Ausgabe WiSe 2014/15

Transkript

1 Übungsskript, Teil I Ausgabe WiSe 2014/15

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3 Inhaltsverzeichnis A Wiederholung (allgemein) 1 Übungs- und Klausuraufgaben Lösungen B Eigenschaften von Fluiden 7 Fragen und Kurzaufgaben C Fluide im Gleichgewicht 11 Übungs- und Klausuraufgaben Fragen und Kurzaufgaben Lösungen D Kinematik der Strömung 29 Fragen und Kurzaufgaben E (ohne Aufgaben) 31 F Erhaltungssätze der Strömungsmechanik 33 Übungs- und Klausuraufgaben Fragen und Kurzaufgaben Lösungen G (ohne Aufgaben) 45 H Elementare stationäre Rohrströmungen 47 Übungs- und Klausuraufgaben Fragen und Kurzaufgaben Lösungen i

4 Inhaltsverzeichnis I Elementare stationäre Gerinneströmungen 61 Übungs- und Klausuraufgaben Fragen und Kurzaufgaben Lösungen J (ohne Aufgaben) 72 I Formeln zur Strömungsmechanik I.1 - ii -

5 Inhaltsverzeichnis Zahlenwerte und Hinweise Zahlenwerte Sofern in der Aufgabenstellung nicht explizit anders vorgegeben, ist mit folgenden Werten zu rechnen: Größe Zeichen Wert Atmosphärischer Normaldruck p kpa = 10 mws Erdbeschleunigung g 9,81 m/s 2 Geschwindigkeitsbeiwerte α = β = 1, 0 Stoffwerte (20 o C, Normaldruck) Fluid Zähigkeit Dichte Wasser ν W = 1, m 2 /s ρ W = 1000,0 kg/m 3 Luft ν L = 14, m 2 /s ρ L = 1,2 kg/m 3 Erdöl (Baku) νö = 2, m 2 /s ρö = 824,0 kg/m 3 (1 g/cm 3 =1kg/l=1t/m 3 ) Hinweise Zu jedem Themenbereich werden Aufgaben in der Reihenfolge gegeben: 1. Längere Übungs- und klausurtypische Aufgaben 2. Fragen und Kurzaufgaben 3. Lösungen zu 1. teilweise mit Lösungsweg Zwischenergebnisse ohne Einheiten: [m, kg, s]-system (Antworten zu 2. werden generell nicht angegeben.) Zahlenangaben sind Näherungswerte zu Übungszwecken ohne Anspruch auf Vollständigkeit - iii -

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7 Aufgaben A Wiederholung (allgemein) - 1 -

8 Aufgaben A - Wiederholung (allgemein) Übungs- und Klausuraufgaben Diese Aufgaben sind keine Klausuraufgaben und werden in der Klausur zur Vorlesung nicht in der Form gestellt! Dies sind einfache Aufgaben zu Rechenmethoden, die Sie beherrschen sollten, um die Aufgaben zur Vorlesung lösen zu können. Diese Aufgaben sind als Selbsttest gedacht. Wenn Sie mit diesen Aufgaben Probleme haben, ist es dringend zu empfehlen dass Sie Ihre Mathematikkenntnisse (z.b. aus dem Vorkurs) etwas auffrischen. Aufgabe A.1 Berechnen Sie die Flächeninhalte für die folgenden Geometrien: Aufgabe A.2 Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) 8x +2=30 b) 5e 13x = 258 c) { x + y =10 x y =25 2+7x d) 9x =0 e) 10 ln(2x) =15-2 -

9 A - Wiederholung (allgemein) Aufgabe A.3 Berechnen Sie die 1. Ableitung für die folgenden Gleichungen: a) y =5x +3 b) y =5e 13x +27 c) y =5x 3 +2x 2 + x 25 d) y =sin(3x) e) y =2ln 5x f) y = 2x 5x +2 Aufgabe A.4 Lösen Sie folgende Integrale: a) 5x dx b) c) d) e) (2x + x 2 )dx e 2x dx cos(x)x 2 dx x 25 dx x26-3 -

10 Aufgaben A - Wiederholung (allgemein) Aufgabe A.5 Ein Block wird über eine horizontale Unterlage gezogen und die Reibungskraft F R wird durch die Coulomb-Reibung beschrieben: F N ist die Normalkraft, die der Körper auf die Fläche ausübt. μ ist der Reibungskoeffiezient. Ein Güterzug mit der Geschwindigkeit von 120 km/h muss ein Vollbremsung durchführen. Der Reibungsbeiwert im Gleiten für Stahl auf Stahl beträgt μ =0, 05. a) Wie viel Zeit braucht der Zug bis zum Stillstand? b) Wie lang ist die Bremsstrecke? Aufgabe A.6 Ein Überlandbus fährt von der Haltestelle an und beschleunigt innerhalb von 12 Sekunden auf v = 100 km/h. Welchen Winkel sollte ein stehender Fahrgast einnehmen, wenn er ohne sich festzuhalten nicht umfallen will? - 4 -

11 A - Wiederholung (allgemein) Aufgabe A.7 Ein Paddler paddelt stromaufwärts in einem Fluß, der mit der Geschwindigkeit von 3 km/h fließt. Er strengt sich an und paddelt konstant v r =6, 5 km/h relativ zum Wasser. Auf einmal fällt ihm seine Trinkflasche ins Wasser, die dann auf dem Wasser treibt. Er bemerkt den Verlust nicht, aber ein Spaziergänger beobachtet alles. Er rennt dem Paddler hinterher und erreicht ihn nach 30 Minuten. Der Paddler kehrt sofort um und holt seine Flasche. a) Wie lange war die Flasche im Wasser? b) Wie viel Zeit hat der Paddler verloren? Aufgabe A.8 Ein Wasserläufer sitzt auf der Oberfläche eines Teiches. Er hat sechs Beine mit der Länge von je 5 mm. Die Oberflächenspannung zwischen Wasser und Luft beträgt σ =0, 073 N/m. Wie schwer darf der Wasserläufer höchstens sein, damit er nicht einsinkt? Hinweise: Würde der Wasserläufer einsinken, würde er vertikal beschleunigt. Die Kraft, die zur Verzögerung eines Stücks Grenzfläche in vertikale Richtung benötigt wird, beträgt: F z = de/dz. Die Energie, die aufgebracht werden muss, um ein Stück Grenzfläche zu erzeugen, beträgt: E = σa

12 Aufgaben A - Wiederholung (allgemein) Lösungen Aufgabe Lösung, (Weg) 1a) A = a b =4 6=24cm 2 b) A = a b = =12cm2 c) A =2 Dreieck+Rechteck= 2 4b 2 +4a =4 4 tan(80 ) +4 ( tan(80 )= ) tan(80 ) +24=24cm2 d) A = π 4 d2 = πr 2 = π , 274 cm 2 e) A = πα 360 r2 = 1 3 π32 9, 425 cm 2 2a) x =3, 5 b) x 0, 3033 { x =5 c) x =10 y y =5 y =5 d) x 2, 627 e) x 2, 241 3a) y =5 b) y =13 5e 13x =65e 13x c) y =3 5x x +1=15x 2 +4x +1 d) y = 3 cos(3x) e) y = 2 x f) y 2 (5x +2) 2x 5 4 = (5x +2) 2 = (5x +2) 2 4a) 5x dx = 5 2 x2 + C 20 b) (2x + x 2 )dx = [x ] 20 x3 3083, [ ] 1 1 c) e 2x dx = 0 2 e2x 3, 194 [ 0 ] d) cos(x)x 2 dx = f g = F g F g = x 2 sin(x)+2x cos(x) 2sin(x)+C 10 x 25 e) dx = [ln x ]10 5 x26 5 0, 693 5a) t = v Zug / a x =33, 33/0, 5=66, 66 s b) s = t v =66, 66 0, 5 33, 33 = 1111, 11 m 6 α =arctan( a x /a z ) = arctan( 2, 315/ 10) = 13, 03 7 a) Koordinatenursprung bei Flasche; t =1h b) Koordinatenursprung bei Spaziergänger=Paddler; t =1, 857 h =1 h 51 min 8 m =0, 5g - 6 -

13 Aufgaben B Eigenschaften von Fluiden - 7 -

14 Aufgaben B - Eigenschaften von Fluiden Fragen und Kurzaufgaben Kurzaufgabe B.k1 Bis zu welcher Windgeschwindigkeit kann man bei der Berechnung des Winddruckes auf ein Bauwerk die Strömung als inkompressibel betrachten? Kurzaufgabe B.k2 Um wie viel Bar muss man den Druck erhöhen, um die Wasserdichte um 0,1 % zu erhöhen? E W = N/m 2. Kurzaufgabe B.k3 Mit welcher Kraft F muss man ziehen, damit das Wasser in der Röhre (Kreisquerschnitt) verdampft? Kurzaufgabe B.k4 Eine Flüssigkeit ist ein Medium, das [ ] sich in einem geschlossenen Behälter soweit ausdehnt, bis es ihn ganz ausfüllt. [ ] nahezu inkompressibel ist. [ ] Schubspannungen nicht unterworfen sein kann. [ ] eine höhere dynamische Viskosität η hat als ein Gas. [ ] Keine der obigen Aussagen ist richtig. Kurzaufgabe B.k5 Wie kann man Wasser bei einer Temperatur von 20 C zum Verdampfen bringen? - 8 -

15 B - Eigenschaften von Fluiden Kurzaufgabe B.k6 Ist die Kompressibilität von Wasser größer oder kleiner als die von Stahl? Kurzaufgabe B.k7 Definieren Sie den Unterschied zwischen einer Flüssigkeit und einem Gas. Kurzaufgabe B.k8 Warum dauert es länger, ein Ei in 3000 m Höhe hart zu kochen als in 800 m Höhe? (Annahme: Außentemperatur ist gleich.) Kurzaufgabe B.k9 Welche wichtige Voraussetzung für die Zähigkeit (Viskosität) ist im Newtonschen Zähigkeitsgesetz enthalten. Kurzaufgabe B.k10 Wie kann man Wasser bei konstanter Temperatur zum Sieden bringen? Kurzaufgabe B.k11 Welche Dichte (kg/m 3 ) hat Luft bei einer Temperatur von 25 C und einem absoluten Druck von 2 bar? - 9 -

16 Aufgaben B - Eigenschaften von Fluiden Kurzaufgabe B.k12 Berechnen Sie aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases die Dichte von Luft bei einer Temperatur von T = 20 C unter dem Druck einer Normalatmosphäre. (Spezifische Gaskonstante für Luft ist 287 Nm/(kg K)) Kurzaufgabe B.k13 Eine Newtonsche Flüssigkeit fließt auf einer geneigten Ebene. Die Reibung zwischen Luft und Flüssigkeit sei vernachlässigbar klein. Skizzieren Sie die Geschwindigkeitsverteilung im gestrichelten Querschnitt! Welchen Wert hat dabei der Geschwindigkeitsgradient an der Flüssigkeitsoberfläche? Kurzaufgabe B.k14 Das Newtonsche Zähigkeitsgesetz besagt, dass [ ] die Schubspannung im Fluid proportional der Geschwindigkeit ist. [ ] die Schubspannung im Fluid proportional dem Geschwindigkeitsgradienten ist. [ ] die kinematische Zähigkeit des Fluids proportional der Geschwindigkeit ist. [ ] die dynamische Zähigkeit des Fluids proportional dem Druck ist. [ ] Keine der obigen Aussagen ist richtig

17 Aufgaben C Fluide im Gleichgewicht

18 Aufgaben C - Fluide im Gleichgewicht Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabe C.1 Mit Hilfe eines U-Rohres und einer Vergleichsflüssigkeit der Dichte ρ v =10 3 kg/m 3 soll die Dichte ρ einer Messflüssigkeit bestimmt werden. Δh = 1cm h = 5cm g =9,81m/s 2 Aufgabe C.2 In den beiden Schenkeln eines U-Rohres ist über einer Flüssigkeit der Dichte ρ b eine Flüssigkeit der Dichte ρ a (<ρ b ) geschichtet. Die Schichthöhen sind h 1 und h 2. Berechnen Sie die Differenzen Δh a und Δh b in den Höhen der Flüssigkeitsmenisken. h 1 = 3cm h 2 = 5cm g =9,81m/s 2 ρ a = 1 g/cm 3 (Wasser) ρ b = 1,26 g/cm 3 (Glyzerin)

19 C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.3 Zwei mit Flüssigkeit der Dichten ρ a bzw. ρ b gefüllte Behälter sind in der skizzierten Weise über ein U-Rohr-Manometer verbunden. Die Dichte der Manometerflüssigkeit ist ρ c. Wie groß ist die Druckdifferenz Δp = p 1 p 2? Vorsicht: Die Abbildung ist nicht maßstabsgetreu. h 1 = 5m h 2 = 15m Δh = 0,72m g = 9,81m/s 2 ρ a = 1,00t/m 3 ρ b = 1,26t/m 3 ρ c = 13,55 t/m 3 Aufgabe C.4 h = 5,0m h 1 = 1,3m h 2 = 1,1m g = 9,81m/s 2 ρ Hg =13, kg/m 3 ρ W = 10 3 kg/m 3 Ein geschlossenes Gefäß ist mit Wasser gefüllt, dessen Spiegel in der Höhe h unter einem Überdruck p steht. An das Gefäß ist ein Quecksilbermanometer angeschlossen, an dem die Höhen h 1 und h 2 ablesbar sind. a) Berechnen Sie den Überdruck p an der Wasseroberfläche. b) Berechnen Sie den Absolutdruck p 1 am Boden des Gefäßes

20 Aufgaben C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.5 Bei der dargestellten hydraulischen Presse wirkt auf den Kolben K 1 die Druckkraft F 1. a) Berechnen Sie die auf den Kolben K 2 wirkende Kraft F 2. b) Berechnen Sie den Hubweg ΔL 2 des Kolbens K 2 unter der Voraussetzung, dass ΔL 1, der Hubweg des Kolbens K 1,bekanntist. A 1 = 3,2cm 2 (Kolbenquerschnitt) A 2 = 326 cm 2 (Kolbenquerschnitt) h =1,00m F 1 = 3,9 kn g =9,81m/s 2 ρ W = 10 3 kg/m 3 Aufgabe C.6 a) Wie groß ist die Lagerreaktion F L? b) Welche Druckkraft F wird von dem im Behälter befindlichen Wasser auf den Behälterboden ausgeübt? Behälterbreite = 1,00 m g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m

21 C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.7 Ein Autofahrer ist mit seinem Wagen von der Straße abgekommen und in einen Fluss gefahren. Um sich vor dem Ertrinken zu retten, versucht er, die Tür zu öffnen. g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 a) Wie groß ist die Druckkraft auf die als rechteckig angenommene Tür? b) Wie hoch muss das Wasser im Wageninneren steigen, damit die Tür von innen geöffnet werden kann? Der Fahrer versucht, die Tür am Türgriff zu öffnen (d.h. der Hebelarm beträgt x = 0, 70 m). Der (sehr kräftige!) Fahrer kann maximal mit F M = 1 kn gegen den Griff drücken. (Skizzieren Sie zunächst die auf die Tür wirkenden Kräfte für einen Wasserstand t innerhalb des Wagens!) Aufgabe C.8 Die kreisförmige Klappe der dargestellten Behälterwand soll sich öffnen, wenn das Wasser die Höhe a erreicht. a =0,80m b =1,00m c =0,55m d =0,30m e =0,19m g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 I x = πr4 4 a) Wie groß muss das verschiebliche Gewicht G sein, wenn es vom Drehpunkt den Abstand c hat? b) Wie weit muss das Gewicht G verschoben werden, wenn sich der Ausfluss erst beim Wasserstand b öffnen soll?

22 Aufgaben C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.9 In der dargestellten schrägen Wand befindet sich eine quadratische Klappe. h 1 =0,50m a =0,80m h 2 =1,50m d =3,75m h 3 =0,50m g =9,81m/s 2 h 4 =1,00m ρ W = 10 3 kg/m 3 I x = bh3 12 a) Zeichnen Sie die Druckverteilung und die Gesamtdruckkraft F K auf die Klappe qualitativ richtig in die obige Abbildung ein. b) Wie groß ist die Gesamtdruckkraft F K auf die Klappe. c) Bestimmen Sie den Angriffspunkt D(x D y D ) der Gesamtdruckkraft. Aufgabe C.10 a =1,00m b =2,00m h =1,00m g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 α = 30 I x,r = bh3 12 (Rechteck) I x,h = πr4 8 (Halbkreis) x S = 4 3π r (Halbkreis) a) Bestimmen Sie den die Gesamtdruckkraft F K die dargestellte Klappe! b) Bestimmen Sie die Koordinaten x D und y D des Druckmittelpunktes D auf die Klappe!

23 C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.11 Gegeben ist ein kreisbogenförmiges Wehr mit der Breite b. Berechnen Sie die Auflagerkräfte F A, F BH und F BV! b = 1,0m R = 3,0m g =9,81m/s 2 ρ W = 10 3 kg/m 3 Variante: Wie ändern sich die Auflagerkräfte, wenn das Wehr von der Rückseite durch Wasserdruck belastet wird? Aufgabe C.12 Die dargestellte Schwergewichtsstaumauer wird durch das Wasser der Höhe h 1 belastet. g = 9,81m/s 2 Wasser: h 1 = 15,00 m ρ W = 1000 kg/m 3 Mauer: h 2 = 3,00m s 1 = 1,00m s 2 = 10,00 m r = 2,50m Schwerpunktsbestimmung a) Bestimmen Sie die Horizontal- und Vertikalkomponenten (F x und F z ) der Wasserdruckkraft je Breitenmeter! b) Wie groß ist die resultierende Gesamtdruckkraft F R auf die Staumauer je Breitenmeter? c) Bestimmen Sie die Koordinaten x D und z D des Druckmittelpunktes sowie den Winkel unter der die resultierende Gesamtdruckkraft angreift (je Breitenmeter)! d) Wie groß ist das vom Wasser erzeugte Moment je Breitenmeter bezogen auf den Punkt A?

24 Aufgaben C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.13 Bestimmen Sie die Größe und den Angriffswinkel der resultierenden Gesamtdruckkraft F R auf die Wand A-B des nebenstehenden Behälters! b = 1,0 m (Wandtiefe) g =9,81m/s 2 ρ W = 10 3 kg/m 3 Aufgabe C.14 Ein 20 Meter breites Walzwehr hat einen Durchmesser von d =5m. b = 20,00 m d = 5,00m h o = d h u = 2,5m ρ W = 1,00t/m 3 g = 9,81m/s 2 a) Bestimmen Sie den Betrag der resultierenden Druckkraft F R pro Breitenmeter auf das Walzwehr. b) Bestimmen Sie die Lage und die Richtung (Winkel) der resultierenden Druckkraft auf das Walzwehr. Aufgabe C.15 Das in der Skizze dargestellte Kreissegmentschütz mit dem Radius r = 3 m ist um den Punkt A gelagert. h =1, 50 m d =6,00m a = 2,6m ρ W =1,00t/m 3 g =9,81m/s 2 a) Skizzieren Sie qualitativ richtig die Druckverteilung und die resultierende Druckkraft auf das Schütz in die Abbildung ein. b) Berchnen Sie für h =1, 5 m die resultierende Druckkraft pro Breitenmeter auf das Schütz. Der Flächeninhalt für ein Kreissegment ist: A Kreissegment = πα 360 r2 c) Wie groß ist das sich aus der Wasserbelastung ergebene Moment um A?

25 C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.16 Ein mit Öl gefüllter Behälter wird durch ein Kugelventil geschlossen. Wie groß muss die Dichte der Kugel sein, damit bei geschlossenem Ventil gerade keine Luft mehr im Behälter ist? a = 2cm R = 4cm g = 9,81m/s 2 ρöl =0, kg/m 3 V K = πh 2 (R h/3) Aufgabe C.17 Ein geschlossener Würfel mit einer Kantenlänge a = 1 m und einer Masse m = 550 kg ist aus gleichmäßig dickem Blech gefertigt. Kann er in stabiler Lage mit senkrechten Wänden in Öl der Dichte ρöl =0, 9t/m 3 schwimmen? (g =9, 81 m/s 2 ) Aufgabe C.18 L = 18,00 m b = 6,00m a = 0,30m Δ = 0,30 m g = 9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 Eine quaderförmige Schute von m = 205, 20 t Verdrängung bei voller Beladung hat eine Länge L und eine Breite b. Der Schwerpunkt G liegt dabei um das Maß a über der Wasserlinie. a) Berechnen Sie die metazentrische Höhe h M. b) Wie groß ist das wiederaufrichtende Moment M r bei einer vorgegebenen Krängung Δ! I y = hb

26 Aufgaben C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.19 L = 15,00 m g =9,81m/s 2 H = 12,00 m ρ W =1,00t/m 3 d = 0,40m ρ B =2,50t/m 3 f = 2,50m t = 1,10m I y = hb3 12 Ein Senkkasten aus Stahlbeton soll mit dem Mindestfreibord f schwimmen können. a) Berechnen Sie die dazu erforderliche Breite B des Kastens! b) Wie hoch ist das Freibord f, wennb auf ganze Meter aufgerundet wird? Ist jetzt noch Schwimmstabilität vorhanden? Aufgabe C.20 Das zylindrische Stahlbetonfundament eines Leuchtturms soll schwimmend transportiert werden können. Gesamthöhe H = 25,00 m Außendurchmesser D = 8,00m Wandstärke w = 0,80m Freibord f = 1,50m Dichte Seewasser ρ W =1, kg/m 3 Dichte Stahlbeton ρ B =2, kg/m 3 Trägheitsmoment, Kreis mit Radius r: I = r 4 π 4 a) Stellen Sie die Hilfsmaße t, r a und r i zahlenmäßig zusammen. b) Wieviel Wasservolumen und -Masse wird bei dem vorgegebenen Freibord f durch das Fundament verdrängt? c) Berechnen Sie die dazu erforderliche Dicke b des Bodens! d) Auf welchen Höhen über der Fundamentunterkante liegen dann der Verdrängungsschwerpunkt (z V ) und Gewichtsschwerpunkt (z G )? e) Ist die vorgesehene Schwimmlage stabil? Falls ja: Was trägt mehr zur Stabilität bei, Gewichtsverteilung oder Formgebung?

27 C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.21 Ein kegelförmiger Behälter ist bis zur Höhe h mit Beton gefüllt und befindet sich in einem Aufzug, der die maximale Beschleunigung b erfährt. Wie hoch ist der Druck p im Punkt A zum Zeitpunkt der maximalen Beschleunigung? d = 1,2m h = 1,5m b = 2,0m/s 2 g =9,81m/s 2 ρ B = 2500 kg/m 3 Aufgabe C.22 Der von links nach rechts fahrende, mit Wasser gefüllte Wagen wird mit einer Verzögerung von b =1m/s 2 gebremst. Gesucht sind: a) die sich einstellende Höhendifferenz zwischen den Punkten A und B. b) der Wasserdruck im Eckpunkt C. a =4,00m c =7,00m d =1,00m g =9,81m/s 2 ρ W =1,00t/m

28 Aufgaben C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe C.23 Ein allseitig geschlossenes zylindrisches Gefäß rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um die vertikale Achse. Das Gefäß ist vollständig mit Wasser gefüllt, das bei ruhendem Gefäß in der Höhe des Deckels den Überdruck p 1 besitzt. Wie groß darf p 1 höchstens sein, wenn der Druck im Wasser während der Drehung nirgends den vorgegebenen Wert p max überschreiten soll? h = 1m R =0,20m g =9,81m/s 2 ρ W =1,00t/m 3 p max = 2bar ω = 50s 1 Aufgabe C.24 a = 0,2m b = 0,2m c = 0,3m p 0 = 1bar g = 9,81m/s 2 ρ Hg =13, kg/m 3 Ein Rohr, in A geschlossen, in C offen, ist im Ruhezustand im geschlossenen Schenkel ganz und im offenen bis C mit Quecksilber gefüllt. Das Rohr rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die Achse A-B. Wie groß muss ω sein, damit: a) bei A der Außendruck p 0 herrscht b) bei A gerade der Druck p = 0 vorhanden ist

29 C - Fluide im Gleichgewicht Fragen und Kurzaufgaben Kurzaufgabe C.k1 Das Bild zeigt ein Quecksilbermanometer, das an ein Rohr angeschlossen ist. Welcher Druck (Überdruck) in bar herrscht an der Achse des wassergefüllten Rohres? h 1 = 400 mm h 2 = 1200 mm h 3 = 150 mm g = 10m/s 2 ρ Hg =13, kg/m 3 Kurzaufgabe C.k2 Unter welcher Bedingung schwimmen feste Körper an der Oberfläche? Kurzaufgabe C.k3 Wie groß ist der Druck an der Stelle A? Kurzaufgabe C.k4 Ein mit Wasser gefülltes Gefäß steht auf einer Waage. Wie ändert sich die Anzeige der Waage, wenn man einen Finger in das Wasser eintaucht? Die Waage zeigt [ ] ein höheres, [ ] ein niedrigeres, [ ] das gleiche Gewicht an

30 Aufgaben C - Fluide im Gleichgewicht Kurzaufgabe C.k5 Bei den abgebildeten Behältern ist die Druckkraft des Wassers auf den Boden gleich. Warum sind trotzdem die Auflagekräfte der Behälter verschieden? Kurzaufgabe C.k6 In welcher Wassertiefe herrscht ein Druck von 5 bar Absolutdruck? (Daten s. Skriptum) Kurzaufgabe C.k7 Für den statischen Wasserdruck auf eine dreidimensional gekrümmte Fläche gilt: [ ] Die horizontale Komponente der Druckkraft ist gleich der Gewichtskraft des darüber liegenden Flüssigkeitskörpers. [ ] Die resultierende Druckkraft ist gleich der Größe der Fläche multipliziert mit dem Druck im Flächenschwerpunkt. [ ] Die resultierende Druckkraft geht durch den Flächenschwerpunkt. [ ] Der Flüssigkeitsdruck hat keine Resultierende. [ ] Die vertika1e Komponente der Druckkraft geht durch den Flächenschwerpunkt. Kurzaufgabe C.k8 Zeichnen Sie die Wasserspiegellagen in den Behältern A, B und C an. Das Wasser sei stehend

31 C - Fluide im Gleichgewicht Kurzaufgabe C.k9 Die resultierende Kraft auf eine kreisförmige Fläche von A =1m 2, deren Mittelpunkt sich 10 m unter der Wasseroberfläche befindet, ist [ ] in ihrer Größe abhängig von der Neigung der Fläche. [ ] gleich dem Produkt aus ρ W g und dem Abstand des Druckmittelpunktes von der Oberfläche. [ ] größer als ρ W g 10 [kg/m 3,m/s 2,m]. [ ] greift immer im Kreismittelpunkt an. [ ] Keine der obigen Antworten ist richtig. Kurzaufgabe C.k10 Für die hydrostatische Druckkraft auf eine geneigte Stauwand gilt: [ ] Die horizontale Komponente der Druckkraft ist abhängig von der Neigung der Wand. [ ] Die vertikale Komponente der Druckkraft ist immer kleiner als die horizontale Komponente. [ ] Die resultierende Druckkraft ist gleich dem Produkt von ρ W g und dem Abstand des Flächenschwerpunktes von der Oberfläche. [ ] Die vertikale Komponente der Druckkraft ist unabhängig von der Neigung der Wand. [ ] Keine der obigen Antworten ist richtig. Kurzaufgabe C.k11 Die vertikale Komponente der hydrostatischen Druckkraft auf eine geneigte Stauwand ist gleich: [ ] der horizontalen Komponente, [ ] der Druckkraft auf eine vertikale Projektion der Stauwand, [ ] dem Produkt der Fläche mit dem Druck im Flächenschwerpunkt, [ ] dem Gewicht der Flüssigkeit, die vertikal über der Wand liegt. [ ] Keine der obigen Antworten ist richtig. Kurzaufgabe C.k12 Ein Körper schwimmt in stabiler Lage, [ ] wenn seine metazentrische Höhe Null ist, [ ] nur dann, Wenn der Verdrängungsschwerpunkt über dem Gewichtsschwerpunkt liegt, [ ] wenn I/V positiv ist, [ ] das Metazentrum über dem Gewichtsschwerpunkt liegt. [ ] Keine der obigen Antworten ist richtig

32 Aufgaben C - Fluide im Gleichgewicht Lösungen Aufgabe Lösung, (Weg) (h Δh) 1 ρ = ρ v = 800 kg/m 3 h (h 2 h 1 ) 2 Δh b = ρ a =1, 587 cm; Δh a =0, 41 cm ρ b 3 Δp = p 1 p 2 = g[ρ a (h 1 Δh/2) ρ b (h 2 +Δh/2) + ρ c Δh] = 48, 634 kn/m 2 4a) p = p 0 + ρ Hg gh 2 ρ W g(h Δh) p 0 =99, 67 kn/m 2 Überdruck! pü = p abs p 0 b) p 1 = p + ρ W gh + p 0 = 248, 72 kn/m 2 Absolutdruck! p abs = pü + p 0 5a) F 2 = 396, 993 kn b) ΔL 2 =0, 0098ΔL 1 6a) F =2F L +2F = 235, 44 kn b) F L = G W /2=78, 48 kn 7a) F Wa =6, 31 kn b) t = 1,038 m 8a) G =0, 2kN b) Δc =0, 149 m 9 a) Verteilung ist ein Trapez! b) F K =14, 13 kn c) x D =0, 00 m; y D =3, 615 m; z D =2, 259 m S(0, 0 3, 6); D(0, 0 3, 615) 10 a) F K =54, 65 kn b) x D =1, 402 m; y D =2, 155 m 11 F A = 44,15 kn; F BH = 0,0 kn; F BV = 69,34 kn 12 a) F x = p S A = ρgh S A = 1103, 625 kn F z = m W g = ρ W gv W = 501, 87 kn b) F R = Fx 2 + Fz 2 = 1212, 383 kn; α =arctan(f z /F x )=24, 45 c) x D =11, 78 m; z D =8, 00 m d) M A = F x z D F z x D = 2916, 85 knm 13 F H = p S A = ρ W gh S A = 706, 32 kn; F V = W gv V = 353, 16 kn F R = FH 2 + F V 2 = 789, 69 kn; α =arctan(f V /F H )=26, a) F R = Fx 2 + Fz 2 = 171, 255 kn F x = F x,o F x,u =91, 969 kn F z = ρ W gv V = 144, 464 kn b) α =arctan(f z /F x )=57, 518 und geht durch den Mittelpunkt! 15 a) b) F R = F 2 x + F 2 z =11, 729 kn F x = p S A = ρ W gh S =11, 036 kn F z = ρ W gv V =3, 973 kn c) M A = 0, weil alle Druckkräfte und daher auch die Resultierende durch die Wehrachse gehen

33 C - Fluide im Gleichgewicht Aufgabe Lösung, (Weg) 16 ρ K = 759 kg/m 3 17 Nein, h M = 0, 059 m 18 h M =0, 329 m, M r =65, 90 knm 19 a) B =3, 896 m b) Ja, knapp, h M =0, 036 m; f =2, 637 m 20 a) t =23, 50 m; r a =4, 00 m; r i =3, 20 m b) V W = 1181, 24 m 3 ; m W = 1204, 86 t c) b =0, 92 m d) z V =11, 75 m; z G =11, 76 m e) h M =0, 16 m; stabil, ausschließlich durch Form, (e >0) 21 p A =44, 288 kn/m 2 22 a) Δz = z B z A =0, 917 m b) p C =53, p 0 kn/m 2 23 p 1 = 140, 19 kn/m 2 24 a) ω a) =7, 004 1/s b) ω b) =20, 413 1/s

34 frei für Notizen

35 Aufgaben D Kinematik der Strömung

36 Aufgaben D - Kinematik der Strömung Fragen und Kurzaufgaben Kurzaufgabe D.k1 In einer räumlichen Strömung sei v der Geschwindigkeitsvektor und d s ein Wegelement. Schreiben Sie die vektorielle Gleichung für die Stromlinie. Kurzaufgabe D.k2 Geben Sie eine Definition des Begriffs Stromlinie, die für stationäre und instationäre Strömungen gilt. Nennen Sie zusätzlich Besonderheiten, die nur für stationäre Strömungen gelten. Kurzaufgabe D.k3 Eine Stromlinie ist [ ] nur für stationäre Strömungen definiert. [ ] immer parallel zu den Strömungsbegrenzungen. [ ] bei instationären Strömungen immer veränderlich im Raum. [ ] bei Stationären Strömungen identisch mit der Bahnlinie. [ ] die Bahnlinie strömender Teilchen. Kurzaufgabe D.k4 Ergänzen Sie die folgenden Aussagen: Eine ist die Raumkurve aus Fluidteilchen, die im Laufe der Zeit denselben raumfesten Punkt passiert haben. Eine wird. Eine tangiert wird. ist die Raumkurve, die von einem Teilchen im Laufe der Zeit durchlaufen ist die Raumkurve, die in jedem Punkt vom Geschwindigkeitsvektor Kurzaufgabe D.k5 Unter welcher Voraussetzung fallen in einer Strömung Bahnlinien mit Stromlinien zusammen? Kurzaufgabe D.k6 Eine Strömung ist instationär, wenn [ ] v x =0 [ ] v t =0 [ ] v x 0 [ ] v t 0 [ ] Keine der obigen Aussagen ist richtig

37 D - Kinematik der Strömung Kurzaufgabe D.k7 Was ist eine ungleichförmige Strömung? Was ist eine instationäre Strömung? Kurzaufgabe D.k8 Welche der folgenden Strömungsarten ist stationär und ungleichförmig? [ ] Der langsam zunehmende Durchfluss in einem Rohr. [ ] Der konstante Durchfluss in einem Rohr. [ ] Die Bewegung des Wassers um einen Brückenpfeiler. [ ] Die Bewegung des Wassers um ein fahrendes Schiff. Kurzaufgabe D.k9 Entscheiden Sie jeweils, ob für den Beobachter die Strömung stationär oder instationär ist. Nichtzutreffendes bitte streichen! Ein Schiff fährt über einen See: Beobachter steht auf dem Schiff (stationär - instationär) Beobachter steht am Ufer (stationär - instationar) Strömung des Wassers um einen Brückenpfeiler: Beobachter steht auf der Brücke (stationar - instationär) Beobachter treibt in einem Boot mit der Strömung (stationär - instationär) Kurzaufgabe D.k10 Aus einem Wasserhahn fließt Wasser senkrecht nach unten. Die Strömung ist [ ] stationär. [ ] instationär. [ ] gleichförmig. [ ] ungleichförmig. Kurzaufgabe D.k11 Was versteht man unter substantieller Beschleunigung?

38 frei für Notizen

39 Aufgaben F Erhaltungssätze der Strömungsmechanik - Massenerhaltung - Impulserhaltung - Energieerhaltung

40 Aufgaben F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabe F.1 An einem Wasserreservoir sind drei Kreisrohre angeschlossen. Der Zufluss im Rohr (1) erfolgt mit der Geschwindigkeit v 1. Der Abfluss in Rohr (2) ist mit dem Massenstrom ṁ 2 ebenfalls vorgegeben. a) Wie groß ist der zeitliche Massenzuwachs ṁ 0 im Reservoir? b) Wie muss der Kontrollraum gewählt werden, damit die gleiche Rechnung in a) stationär erfolgt? c) In welcher Zeitspanne Δt steigt der Wasserspiegel im Reservoir um Δz bis zur Höhe des Rohres (3) an? d) Wie hoch ist die Durchflussrate Q 3,wennimRohr(3) dasüberschüssige Wasser abfließt? Mit welcher Geschwindigkeit v 3 fließt es ab? A 0 = 10m 2 A 1 = 0,5m 2 A 3 = 0,1m 2 Δz = 3m ṁ 2 = 40 kg/s v 1 = 0,1m/s g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 Aufgabe F.2 Aus einer Düse tritt ein Wasserstrahl mit der Geschwindigkeit v aus und trifft auf eine Peltonschaufel, die sich für den zu betrachtenden Zeitraum in Richtung des Strahls mit der konstanten Geschwindigkeit u bewegt. Berechnen Sie den Massenstrom ṁ, der an der sich bewegenden Schaufelwandung umgelenkt wird. Die Wirkung der Schwerkraft auf den Strahl ist zu vernachlässigen! A = 0,004 m 2 v = 30m/s u = 10m/s g = 9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m

41 F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Aufgabe F.3 Ein horizontaler Wasserstrahl (ρ W = 1000 kg/m 3 ) trifft auf eine senkrechte Platte. Wie groß ist die von der Wand aufzubringende Horizontalkraft F? Die Wirkung der Schwerkraft auf den Strahl ist zu vernachlässigen! Aufgabe F.4 Q = 3,2m 3 /s v = 40m/s u = 10m/s ρ Luft = 1,25 kg/m 3 β =1,02 Aus einer Düse tritt ein Luftstrahl mit der Luftmenge Q und der Geschwindigkeit v aus und trifft auf eine mit der Geschwindigkeit u gleichförmig bewegte Wand. Berechnen Sie die Kraft, die von dem Luftstrahl auf die Wand ausgeübt wird. Die Wirkung der Schwerkraft auf den Strahl ist zu vernachlässigen! Aufgabe F.5 A =0,01m 2 v =2,00m/s p = 10 4 N/m 2 ρ W = 1000 kg/m 3 β =1,02 Berechnen Sie die Lagerreaktion F im Fundament, die von dem mit der Geschwindigkeit v im Rohr (konstanter Querschnitt A) fließenden Wasser hervorgerufen wird. Die Flüssigkeit weist den Überdruck p auf. Die Wirkung der Schwerkraft auf den Strahl ist zu vernachlässigen!

42 Aufgaben F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Aufgabe F.6 Ein Ball vom Gewicht G = 0,5 N wird von einem Flüssigkeitsstrahl reibungsfrei umströmt und dadurch in der Schwebe gehalten. Der Strahl strömt mit der Geschwindigkeit v 1 unter dem Winkel ϕ 1 an. Berechnen Sie die Abströmgeschwindigkeit v 2, den Winkel ϕ 2 sowie den Massenstrom ṁ, dererforderlich ist, um den Ball in der Schwebe zu halten. Anm: Es liegt ein Freistrahl vor, d.h. ohne ein ihn umschließendes Rohr! Die Wirkung der Schwerkraft auf den Strahl soll vernachlässigt werden. Es sei hier nicht erörtert, ob die obige Annahme der Reibungsfreiheit realistisch ist. A 1 = A 2 v 1 = 5m/s ρ W = 1000 kg/m 3 ϕ 1 = 30 β = 1,0 Aufgabe F.7 Für den Horizontalkrümmer des Druckrohres eines Hochdruckkraftwerkes ist die resultierende Umlenkkraft auf den Ankerklotz zu berechnen. (Hinweis: Draufsicht! Das Eigengewicht kann vernachlässigt werden.) A 1 = A 2 = 3m 2 Q = 30m 3 /s p A = p B = 1900 kpa (Absolutdruck) g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 ϕ 1 = 60 ϕ 2 = 30 β =1,

43 F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Aufgabe F.8 Wie groß muss die Geschwindigkeit v der ausströmenden Flüssigkeit sein, damit der in G gelenkig gelagerte Rohrkrümmer in der eingezeichneten Lage verharrt? Das Eigengewicht des Rohrkrümmers soll vernachlässigt werden. a = 0,5m g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 β = 1,0 Aufgabe F.9 Größe Einheit A i m 2 0,80 0,80 0,20 ṁ kg/s 1,21 T i C ρ i kg/m 3 Q i m 3 /s v i m/s p i bar 1+Δp 1+Δp 1 In einem HeißluftgebläsewirdLuftvon20 Cauf80 C erhitzt. Außerdem wird der heiße Luftstrom in einer Düse konzentriert. Welche Werte ergeben sich in obiger Tabelle? (Notwendige Angaben über Stoffwerte sind im Skript enthalten. Dabei soll auch im Rohrinneren näherungsweise ein Druck von 1 bar angenommen werden: Δp 0)

44 Aufgaben F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Aufgabe F.10 Durch die skizzierte horizontal liegende Rohrverzweigung fließt Wasser (ρ W = 1000 kg/m 3 ). Um zu vermeiden, dass die Kraftwirkung der Strömung auf das Rohrsystem übertragen wird, soll ein momentenfreies Auflager an der Verzweigungsstelle angebracht werden. a) Ergänzen Sie folgende Tabelle. b) Bestimmen Sie den Betrag der resultierenden Lagerreaktion F. c) Berechnen Sie die Wirkungslinie e der resultierenden Lagerreaktion F. Größe Einheit A i m 2 2,0 0,5 1,5 Q i m 3 /s 2,0 v i m/s 2,0 Ė i knm/s p i kn/m 2 2,0 2,0 F i I i kn kn Aufgabe F.11 Durch ein horizontal liegendes U-Rohr mit Kreisquerschnitt strömt die Wassermenge Q. Berechnen Sie den Betrag und die Wirkungslinie der resultierenden Kraft F auf das Rohr. (reibungsfreie Strömung) A 1 = 0,005 m 2 A 2 = 0,001 m 2 e = 0,3m Q = 0,01m 3 /s p 1 = 5bar (Überdruck) g = 9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 α = 1,0 β = 1,0-38 -

45 F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Aufgabe F.12 Der Auslaufstutzen einer Wasserleitung ist rechtwinklig abgebogen. Sein Querschnitt verjüngt sich von A 1 auf A 2. Berechnen Sie die beiden Einzelkräfte F R,x und (Längskraft) F R,z (Querkraft) sowie die daraus resultierende Gesamtkraft F R und das Biegemoment M für die der Flansch bemessen werden muss, wenn Q = 5 l/s durch die Leitung fließen soll. (reibungsfreie Strömung, Einfluss des Gewichts vernachlässigbar) A 1 = 10cm 2 A 2 = 2,5cm 2 a = 20cm z 1 z 2 (geringe pot. Energie) g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 Aufgabe F.13 An einem Venturirohr wird die Druckdifferenz zwischen zwei Querschnitten gemessen. Wie groß ist der Durchfluss Q unter Vernachlässigung der Reibung? A 1 = 40cm 2 A 2 = 25cm 2 h = 5cm ρ Luft = 1,25 kg/m 3 ρ W = 1000 kg/m 3 g =9,81m/s 2 α = 1,0-39 -

46 Aufgaben F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Aufgabe F.14 Ein Wasserstrahl strömt aus einer Öffnung, wo sein Durchmesser d 1 = 0,5 m und seine Geschwindigkeit v 1 = 10 m/s betragen, vertikal nach oben. Bestimmen Sie den Durchmesser d 2 desstrahlesinderhöhe h, untervernachlässigung der Reibung sowie unter der Annahme, dass der Strahl seinen kreisförmigen Durchmesser behält. h = 3m g =9,81m/s 2 ρ Luft = 1,25 kg/m 3 ρ W = 1000 kg/m 3 α = 1,0 Aufgabe F.15 Berechnen Sie die Höhe h 1 der Flüssigkeit im Steigrohr und die Geschwindigkeit v, mit der die Flüssigkeit ausströmt. Die Reibungsverluste sollen vernachlässigt werden. A 1 = 10cm 2 A 2 = 2cm 2 h 0 =1,00m g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 α =1,

47 F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Aufgabe F.16 Durch die dargestellte horizontal liegende Rohrverengung wird Wasser mit einer Pumpe gefördert. Diese wird von einem Elektromotor angetrieben, dessen elektrische Leistungsaufnahme P M beträgt. Berechnen Sie den Wirkungsgrad η P der Pumpe, wobei der Wirkungsgrad des Elektromotors mit η M = 0,80 anzusetzen ist. Die Reibungsverluste sollen vernachlässigt werden. A 1 = 0,005 m 2 g = 9,81m/s 2 A 2 = 0,0025 m 2 P M = W p 1 =2, N/m 2 ρ W = 1000 kg/m 3 p 2 =2, N/m 2 α = 1,06 v 2 = 12m/s Aufgabe F.17 Zwei Behälter sind bis zur Höhe h = 1m über der Ausflussöffnung mit Wasser gefüllt. Die Ausflussöffnung hat bei beiden Behältern die Querschnittsfläche A =2cm 2. Aus dem Behälter (1) tritt das Wasser in vertikaler, aus dem Behälter (2) in horizontaler Richtung aus. Nach Durchlaufen der Fallhöhe L =0, 5 m treffen die Strahlen jeweils den horizontalen Teller einer Federwaage und laufen seitlich ab. Welche Kräfte F 1 und F 2 zeigen die beiden Waagen an? Das Gewicht der Flüssigkeit auf den Waagentellern ist zu vernachlässigen. ρ w = 10 3 kg/m 3 g =9,81m/s 2 α = 1,0 β = 1,0-41 -

48 Aufgaben F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Fragen und Kurzaufgaben Kurzaufgabe F.k1 Leiten Sie aus der Formel für den Energiestrom die auf ihn zutreffenden Maßeinheiten her! Kurzaufgabe F.k2 Eine Stromröhre sei mit einer vorgegebenen Geschwindigkeit durchströmt. A = 0,1 m 2 v = 1 m/s p = 2 bar ρ W = 10 3 kg/m 3 Berechnen Sie die kinetische Energie/Zeiteinheit und die Druckenergie/Zeiteinheit [Watt], die den Querschnitt durchfließen. Kurzaufgabe F.k3 Durch eine Rohrleitung mit 320 mm äußerem Durchmesser und 10 mm Wandstärke strömen kg/h Öl mit ρöl = 900 kg/m 3. Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit? Kurzaufgabe F.k4 Wofür steht der Beiwert α in der Energiehöhe h E = z + p ρg + α v2 2g? Ist er größer bei laminarer oder bei turbulenter Strömung? Kurzaufgabe F.k5 Welchen Wert haben die Geschwindigkeitsverteilungsbeiwerte α und β? α β laminare Strömung voll ausgebildete turbulente Strömung

49 F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Kurzaufgabe F.k6 Ein Kontrollvolumen (Kontrollraum) ist [ ] eine feste Masse. [ ] ein nach Volumen und Gestalt im Raum vorgegebener Bereich. [ ] ein abgeschlossenes System. [ ] ein isoliertes System. [ ] Keine der obigen Antworten ist richtig. Kurzaufgabe F.k7 Die Oberfläche eines Kontrollraumes (d.h. die Kontrollfläche) [ ] verformt sich bei ungleichförmiger Strömung [ ] ist wärmedurchlässig [ ] ist massendurchlässig [ ] verformt sich bei instationärer Strömung Kurzaufgabe F.k8 Wann ist es zweckmäßig, mit einem bewegten Kontrollraum zu arbeiten? Kurzaufgabe F.k9 Welche der folgenden Gleichungen heißt Kontinuitätsgleichung? [ ] Q = ρav [ ] ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 [ ] p 1 A 1 = p 2 A 2 [ ] A 1 v 1 = A 2 v 2 [ ] ρ 1 gv 1 = ρ 2 gv 2 Kurzaufgabe F.k10 Ein in eine Luftströmung (20 C) gehaltenes Prandtlsches Staurohr zeigt eine Ablesung von 30 mm Wassersäule. Wie groß ist dann die Strömungsgeschwindigkeit der Luft?

50 Aufgaben F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Lösungen Aufgabe Lösung, (Weg) 1a) m 0 = 10 kg/s b) siehe Abbildung c) Δt = 3000 s d) Q 3 =0, 01 m 3 /s; v 3 =0, 1m/s 2 ṁ = 80 kg/s 3 F =1, 00 kn 4 F =91, 8N 5 F = 281, 6N 6 v 2 =5m/s;ϕ 2 =30 0 ; ṁ =0, 1 kg/s 7 F R = FR,x 2 + F R,y 2 = 2953, 6kN F R,x = 2088, 5kN; F R,y = 2088, 5kN; α =45 8 v =2, 71 m/s 9 Größe Einheit Rechnung A i m 2 0,80 0,80 0,20 gegeben ṁ kg/s 1,21 1,21 1,21 ṁ =const T i C gegeben ρ i kg/m 3 1,21 0,99 0,99 Skript Q i m 3 /s 1,00 1,222 1,222 ṁ i /ρ i v i m/s 1,25 1,53 6,11 Q i /A i p i bar 1+Δp 1+Δp 1 gegeben Größe Einheit Rechnung A i m 2 2,0 0,5 1,5 gegeben Q i m 3 /s 2,0 1,0 3,0 v i A i 10 a) v i m/s 1,0 2,0 2,0 Q i /A i Ė i knm/s 5,0 4,0 9,0 ρ i Q i ( v2 i 2 + p i ρ i ) p i kn/m 2 2,0 2,0 1,0 Ė i Q i ρ i v 2 i 2 F i kn 4,0 1,0 1,5 p i A i I i kn 2,0 2,0 6,0 ρ i Q i v i b) F = S 1 + S 2 + S 3 =4, 5kN c) S 2 S 3 e = a = a S 1 + S 2 S 3 11 F = S 1 + S 2 =2, , 552 = 3, 072 kn die Wirkungslinie ist parallel zur x-achse bei y =0, 246 m. 12 F R = FR,x 2 + F R,z 2 = 234, 85 N

51 F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik Aufgabe Lösung, (Weg) F R,x = 212, 5N; F R,z = 100 N M =20Nm 13 Q =0, 0897 m 3 /s 14 v 2 = v1 2 2gh =6, 414 m/s d 2 = d 1 v 1 / v1 2 2gh =0, 624 m 15 v 2 = h 0 2g/α =4, 30 m/s h 1 =0, 96 m; 16 η P = P ( p2 p 1 ; P = ṁ + α v2 2 ) v2 1 =0, 817 kw η M P M ρ W 2 η P =85, 1% 17 v A = 2gh =4, 43 m/s v 1 = va 2 +2gL =5, 425 m/s F 1 = ρ W v1 2 A =4, 81 N v 2 = 2gL =3, 132 m/s F 2 = ρ W v2 2 A =2, 77 N

52 frei für Notizen

53 Aufgaben H Elementare stationäre Rohrströmungen

54 Aufgaben H - Elementare stationäre Rohrströmungen Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabe H.1 Berechnen Sie in den Knickpunkten der skizzierten Wasserleitung die Ordinaten der Drucklinie und der Energielinie und zeichnen Sie deren Verlauf in die Abbildung ein. Verluste im Rohr sind zu vernachlässigen und rechnen Sie mit g =10m/s 2 ; α =1, 0. Größe Einheit h E,i m A i m 2 0,20 0,20 0,20 0,50 0,10 0,10 v i vi 2/(2g) p i /(ρg) z i m/s m m m

55 H - Elementare stationäre Rohrströmungen Aufgabe H.2 Durch die dargestellte horizontal liegende Rohrverengung wird mit einer Pumpe Wasser gefördert. Sie wird von einem Elektromotor angetrieben, dessen elektrische Leistungsaufnahme P M = 1200 W beträgt. Als Wirkungsgrade sind für den Elektromotor η M =0, 80 und für die Pumpe η P =0, 75 anzusetzen. Berechnen Sie die Druck- und Geschwindigkeitshöhen für die Punkte 1 bis 6 und zeichnen Sie den Verlauf der Drucklinie und der Energielinie in die Abbildung ein! (Verluste im Rohr sind zu vernachlässigen) A 1 = 0,005 m 2 A 2 = 0,0025 m 2 p 1 =0, N/m 2 v 2 = 12m/s g = 9,81m/s 2 ρ W = 10 3 kg/m 3 α = 1,0 Größe Einheit 2, 3 4, 5 6, 1 h E,i m A i m 2 v i vi 2/(2g) p i /(ρg) m/s m m Aufgabe H.3 Durch eine gerade Betonrohrleitung mit dem lichten Durchmesser d =1m,derLänge L = 800 m und der Rauheit k = 1 mm sollen l/min erwärmtes Kühlwasser mit der kinematischen Zähigkeit ν W =0, m/s 2 ohne Vordruck abfließen. Welches Gefälle in % muss die Leitung erhalten? g =9,81m/s 2 ρ W = 992 kg/m

56 Aufgaben H - Elementare stationäre Rohrströmungen Aufgabe H.4 Aus einem Stausee wird über ein Wasserschloss in der dargestellten Weise Wasser entnommen. Wie stellt sich die Wasserspiegeldifferenz Δh ein, wenn in der Sekunde 60 m 3 Wasser entnommen werden? Ein- und Auslaufverluste sollen vernachlässigt werden. L = 1100 m d = 3m g = 9,81m/s 2 ρ W = 10 3 kg/m 3 λ = 0,015 α = 1,0 Aufgabe H.5 In einem genieteten Stahlrohr (k = 3 mm) mit einem Durchmesser d = 30 cm fließt Wasser mit einer Temperatur von 15 C(ν W =1, m 2 /s). Wie hoch ist der Durchfluss Q, wennsichaufeiner Rohrstrecke von L = 300 m eine Verlusthöhe h v = 6 m einstellt? g =9,81m/s 2 ρ W = 10 3 kg/m 3 Aufgabe H.6 Ein Stahlrohr soll je Sekunde π/2m 3 Öl fördern. Wie groß muss der Durchmesser des Rohres mindestens sein, wenn bei mäßiger Verkrustung (k =0, 8 mm) je L = 1000 m Rohrlänge eine Verlusthöhe von h v =4mnichtüberschritten werden soll? g = 9,81m/s 2 ρöl = 900 kg/m 3 νöl = m 2 /s

57 H - Elementare stationäre Rohrströmungen Aufgabe H.7 L = 35m h = 35m g = 9,81m/s 2 ρ W = 10 3 kg/m 3 λ = 0,015 α = 1,0 a) Welchen Durchmesser muss der Auslauf eines Staubeckens (Kreisrohr) haben, wenn sich bei einem Durchfluss Q =5m 3 /s die Stauhöhe h einstellen soll? Verluste am Rohreinlauf sollen vernachlässigt werden. b) Zeichnen Sie den Verlauf der Druck- und Energielinie im Rohr qualitativ richtig in die Abbildung ein. c) Welcher Druck stellt sich ein, wenn das Rohr am Auslauf geschlossen ist und die Stauhöhe h beträgt? Aufgabe H.8 Durch eine gerade, horizontale Rohrleitung fließen 108 m 3 Heizöl in der Stunde. Die Rohrleitung hat die Länge L = 750 m, den Durchmesser d 0 = 100 mm und die äquivalente Rauheit k =0, 2 mm. An beiden Rohrenden herrscht Atmosphärendruck. g =9,81m/s 2 ρöl = 860 kg/m 3 α = 1,0 νöl = m 2 /s a) Welche Antriebsleistung muss der Ölpumpe zugeführt werden, wenn der Wirkungsgrad η P =0, 7 beträgt? b) Auf welchen Durchmesser d 1 müsste unter gleichen Verhältnissen die Leitung erweitert werden, wenn mit der halben Antriebsleistung ausgekommen werden soll?

58 Aufgaben H - Elementare stationäre Rohrströmungen Aufgabe H.9 Um den Reibungsbeiwert λ in einer um den Winkel α geneigten Rohrleitung vom Durchmesser d bestimmen zu können, werden im Abstand L zwei Druckbohrungen angebracht, die an die beiden Schenkel eines U-Rohr- Manometers angeschlossen werden. Dort wird eine Spiegeldifferenz Δh gemessen. Drücken Sie λ durch die bekannten bzw. gemessenen Größen L, d, Q, ρ, ρ M und Δh aus! Aufgabe H.10 Ein mit Wasser gefüllter Behälter wird mittels einer angeschlossenen Rohrleitung mit der Länge L und dem Durchmesser d entleert. Wie groß ist die Ausströmgeschwindigkeit v? (Ein- und Auslaufverluste des Rohres sind zu vernachlässigen). L = 20m d = 100 mm h = 1,5m k = 0,1mm g = 9,81m/s 2 ρ W = 10 3 kg/m 3 ν W = m 2 /s α = 1,0-52 -

59 H - Elementare stationäre Rohrströmungen Aufgabe H.11 Die frei liegende Verbindungsmuffe von zwei eingemauerten Rohrleitungen sei so ausgelegt, dass sie eine Kraft von 2 kn übertragen kann. Ist diese Verbindung ausreichend bemessen? Wie groß darf der Durchfluss Q höchstens werden? L = 2m ρ W = 1000 kg/m 3 d = 1m λ =0,01 Q = 10m 3 /s α =1 g =9,81m/s 2 β =1 Aufgabe H.12 Wie groß muss der Kesseldruck p 1 (absoluter Druck) sein, damit der aus der Düse austretende Wasserstrahl die Höhe h erreicht (ohne Luftwiderstand)? Wie groß ist der Durchfluss Q? gesamte Leitungslänge: L = 80,00 m Rohrdurchmesser: d R = 0,15m Düsendurchmesser: d D = 0,05m h = 20,00 m h 1 = 10,00 m k = 0,3mm g = 9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 ν W =1, m 2 /s ζ E = 0,50 ζ Kr = 0,30 ζ D = 0,25 α = 1,0-53 -

60 Aufgaben H - Elementare stationäre Rohrströmungen Aufgabe H.13 Gegeben ist ein großer Wasserbehälter mit einer Rohrzuleitung der Länge L zu einer Düse, aus der eine Wasserfontäne austritt. Alle Verluste der Rohrleitung werden näherungsweise durch den Reibungsverlustbeiwert λ erfasst, während an der Austrittsdüse ein Verlustbeiwert ζ zu berücksichtigen ist, der auf die Geschwindigkeit hinter der Düse bezogen werden muss. Mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus der Düse aus? A Düse =0,01A Rohr L = 3000 m d = 0,1m h = 30m v 1 = 0m/s g =9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 λ =0,04 ζ = 0,5 α = 1,0 Aufgabe H.14 A 2 =10 4 m 4 L = 3,3m d = 0,113 m h = 8m g = 9,81m/s 2 ρ W = 1000 kg/m 3 λ = 0,03 ζ Kr = 2,0 α = 1,0 In der dargestellten Baugrube ist bei der erforderlichen Grundwasserabsenkung mit einem Zufluss Q =0, 015 m 3 /s zu rechnen. Das Wasser soll durch ein Rohr vom Querschnitt A, dem Durchmesser d und dem Wandreibungsbeiwert λ um die Höhe h gehoben und um die Entfernung L horizontal gefördert werden. Der Umlenkverlust ist durch den Beiwert ζ Kr zu berücksichtigen, während die Einlaufverluste im Wirkungsgrad η P =0, 75 der Pumpe enthalten sind. Welche Pumpenleistung P P ist zu installieren?

61 H - Elementare stationäre Rohrströmungen Fragen und Kurzaufgaben Kurzaufgabe H.k1 Zeichnen Sie qualitativ richtig die Energie- und Drucklinie für folgendes Rohrsystem in die untere Abbildung. Berücksichtigen Sie Ein- und Auslauf- sowie Rohrreibungsverluste. Kurzaufgabe H.k2 Eine Rohrleitung (Durchmesser: d = 100 mm) sei a) von Wasser (20 C) b) von Luft (20 C, 1 bar) durchströmt. Bei welchen Geschwindigkeiten tritt jeweils der Umschlag von laminarer in turbulente Strömung ein?

62 Aufgaben H - Elementare stationäre Rohrströmungen Kurzaufgabe H.k3 Die Verluste im abgebildeten System sind bei gegebenem Durchfluss bei nach unten gerichteter Strömung [ ] kleiner [ ] gleich [ ] größer als bei nach oben gerichteter Strömung? Kurzaufgabe H.k4 Bei welcher Fließgeschwindigkeit schlägt die laminare Strömung durch ein Rohr mit Rechteckquerschnitt in Turbulenz um? (ν W =10 6 m 2 /s) Kurzaufgabe H.k5 Der Umschlag von laminarer zu turbulenter Rohrströmung [ ] tritt auf, wenn die Wandrauheit besonders groß ist. [ ] tritt in Luft bei kleinerer Fließgeschwindigkeit als in Wasser auf. [ ] tritt in Luft bei größerer Fließgeschwindigkeit als in Wasser auf. [ ] ist durch Erhöhung des Druckes im Rohr auslösbar. [ ] Keine der obigen Antworten ist richtig. Kurzaufgabe H.k6 Turbulenz tritt im allgemeinen auf [ ] in reibungsfreien Strömungen. [ ] in besonders dünnen Rohren. [ ] bei besonders langsamen Strömungsgeschwindigkeiten. [ ] bei besonders schnellen Strömungsgeschwindigkeiten. [ ] in Fluiden mit besonders hoher Viskosität

63 H - Elementare stationäre Rohrströmungen Kurzaufgabe H.k7 Bei turbulenter Strömung ist der Reibungsbeiwert von rauhen und glatten Rohren gleich, [ ] wenn der Reibungsbeiwert unabhängig von der Reynolds-Zahl ist. [ ] im Übergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Strömung. [ ] wenn die Rauheiten k viel kleiner als die Dicke der laminaren Grenzschicht sind. [ ] wenn die Reynoldszahl ausreichend groß ist. [ ] Keine der obigen Antworten ist richtig. Kurzaufgabe H.k8 Bei laminarer Rohrströmung ist der Reibungsbeiwert [ ] nur abhängig von der Rauheit der Rohre. [ ] unabhängig von der Fließgeschwindigkeit. [ ] nur abhängig von der Reynolds-Zahl. [ ] konstant für glatte Rohre. [ ] immer kleiner als bei turbulenter Strömung. Kurzaufgabe H.k9 Zwei Rohre unterschiedlicher relativer Rauheit (k/d) haben bei turbulenter Strömung nur dann den gleichen Reibungswert, wenn [ ] der Reibungsbeiwert in beiden Rohren unabhängig von der Reynolds-Zahl ist. [ ] in beiden Rohren die gleiche Reynolds-Zahl vorliegt. [ ] die Rauheitserhebungen kleiner als die Dicke der laminaren Grenzschicht sind. [ ] die Fließgeschwindigkeit sehr groß ist. [ ] die Fließgeschwindigkeit gleich ist. Kurzaufgabe H.k10 Bei stationärer, gleichförmiger und laminarer Strömung einer Flüssigkeit in einem Kreisrohr ist der Durchfluss [ ] proportional dem Quadrat des Rohrdurchmessers. [ ] umgekehrt proportional dem Energieliniengefälle. [ ] proportional der Viskosität. [ ] proportional dem Energieliniengefälle. [ ] abhängig von der Wandrauheit

64 Aufgaben H - Elementare stationäre Rohrströmungen Lösungen Aufgabe Lösung, (Weg) 1 siehe S Q = v 2 A 2 =0, 03 m 3 /s h E,1 = p 1 ρg + v2 1 2g = h E,6 = h E,5 = h E,4 ; h E,3 = h E,4 + Ṗ mg = h E,2 siehe S I = h v /L =0, 46 % h v = λ l v 2 =3, 672 m; λ(re, (k/d)) = 0, 02 (Moody-Diagramm) D h 2g 4 Δh = h v = λ l vrohr 2 =20, 20 m D h 2g 5 Q = va =0, 124 m 3 hv d2g /s; v = =1, 76 m/s; λ(v) =0, 038 λl 2λL 6 d = 5 =1, 006 m; λ(d) =0, 02 gh ( v ( 8Q 2 7a) d i = π 2 1+ λl )) 1/4 =0, 579 m gh d i 1 b) v = Q/A =18, 99 m/s linear von h v = h v 2 /(2g) =16, 64 mws auf 0 fallend Energielinie, Druck-, Geschwindigkeits- und Verlusthöhen: c) p = ρgh = 343, 35 kpa und const. 8a) P P = λlv2 QρÖl = W; λ0 =0, 027 2d 0η P 8λ(d 1 )LQ 3 b) d 1 = 5 ρöl η P π 2 =0, 115 m; λ 1 =0, 027 P P (b) 9 λ = Δh(ρ M ρ)d 5 gπ 2 8ρLQ 2 10 v =2,41m/s 11 ja, da Q max =12, 533 m 3 /s> Q vorh 12 Q =0, 039 m 3 /s; p 1 = 476, 334 kpa (abs.) 13 v 2 =19, 061 m/s 14 P P = 1704, 6W

65 H - Elementare stationäre Rohrströmungen Zur Lösung von Aufgabe H.1 Größe Einheit Rechnung h E,i m 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 h A i m 2 0,20 0,20 0,20 0,50 0,10 0,10 gegeben v i m/s 5,00 5,00 5,00 2,00 10,00 10,00 Q/A i vi 2 /(2g) m 1,25 1,25 1,25 0,20 5,00 5,00 p i /(ρg) m 11,75 11,75 7,75 4,80 0,00 0,00 h E,i z i v 2 i /(2g) z i m 2,00 2,00 6,00 10,00 10,00 10,00 ablesen Zur Lösung von Aufgabe H.2 Größe Einheit 2, 3 4, 5 6, 1 h E,i m 10,40 7,95 7,95 A i m 2 0,0025 0,0025 0,0050 v i m/s 12,00 12,00 6,00 vi 2 /(2g) m 7,34 7,34 1,83 p i /(ρg) m 3,06 0,61 6,

66 frei für Notizen

67 Aufgaben I Elementare stationäre Gerinneströmungen

68 Übungs- und Klausuraufgaben Aufgaben I - Elementare stationäre Gerinneströmungen Aufgabe I.1 Es soll eine kleinere Menge Wasser (Q =0, 1m 3 /s) in einem glatten Holzgerinne gleichförmig abgeleitet werden. Das Gelände lässt ein Sohlgefälle I So =0, 005 zu. Geben Sie das für die Bemessung des Gerinnes notwendige Maß a unter Normalabflussbedingungen an. a) Berechnung nach Manning-Strickler b) nach Darcy-Weisbach Aufgabe I.2 Ein regulierter Wasserlauf mit trapezförmigem Querschnitt und einem Böschungswinkel von ϕ = 45 hat eine Sohlbreite von b = 1, 5 m und eine Wassertiefe von h = 1, 2m. Böschung und Sohle besitzen eine äquvalente Rauheit k = 1 mm. Bei welchem Gefälle I So beträgt die Strömungsgeschwindigkeit 0,7 m/s? (Berechnung nach a) Darcy-Weisbach und b) Manning-Strickler!)

69 I - Elementare stationäre Gerinneströmungen Aufgabe I.3 Die Wassertiefen ober- und unterhalb eines unterströmten Wehres betragen h 1 =7, 5 m und h 2 = 0, 6 m. Der Kanal ist b =15mbreit. Berechnen Sie: a) die Abflussmenge Q im Unterwasser, b) die Anströmgeschwindigkeit v 1 des Oberwassers c) und die Druckkraft F x auf das Wehr. Aufgabe I.4 Ein rechteckiger Kanal aus altem Beton führt die Wassermenge Q =2, 5m 3 /s und ist 3 m breit. a) Bei welchem Gefälle I So beträgt die Normalabflusshöhe gerade h n =1m? (nach Darcy-Weisbach, ν W = m 2 /s) b) Kontrollieren Sie dreifach (über die Berechnung der Grenztiefe, der Froudeschen Zahl und des Grenzgefälles), ob der Normalabfluss strömend oder schießend ist. Aufgabe I.5 Ein Rechteckgerinne (glatter Beton mit hohem Zementgehalt) hat ein Sohlgefälle I So =0, 003 m und fördert die Wasserrate Q =4, 0m 3 /s. An einer Stelle des Gerinnes wird die Wassertiefe h = a gemessen. b = 2,0m a = 1,0m T W = 20 C ν W = 10 6 m 2 /s a) Überprüfen Sie nach Darcy-Weisbach, ob dort ein Normalabfluss vorliegt. b) Welche Normalabflusshöhe h n stellt sich bei gleichbleibenden Abflussbedingungen ein?