SLDNF Resolution. Soundness. Steffen Staab ISWeb Vorlesung Datenbanken II

Transkript

1 SLDNF Resolution Soundness

2 Abgeleitetes Normal Goal Sei G= L 1,,L n und C=A M 1,,M q. Dann ist G abgeleitet von G und C mittels des MGU θ, wenn die folgenden Bedingungen gelten: a. L m ist ein Atom, das selektierte Atom in G b. θ ist ein MGU von L M und A. c. G ist ein Normal Goal (L 1,,L m-1, M 1,,M q,l m+1,,l n )θ

3 SLDNF-Widerlegung vs Endlich fehlgeschlagener SLDNF-Baum Rang k+1 SLDNF-Widerlegung Rang k SLDNF-Widerlegung Rang 0 Endlich fehlgeschlagener SLDNF-Baum Rang k Endlich fehlgeschlagener SLDNF-Baum Rang 0

4 SLDNF-Widerlegung von Rang 0 Sei P ein Normal Program und G ein Normal Goal. Eine SLDNF-Widerlegung von Rang 0 von P {G} besteht aus der Folge G=G 0, G 1,,G n = von Normal Goals, einer Folge C 1,,C n von Varianten von Programmklauseln von P und einer Sequenz θ 1,, θ n solcher MGUs, dass jedes G i+1 abgeleitet ist aus G i und C i+1 unter Verwendung von θ i+1.

5 Endlich fehlgeschlagener SLDNF- Baum von Rang 0 Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. Ein endlich fehlgeschlagener SLDNF-Baum von Rang 0 für P {G} ist ein Baum, der folgende Bedingungen erfüllt: a. Der Baum ist endlich und jeder Knoten ist ein nicht-leeres Normal Goal. b. Der Wurzelknoten ist G. c. Nur positive Literale werden in jedem Knoten selektiert. d. Sei L 1,,L m,,l p ein Nicht-Blattknoten im Baum und angenommen, dass L m das selektierte Atom wäre. Dann hat dieser Knoten für jede (Variante einer) Programmklausel A M 1,,M q, für die mgu(a,l m )=θ, einen Tochterknoten (L 1,,L m- 1, M 1,,M q,l m+1,,l n )θ e. Sei L 1,,L m,,l p ein Blattknoten und sei L m ein Atom und sei L m selektiert. Dann gibt es keine Programmklausel(variante) in P, deren Kopf mit L m unifizierbar ist.

6 SLDNF-Widerlegung von Rang k+1 Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. Eine SLDNF-Widerlegung von Rang k+1 von P {G} besteht aus einer Folge G=G 0, G 1,,G n = von Normal Goals, einer Folge C 1,,C n von Varianten von Programmklauseln von P oder grundinstantiierten negativen Literalen, und einer Folge θ 1,, θ n von solchen Substitutionen, dass für jedes i entweder 1. G i+1 abgeleitet ist aus G i und C i+1 unter Verwendung von θ i+1 oder 2. G i ist L 1,,L m,,l p, das selektierte Literal Lm in G i ist ein grundinstantiiertes Literal ~A m und es gibt einen endlich fehlgeschlagenen SLDNF-Baum von Rang k für P { A m }. In diesem Fall gilt, dass G i+1 ist L 1,, L m-1, L m+1,, L p, θ i+1 ist die Identitätssubstitution und C i+1 ist ~A m.

7 Endlich fehlgeschlagener SLDNF- Bau von Rang k+1 Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. Ein endlich fehlgeschlagener SLDNF-Baum von Rang k+1 für P {G} ist ein Baum, der folgenden Bedingungen genügt: a. Der Baum ist endlich und jeder Knoten des Baums ist ein nicht-leeres Normal Goal. b. Der Wurzelknoten ist G. c. Sei L 1,,L m,,l p ein Nicht-Blattknoten im Baum und angenommen, dass L m das selektierte Literal wäre. Dann gilt entweder i. L m ist ein Atom und, für jede (Variante einer) Programmklausel A M 1,,M q, und ii. mgu(a,l m )=θ, existiert ein Tochterknoten (L 1,,L m-1, M 1,,M q,l m+1,,l n )θ oder L m ist eine grundinstantiiertes negatives Literal ~A m und es gibt einen endlich fehlgeschlagenen SLDNF-Baum von Rang k für P { A m } und nur einen einzigen Tochterknoten L 1,, L m-1, L m+1,, L p, d. Sei L 1,,L m,,l p ein Blattknoten im Baum und angenommen, dass L m das selektierte Atom wäre. Dann gilt entweder i. L m ist ein Atom und es gibt keine (Variante einer) Programmklausel in P, deren Kopf mit L m unifizierbar ist, oder ii. L m ist ein grundinstantiiertes negatives Literal ~A m und es gibt eine SLDNF-Widerlegung von Rang k von P { A m }.

8 ω Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. Eine SLDNF-Widerlegung von P {G} ist eine SLDNF- Widerlegung von Rang k von P {G} für ein k. Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. Ein endlich fehlgeschlagener SLDNF-Baum von P {G} ist ein endlich fehlgeschlagener SLDNF-Baum von Rang k von P {G} für ein k.

9 Berechnete Antwort Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. Eine berechnete Antwort θ für P {G} ist die Substitution, die man dadurch erhält, dass man die Komposition θ 1,,θ n auf die Variablen von G beschränkt, wobei θ 1,,θ n die Folge der Substitutionen darstellt, die in der SLDNF- Widerlegung von P {G} verwendet wurden.

10 Prozedurale Anwendung der SLDNF-Widerlegung 1. Gegeben Ziel G als L 1,,L n 2. Selektiere Literal L i gemäß Berechnungsregel 3. Wenn Literal L i a. positiv, dann verwende SLD-Ableitung(en), um neues Ziel G abzuleiten (falls kein Regelkopf unifizierbar, schlägt dieser Ast fehl) b. sonst (d.h. Literal ist L i =~A negativ und grundinstantiiert): starte neuen Prozess, um P { A} zu widerlegen. i. Falls die SLDNF-Widerlegung von P { A} ii. endlich scheitert, wird L i =~A wahr; G ist L 1,, L i-1, L i+1,, L n Falls die SLDNF-Widerlegung von P { A} gelingt, schlägt L i =~A fehl; dieser Ast des SLDNF-Baums schlägt fehl 4. Falls a. alle Äste des gesamten Baumes fehlgeschlagen, dann exit(failure) b. G gleich dann exit(success) c. G:=G ; goto 2

11 Vorgehensweise Normal Programs Definite Programme SLDNF-Ableitung SLD-Ableitung SLDNF-Widerlegung SLD-Widerlegung SLDNF-Baum SLD-Baum

12 Ins Schwimmen geraten Sei P ein Normal Program und G ein Normal Goal. Wir sagen, dass eine Berechnung von P {G} ins Schwimmen gerät, wenn an einem Punkt in der Berechnung ein Ziel erreicht wird, das nur nicht-grundinstantiierte Negative Ziele enthält. Beispiel: kennt(meier,db2). G0: dumm(mueller). student(meier). G1: ~kennt(mueller,y). student(mueller). dumm(x) ~kennt(x,y). Ziel: dumm(mueller).

13 Zulässig & erlaubt Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. Eine Programmklausel A L 1,,L p ist zulässig, wenn jede Variable, die in der Klausel auftritt, entweder im Kopf A oder in einem positiven Literal des Rumpfes L 1,,L p auftritt. Eine Programmklausel A L 1,,L p ist erlaubt, wenn jede Variable, die in der Klausel auftritt, in einem positiven Literal des Rumpfes auftritt. Ein Ziel G gleich L 1,,L p ist erlaubt, wenn jede Variable, die in G auftritt, in einem positiven Literal von L 1,,L p auftritt.

14 Beispiel: Zulässige und erlaubte Klauseln und Ziele kennt(meier,db2). student(meier). student(mueller). student(moers) eingeschriebenin(moers,x). student(x). kennt(x,y) ~verpasst(x,y). verpasst(x,y) ~besucht(x,y). dumm(x) ~kennt(x,y). Ziele: dumm(mueller). kennt(x,y) ~verpasst(x,y). student(x) ~eingeschriebenin(x,y)

15 P {G} ist erlaubt Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. P {G} ist erlaubt, wenn die folgenden Bedingungen zutreffen: a. Jede Klausel in P ist zulässig. b. Jede Klausel, die in der Definition eines Prädikatssymbols auftritt, das in einem positiven Literal von G oder in einem positiven Literal im Rumpf einer Klausel von P auftritt, ist erlaubt. c. G ist erlaubt. Beobachtungen Einheitsklauseln sind grundinstantiiert. Jede erlaubte Klausel ist zulässig.

16 Beispiel: Erlaubtes Normal Program kennt(meier,db2). student(meier). student(mueller). student(moers) eingeschriebenin(moers,x). student(x). kennt(x,y) ~verpasst(x,y). verpasst(x,y) ~besucht(x,y). dumm(x) ~kennt(x,y). Ziele: dumm(mueller). kennt(x,y) ~verpasst(x,y). student(x) ~eingeschriebenin(x,y)

17 Sei P ein Normal Programm und G ein Normal Goal. Angenommen P {G} ist erlaubt. Dann gilt: a. Keine Berechnung von P {G} gerät ins Schwimmen b. Jede berechnete Antwort für P {G} ist eine Grundsubstitution für alle Variablen in G.

18 Korrektheit Theorem: Sei P ein Normal Program und G ein Normal Goal. Wenn P {G} einen endlich fehlgeschlagenen SLDNF-Baum hat, dann ist G eine logische Folgerung von comp(g). Theorem: Sei P ein Normal Program und G ein Normal Goal. Dann ist jede berechnete Antwort für P {G} eine korrekte Antwort für comp(p) {G}.