Computer Graphik I Polygon Scan Conversion

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1 omputer raphik I Polygon Scan onversion lausthal Klassifikation der Polygone Konvex Für jedes Punktepaar in einem konvexen Polygon liegt die Verbindung auch innerhalb des Polygons. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Horizontal Konvex Selbe Definition, gilt hier aber nur für Punkte auf der selben horizontalen Linie Konkav. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Dreiecke Dreiecke sind besondere Polygone D Dreiecke sind immer eben Punkte beschreiben eine Ebene Mit weniger als Punkten kann man keine Fläche beschreiben Dreieck = D Simplex ("einfachstes" geom. Objekt, das echt -dim. ist) Somit sind Dreiecke sehr einfach (sowohl mathematisch wie auch geometrisch) Dreiecke sind immer konvex egal wie man ein Dreieck dreht, es gibt nur ein Schnittintervall (= Span) für jede erade (Scanline) Jedes beliebige Polygon kann in eine Menge von Dreiecken zerlegt werden ("Triangulierung") Konvex Konkav. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone

2 Rasterisieren von Dreiecken Der Algorithmus zum Rasterisieren erzielt aus den Eigenschaften von Dreiecken Vorteile Deswegen ist die raphik-hardware optimiert für Dreiecke unterteilen viele raphikkarten Polygone in Dreiecke Einige Systeme rendern eine Linie, indem sie schmale Dreiecke rendern Eingabe: Drei D Punkte (Eckpunkte im Framebuffer / "Pixel-Raum"): (x 0, y 0 ); (x, y ); (x, y ) Mit Parameter q für jeden Eckpunkt, z.b. Farbe Ausgabe: anzzahlige Pixel-Koordinaten (x, y) Interpolierte Parameterwerte q xy. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Erinnerung Alternative Betrachtungsweise Baryzentrische Koordinaten In der Ebene ist ein Dreieck die Schnittmenge von Halbebenen Test ob im Dreieck liegt:. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone

3 Algorithmus von Pineda [9] Optimierung Idee: Berechne baryzentrische Koordinate für alle Pixel(-mittelpunkte) Beobachtung: Ebene, m.a.w., ist eine lineare (eigtl. affine) Funktion in der hat die Form Zeichne Pixel, falls innerhalb des Dreiecks Setze interpolierte Farbe für Pixel Algo: Berechne Bounding-Box aus A, B, Dito für Lineare Funktionen können sehr effizient inkrementell auf einem itter ausgewertet werden: for y = y min... y max : for x = x min... x max : berechne α, β, γ if α > 0 and β > 0 and γ > 0: c = αc A + βc B + γc zeichne Pixel (x,y) mit Farbe c. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 9. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 0 lineval(xl, xh, yl, yh, cx, cy, ck): # setup compute a, b, c... qrow = a*xl + b*yl + c # traversal for y = y min... y max : qpix = qrow for x = x min... x max : draw(x, y, qpix) qpix += a qrow += b Problem: wenn das Dreieck lang und schmal ist, dann werden viele unnötige Berechnungen durchgeführt Erinnerung: Dreieck ist konvex Folge: wenn man in der x Schleife einmal ein Pixel außerhalb erreicht, dann sind alle folgenden in dieser Scanline auch außerhalb a =.00; b =.00 c = 0 (Bildgröße 00x00) Weiterer Vorteil des Algorithmus von Pineda: lässt sich relativ leicht parallelisieren. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone

4 Kurzer Exkurs: Die Pixel-Planes-Architektur Eine eschichte mit "sad end" Die Idee: Die Berechnung pro Pixel ist extrem einfach, nämlich Auswertung einer linearen Funktion Ax + By + Also: baue Framebuffer, in dem jedes Pixel ein einfacher Prozessor ist, der solch eine leichung für "seine" Koordinaten auswerten kann! ("processor per pixel") Betrachte die Kanten der Reihe nach Lade alle Prozessoren gleichzeitig mit den Koeff. A,B, der aktuellen Kante + + _ Alle Prozessoren an Lade Kante Lade Kante Lade Kante + _ Features: Full-size ( by pixel) prototype Used 0 enhanced memory Is eometry Processor bits per pixel Performance: K triangles/sec Kugeln als Primitive S Schatten "Lessons Learned": Dreiecke sind klein, daher viele Proc idle Für noch mehr Performance braucht man auch auf dem eometrie-level Parallelisierung Pixel-Planes (9). Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Vorsicht bei angrenzenden Polygonen Behandle angrenzende Polygone korrekt! Vermeide Risse Vermeide Überschneidungen Unabhängig von der Zeichenreihenfolge Pixel vollständig im Polygon wird gezeichnet Pixel zum Teil im Polygon? Vereinbarung (für den Moment): zeichne nur die Pixel, deren Zentren im Inneren des Polygons liegen Problem: Zentrum des Pixels liegt genau auf der Ecke des Polygons Nicht zeichnen Loch Zeichnen wird möglicherweise x gezeichnet (ergibt sog. "z flickering" u.a. Artefakte ) außen Polygonkante innen Nein??? Ja. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone

5 Weiteres Problem Problem beim x Zeichnen: Das zuletzt gezeichnete Polygon "gewinnt" Sogenannte "Slivers": Mögliche Lösung (gibt noch andere): Rot zuletzt rün zuletzt Ein Begrenzungspixel (dessen Zentrum genau auf der Kante liegt) gehört nicht zu einem Primitiv, wenn das Primitiv links bzw. unterhalb des durch die Kanten aufgespannte Halbraumes liegt (erkennt man an der Normale) Verfahre bei konvexen Polygonen genau wie bei Rechtecken Moving Slivers: Folgerungen für Rechtecke: Spans lassen das rechteste Pixel weg (falls direkt auf Kante) Bei jedem Polygon fehlt oberster Span (falls direkt auf Kante). Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Das allgemeine Konzept der Scan onversion Polygon Scan onversion egeben: beliebiges (einfaches) Polygon Annahme: gesamtes Polygon ist auf dem Bildschirm / Framebuffer Span: Folge benachbarter Pixel auf einer Scanline innerhalb des Polygons. Bestimme alle Punkte auf der Scanline, welche die Kante eines Polygons schneiden Hauptgedanke beim Rasterisieren:. Sortiere Schnittpunkte von links nach rechts Durchlaufe aufeinander folgende Scanlines Berechne pro Scanline alle Spans innerhalb des Polygons Allg. Algorithmentechnik: Scanlines. ruppiere Schnittpunkte in Spans und färbe die Pixel dazwischen Sweep-Line-Algorithmus Im Prinzip nutzt man dabei: - räumliche Kohärenz - Dimensionsreduktion Kante Span Schnittpunkte Restliche Punkte des Spans. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 9. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 0

6 Entscheidung "innerhalb" / "außerhalb" Übersicht des Algorithmus' Wie werten wir Eckpunkte genau auf der Scanline? M.a.W.: begrenzt solch ein Eckpunkt einen Span? Für jede Scanline: berechne Schnittpunkte zwischen Scanline und Kanten des Polygons Führe Scan-Verarbeitung einzeln für jede Scanline durch Kann durch Tabelle aller Kanten optimiert werden Scanline????? Für jede neue Scanline: schaue in der Tabelle nach, ob eine Kante geschnitten wird Haben wir einen Schnitt zwischen Scanline und Kante berechnet, so verwenden wir diese Information in der nächsten Iteration (inkrementell) Lösung: zähle einen Eckpunkt genau dann, wenn er das untere Ende der einen, und das obere Ende der anderen Kante ist Alternative: "wackle" am Eckpunkt ein wenig ("perturbation") Dann bekommt man im linken Beispiel oder 0 Schnittpunkte, im rechten genau Schnittpunkt. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Inkrementelle Schnittberechnung mit Scanline Die Active Edge Table Verwende Kantenkohärenz bei Aktualisierung der X-Schnittpunkte Verwende active edge table (AET) zur Verwaltung der Kohärenz Wir kennen Sei (x i,y i ) der Schnittpunkt mit der i-ten Scanline Somit AET enthält Eintrag pro Schnitt mit der aktuellen Scanline: y max -Wert der Kante x-wert des Schnittpunktes zwischen Kante und Scanline Schrittweite in x-richtung (= /m) Polygon Edges Für jede neue Scanline: Berechne neue Schnittpunkte für alle Kanten Schnittpunkte benötigt Füge jeden neuen Schnittpunkt zur AET hinzu Entferne Kanten, die nicht mehr geschnitten werden aktuelle Scanline y i + Schnittpunkte der vorhergehenden Scanline vorhergehende Scanline y i Um die AET effizient zu aktualisieren, muß man eine global edge table (ET) führen. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone

7 Die lobal Edge Table Beispiel einer lobal Edge Table ET hat "Slot" für jede Scanline (z.b. 0) Jeder dieser Slots enthält eine Liste von Kanten, deren y min -Wert gleich dem y-wert der Scanline dieses Slots sind Jede Kante des Polygons hat also in genau Slot der ET einen Eintrag Jeder Eintrag in der ET für eine Kante enthält: y max -Wert (= oberes Ende) der Kante -Wert (der X-Wert beim y min -Punkt) Schrittweite in X-Richtung (= /m) egeben folgendes Polygon: 0 E A D B 0 (A, B) = [(, ), (, )] (B, ) = [(, ), (, )] (, D) = [(, ), (, )] (D, E) = [(, ), (0, )] (E, A) = [(0, ), (, )] ET Entries (y max, /m) 0 ET -/ 0 ¾ (, D) (B, ) (D, E) (A, B) ¼ (E, A) -⅔. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Beispiel für die Aktualisierung der AET D D 0 E A B AET Scanline / -/ / / 0 E A B AET Scanline 0 / / / 0 0 (A, B) = [(, ), (, )] (B, ) = [(, ), (, )] (, D) = [(, ), (, )] (D, E) = [(, ), (0, )] (E, A) = [(0, ), (, )] y max -Wert der Kante (aus der ET) x-wert des aktuellen Schnittpunktes Schrittweite in x-richtung (= /m; aus der ET) (A, B) = [(, ), (, )] (B, ) = [(, ), (, )] (, D) = [(, ), (, )] (D, E) = [(, ), (0, )] (E, A) = [(0, ), (, )]. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone

8 Der Scan-Line Algorithmus für einfache Polygone 0 E A D B 0 (a, b) = [(, ), (, )] (b, c) = [(, ), (, )] (c, d) = [(, ), (, )] (d, e) = [(, ), (0, )] (e, a) = [(0, ), (, )] AET Scanline / /. Erstelle lobal Edge Table (ET) mit allen Kanten des Polygons. Y erhält den Wert der kleinsten y-koordinate aller Einträge in ET. Initialisiere eine leere Active Edge Table (AET). Wiederhole bis ET und AET leer sind:. Aufnehmen aller Kanten aus ET in AET, für die y min = Y. Entferne alle Kanten aus AET, für die y max = Y. Sortiere AET nach x (kann man einsparen). Färbe Pixel zwischen den Schnittpunktpaaren (= spans) aus AET. Für jede Kante aus AET, setze x = x + /m. Setze Y = Y + zur Aktivierung der nächsten Scanline. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 9. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 0 Zerlegung konkaver Polygone Lösung : Kreuzprodukt OpenL kann nur konvexe Polygone zeichnen! Definition "konvex": Berechne Innenwinkel 0 Alle Verbindungsstrecken zwischen Randpunkten bleiben innerhalb Teste Konvexe Hülle der Eckpunkte Schnitt von Halbebenen Ann. im Folgenden: keine kollinearen Punkte! Sonst: Spezialfall mit spezieller Behandlung (z.b. Punkt überspringen) Aufgabe im Folgenden: (theoretisch müßte sein, wenn.) Bei korrekten Kanten: zerlege Polygon entlang Kante Achtung kann mehrere Schnitte geben. Teste, ob Polygon konvex / konkav. Zerlege gegebenenfalls das Polygon. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone

9 Lösung : Rotationsmethode Füllen nicht-einfacher Polygone Transformiere Polygon in die XY-Ebene Def.: Polygon ist einfach Randkurve hat keinen Schnittpunkt Für jeden Eckpunkt V i : Beispiele: Transformiere/rotiere Polygon so, daß - V i im Ursprung - V i- auf der negativen X-Achse Teste: Y-Koordinate von V i+ > 0 Für konkave Ecken: schneide Polygon durch X-Achse in oder mehr(!) Teile Zerlege Teile rekursiv weiter einfach (& hor. konvex) einfach nicht einfach Eigenschaften: Topologisch äquivalent zu einer -dimensionalen Scheibe Folge: es gibt ein wohldefiniertes Inneres/Äußeres Wie kann man solche Polygone füllen? Verwende für jedes Pixel einen intuitiv korrekten Inside-/Outside-Test. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Test : Odd-Even Rule Wesentliche Frage: wie definiert man "innen" und "außen"? Zeichne Strahl von Punkt P nach unendlich in irgend eine Richtung Zähle Anzahl Schnittpunkte mit dem Kantenzug?? Falls Anzahl ungerade P innerhalb Achtung, falls Strahl Eckpunkt genau trifft!? Effiziente Schnittberechnung: wähle horizontalen Strahl P Vorteil: funktioniert genauso mit Polyedern im D (und höherdim.). Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 9

10 Test : Winding-Number Rule Vergleich Versehe Polygon mit konsistentem Umlaufsinn Schneide Strahl von P aus mit Kanten Setze Winding-Number w := 0 + Für Schnitt mit Kante von rechts - nach links erhöhe w; + sonst erniedrige w P Falls w 0 P innerhalb Anmerkung: damit definiert man gleichzeitig positiv bzw. negativ orientierte Regionen Odd-even Rule Non-zero Winding Number. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Füllen von Regionen Ähnliche Aufgabe zu Polygon-Scan- onversion Häufig in D-Zeichenprogrammen Erste Methode: wie Polygon-Scan- onversion Zweite Methode: Flood Fill: Wähle ein Pixel innerhalb des Polygons. Färbe rekursiv angrenzende Pixel bis das gesamte Polygon gefüllt ist Region ist identifiziert durch bestimmte Farbe (z.b. Weiß) Wähle ein Pixel innerhalb der Region Region ist definiert als zusammenhängendes ebiet mit alter Farbe Rekursion:. Hat Pixel die alte Farbe, dann weise diesem Pixel die Füllfarbe zu. Färbe rekursiv alle diejenigen Nachbarn, die noch die alte Farbe haben Alternative Begrenzung : Randkurve mit bestimmter Farbe Wahl der Nachbarn: -Verbindungen -Verbindungen Zu füllende Region. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 9. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone 0 0

11 Probleme Bereiche mit Mustern Z.B. bei -Verbindungen pro Punkt: Oft möchten wir einen Bereich mit einem Muster (z.b. gestrichelt) versehen, nicht nur eine Farbe (stippling) Definiere ein n x m Pixmap (oder Bitmap), welche wir auf den Bereich abbilden möchten: Startpunkt Komplett gefüllt Ein weiteres Problem: der Algorithmus hat große Rekursionstiefe Kann Stack aus Spans verwenden um Rekursiontiefe zu verringern Verkompliziert aber der innere "Logik" des Algo x pixmap Für jeden Punkt (x,y) : verwende die Farbe vom Muster an der Stelle (x mod m, y mod n) Fragen: soll das Muster relativ zum Polygon oder relativ zum Bildschirm stationär bleiben? Mit Muster zu versehendes Objekt emustertes Objekt. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone Textausgabe Rasterisiere jedes Zeichen in eine kleine Bitmap Kopiere diese in den Framebuffer Font: Sammlung vieler Zeichen mit bestimmten Textattributen Name (family): ourier, Helvetica, Times Roman Stil (weight): plain, bold, italic röße (point size): 0 pt, pt Hersteller (foundry): adobe, bitstream,... Slant, setwidth, spacing. Zachmann omputer-raphik - WS 0/0 Scan onversion: Polygone