Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum. Elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern bei tiefen Temperaturen

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1 Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum Elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern bei tiefen Temperaturen Gruppe 22 Tobias Großmann Marc Ganzhorn Durchführung:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Versuchsziel 3 2 Theoretische Grundlagen Elektrischer Widerstand von normalleitenden Metallen Leitfähigkeit von Halbleiter Intrinsische Halbleiter Extrinsische Halbleiter Supraleitung Allgemeines zur Supraleitung Supraleiter im Magnetfeld und Ginzburg-Landau Theorie Versuchsaufbau 8 4 Durchführung 9 5 Auswertung Widerstandsverlauf der Proben Bestimmung der Debye-Temperatur und Grüneisen-Borelius Gesetz Widerstandsauftragung in reduzierten Einheiten Qualitative Erklärung der Widerstandsbereiche von Metallen Nicht-linearer Bereich von Kupfer Bestimmung des spezifischen Widerstands und der mittleren freien Weglängen Sprungtemperatur und Kohärenzlänge von Niob Bestimmung der Aktivierungsenergie E A von Si:P

3 1 Versuchsziel Wie der Name der Versuchs bereits impliziert, werden die elektrischen Eigenschaften von Festkörpern bei tiefen Temperaturen untersucht. Insbesondere der Verlauf des elektrischen Widerstandes als Funktion der Temperatur kennzeichnet die verschiedenen Materialklassen Metall, Halbleiter und Isolator. Bei bestimmten Metallen erfolgt bei besonders niedrigen Temperaturen ein Phasenübergang zur Supraleitung. Dieser soll in diesem Versuch am Beispiel von Niob beobachtet werden. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Elektrischer Widerstand von normalleitenden Metallen In einem sehr einfachen klassischen Bild eines Metalles, werden Elektronen mit Masse m in einem elektrischen Feld beschleunigt und an den Gitteratomen gestreut. Dabei ergibt sich folgender Zusammenhang für die Leitfähigkeit σ: σ = ne2 τ m wobei n die Ladungsträgerkonzentration, e die Elementarladung und τ die mittlere Stoßzeit ist. Mit dieser Formel kann aber noch keine Temperaturabhängigkeit erklärt werden. Hierfür nimmt man an, dass die Elektronen an Phononen und an Störstellen im Gitter streuen. Für den spezifischen Widerstand ρ ergibt sich damit die Matthiesensche Regel: ρ = ρ ph (T ) + ρ St Die Streuung an den Störstellen ist temperaturunabhängig und sorgt für einen konstanten Restwiderstand R rest. Diese Beitrag ist vor allem bei tiefen Temperaturen (wenn die Phonenen ausgefroren sind) erkennbar. Die Streuung an den Phononen liefert folgende Temperaturabhängigkeiten: Für hohe Temperaturen (T > θ, wobei θ die Debyetemperatur bezeichnet) gilt: ρ P h T Für niedrige Temperaturen (T < θ) gilt: ρ P h T 5 Für den linearen Bereich des Wiederstandes gilt nach Grüneisen-Borelius folgender Zusammenhang: R T = 1, 17 R(θ) T 0, 17R(θ) θ Mit dieser Formel lässt sich die Debyetemperatur des Metalls bestimmen. Die Debyetemperatur bezeichnet diejenige Temperatur, ab der alle möglichen Zustände besetzt sind. 2.2 Leitfähigkeit von Halbleiter Die elektrische Leitfähigkeit eines Halbleiters unterscheidet sich stark von der eines Normalleiters. Halbleiter besitzen bei T = 0 nur vollständig gefüllte Valenzbänder und leere Leitungsbänder. 3

4 2.2.1 Intrinsische Halbleiter Damit ein Elektron zur Leitfähigkeit beiträgt muss es vom Valenzband ins Leitungsband über eine Energielücke E g angehoben werden. Aufgrund der thermischen Energie besteht immer eine endliche Wahrscheinlichkeit dafür dass das Elektron ins Leitungsband gelangt. Das Fehlen eines Elektrons im Valenzband kann als Loch betrachtet werden, welches auch zur Leitfähigkeit beiträgt. Für die Gesamtleitfähigkeit gilt damit: σ ges = n i e(µ e + µ h ) wobei µ die entsprechende Beweglichkeit für Löcher (h) bzw für Elektronen (e) darstellt. Sowohl n i als auch µ sind temperaturabhängig. Damit ergibt sich folgende Leitfähigkeit σ i für intrinsissche Halbleiter: Extrinsische Halbleiter ( σ i = C i exp E ) g 2kT Die andere Möglichkeit Elektronen im Leitungsband zu erzeugen ist die thermische Anregung von Störstellen, die durch Dotierung erzeugt werden. Bei der Dotierung handelt es sich um den gezielten Einbau von Fremdatomen, die entweder Elektronen abgeben (Donatoren) oder Elektronen aufnehmen (Akzeptoren). Halbleiter in denen eine Sorte Ladungsträger überwiegt (Majoritätsladungsträger) heißen extrinsisch. Aufgrund der komplizierten Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration ergibt sich wegen σ = neµ auch ein entsprechender Temperaturverlauf der Leitfähigkeit. Abbildung 1: Temperatuabhängige Ladungsträgerkonzentration bei extrinsischen Halbleitern 4

5 2.3 Supraleitung Allgemeines zur Supraleitung Die Supraleitung wurde 1911 von Kamerlingh Onnes an Quecksilber experimentell beobachtet. Der supraleitende Zustand stellt sich unterhalb einer kritischen Temperatur T c ein und ist dadurch gekenzeichnet dass der elektrische Widerstand der Substanz verschwindet. Diese kritischen Temperaturen liegen typischerweise für elementare Supraleiter im Bereich 0-10K. Mit Legierungen und speziellen Schichtsystemen lassen sich Sprungtemperaturen zwischen 30 und 150K erreichen. Die Theorie zu den beobachteten Phänomenen lieferten Bardeen, Cooper und Schrieffer in Jahre 1957 mit der BCS Theorie (nach den Autoren benannt). Diese liefert insbesondere eine mikroskopische Erklärung dafür, dass der Energieaustausch zwischen den Elektronen und dem Gitter verhindert wird. Die BCS Theorie setzt als grundlegend voraus, dass sich zwischen zwei Leitungselektronen in einem Festkörper eine anziehende Wechselwirkung bilden kann. Diese ist stets stärker als die abstoßende Coulombwechselwirkung. Diese anziehende Wechselwirkung wird durch den Austausch eines virtuellen Phonons beschrieben. Ein solches Elektronenpaar wird als Cooperpaar bezeichnet. Die genaue Betrachtung zeigt dass ein Cooperpaar immer folgende Konfiguration hat: ( k, k ) Damit wird auch der bosonenartige Zustand der Coopepaare deutlich (S = 0). Zudem ist der Gesamtimpuls eines Cooperpaares auch Null. Die Cooperpaare besetzen somit alle den gleichen quantenmechanischen Zustand, den BCS Grundzustand. Es existiert deshalb eine feste Korrelation zwischen den Cooperpaaren. Das Anlegen eines elektrischen Feldes ändert unterhalb einer kritischen Feldstärke nichts an dieser Korrelation. Würde ein Elektron an einem Phonon gestreut werden, so müssten alle anderen Elektronen auch entsprechend gestreut werden. Die gleichzeitige Streuung aller Elektronen ist unmöglich. Dies führt dazu, dass sich die Cooperpaare ungestört im Gitter bewegen können: Der elektrische Widerstand verschwindet. Ist die kritische Feldstärke erreicht brechen alle Cooperpaare auf und das Metall kehrt in den normalleitenden Zustand zurück. Die kritische Feldenergie entspricht dann gerade der Bindungsenergie des Cooperpaares Supraleiter im Magnetfeld und Ginzburg-Landau Theorie Das besondere Verhalten von Supraleitern im Magnetfeld wird durch den Meissner-Ochsenfeld- Effekt beschrieben. Das äußere Magnetfeld B induziert Dauerströme an der Oberfläche des Supraleiters, welche das vollständige Eindringen des Magnetfeldes in die Probe verhindern. Betrachtet man die Grenzfläche zum Supraleiter etwas genauer, so stellt man fest, dass das Magnetfeld auf einer Länge λ doch in die Probe eingedrungen ist. λ nennt man auch Londonsche Eindringtiefe. Der Supraleiter zeigt somit bis zu einer kritischen Feldstärke, bei der der Meissner-Ochsenfeld- Effekt verschwindet, ein ideales diamagnetisches Verhalten. Für die magnetische Suszeptibilität gilt damit: χ = µ 0M B = 1 wobei M die Magnetisierung darstellt. Im Allgemeinen unterscheidet man zwei Arten von Supraleitern: Supraleiter 1.Art 5

6 Supraleiter 2.Art Ein Supraleiter 1. Art zeigt bis zum kritschen Feld B c,th,wo die Supraleitung zusammenbricht, den Meissner-Ochsenfeld-Effekt. Ein Supraleiter 2. Art weist zudem noch ein Mischphase auf, die Shubnikovphase genannt wird. In dieser Phase dringt das Magnetfeld ab dem unteren kritischen Feld B c1 in sogenannten Flussschläuchen in die Probe ein. Beim oberen kritischen Feld B c2 bricht die Supraleitung dann ebenfalls zusammen. Somit erhält man folgende charakteristische Magnetisierungskurven und Flussdiagramme: Abbildung 2: Magnetisierung und magnetischer Fluss in einem Supraleiter 1. und 2. Art Es sei hier noch angemerkt, dass die kritischen Magnetfelder temperaturabhängig sind, was in folgendem Phasendiagramm deutlich wird und aus der Ginzburg Landau Theorie hergeleitet werden kann: 6

7 Abbildung 3: Phasendiagramm eines Supraleiters aus der Ginzburg Landau Theorie In der Ginzburg-Landau Theorie entwickelt man die freien Energie in der Nähe der kritischen Temperatur nach Potenzen des Ordnungsparameters ψ, welcher der Cooperpaardichte entspricht. Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die freie Energie minimal, woraus sich die Temperaturabhängigkeiten des kritischen Magnetfeldes B c2, der Ginzburg-Landau Kohärenzlänge ξ GL und der Londonschen Eindringtiefe λ ergeben. Für die Londonsche Eindringtiefe ergibt sich damit: ( ( ) ) 4 1/2 T λ(t ) = λ(0) 1 Die Ginzburg Landau Kohärenzlänge beschreibt die Längenskala auf der die Cooperpaardichte variieren kann. Für diese ergibt sich in der Molekularfeldnäherung folgende Abhängigkeit: ξ GL (T ) = Damit folgt für das obere kritische Feld B c2 : B c2 (T ) = T c ξ (0) GL 1 T/Tc Φ 0 2πξ 2 GL (T ) = Φ 0 wobei Φ 0 = h 2e = 2, V s das Flussquant und ξ (0) GL = [ Φ 0 2πξ (0)2 GL db 2πT c2 c dt T c (1 T/T c ) die Kohärenzlänge bei T = 0 ist. Die mittlere freie Weglänge l in der normalleitenden Phase des Supraleiters ergibt sich aus ξ (0) GL = 39nm l ] 1/2 7

8 3 Versuchsaufbau Der Messaufbau besteht im wesentlichen aus einem Kryostaten, der folgende Komponenten beinhaltet: Abbildung 4: Versuchsaufbau In den äußeren Dewar wird Stickstoff eingefüllt. Damit können die Proben auf maximal 77 K gekühlt werden. Um die Proben auf Temperaturen im Bereich von 5-10 K zu kühlen, wird in den inneren Dewar flüssiges Helium eingefüllt. Die Proben befinden sich in der Probenkammer im Inneren des Heliumdewars. Damit der Abkühlvorgang langsam vonstatten geht, wird die Probenkammer evakuiert. Die drei Proben, die untersucht werden, sind Kupfer, Niob und Phosphor-dotiertes Silizi- 8

9 um(si:p). Kupfer stellt ein typisches Metall dar. Niob wird bei einer Temperatur von ca. 9,2 K supraleitend und Si:P ist ein n-dotierter Halbleiter. Anhand dieser Proben, sollen die theoretischen Vorhersagen, die den Widerstand als Funktion der Temperatur beschreiben, überprüft werden. Als Thermometer für hohe Temperaturen wird ein Platinthermometer verwendet. Platin ist ein Metall. Somit verläuft der Widerstand von Platin linear als Funktion der Temperatur. Wird ein konstanter Strom an das Platin angelegt kann durch die Messung der Spannung der Widerstand berechnet werden und somit auf die Temperatur geschlossen werden. Zur Messung der tiefen Temperaturen (ab ca. 30 K) wird ein Kohlethermometer benutzt. Kohle ist als Halbleiter bei tiefen Temperaturen sehr empfindlich in Bezug auf den Widerstand. Um die Abhängigkeit der Sprungtemperatur von einem äußeren Magnetfeld zu untersuchen, befindet sich um den Probenbecher herum eine supraleitende Spule aus Niob-Titan. Die Spule darf nicht normalleitend sein, da sonst zu viel Wärme erzeugt werden würde, was zum Verdampfen des Heliums führen würde. 4 Durchführung Zuerst überprüften wir die Funktionsweise der Thermometer und der Widerstände. Für die Widerstände bei Raumtemperatur erhielten wir folgende Messwerte: R Kupfer = 2, 16 Ω R Niob = 52, 38 Ω R Si = 0, 08 Ω R P t = 106 Ω R C = 216 Ω Beim Vergleich unserer Werte mit den Referenzwerten in der Vorbereitungsmappe ist festzustellen, dass unsere Werte nur leicht davon abweichen. Deshalb sind wir davon ausgegangen, dass alle Widerstände ordnungsgemäß funktionieren. Als nächstes evakuierten wir den Heliumdewar und den Probentank. Anschließend wurde der Heliumdewar mit Heliumgas aus der Rückleitung mehrmals gespült und im Anschluss wieder an das Rückgewinnungssystem angeschlossen. Nun wurde der Kryostat mit flüssigem Stickstoff aufgefüllt. Während des Abkühlvorgangs haben wir die Temperatur zunächst mit dem Platinthermometer aufgenommen. Wir wählten dabei eine Schrittweite von 2,5 K. Nach ca. 3 Stunden erreichten wir eine Temperatur von ca. 80 K. Jetzt wurde der innere Dewar mit Helium gefüllt. Im Temperaturbereich von K nahmen wir unsere Messwerte sowohl mit dem Platin- als auch mit dem Kohlethermometer auf, um den Übergang zwischen beiden Thermometern bestmöglich festzustellen. Für Temperaturen unter 30 K benutzten wir nur noch das Kohlethermometer. Zur Bestimmung des oberen kritischen Magnetfeldes B C2 (T ) benutzten wir den Heizer und einen XY-Schreiber. Für die Ströme von 0-12 A (in 1,5 A-Schritten) durch die supraleitende Spule wurde am XY-Schreiber jeweils der Widerstand als Funktion der Temperatur aufgenommen. Insgesamt haben wir so neun Kurven aufgenommen, bei denen die Sprungtemperatur aufgrund des anliegenden Magnetfeldes unterschiedlich ist. Am Ende des Versuches wurden noch zusätzliche Widerstandswerte im Temperaturbereich von 7-15 K aufgenommen. Vorallem der Bereich um die Sprungtemperatur konnte so nochmals höher aufgelöst werden. Dies war beim Abkühlvorgang nicht möglich, da dieser zu schnell war. 9

10 5 Auswertung 5.1 Widerstandsverlauf der Proben Der Verlauf des Widerstands mit der Temperatur der drei Proben sieht folgendermaßen aus: Abbildung 5: Widerstandsverlauf als Funktion der Temperatur für alle Proben 10

11 Abbildung 6: Widerstandsverlauf für Kupfer bei tiefen Temperaturen Abbildung 7: Widerstandsverlauf für Niob bei tiefen Temperaturen 11

12 Abbildung 8: Doppelt-logaritmisch aufgetragener Widerstandsverlauf von Silizium Beim Vergleich der Widerstände aller drei Proben fällt auf, dass Silizium bei hohen Temperaturen den geringsten Widerstand hat. Erst bei Temperaturen niedriger als ca. 15 K steigt der Widerstand von Silizium deutlich an, da bei diesen Temperaturen die thermische Energie nich mehr ausreicht, um die Elektronen aus den Donatorniveaus in das Leitungsband zu heben. Die Niobprobe hat im Vergleich zum Kupfer einen viel höheren Widerstand bis zur Sprungtemperatur bei ca. 9 K. Bei uns im Schaubild sind zwei Sprünge erkennbar. Dies folgt aus der Tatsache, dass die beim Hochheizen aufgenommenen Werte nicht mit den Werten bei Abkühlen übereinstimmen. Da die Heizung näher an der Probe ist als am Thermometer, hat das Thermometer eine etwas niedrigere Temperatur als die Probe. Dieser Effekt ließ sich bei der Versuchsdurchführung nicht vermeiden. Die Kupferprobe besitzt wie erwartet einen relativ geringen Widerstand. Wie bei Niob ist auch bei Kupfer der Widerstandsverlauf linear bei hohen Temperaturen. Bei niedrigen Temperaturen nähert sich der Widerstand von Kupfer erwartungsgemäß dem temperaturunabhängigen Restwiderstand an. Für alle Messkurven wurde im Temperaturbereich von K sowohl mit dem Kohlethermometer als auch mit dem Platinthermometer Messwerte aufgezeichnet. Aus unseren Daten ergab sich der beste Übergang zwischen den beiden Thermometern bei 45 K. Dies bedeutet, dass alle Messwerte unter 45 K diejenigen des Kohlethermometers sind. 12

13 5.2 Bestimmung der Debye-Temperatur und Grüneisen-Borelius Gesetz Für die Kupferprobe ist der lineare Bereich oberhalb von 90 K und für die Niobprobe ist der lineare Bereich oberhalb von 70 K. Dies wird aus den folgenden Auftragungen ersichtlich: Abbildung 9: Linearer Widerstandsbereich von Kupfer 13

14 Abbildung 10: Linearer Widerstandsbereich von Niob Bei den obigen Auftragungen wurde bereits folgender Restwiderstand der beiden Proben abgezogen: R Rest (Cu) = 0, 005 Ω R Rest (Nb) = 22, 37 Ω Bei der Auftragung von Kupfer fällt dabei auf, dass die Messwerte zwischen 100 K und 130 K fehlen. Diese Messwerte wurden von uns aus dem Datensatz weggelassen, da während der Messung in diesem Bereich das Messgerät nicht ordnungsgemäß funktioniert hat. Somit haben die Messpunkte dieses Bereiches zu dem ansonsten linearen Verlauf gepasst. An die Messwerte ist ein linearer Fit angelegt worden, der mit den systematischen Fehlern der einzelnen Messpunkte gewichtet wurde. Somit beinhalten die statistischen Fehler der Fitparameter auch die systematischen Fehler. Als systematische Fehler wurden immer die Hälte der letzten ablesbaren Skaleneinheit des Messgerätes verwendet. Aus den Fitparametern lassen sich die Debye-Temperatur θ und der Debye-Widerstand R θ bestimmen. Die Gerade, die an die Messpunkte angepasst wurde lautet: R T = 1, 17 R b T 0, 17 R Somit entspricht der Parameter R dem Debye-Widerstand R θ und b der Debye-Temperatur θ. Aus den Schaubildern lesen wir die Parameter direkt ab: 14

15 R θ (Cu) = (2, 88 ± 0, 02) Ω θ(cu) = (358, 44 ± 1, 51) K R θ (Nb) = (24, 14 ± 0, 01) Ω θ(nb) = (228, 91 ± 0, 09) K Der Literaturwert für die Debye-Temperatur von Kupfer liegt bei θ(cu) = 343 K. Somit weicht der von uns bestimmte Wert um 4,5 Prozent vom Literaturwert ab. Für die Debye-Temperatur von Niob lautet der Literaturwert θ(nb) = 275 K. Der von uns bestimmte Wert weicht um 16,8 Prozent vom Literaturwert ab Widerstandsauftragung in reduzierten Einheiten Die Auftragung des Widerstands von Kupfer und Niob in reduzierten Einheiten R(T )/θ über T/θ ergibt folgenden Verlauf: Abbildung 11: Auftragung in reduzierten Einheiten für Kupfer und Niob Aus dem obigen Schaubild erkennt man, dass beide Kurven fast direkt übereinander liegen und dass die numerischen Werte für beide Kurven fast identisch mit den Zahlenwerten aus der Grüneisen-Borelius Relation von 1,17 und -0,17 sind. Das Experiment ist somit eine gute 15

16 Bestätigung dieses universellen Verhaltens von Metallen bei hohen Temperaturen. Auch in diesen beiden Fits wurde mit den systematischen Fehlern gewichtet Qualitative Erklärung der Widerstandsbereiche von Metallen Die Streuung an den Störstellen ist temperaturunabhängig und sorgt für einen konstanten Restwiderstand R Rest. Diese Beitrag ist vorallem bei tiefen Temperaturen (wenn die Phonenen ausgefroren sind) erkennbar. Beim erhöhen der Temperatur werden Phononen angeregt. Durch die Streuung an den Phononen steigt der Widerstand der Metalle mit T 5 an. Für Temperaturen weit oberhalb der Debye-Temperatur sind alle Phononen angeregt. Diese schwingen mit steigender Temperatur mit größer werdender Amplitude um ihre Gleichgewichtslage. Dadurch erhöht sich die Streuung der Elektronen an den Phononen, wodurch der elektrische Widerstand linear mit der Temperatur zunimmt (Grüneisen-Borelius) Nicht-linearer Bereich von Kupfer Der nicht-lineare Widerstandsbereich bei unserer Messung geht von ca. 23 K bis 49 K. In diesem Bereich hat der Widerstand eine T 5 -Abhängigkeit. Diese Verhalten wollen wir überprüfen, indem wir folgenden Fit an unsere Messkurve anpassen: ln(r R Rest ) = m ln(t ) + C Mit unseren Messwerten erhalten wir folgenden Plot: Abbildung 12: Bestimmung des nicht-linearen Verhaltens von Kupfer 16

17 Als Potenz lesen wir aus der oberen Graphik folgenden Wert ab: m = 4, 43 ± 0, 12 Wir erhalten somit nicht ganz eine T 5 -Abhängigkeit Bestimmung des spezifischen Widerstands und der mittleren freien Weglängen Zunächst berechnen wir die Länge l p der Kupferprobe. Diese ergibt sich aus l p = R(T = 300K) A ρ(t = 300K) = 0, 939 m wobei A = 0, m 2 die Querschnittsfläche des Kupferdrahtes darstellt und ρ(t = 300K) = 1, 71 µωcm ist. Damit lässt sich der spezifische Widerstand bei 4,2 K ausrechnen: ρ Cu (T = 4, 2K) = R(T = 4, 2K) A l p = (4, 15 ± 0, 83) Ωm wobei wir ρ(t = 4, 2K) = (0, 005 ± 0, 001) Ω eingesetzt haben. Damit ergibt sich als mittlere freie Weglänge l über l(cu) = ρl ρ = (1, 59 ± 0, 32) 10 5 m Nun berechnen wir die entsprechenden Werte für Niob. Der spezifische Widerstand bei 12 K berechnen wir wie folgt: ρ Nb (T = 12K) = R(T = 12K) A l p = (1, 10 ± 0, 00) 10 7 Ωm wobei A = 3, m 2, l p = m und R(T = 12K) = (22, 41 ± 0, 01) Ω sind. Damit ergibt sich die mittlere freie Weglänge l: l(nb) = ρl ρ = (3, 72 ± 0, 00) 10 9 m 5.3 Sprungtemperatur und Kohärenzlänge von Niob Aus den Kurven, die mit Hilfe des XY-Schreibers aufgenommen wurden, erhalten wir folgende Sprungtemperaturen T C in Abhängigkeit vom angelegten Magnetfeld B C2 : T C [K] I[A] B C2 [T ] 9,37 0 0,000 9,25 1,5 0,071 9,13 3 0,141 8,95 4,5 0,212 8,83 6 0,283 8,63 7,5 0,353 8,52 9 0,424 8,36 10,5 0,495 8, ,566 Tabelle 1: Messwerte des kritischen Feldes 17

18 Trägt man B C2 gegen T C auf, erhält man folgenden Plot: Abbildung 13: Magnetfeld als Funktion der Sprungtemperatur In der obigen Auftragung ist ein linearer Fit durch die ersten drei Punkte gemacht worden. Aus der Steigung dieser Geraden S lässt sich die Kohärenzlänge ξ (0) GL wie folgt bestimmen: Mit S = ( 0, 59 ± 0, 01) T/K ergibt sich [ ] 1/2 ξ (0) GL = Φ0 2πT c S ξ (0) GL = (7, 79 ± 0, 15) nm Der hier angegebene Fit berücksichtigt bereits die systematischen Fehler durch das Ablesen der Messwerte und die statistischen Fehler. Zur Bestimmung der mittleren freien Weglänge l benutzen wir folgende Gleichung: Damit erhalten wir ξ (0) GL = 39nm l l = (ξ(0) GL )2 = (1, 53 ± 0, 03) nm 39nm Vergleicht man diesen Wert mit der bestimmten mittleren freien Weglänge aus dem vorherigen Aufgabenteil, so stimmen diese Werte zumindest in der Größenordnung miteinander überein. 18

19 5.4 Bestimmung der Aktivierungsenergie E A von Si:P Zur Bestimmung der Aktivierungsenergie von Si:P tragen wir ln(σ) gegen 1/T auf. Die Leitfähigkeit σ lässt sich folgendermaßen aus dem Widerstand bestimmen: σ = 1 ρ = wobei l die Länge und A die Querschnittsfläche der Probe darstellen. Es ergibt sich folgendes Schaubild: l RA Abbildung 14: Bestimmung der Aktivierungsenergie Als linearen Bereich haben wir den Temperaturbereich von 7,7 K bis 14,3 K gewählt. Die Aktivierungsenergie ergibt sich aus der Steigung S der obigen Auftragung wie folgt: E A = 2Sk B = (7, 47 ± 0, 00) mev In der Vorbereitungsmappe ist ein Wert von E A = 45 mev für Si:P angegeben. In der Mappe ist jedoch nicht angegeben wie hoch die Dotierung bei diesem Wert war. Da das Donatorniveau abhängig ist von der Dotierungskonzentration, wissen wir nicht ob der große Unterschied zwischen den Werten von der Dotierung stammt oder ob ein Messfehler vorliegt. 19