + G 2 t13 Rückführungsregel G 1 G= 1+G 1 G 2 Bemerkungen zur Rückführungsregel: Im Nenner von G steht das dem Vorzeichen an der Additionsstelle im Wirkungsplan entgegengesetzte Vorzeichen. Bei + -Vorzeichen der Rückführung an der Additionsstelle spricht man von Mitkopplung. Bei -Vorzeichen der Rückführung an der Additionsstelle spricht man von Gegenkopplung. Enthalten G 1 und/oder G 2 auch Vorzeichenumkehrungen, liegt eine Gegenkopplung (Mitkopplung) vor, wenn die Anzahl der Vorzeichenumkehrungen in der gesamten Schleife ungerade (gerade) ist. Sonderfall: G 2 = 1 (direkte Rückführung). t14 G= G 1 1+G 1

11 Regelungstechnik Regeln T11 t15 t16 Erweiterte Rückführungsregel Liegen zwischen den Verzweigungsstellen eines Wirkungsplans keine Additionsstellen, so lässt sich die Übertragungsfunktion G ges für das gesamte System mit folgender Formel sehr einfach bestimmen: G ges = v(s) u(s) = G Vges n mit G Vges = 1+ G 0i i=1 m G Vk k=1 G 0i bedeutet dabei die Kreisübertragungsfunktion der einzelnen Regelkreise oder Schleifen im vorliegenden Wirkungsplan; dabei gehen G 0i von Mitkopplungsschleifen mit negativem Vorzeichen in die Summe im Nenner von G ges ein. m G Vges = G Vk k=1 ist das Produkt aller Übertragungsfunktionen der Übertragungsglieder, die im Vorwärtsweg liegen. Überschneidungen von Wirkungslinien sind für die Anwendung der erweiterten Rückführungsregel unschädlich. Beispiel: t17 G ges = v(s) u(s) = G V1 G V2 G V3 1+G V2 G R1 + G V1 G V2 G V3 G R2 Bestimmung der Übertragungsfunktion nach der Rückbenennungs- Methode Bei dieser wird beginnend mit v(s) am Ausgang der Wirkungsplan in Richtung Eingangsgröße bzw. zur Bezugs-Additionsstelle A durchlaufen und die Laplace-Transformierte der jeweiligen Zeitfunktion vor und hinter den einzelnen Übertragungsgliedern ermittelt und markiert eingetragen. An der Bezugs-Additionsstelle A kann dann aus den dort bekannten Laplace-Transformierten G ges berechnet werden.